八年级秋季班-第17讲：垂直平分线、角平分线及轨迹-教师版(1)

学案&讲义学生：______课程主题：两个定理（角平分线与线段垂直平分线）学习目标：1．能运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题2．初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理主要内容：一、线段的垂直平分线【知识梳理】1．线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【例题精讲】例1．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=5，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=120°，则∠DAE的度数是多少？为什么？例2．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．例3．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，作AC的垂直平分线，分别交于AC于G，交CD于H，连接AH．求证：（1）AB=AH；（2）CD=AB+BD．例4．已知△ABC中∠BAC=130°，BC=20，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．求：（1）∠EAF的度数．（2）求△AEF的周长．【巩固练习】1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，DE垂直平分AB．（1）若△DBC的周长为35，求BC的长；（2）若BC=13，求△DBC的周长．2．如图，在△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分线段BC，分别交AC、BC于点D、E，BD平分∠ABC（1）直接写出图中相等的线段．（写出三组，即可得（2）试判断∠ABD与∠C的大小关系，并证明你的判断结论．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DB平分∠ABC交AC于点D，DE的垂直平分斜边AB于E．（1）请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等；（2）如果BC=6，AC=8，则△BDC的周长为多少？二、角的平分线【知识梳理】1．角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【说明】该定理为我们提供了证明两条垂线段相等的一个新思路2．角平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题精讲】例1．（1）如图（1），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（2）如图（2），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（3）你能用你的发现解决下面的实际问题：如图（3）直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？例2．如图，的边的中垂线交的外角平分线于，为垂足，于，且，求证：例3．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．例4．如图，已知中，交于，交于，是上一点，且点到的距离与到的距离相等，判断是否平分，并说明理由．例5．如图，要在河流的南边，公路的左侧处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________ ，理由是__________ ．例6．如图，已知，，，和的平分线交于，过的直线交于，交于，求证：【巩固练习】1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．2．三角形中，到三边距离相等的点是__________ ．3．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．4．如图，，且，则与的比等于__________ ．5．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于__________ ．6．已知：如图，、是的角平分线，、相交于，，则的度数是__________ ．7．如图，为等边三角形，且，则=__________ ．巩固1．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA．求证：点D 在线段AC的垂直平分线上．2．如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的三边大小关系？3．如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．4．如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上，且∠EDC=15°．（1）试说明直线AD是线段BC的垂直平分线；（2）△ADE是什么三角形？说明理由．5．如图，已知相交直线和，及另一直线。

线段的垂直平分线和角平分线讲义如何作角的平分线？1.动手用尺规画出一个角的平分线；2.说明为什么是角平分线的理由。

用尺规作角的平分线.已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.【知识梳理】1、线段的垂直平分线我们把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线．例如：如图所示，点O是线段AB的中点，且AB⊥CD，垂足为点O，则CD是线段AB的垂直平分线.2、线段的垂直平分线的定理线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等．如图，若MN为线段AB的垂直平分线，P点在MN上，则PA=PB．3、线段的垂直平分线定理的逆定理与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上．4、线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系：①是位置关系——垂直；②是数量关系——平分．5、三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了6、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.7、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.8、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.9、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.【典型例题】知识点一：线段的垂直平分线考点一：利用线段垂直平分线求角的度数例1、在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小.分析：AB的中垂线与AC所在直线的交点可能在AC上，也可能在CA的延长线上，故应分类讨论.解：若∠A为锐角，如图∵∠AED＝50°，∴∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°．若∠A为钝角，如图：∵∠AED＝50°，∴∠EAD＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝20°．例2、如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E两点，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．解：此题考查“线段垂直平分线的性质”．因为DE垂直平分AB，所以BE=AE．所以∠1=∠B=30°．又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=30°．所以∠C=180°－∠BAC－∠B=90°．考点二：利用线段垂直平分线求长度例3、如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E．若△ABC的周长为28，BC=8，求△BCE的周长．解：∵等腰△ABC的周长为28，BC=8，∴2AC＋BC=28．∴AC=10．∵DE垂直平分AB，∴BE=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．∴△BCE周长=BE＋EC＋BC=AE＋EC＋BC=AC＋BC=10＋8=18．点拨：这里是将△BCE的周长转化为等腰△ABC的腰和底，再由已知条件求得．例4、如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，且△BAD的周长为16cm，AE=7cm，求△ABC的周长．因为DE是AC的垂直平分线，所以EA=EC，DA=DC．又因为AE=7cm，所以AC＝2AE＝2×7=14(cm)．因为△BAD的周长为16cm，即AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝16cm，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC=16＋14=30(cm)．例5、直角ΔABC中,∠ACB=90°,∠A=15°，将顶点A翻折使它与顶点B重合，折痕为MH，已知AH=2，求BC的长．分析：折叠问题可以看成轴对称问题．由外角定理得到直角三角形中有30°角，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得．解：由于轴对称，得∠MA′H=∠A=15°，所以∠BHC=30°，BH=AH，又△BHC为直角三角形，因为直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以 BC=BH=×2=1．变式训练1.如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．2.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长．答案：1.（1）30°（2）27 2.1考点三：线段垂直平分线与证明题例6、如图，点D、E在△ABC的边BC上，BD=CE，AB=AC，求证：AD=AE．证明：过点A作AF⊥BC于F．∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF．∵BD=CE，∴BF-BD=CF-CE．∴DF=EF．∴AF是DE的垂直平分线．AD=AE．例7、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.分析：由线段的垂直平分线性质知联结AF，证线段二倍关系，通常考虑是否有直角三角形，且直角三角形中是否有30°角.证明：如图所示，联结AF，∵AB=AC，∠BAC=120°（已知），∴∠B=∠C==30°（等腰三角形性质）.又∵EF是AC的垂直平分线（已知），∴FA=FC（线段垂直平分线性质）.∴∠C=∠FAC=30°（等边对等角），∴∠BAF=∠BAC－∠FAC=120°－30°=90°（等式性质）.在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°(已证)，∴AF=BF（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.∴CF=BF（等量代换）.∴BF=2CF（等式性质）.例8、如图，△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于Q点，交BC于P点，PE ⊥AC于E点，AD⊥BC于D点，AD交PE于F点．求证：DF=DC．连接PA，则PA=PB，可求∠APD=45°，从而可得出AD=PD，再证△PDF ≌△ADC（ASA），即可得证.考点四：线段垂直平分线的实际应用例9、如图所示，牧童在A处放牛，他的家在B处，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，则饮水的地点选在何处，牧童所走的路最短？分析：本题A，B两点在河的同侧，直接确定牛饮水的位置并不容易，但若A，B在河的两侧就容易了．将A点转化到河流的另一侧，设为A′，直线是AA′的垂直平分线，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点到饮水处的距离都相等．当A′B最小时，饮水处到A，B的距离和最小．解：如图所示，点C即为所求．例10、在沪宁高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院址应同时满足两个条件：（1）在公路L上；（2）到A、B两厂的距离相等。

