学而思奥数2016秋季班提高班第5讲讲义

目录第一讲加减法的巧算（一） (2)第二讲加减法的巧算（二） (7)第三讲乘法的巧算 (12)第四讲配对求和 (16)第五讲找简单的数列规律 (17)第六讲图形的排列规律 (19)第七讲数图形 (23)第八讲分类枚举 (26)能力测试（一） (26)第九讲填符号组算式 (28)第十讲填数游戏 (31)第十一讲算式谜（一） (35)第十二讲算式谜（二） (37)第十三讲火柴棒游戏（一） (39)第十四讲火柴棒游戏（二） (40)第十五讲从数量的变化中找规律 (45)第十六讲数阵中的规律 (45)第17讲时间与日期……………第18讲推理……………能力测试（二） (63)第19讲循环………………第20讲最大和最小…………………………第21讲最短路线…………………………第22讲图形的分与合…………………第23讲格点与面积……………………第24讲一笔画………………………阶段测试（三）……………………第25讲移多补少与求平均数………………第26讲上楼梯与植树………………第27讲简单的倍数问题……………………第28讲年龄问题……………………………第29讲鸡兔同笼问题……………………第30讲盈亏问题…………………第31讲还原问题……………………第32讲周长的计算……………………第33讲等量代换……………………第34讲一题多解……………………能力测试（四）………………………………第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 18262 13581333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少【分析与解】方法一：1118x68114x112x7111+11148x62+214x1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有11131118821x4+==+++，所以18222133x4+==++；所以13x42+=，那么x=．5．求944,43,443,...,44 (43)个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44 (43)++个=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44 (49)++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个=1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个=914111.1009=49382715919⨯-个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=；再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=；再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．所以，这10个数的和为91．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○=○=．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：△=△=．请计算：23155 (0.625)(0.4)33384 1235(0.3)( 2.25) 3104⨯+【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1【分析与解】因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如．那么在所有这种数中。

