基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1．问题导航

(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？

(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？

2．例题导读

通过P15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P15例3为导数的实际应用问题，P17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．

1．导数的四则运算法则

(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．

(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

③f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．

2．复合函数的求导公式

(1)复合函数的定义：

①一般形式是y＝f(g(x))．

②可分解为y＝f(u)与u＝g(x)，其中u称为中间变量．

(2)求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′u·u′x．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )

(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )

答案：(1)√ (2)×

2．函数y＝xln x的导数为( )

A．y′＝ln x＋1 B．y′＝ln x－1

C．y′＝ln x D．y′＝1

解析：选A.y′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.

3．y＝sin2x的导数是( )

A．y′＝2sin x B．y′＝2cos x

C．y′＝sin 2x D．y′＝cos 2x

解析：选C.y′＝(sin2x)′

＝2sin xcos x＝sin 2x.

4．求下列函数的导数：

(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________；

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

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2016

1 / 7 基本初等函数的导数公式及导数运算法则测试题

一、选择题

1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案] D

[解析] y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)

＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，

y|x＝1＝4.

2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()

A．x4 B．x4－2

C．4x3－5 D．x4＋2

[答案] B

[解析] ∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1

1＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.

3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()

A.nn＋1 B.n＋2n＋1

C.nn－1 D.n＋1n

[答案] A

[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，

m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x， 精品文档

2016

2 / 7 即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，

数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：

Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)

＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1

＝1－1n＋1＝nn＋1，

故选A.

4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限