线段的垂直平分线和角平分线是八年级数学上学期第十九章第四节内容，主要对线段的垂直平分线和角平分线进行讲解，重点是线段的垂直平分线和角平分线定理的理解，难点是线段的垂直平分线和角平分线定理的运用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习直角三角形提供依据，另一方面也为后面学习勾股定理奠定基础．一、线段的垂直平分线的性质及逆定理1、线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等；注意：垂直平分线中的垂直是相互的，而平分则要看清楚到底是谁被平分．2、和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．线段的垂直平分线和角平分线知识结构模块一：线段的垂直平分线知识精讲内容分析【例1】 如图，14AB AC cm DE ==，垂直平分AB ，若BCD ∆的周长为24cm ，则BC =________cm ． 【难度】★ 【答案】10【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴BD AD =．∵BCD ∆的周长为24cm ，∴24=+=++=++AC CB AD CD CB BD CD CB ∵14AB AC cm ==，∴cm BC 10=．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例2】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，DE 垂直平分AB ，若40CBD ∠=°，则A ∠=___________度． 【难度】★ 【答案】25．【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴BD AD =，∴DBA A ∠=∠∵︒=∠+∠90CDB CBD ，︒=∠40CBD ，∴︒=∠50CDB 又∵A DBA A CBD ∠=∠+∠=∠2 ∴︒=∠25A ．【总结】本题主要考查直角三角形两锐角互余的性质以及线段垂直平分线的性质和三角形的外角性质．【例3】 如图，已知在ABC ∆中，DE 垂直平分AB 于点D ，交BC 于点E GF ，垂直平分AC于点G ，交BC 于点F ，若135BAC ∠=°，则EAF ∠=__________． 【难度】★ 【答案】45°．【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴BE AE =，∴EAB B ∠=∠．∵GF 垂直平分AC ，∴FC AF =，∴CAF C ∠=∠．∵︒=∠+∠+∠180BAC C B ，135BAC ∠=o ，∴︒=∠+∠45C B ．∴()()213524545EAF BAC BAE CAF BAC B C ∠=∠-∠+∠=∠-∠+∠=︒-⨯︒=︒． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．例题解析ABCD EABCD EADGFEB C【例4】 若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为_________三角形． 【难度】★ 【答案】直角．【解析】直角三角形三边中垂线的交点在斜边中点上． 【总结】本题主要考查三角形中垂线的交点的位置．【例5】 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=︒，DE 垂直平分AB 于点D ，交AC于点E ．求证：DE CE =． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】连接BE∵DE 垂直平分AB 于点D ， ∴EB AE =， ∴︒=∠=∠30ABE A∵︒=∠+∠90ABC A ，30A ∠=︒， ∴︒=∠60ABC ，∴︒=∠30EBC ．可证BCE BDE ≌△△()S A A ..，则CE DE =．【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例6】 已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD M ，为垂足，DE 交AC 于点F ．求证：E 在AF 的垂直平分线上． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵EM 垂直平分BD ，∴ED EB =，∴D B ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴︒=∠+∠90B A ，︒=∠+∠90DFC D ∴DFC A ∠=∠ ∵AFE DFC ∠=∠， ∴AFE A ∠=∠，∴EF AE = ∴E 在AF 的垂直平分线上．DEABC【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理以及逆定理的运用．BACON【例7】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在BC 延长线上，且BAE ACE ∠=∠．求证：点E 在AD 的垂直平分线上．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DAC BAD ∠=∠∵BAD DAE BAE ∠+∠=∠，DAC ADE ACE ∠+∠=∠，又BAE ACE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴ED EA =∴点E 在AD 的垂直平分线上．【总结】本题一方面考查三角形的外角性质，另一方面考查线段垂直平分线逆定理的运用．【例8】 已知：在ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=°，BD 平分B ∠交AC 于点D ．求证：点D 在AB 的垂直平分线上． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵︒=∠+∠90ABC A ，30A ∠=︒，∴︒=∠60ABC ，∵BD 平分B ∠，∴︒=∠30DBA ∴ABD A ∠=∠，∴BD AD = ∴点D 在AB 的垂直平分线上．【总结】本题一方面考查直角三角形的性质，另一方面考查线段垂直平分线逆定理的运用．【例9】 已知：在ABC V 中，ON 是AB 的垂直平分线, OA OC =．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵ON 是AB 的垂直平分线, ∴OB OA =∵OA OC =，∴OC OB = ∴点O 在线段BC 的垂直平分线．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理以及逆定理的运用．