二年级超常班第五讲爱扎堆的七宝【例1】用①号和⑦号拼出下面的图形，动手试一试，并在下面拼好的图中找到①号，给它涂上颜色．（用阴影表示）【分析】“想一想”：在脑海中进行空间想象，想象哪块应该放在哪里．“试一试”：如果能想象出来，可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．我们已经学习了“知道位置两拼”和“知道粘贴面两拼”，本活动是知道拼好的样子去两拼，和前面的方法一样，可以先将其中的一个摆在桌子上，比如先将⑦号放在桌子上，再将①号和⑦号拼在一起，观察拼成的图形是什么样子，是否和题中所给图形相同，或者拼好的图形经过旋转、翻转以后，是否和题中所给图形相同．“记一记”：把我们尝试出来的结果记录下来，并总结方法．可以利用“找图形法”帮助分析图形，在题目所给的图形中，找到①号，标注出来，如果①号在上面一层，那么剩下的不可能是⑦号；如果①号在下面一层，那么剩下的可能是⑦号；如果①号在左面一层，那么剩下的可能是⑦号；如果①号在右面一层，那么剩下的不可能是⑦号；如果①号在前面一层，那么剩下的不可能是⑦号；如果①号在后面一层，那么剩下的可能是⑦号．再在所有可能的情况里确定①号和⑦号的具体位置，将①号画出来．要求学生至少能找到一种可能，并画出来，程度好的班，可以要求学生找出尽可能多的情况．通过尝试，答案如下：【例2】用①号和⑥号拼出下面的图形，动手试一试，并在下面拼好的图中找到①号，给它涂上颜色．（用阴影表示）【分析】用①号和⑥号拼出下面的图形，动手试一试，并在下面拼好的图中找到①号，给它涂上颜色．（用阴影表示）“想一想”：在脑海中进行空间想象，想象哪块应该放在哪里．“试一试”：如果能想象出来，可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．我们已经学习了“知道位置两拼”和“知道粘贴面两拼”，本例题是知道拼好的样子去两拼，和前面的方法一样，可以先将其中的一个摆在桌子上，比如先将⑥号放在桌子上，再将①号和⑥号拼在一起，观察拼成的图形是什么样子，是否和题中所给图形相同，或者拼好的图形经过旋转、翻转以后，是否和题中所给图形相同．“记一记”：把我们尝试出来的结果记录下来，并总结方法．可以利用“找图形法”帮助分析图形，在题目所给的图形中，找到①号，标注出来，如果①号在上面一层，那么剩下的不可能是⑥号；如果①号在下面一层，那么剩下的可能是⑥号；如果①号在左面一层，那么剩下的不可能是⑥号；如果①号在右面一层，那么剩下的可能是⑥号；如果①号在前面一层，那么剩下的不可能是⑥号；如果①号在后面一层，那么剩下的可能是⑥号．再在所有可能的情况里确定①号和⑥号的具体位置，将①号画出来．要求学生至少能找到一种可能，并画出来，程度好的班，可以要求学生找出尽可能多的情况．通过尝试，答案如下：（答案不唯一）【例3】①号和③号拼在一起会变成什么样的图形呢？请你动手试一试．下面的A、B、C、D 都是由①号和③号拼成的，请你把它们的①号都涂上颜色．（用阴影表示）【分析】“想一想”：在脑海中进行空间想象，想象①号和③号拼在一起，会变成什么样子．“试一试”：如果能想象出来，可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．和前面的方法一样，可以先将其中的一个摆在桌子上，比如先将③号放在桌子上，再将①号和③号拼在一起，观察拼成的图形是什么样子，是否和选项中所给图形相同，或者拼好的图形经过旋转、翻转以后，是否和选项中所给图形相同．“记一记”：把我们尝试出来的结果记录下来，并总结方法．可以利用“找图形法”帮助排除选项，在选项中，找到③号，本题可以从和①号相比特殊的③号入手，③号要在能放下3块的地方，那么A选项中，③号可以在右面横着，剩下的部分正好是①号，A选项正确，在选项中画出①号；B选项中，③号可以在下面横着，剩下的部分正好是①号，B选项正确，在选项中画出①号；C选项中，③号可以在前面横着，剩下的部分正好是①号，C选项正确，在选项中画出①号；D选项中，③号可以在后面横着，剩下的部分正好是①号，D选项正确，在选项中画出①号．要求学生至少可以判断出选项是否符合题意，程度好的班，可以要求学生自己动手操作，尽量多的拼出和选项不同的情况．通过尝试，答案如下：（答案不唯一）【例4】④号和⑦号拼在一起会变成什么样的图形呢？请你动手试一试．下面的A、B、C、D都是由④号和⑦号拼成的，请你把它们的④号都涂上颜色．