BCDEANMGFEDC BAG F EC BA【例10】 如图，在△ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD ．求证：AF = FG = BG ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴︒=∠=∠30DAB A ∵FM 垂直平分AD ， ∴DF AF =， ∴FDA A ∠=∠，∴︒=∠+∠=∠60ADF A DFE 同理可得：︒=∠60DGB ， ∴DFG △是等边三角形， ∴BG FG DF ==又∵DF AF =，BG DG =， ∴AF = FG = BG ．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例11】 如图，在△ABC 中，∠B =22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，DF ⊥AC ，并与BC 边上的高AE 交于点G ． 求证：EG = EC ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】∵边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，∴DA DB =，∴︒=∠=∠5.22B BAD ∴︒=∠+∠=∠45BAD B ADC ， ∴ADE △为等腰直角三角形， ∴AE DE =证得：()A S A ACE DGE ..≌△△， ∴EG = EC ．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．EDCBA【例12】 如图，已知：△ABC 中，AB = CB ，点D 在线段AC 上，且AB = AD ，∠ABC =108°，过点A 作AE ∥BC ，交∠ABD 的平分线于E ，联结CE ． 求证：BD 垂直平分EC ． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】连接ED∵AB = CB ，∠ABC =108°，∴︒=∠=∠36BCA BAC ∵AB = AD ，∴︒=∠=∠72ADB ABD ， ∴︒=︒-︒=∠3672108DBC∵BE 平分ABD ∠，∴︒=∠=∠36EBD ABE ∵AE ∥BC ，∴︒=︒-︒=∠72108180BAE ， ∴BEA BAE ∠=∠，∴BE BA = 又∵AB = CB ，∴BC BE =证得：()S A S BCD BED ..≌△△，∴CD DE =∵BE BA =，CD DE =，∴ BD 垂直平分EC ．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．二、 角平分线的性质定理和角平分线的性质定理的逆定理1、 角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．2、 在一个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上注意：角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点的集合．知识精讲模块二：角平分线PEDCBA654321DCBA【例13】 已知：如图，点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（ ）．A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③【难度】★ 【答案】A【解析】根据角平分线的逆定理可得出上述结论．【例14】 如图，AB = AD ，∠ABC =∠ADC = 90°，则下列结论：①∠3=∠4，②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC 垂直且平分BD ，其中正确的有（ ）．A ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．①③④【难度】★ 【答案】D【解析】可证ADC ABC ≌△△．【总结】本题主要是根据题目中的条件得到全等三角形，从而推出 相应的结论．【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D BE ，是ABC ∠的平分线，BE 与CD交于F ． 求证：CE CF =． 【难度】★ 【答案】见解析【解析】∵︒=∠+∠90ACD A ，︒=∠+∠90DCB ACD∴BCD A ∠=∠∵BE 是ABC ∠的平分线， ∴CBE ABE ∠=∠ ∵ABE A CEB ∠+∠=∠，CBE DCB CFE ∠+∠=∠ ∴CFE CEB ∠=∠，∴CE CF =【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及角平分线的意义．例题解析C DEF AB【例16】 已知，如图，在ABC ∆中，B ∠的平分线与C ∠相邻的外角的平分线交于点//D DE BC ，．求证：EF BE CF =-． 【难度】★ 【答案】见解析【解析】∵BD 平分ABC ∠，∴DBC ABD ∠=∠∵BC DE ∥，∴DBC EDB ∠=∠ ∴ABD EDB ∠=∠，∴ED BE = 可证：CF DF =∴CF BE FD ED EF -=-=【总结】本题主要考查平行线+角平分线可以得到等腰三角形这个基本模型的运用．【例17】 如图，//AD BC AC ，平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，交AC 于点F ．求证：点F 到EA EC 、的距离相等．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】∵AC 平分BAD ∠，∴DAC BAC ∠=∠∵BC AD ∥，∴DAC ACB ∠=∠ ∴BAC ACB ∠=∠，∴BC AB =证得：()S A S CBE BAE ..≌△△，∴CEB AEB ∠=∠ ∴点F 到EA EC 、的距离相等．【总结】本题主要考查角平分线的意义和逆定理的运用．【例18】 如图，90B C ∠=∠=°，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．求证：AM 平分DAB ∠． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过M 作MN ⊥AD ，垂足为N∵DM 平分ADC ∠，∴CM MN =∵M 是BC 的中点，∴MB CM =，∴MB MN = ∴AM 平分DAB ∠．【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．