（用阴影表示）【分析】“想一想”：在脑海中进行空间想象，想象⑦号和④号拼在一起，会变成什么样子．“试一试”：如果能想象出来，可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．和前面的方法一样，可以先将其中的一个摆在桌子上，比如先将④号放在桌子上，再将⑦号和④号拼在一起，观察拼成的图形是什么样子，是否和选项中所给图形相同，或者拼好的图形经过旋转、翻转以后，是否和选项中所给图形相同．“记一记”：把我们尝试出来的结果记录下来，并总结方法．可以利用“找图形法”帮助排除选项，在选项中，找到④号，本题可以从和⑦号相比特殊的④号入手，④号要在能放下3块的地方，那么A选项中，④号可以在后面横着，剩下的部分正好是⑦号，A选项正确，在选项中画出④号；B选项中，④号可以在后面竖着，剩下的部分正好是⑦号，B选项正确，在选项中画出④号；C选项中，④号可以在后面竖着，剩下的部分正好是⑦号，C选项正确，在选项中画出④号；D选项中，④号可以在后面横着，剩下的部分正好是⑦号，D选项正确，在选项中画出④号．要求学生至少可以判断出选项是否符合题意，程度好的班，可以要求学生自己动手操作，尽量多的拼出和选项不同的情况．通过尝试，答案如下：（答案不唯一）【例5】用③号、⑤号和⑦号拼出下面的床，动手试一试，并在下面拼好的床中找到⑦号，给它涂上颜色．（用阴影表示）【分析】“想一想”：在脑海中进行空间想象，想象哪块应该放在哪里．⑤号和⑦号无论从哪个方向都是两层，只有③号可以平铺在一层，而床头是两层，床板是一层，可以推测③号平铺在床板上，⑤号和⑦号拼出床头．“试一试”：如果能想象出来，可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．可以先将其中的一个摆在桌子上，比如先将③号放在桌子上，再将⑤号和⑦号拼在一起，观察拼成的图形是什么样子，是否和题中所给图形相同，或者拼好的图形经过旋转、翻转以后，是否和题中所给图形相同．“记一记”：把我们尝试出来的结果记录下来，并总结方法．可以利用“找图形法”帮助从结果入手分析图形，在题目所给的图形中，找到⑤号和⑦号，本题中⑤号和⑦号比较特殊，它们不能平铺在一层，总要高出一块，那么可以知道⑤号和⑦号要拼出床头，剩下的用③号补充完整．要求学生一定要动手操作．通过尝试，答案如下：【超常挑战】1.用①号、②号、③号和④号拼出下面的墙角，动手试一试，并在下面拼好的墙角中找到②号，给它涂上颜色．（用阴影表示）2.用②号、④号、⑤号和⑦号拼出下面的楼梯，动手试一试，并在下面拼好的楼梯中找到⑦号，给它涂上颜色．（用阴影表示）3.用①号、②号、④号和⑤号拼出下面的坦克，动手试一试，并在下面拼好的坦克中找到④号，给它涂上颜色．（用阴影表示）4.有3个和图1相同的图形．把3个图形组合到一起，可以组成各种形状．从①到⑥的6个图形中，找出能够用3个图1的图形组合起来构成的图形，并用○表示，不能组成的，请用×表示．（2009年第1届日本算术奥林匹克预赛试题）【分析】1.用①号、②号、③号和④号拼出下面的墙角，动手试一试，并在下面拼好的墙角中找到②号，给它涂上颜色．（用阴影表示）答案如下：（答案不唯一）2.“想一想”：在脑海中进行空间想象，想象哪块应该放在哪里．“试一试”：如果能想象出来，可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．可以先将其中的一个摆在桌子上，比如先将②号放在桌子上，再将④号、⑤号和⑦号拼在一起，观察拼成的图形是什么样子，是否和题中所给图形相同，或者拼好的图形经过旋转、翻转以后，是否和题中所给图形相同．“记一记”：把我们尝试出来的结果记录下来，并总结方法．可以利用“找图形法”帮助从结果入手分析图形，可以从楼梯的顶端开始拼，能放在顶端的只有④号或⑦号，如果将⑦号放在顶端，那么剩下的三块不能拼出剩下的楼梯．那么顶端就是④号竖着放，剩下的用②号、⑤号和⑦号补充完整．要求学生一定要动手操作．通过尝试，答案如下：3.答案如下：（答案不唯一）4.①○；②○；③○；④×；⑤×；⑥×．显而易见，①、②、③都可以分成3个图1的图形，④、⑤、⑥最多可以分出两个图1的图形．在④中，面前的两个小正方体都只能和中间的小正方体组合，所以不行；在⑤中，高出去的两个小正方体无法组成图①的图形，所以不行；在⑥中，最左和最右的两个小正方体都只有一种组合方法，这样剩下中间一列三个小正方体，所以不行．。

第五讲：多笔画一、基本功（一笔画的相关概念）1、 一笔画要求： 在一个平面内 ⑴笔不离开纸；⑵每条线只画一次，不重复。

2、 奇点：与奇数条线连接的点3、 偶点：与偶数条线连接的点注意：（1） 在数“与点连接的线”的多少时我们可记为“从该点出发的线”，这样不容易出错。

如下图中从A 点出发的线应该是2条，A 是偶点。

（2）与点连接的线可以是直线，可以是曲线。

如下图从B 点出发的是3条线，B是奇点。

二、一笔画判断前提：必须是连通图奇点数≦2（奇点一定是成对出现的，即不会出现3个奇点的情况）（1） 奇点数=0，即没有奇点。

特点：可以图形中的任意点出发，最后还是回到这个点；（哪点进，哪点出）（2） 奇点数=2。

特点：必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

（一个奇点进，另一奇点出）例 判断下列各图能否一笔画出。

解析：图a 不是连通图，不能一笔画；图b 有4个奇点，不能一笔画； 图c 有6个奇点，不能一笔画；图d 有2个奇点，能一笔画 图e 没有奇点，能一笔画。

图a图b图c图d图e三、多笔画概念：不能一笔画的点线图，即为多笔画。

最少笔画数： 奇点个数÷2例1 看图填写下表解析：图 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 奇点数 4 4 6 6 88 笔画数 2 2 3 3 4 4四、多笔画转化为一笔画宗旨：减少奇点数方法：（1）添线（2）去线例2 加一条线或去一条线，一笔画出这个图形（以一幅图为例讲解）解析：本图有4个奇点，不能一笔画。

想要一笔画成，就要将其奇点数减少到2个或者0个，可以去线，如下图或也可以添线，如下图① ② ③ ④ ⑤ ⑥一条线能改变其连接的2个点的奇偶性，故添/去一条线最多能将2个奇点转化为偶点去掉连接2个奇点的线，这两个点就成为偶点五、一笔画的实际应用1、判断能否一次不重复走完某路线方法：转化为点线图，观察奇点的数量，即可判断 关键：如何将题目转化为点线图窍门：线——路线，题目中要求一次不重复走的东西，比如，一次不重复经过所有的门，那一道门就是一条线。

第5讲和倍问题一、讲义例题例1. 学而思三年级奥数基础班和提高班共有图书160本。

基础班的图书本数是提高班的3倍，基础班和提高班各有图书多少本？例2. 甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要是甲仓库存粮是已仓库的3倍，必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？例3.甲、乙两船原有乘客共561人，到某地后，从甲船下去40人，乙船上来10人，这时甲船人数正好是乙船人数的2倍。

问甲、乙两船原来各有乘客多少人？例4.新华书店去年和今年共售书380万册，今年售书量比去年售书量的2倍还多20万册，问去年和今年各售书多少万册？例5. 小猴子聪聪和明明共有28个香蕉，聪聪的香蕉比明明的2倍少2个。

聪聪和明明各有几个香蕉？例6. 一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克。

一直苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克。

一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？二、拓展练习1、小王家养了公鸡和母鸡，一共35只，公鸡的只数是母鸡的4倍，王刚家养的公鸡和母鸡各有多少只？2、某学校五、六年级共有学生150人，五年级的学生人数是六年级学生人数的2倍，五、六年级各有学生多少人？3、某厂生产一批零件，原计划由甲车间生产510件，乙车间生产505件，后因情况变化，要求乙车间完成的数量是甲车间的4倍，那么应从甲车间的任务中拨给乙车间多少件？4、弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟过少本后，弟弟的书是哥哥的2倍？5、小小图书室有故事书和童话书共54本，其中童话的本数比故事书的2倍少6本。

童话书和故事书各有多少本？6、少先队员栽苹果树和梨树共134棵，苹果树比梨树棵树的3倍少10棵，这两种树各栽了多少棵？7、果园里共有梨树、苹果树和桃树410棵，一直苹果树的棵树是梨树的3倍，桃树的棵树比梨树的2倍还多20棵，分别求出桃树、梨树、苹果树各多少棵？。

学而思奥数第六级第五讲逆向思维进阶还原问题也称逆运算问题，是指已知某个数经过加、减、乘、除等运算后所得的结果，反求原数。

解答这类问题，通常利用加与减、乘与除互为逆运算的道理，根据题目叙述的顺序，从结果出发由后向前逆推运算。

本周我们主要学习以下三种解题方法及对应的情况：（1）符号还原：有明显的四则运算关系，可以用流程图表示题意；（2）线段图还原：同一个量的基础上增加或减少；（3）表格还原：多个总量之间相互交换。