AEDBFC AFBDE CCMADBFG EBP ON C DM A 【例19】 已知：如图，//AD OB OC ，平分AOB P ∠，是OC 上一点，过点P 作直线MN ，分别交AD OB 、于点M 和N ，且MP NP =． 求证：点P 到AO 和AD 的距离相等． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ，PG ⊥AD 于点G ． ∵OC 平分AOB ∠，∴PF PE =可证得：()S A A PGM PEN ..≌△△，则PG PE =，∴PG PF = ∴点P 到AO 和AD 的距离相等．【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．【例20】 如图，AD 为ABC ∆的角平分线，//DE AC ，交AB 于E ，过E 作AD 的垂线交BC延长线于F ． 求证：B FAC ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵AD 为ABC ∆的角平分线，∴DAC BAD ∠=∠∵//DE AC ，∴DAC EDA ∠=∠ ∴EDA BAD ∠=∠，∴AE DE = ∵AD EF ⊥，∴EF 垂直平分AD ， ∴FD FA =，∴FDA FAD ∠=∠∵DAC FAC FAD ∠+∠=∠，BAD B FDA ∠+∠=∠ ∴B FAC ∠=∠．【总结】本题主要考查线段垂直平分性质定理及平行线+角平分线可以得到等腰三角形这个基本模型的运用．【例21】 已知：如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=°，D 为BC 的中点，且DE AB ⊥，垂足为点E ，过点B 作//BF AC 交DE 的延长线于点F ，联结CF ． （1）求证：AD CF ⊥；（2）联结AF ，试判断ACF ∆的形状，并说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．ABCD EFABCDEF【解析】（1）∵ABC △为等腰直角三角形，∴︒=∠=∠45CBA CAB ∵//BF AC ，∴︒=∠45ABF证得：FBE DBE ≌△△，则可得DB BF = ∵D 为BC 的中点，∴DB CD =，∴BF CD = 证得：()S A S BCF CAD ..≌△△，∴BCF CAD ∠=∠∵︒=∠+∠90ACF BCF ，∴︒=∠+∠90ACF CAD ，∴AD CF ⊥； （2）等腰三角形．由（1）可得：AF AD =，CF AD =，∴CF AF = ∴ACF △是等腰三角形．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质，本题（1）中的全等是一个基本模型，要注意理解，在后期证明中也会经常用到．【例22】 如图，AP BP 、分别平分MAB ∠和NBA ∠，PC PD 、分别垂直于AM BN 、，如果123AC cm CP cm BD cm ===，，，那么PD =_______，AB = _________．【难度】★★★ 【答案】2cm ，4cm ．【解析】过P 作PE ⊥AB 于E ．∵AP BP 、分别平分MAB ∠和NBA ∠ ∴2===PD PE PC可证：()S A A PEA PCA ..≌△△，()S A A PDB PEB ..≌△△ 则CE AC =，BE BD = ∴431=+=+=EB AE AB【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．PBCAMNDGFE DCBA【例23】 如图，ABC ∆中，90C ∠=°，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D E F 、、分别为垂足，且1086AB BC CA ===，，，则点O到三边AB AC 、和BC 的距离分别为_______． 【难度】★★★ 【答案】2． 【解析】∵24862121=⨯⨯=⋅⋅=BC AC S ABC △ ∴ABC ABO OBC AOC S S S S =++△△△△111108624222OF OD OE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∵点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点， ∴OF OE OD == ∴2=OD【总结】本题一方面考查角平分线的性质定理，另一方面考查等积法的运用．【例24】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =，AD 是BC 边上的中线，过C 作CF AD ⊥，E 为垂足，延长CE 交AB 于F ．求证：ADC BDF ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】过B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ．证得：()A S A BCG CAD ..≌△△， ∴BG CD =，G ADC ∠=∠ ∵D 为BC 的中点， ∴DB CD =，∴BG BD =证得：()S A S GBF DBF ..≌△△，则可得G BDF ∠=∠ ∴ADC BDF ∠=∠【总结】本题一方面考查直角三角形的性质，另一方面考查全等的基本模型．AOBEDFCGFEDC BAEQ PDCBA【例25】 如图，已知正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AE DC CE =+．求证：AF 平分DAE ∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】连接EF 交AD 的延长线于G ．可证得：()A S A ECF GDF ..≌△△，则DG CE =，FG EF = ∵BC AD =，AE DC CE =+ ∴AE AG =可证得：()S S S AGF AEF ..≌△△， ∴GAF EAF ∠=∠ 即AF 平分DAE ∠．【总结】本题主要考查利用中线倍长构造全等，总而证明角平分线的成立．【例26】 已知：如图，正方形ABCD 的边长为1，AB AD 、上各有一点P Q 、，若APQ ∆的周长为2．求PCQ ∠的度数． 【难度】★★★ 【答案】45°．【解析】∵APQ ∆的周长为2，∴2=++PQ AP AQ ．∵正方形ABCD 的边长为1，∴2=+++PB AP AD AQ ∴BP DQ PQ +=． 延长PB 至E ，使得BE =DQ可证：()S A S CBE CDQ ..≌△△，则CE CQ =，BCE DCQ ∠=∠∵BP DQ PQ +=，DQ BE =，∴EP PQ = 可证：()S S S CPE CPQ ..