符号还原请在正确的结论后面打“√”，错误的结论后面打“×”：（1）□+6=8，□=8-6 （）（2）□-6=8，□=8-6 （）（3）□÷6=8，□=8×6 （）（4）□×2=8，□=8÷2 （）☆用结果倒退求原数时要变号：“+”变“-”，“-”变“+”，“×”变“÷”，“÷”变“×”。

例1.有一位老人说：“把我的年龄加上17用4除，再减去15后用10乘，恰巧是100岁。

”这位老人今年多少岁？解：图形思想：换个角度想一想：根据题目计算顺序画出这位老人家年龄变化的流程图，然后从结果倒退，倒退的时候注意要变号。

还原思想：（100÷10+15）×4-17=83（岁）答：这位老人今年83岁。

方法总结：符号法倒退时，从结果入手，加号变减号，减号变加号，乘号变除号，除号变乘号。

练习一1、当当的爷爷今年的年龄减去15岁后，缩小4倍，再减去6之后，乘以10，恰好是100岁。

当当的爷爷今年多少岁？（画出流程图）2、小军问爸爸今年多少岁。

爸爸说：“用我的年龄减去8，除以5，再加上2，乘以4，正好是32岁。

”请算一算，小军的爸爸今年多少岁？3、小红、小丽、小敏三个人各有年历卡片若干张。

如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么她们每人各有40张。

原来三个人各有年历卡片多少张？换个角度想一想：一个流程图能不能将三种不同的变化过程表示出来？需要画几个流程图呢？开始第一次之后第二次之后125换个角度想一想：如图，要想求出每条线段代表的钱数，必须先求出每条线段的一半代表的钱数，然后乘2。

数列求和与公式技巧等差数列最常用的几个公式1. 通项公式：第n项=第1项+(n-1)⨯公差；推导公式：n=(第n项－第1项)÷公差+1。

2. 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2；推导公式：和=中间项⨯项数(等差数列是奇数项)。

【例1】计算：1+2+3+…+24+25【拓展1】计算：4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36 【拓展2】如下图所示的表中有55个数，它们的和是多少？拓展2图【例2】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第个数是1994。

【拓展】自1开始，每隔3个数一数，得到数列1，4，7，10，…，问第100个数是多少？【例3】在11－45这35个数中，所有不能被3整除的数的和是。

【拓展】从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有个。

【例4】节日期间在一个八层楼房上安装彩灯，共安装彩灯888盏，已知从第二层开始，每一层都比下一层少安装6盏，那么最上面一层安装多少盏灯？【拓展】小玲练习写毛笔字，她星期一写了6个字，以后每天比前一天多写相同数量的字，到这个星期六，她共写了66个字。

问小玲每天比前一天多写几个毛笔字？【例5】小刚进行加法珠算练习，用1+2+3+4+…，当加到某个数时，和是2010。

在验算时发现重复加了一个数，这个数是。

【拓展】黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，…，擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是。

〖答案〗【例1】325 【拓展1】340 【拓展2】1815 【例2】285 【拓展】298 【例3】638 【拓展】75 【例4】90 【拓展】 2【例5】57 【拓展】17。

盈亏问题一【含义】盈亏问题就是把一定的总数，分配给一定的对象，由于每份数分法不同，导致分后结果有盈（多）有亏（少）的一种典型应用题。

解题关键：解决盈亏问题，往往先用总的相差数除以每次的相差数，求出对象的数量，进一步求出分配的总数。

不要刻意区分这三类基本题型，而应牢牢抓住两种分法上总的相差数和每次相差数1、盈亏型例1 学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【分析】第一种分法：每人4粒，多9粒第一种分法：每人5粒，少6粒每人相差5-4=1（粒），第一种余9粒，第二种少6粒，那么第二次与第一次总共相差：9+6=15（粒），每人相差1粒，结果总数就相差15粒，所以有同学15÷1=15（人），共有糖果：4×15+9=69（粒）【举一反三】1、小明要买5斤菠菜，带的钱还剩3元，如果买7斤，带的钱就缺2元6角。