≌△△，∴PCE QCP ∠=∠ ∵︒=∠+∠90BCQ DCQ ，BCE DCQ ∠=∠， ∴︒=∠+∠90BCQ BCE ，即︒=∠90QCE 又∵︒=∠+∠90PCE QCP ，PCE QCP ∠=∠ ∴︒=∠45PCQ【总结】本题综合性较强，主要考查了全等的运用，以及截长补短辅助线的添加，最终目的是构造全等，在解题时要注意认真分析．随堂检测【习题1】已知AC = AD，BC = BD，则（）．A．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．以上结论均不对【难度】★【答案】B【解析】∵AC = AD，∴A在线段CD的垂直平分线上∵BC = BD，∴B在线段CD的垂直平分线上∴AB是线段CD的垂直平分线上．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理及逆定理的运用．【习题2】如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【难度】★【答案】C【解析】直角三角形三条边的中垂线的交点在斜边中点上，锐角三角形三条边的中垂线的交点在三角形内部，钝角三角形三条边的中垂线的交点在三角形外部．【总结】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点位置．【习题3】△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 c m，BC=4cm，那么△DBC 的周长是（）．A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 【难度】★【答案】D【解析】∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DBDA=，∴△DBC的周长是9DCDABCDCDB．ACBC=+==++++BC【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理的运用．【习题4】 BD 为CE 的中垂线，A 在CB 延长线上，34C ∠=°，则ABE ∠=_________． 【难度】★ 【答案】68°【解析】∵BD 为CE 的中垂线，∴BE BC =，∴E C ∠=∠ ∴︒=∠+∠=∠68E C ABE ．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理的运用．【习题5】 ABC ∆的边长AC BC 、的中垂线交AB 于一点O ，且OC BC =，则A∠=________． 【难度】★★ 【答案】30°【解析】∵ABC ∆的边长AC BC 、的中垂线交AB 于一点O ，∴OC OB OA ==∴OCB B ∠=∠，ACO A ∠=∠ ∵︒=∠+∠+∠+∠180ACO A OCB B ∴︒=∠+∠90OCB ACO ，即︒=∠90ACB ∵OC BC =∴OBC △为等边三角形，∴︒=∠60B ∵︒=∠+∠90A B ，∴︒=∠30A ．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及等边三角形的性质．【习题6】 △ABC 中，AB = AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB = 2BC ，则腰长为___________． 【难度】★★【答案】cm 340．【解析】∵AC 的中垂线交AB 于E ，∴EC AE =∵△EBC 的周长为20cm ，∴20=+=++BC AB EC BC EB∵AB = 2BC ，∴340=AB【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及等腰三角形的性质．EODCBA【习题7】 如图所示，AB //CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =2， 则AB 与CD 之间的距离等于___________． 【难度】★★ 【答案】4【解析】过O 作OF ⊥AB 于F ，OG ⊥CD 于G∵O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，∴2===OG OF OE ， ∵AB //CD ， ∴F 、O 、G 三点共线，∴4=FG ． 【总结】本题主要考查角平分线性质以及平行线的性质．【习题8】 ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE DF 、分别垂直于AB AC 、，垂足分别为E F 、，如果48ABC S ∆=，79AC AB ==，，则DF =______________． 【难度】★★ 【答案】6【解析】∵AD 平分BAC ∠，∴DF DE =∵487219212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅=+=DF DE DF AC DE AB S S S ADC ABD ABC △△△∴6=DF【总结】本题主要考查角平分线性质以及等积法的运用．【习题9】 已知：点A 和点D 都是线段BC 外一点，且AB = AC ，DB = DC ，E 是AD 上一点．求证：BE = CE ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】∵AB = AC ，∴A 在线段BC 的垂直平分线上，∵DB = DC ，∴D 在BC 的垂直平分线上， ∴AD 是BC 的垂直平分线 ∵E 是AD 上一点 ∴BE = CE【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的运用．MNABC 【习题10】 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=°，MN 是AB 的垂直平分线．求证：12CM AM =．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵MN 是AB 的垂直平分线，∴︒=∠=∠30MBA A∵90C ∠=°，30A ∠=°，∴︒=∠60CBA ，∴︒=︒-︒=∠303060CBM ， ∴NBM CBM ∠=∠，∴MN CM =． 在直角△AMN 中，︒=∠30A ，则AM MN 21=，∴AM CM 21=． 【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及直角三角形的性质．【习题11】 已知：如图，ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC BD ==，ED BC ⊥．求证：AE DE DC ==． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】连接BE可证：()L H BDE BAE .≌△△，∴DE AE = ∵90A ∠=°，AB AC =， ∴︒=∠45C ∵ED BC ⊥∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC DE = ∴AE DE DC ==【总结】本题一方面考查了直角三角形全等的判定方法，另一方面考查了等腰直角三角形的性质，由于部分学生还未学过（H ．L ）的判定定理，因此可选择性的讲解．BEACD【习题12】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，EF 垂直平分BD 交CA 延长线于E ．求证：EAB EBC ∠=∠． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】∵EF 垂直平分BD∴ED EB = ∴EDB EBD ∠=∠ ∵BD 平分ABC ∠， ∴ABD DBC ∠=∠∵ABD EDB EAB ∠+∠=∠，DBC EBD EBC +∠=∠ ∴EAB EBC ∠=∠【总结】本题一方面考查线段垂直平分线的性质定理，另一方面考查三角形外角性质的运用．【作业1】 下列命题中正确的命题有（ ）．①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且P A =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】A 【解析】①对．【总结】本题主要考查对线段垂直平分线性质定理及其逆定理的理解及运用．课后作业AB CDF【作业2】 等腰三角形的底角为35︒，两腰垂直平分线交于点P ，则（ ）．A 、点P 在三角形内B 、点P 在三角形底边上C 、点P 在三角形外D 、点P 的位置与三角形的边长有关 【难度】★ 【答案】C【解析】等腰三角形的底角为35︒，顶角为110°，则此三角形为钝角三角形，则三边中垂线 的交点在三角形外．【总结】本题主要考查三角形线段垂直平分线交点的位置．【作业3】 ABC ∆中，14AB AC ==，腰AB 的中垂线交AC 于D ，BCD ∆周长为19，则BC =______________． 【难度】★ 【答案】5【解析】∵腰AB 的中垂线交AC 于D ，∴DB DA =∵BCD ∆周长为19，∴19=+=++=++AC BC DA CD BC BD CD BC ∵14AB AC ==，∴5=BC【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及等腰三角形的性质．【作业4】 正ABC ∆内一点O 到三边距离相等，则BOC ∠=___________度． 【难度】★ 【答案】120°【解析】到三角形三边距离相等的点是三个内角角平分线的交点． 【总结】本题主要考查角平分线性质定理的运用．【作业5】 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，如果14DC cm AB cm ==，，那么ABD S ∆=___________．【难度】★★ 【答案】2【解析】∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=°， ∴1==DE CD ，∴2142121=⨯⨯=⋅⋅=DE AB S ABD △．【总结】本题主要考查角平分线性质定理的运用．D BACE【作业6】 如图，已知ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，5AC =，ABD ∆的周长为13，求ABC ∆的周长． 【难度】★★ 【答案】18【解析】∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DC AD =∵ABD ∆的周长为13，∴13=++AD BD AB ∴ABC ∆的周长为：AB AC BC AB AC BD DC AB AC BD AD ++=+++=+++13518=+=．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理的运用．【作业7】 如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 上，且DB AD BC +=．求证：点D 在AC 的垂直平分线上． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】∵DB AD BC +=，BC DC DB =+∴DC AD =∴点D 在AC 的垂直平分线上． 【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理逆定理的运用，证明点在线段垂直平分线上．【作业8】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=°，AC 的垂直平分线DE 交BC 于D E，为垂足，且18BC cm =，求DE 的长． 【难度】★★ 【答案】3cm【解析】∵AB AC =，120BAC ∠=°，∴︒=∠=∠30C B∵AC 的垂直平分线DE 交BC 于D∴DC AD =，︒=∠=∠30CAD C ，∴︒=︒-︒=∠9030120BAD在直角△BAD 中，︒=∠30B ，则BD AD 21=∴182=+=+=DC DC DC BD BC ，∴6=DC在直角△CED 中，︒=∠30C ， 则321==DC DE ．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理及其直角三角形性质的运用．ABCEDABC D ADBEC21 / 21 E D CB A 【作业9】 如图，正方形ABCD 的边长为1，AE 是CAB ∠的平分线，交BC 于点E ，则点E到AC 的距离为___________．【难度】★★★【答案】12-．【解析】过E 作EF ⊥AC ，垂足为F可得：△CEF 为等腰直角三角形，则由勾股定理可得：EF CE 2=∵AE 是CAB ∠的平分线，EF ⊥AC ，90B ∠=o∴BE EF =又∵1=+EB CE∴12=+EF EF∴12-=EF【总结】本题综合性较强，主要考查了角平分线的性质以及正方形的性质，还运用勾股定理计算线段长．【作业10】 如图，已知ABC ∆中，点E 是AB 延长线上的一点，AE AC AD =，平分BAC ∠，BD = BE ．求证：2ABC C ∠=∠．【难度】★★★【答案】见解析【解析】由题意，易得：()S A S ACD AED ..≌△△则：C E ∠=∠∵BD = BE ，∴BDE E ∠=∠∴C E DBE E ABC ∠=∠=∠+∠=∠22 【总结】本题主要考查等边对等角以及三角形外角性质的运用，解题时注意分析，当看到证明一个角是另一个角的两倍时，通常都考虑采用外角性质证明．A B C D E。