每斤菠菜多少钱？小明带了多少钱？2、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？2、盈盈型例2老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【分析】第一种分法：每只10个，多9个第二种分法：每只11个，多2个每只相差11-10=1（个），第一种余9个，第二种余2个，那么第二次与第一次总共相差：9-2=7（个），每只相差1个，结果总数就相差7个，所以有猴子7÷1=7（只），共有桃子：10 7+9=79（个）【举一反三】1、小芳把一些花放花瓶，如果每个花瓶放5支则多12支；如果每个花瓶放8支，则多3支，问多少个花瓶多少支花？2、学校买来一批故事书，每班发16本，多10本，每班发15本，多17本，则故事书有多少本？分给几个班？3、亏亏型例3学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发9本，还差9本，每人发10本，还差16本，那么一共有多少位老师，多少本书？【分析】第一种分法：每人9本，少9本第二种分法：每人10本，少16本每人相差10-9=1（本）,第一种少9本，第二种少16本，那么第二次与第一次总共相差：16-9=7（本），每人相差1本，结果总数就相差7本，所以有老师7÷1=7（位），共有书本：9×7-9=54（本）【举一反三】1、一个工程队修公路，如果每小时修120米，则到规定完工日期时，还有240米公路没修；如果每小时修150米，则到规定完工日期时，还有90米公路没修。

1初二秋季·第5讲·尖子班·学生版小人物与大人物满分晋级漫画释义5因式分解的 常用方法及应用代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法2初二秋季·第5讲·尖子班·学生版暑期因式分解知识回顾： 1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．2、提公因式法：公因式：多项式各项公共的因式．用提公因式法进行因式分解要注意下面几点： ⑴ 公因式要提尽；⑵ 将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正. 3、公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解． 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．例如：对下列各式因式分解：⑴22129abc a b -= .⑵2(3)(3)x x +-+= .⑶32x xy -=___________． ⑷227183x x ++= .在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.基础知识示例剖析思路导航知识互联网题型一：因式分解——分组分解法3初二秋季·第5讲·尖子班·学生版如果整式没有公因式可以提取，也无法直接用公式分解，则需要分组分解. 分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.分组分解法的基本步骤： 1、将原式适当分组；2、讲分组后的式子分解因式，或“提”或“代”；3、将经过处理过的式子在分解因式，或“提”或“代”.例如：()()()()ax by bx ayax bx ay by x a b y a b a b x y --+=-+-=-+-=-+重新分组提取公因式再提取公因式注意事项：降幂排序 首项为正拆开重组 瞄准方法【引例】 分解因式⑴22114x xy y -+- ⑵22a a b b +--【解析】 ⑴原式=22211111=1114222x xy y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()122224x y x y =-+-- ⑵原式=()()()()()()()22=1a b a b a b a b a b a b a b -+-+-+-=-++【例1】 ⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ）①()321m m m +--； ②()222496b a ac c -+-+；例题精讲典题精练4初二秋季·第5讲·尖子班·学生版③()()256152x y x xy +++； ④()()22x y mx my -++； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⑵因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（ ）A. ()()22148x xy y -+-B. ()22144x y xy --+ C. ()()221844xy x y +-+ D. ()221448x y xy -+- ⑶将多项式222221x xy y x y ++--+分解因式，正确的是（ ）A. ()2x y + B. ()21x y +- C. ()21x y ++ D. ()21x y -- ⑷将多项式3222a a b ab a ++-分解因式，正确的是（ ）A. ()()21a ab a a b ++++ B. ()()11a a b a b +++- C. ()2221a a ab b ++- D. ()()22a ab a a ab a +++-【例2】 分解下列因式⑴1xy x y --+ ⑵22221a b a b --+⑶251539a m am abm bm -+- ⑷2221a b ab +--⑸222221a ab b c c -+--- ⑹3254222x x x x x --++-5初二秋季·第5讲·尖子班·学生版【例3】 分解因式⑴()()x x z y y z +-+ ⑵3322()()ax y b by bx a y +++⑶2222()()ab c d a d cd ---十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++.若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过下面两个步骤：⑴将多项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式； ⑵若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用十思路导航题型二：因式分解——十字相乘法6初二秋季·第5讲·尖子班·学生版字相乘法分解．这个方法的要领可以概括成16个字“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”．【引例】 分解下列因式⑴256x x ++ ⑵256x x -+ ⑶256x x +- ⑷256x x --【解析】 ⑴(2)(3)x x ++ ⑵(2)(3)x x --；⑶(6)(1)x x +-； ⑷(6)(1)x x -+【例4】 分解因式：⑴2710x x ++ ⑵221024x xy y --⑶421336x x -+ ⑷221x x -- 例题精讲典题精练x 2x 3x -2 x -3 x 6x -1x -6x 17初二秋季·第5讲·尖子班·学生版⑸22232x xy y -- ⑹22121115x xy y --选主元法：在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．【例5】 请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：⑴()21x b x b -++ ⑵()2233kx k x k +-+-⑶22344883x xy y x y +-+-- ⑷(6114)(31)2a a b b b +++-- 典题精练思路导航8初二秋季·第5讲·尖子班·学生版【例6】 在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式44x y -因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式324x xy -，取2x =，2y =时，用上述方法产生的密码是：_______________（写出一种情况即可）．【例7】 如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形（注明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.aa b b bb b a b a ba典题精练题型三：因式分解的应用【例8】如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，13，9，3的对面的数分别为a，b，c，求222a b c ab bc ac++---的值.13 939 初二秋季·第5讲·尖子班·学生版10 初二秋季·第5讲·尖子班·学生版训练1. 分解因式：⑴ ()()112x x y y xy -++-；⑵ ()22331x x x x +++-．⑶22222()()abx a b x a b -+--； ⑷222(1)mx m m x m m -++++．训练2. 分解因式：⑴2228146x xy y x y -----．⑵222382214x y z xy xz yz --+++训练3. 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．训练4. 已知ABC △三边a 、b 、c ，满足条件2222220a c a b ab b c c b ac -+-+-=，试判断ABC △的形状，并说明理由．思维拓展训练(选讲)11初二秋季·第5讲·尖子班·学生版题型一 因式分解——分组分解法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()2222ab c d cd a b +++.题型二 因式分解——十字相乘 巩固练习【练习2】 分解因式：⑴2216312m mn n --； ⑵1126724n n n x x y x y +---．【练习3】 多项式212x px ++可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是 （写出所有情况）.【练习4】 若多项式2x x m -+在整数范围内能分解因式，把你发现字母m 的取值规律用含字母n（n 为正整数）的式子表示为 ．题型三 因式分解的应用 巩固练习【练习5】 一个矩形的面积为32a ab a -+，宽为a ，则矩形的长为_________. 复习巩固初二秋季·第5讲·尖子班·学生版第十五种品格：创新创造力的价值前几年，有人卖一块铜，喊价竟然高达28万美元。