线段的垂直平分线，角平分线课前测试【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是度．【答案】44【解析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因为∠B=70°⇒∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BAD，由此可求得角度数．解：设∠BAD为x，则∠BAC=3x，∵DE是AC的垂直平分线，∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，根据题意得：180°﹣（x+70°）=2x+2x，解得x=22°，∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．故填44°．本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．考生需要注意的是角的比例关系的设法，应用列方程求解是正确解答本题的关键．【难度】3【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．【答案】20cm．【解析】过点D作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM．解：如图，过点D作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为：20cm．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是线段的垂直平分线和角平分线。

了解，掌握线段的垂直平分线的做法和性质以及角平分线的定义，性质。

能熟练的利用线段的垂直平分线和角平分线来做题适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握线段的垂直平分线以及角平分线的性质重点选讲：①线段的垂直平分线性质的几何应用②角平分线性质的几何应用③线段的垂直平分线和角平分线性质的解答题应用知识梳理知识梳理1：线段的垂直平分线线段的垂直平分线：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段上的两个端点的距离相等。

第三讲线段的垂直平分线、角平分线【知识清单】一、线段的垂直平分线的性质1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个的距离 .二、线段的垂直平分线的判定定理2.到一条线段两个距离的点，在这条线段的垂直平分线上.三、三角形三边垂直平分线的性质定理3.三角形三条边的垂直平分线相交于点，并且这点到的距离相等.四、角平分线的性质定理4.角平分线上的点到这个角的两边的距离 .五、平角分线的判定定理5.在一个角的内部，且到角的两边距离的点，在这个角的平分线上.六、三角形的三条角平分线的性质定理6.三角形的三条角平分线相交于点，并且这点到的距离相等.【例题解析】例1.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A,B到它的距离之和最小？小聪根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0,3），B点的坐标为（6,5）则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 .例2.如图，在△ABC中，AD是高，点E在线段BC的垂直平分线上，连接BE，交AD于点F.求证：点E在线段AF的垂直平分线上.，求证：OB=OC. 例3.如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC例4.如图，90=∠=∠C B ，点M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠。

求证：AM 平分DAB ∠.例5.已知：如图，△ABC 中，90=∠C ，点O 位△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB=10cm ，BC=8cm ，CA=6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离分别是多少？【课堂练习】1.如图，在AOB ∠的内部有一点P ，它关于OA ，OB 的对称点分别为C ，D 两点.连接CD ，交OA 于点M ，交OB 于点N.若△PMN 的周长为cm 13，则CD 的长为 cm .2.如图，在Rt △ABC 中， 90=∠B ，cm AB 3=，cm AC 5=，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于 cm .3.如图，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，AB=10，AC=8，△ABC 的面积为36，1题2题3题则DE 的长为 .4.如图所示，ABC ∆是等边三角形，点P 是ABC ∠的平分线BD 上的一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q 。

八年级上册角平分线知识点在初中数学学习中，角平分线是一个非常重要的知识点。

作为中学数学的一大难题，它在考试中也是常备不离的。

本文将为大家介绍有关八年级上册角平分线的知识点，以助大家更好地掌握这一部分内容。

一、定义角平分线，即是一个角内部的一条线段，将角分成两个相等的部分，使得这两个部分的夹角相等。

另一种定义是指，从一个角的顶点引一条射线，将原角分成两个度数相等的角。

二、定理1. 垂直平分线定理角的平分线同时也是角的垂直平分线，反之亦然。

如图所示，线段BD是角ABC的平分线，同时也是角ABC的垂直平分线。

2. 外角平分线定理外角平分线分外角成两个相等的角。

如图所示，角ABC的外角DEB的外角平分线DF分成两个相等的角。

3. 角平分线定理如果一条直线穿过一个三角形的一个角，且使这个角被分成两个相等的角，那么这条直线是该角的角平分线。

如下图所示，线段BD是角ABC的平分线，使角ABC分成了∠ABD和∠CBD两部分，两部分的角度相等。

三、应用知识点掌握后，需要通过大量的练习加深理解。

以下是几个衍生应用的例子。

1. 平分线相交定理：如图所示，设∠AOB的角平分线交线段CD于点E，则E为CD线段的中点。

2. 根据角平分线定理或外角平分线定理求角度大小。

3. 根据角平分线定理或外角平分线定理求线段长度。

四、注意事项1. 在使用角平分线定理时，要注意仔细观察所给出的角度是否已经准确好了。

2. 在求解方面时，一定要格外小心，多使用相应的公式，同时加强练习。

总之，八年级上册角平分线知识点是数学学习的一个重点领域，需要加强理论学习，加强应用实践，全面提高自己在数学方面的应试能力。

基本内容 线段的垂直平分线及角的平分线知识精要一、线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、角的平分线1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、角平分线逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、角平分线可以看作是在这个角内部（包括顶点）到角两边的距离相等的点的集合 提问：在使用角平分线的性质定理及其逆定理时，应注意哪些方面？ 回答：必须有两个垂直的条件，若缺少垂直条件时，可考虑添加辅助线；热身练习1、如图，在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D,且DC=AC,求△ABC 各角的大小.解：108,36A B C ∠=︒∠=∠=︒；2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CF证明：因为AB=AC ，AD 是中线 所以BD=DC ，∠B=∠C ，AD 是角平分线， 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC 所以DE=DF所以BDE CDF ∆≅∆ 所以BE=FC3、如图△ABC 的外角平分线∠DBC 、∠ECB 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠A 的平分线上ADCAB CDEF证明：过F 作AE 的垂线交于点M ，作AD 的垂 线交于点N ，作BC 的垂线交于点O 因为CF 是∠ECB 平分线，所以MF=FO因为FB 是∠DBC 平分线，所以NF=FO 所以MF=NF ，又因为MF 垂直AE ，NF 垂直AD 所以AF 是∠A 的平分线4、 如图，过△ABC 的边BC 的中点M ，作直线平行于∠A 的平分线AA ′，而交直线AB 于E 、F ，求证：CF=1/2(AB+AC)证明：延长FM 到点G ，使FM=MG ，连接BG ∵M 为BC 的中点 ∴BMG CMF ∆≅∆ ∴BG=CF 又∵AA’平分∠BAC 且EM// AA’∴''E BAA A AF AFE CFG G ∠=∠=∠=∠=∠=∠ ∴AE=AF ，BE=BG=CF ∵BE=AB+AE,CF=AC-AF ∴AB+AC=BE+CF=2CF ∴CF=1/2(AB+AC)5、如图，求作点P ，使P 到C 、D 的距离相等，同时到角两边的距离也相等 解：先作线段DC 的垂直平分线，再作∠A 的平分线， 两直线所交的点即为点P精解名题ABCDEF例1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的中垂线， 求证：（1）∠EAD=∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC=∠B证明：（1）因为EF 是AD 的中垂线所以AE=DE ，所以∠EAD=∠EDA （2）因为EF 是 AD 的中垂线，所以FA=FD 所以∠FAD=∠FDA 又因为AD 是角平分线，所以∠FAD=∠DAC所以∠FDA=∠DAC ，所以DF ∥AC （3）因为∠EDA=∠B+∠BAD ；∠EAD=∠EAC+∠DAC又因为∠EAD=∠EDA ，∠BAD=∠DAC ；所以∠B=∠EAC ；例2、AP 、BP 分别平分∠DAB 、∠CBA,PM ⊥AD 于点M,PN ⊥BC 于点N, 求证：点P 在线段MN 的垂直平分线上. 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，连接MN∵AP 平分∠DAB ∴PM=PE ∵BP 平分∠CBA ∴PE=PN ∴PM=PN∴点P 在线段MN 的垂直平分线上例3、如图, 在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ，EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC 。