第五讲必会知识点
最不利原理、最倒霉
我们经常在题目中见到“至少”、“至少保证”的字样就要想最倒霉至少保证：最倒霉+1
基础练习：
1.18个小朋友，( )小朋友在同一个月出生，
①恰好有2个②至少有2个③有7个④最多有7个
2.三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少准备多少本课外书，才能保证有的同学可借到两本书？
提升篇：
1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块，那么这4袋糖块的总和最少有多少块？
2人的头发平均有12万根。

假设最多不超过20万根。

13亿人中至少有多少人的头发根数相同？。

五年级秋季 基础⑴ 用分数表示下面各图中阴影部分占整体的几分之几，并说出各分数的分数单位．⑵ 把1个月饼平均分给5个小朋友，每个小朋友分得___个，占整个月饼的________．⑶ 7块巧克力平均分给4个小朋友，每个小朋友分得___块，占全部巧克力的________．⑷ 3块月饼，每块都平均分成两半，这样，每一块占是整体3块月饼的________．⑸ 5除以3，结果可以用分数表示为________；这个结果的分数单位是________． 【解析】⑴ 左：18，分数单位：18；中：14，分数单位14；右：815，分数单位115．⑵ 15，15；⑶ 74，14；⑷ 16；⑸53，13．五年级秋季 基础【巩固1】（例1巩固）5 8的分数单位是（）；（）个17是57；11个112是（）；717是（）个117．【解析】分数单位专项练习，18；5；1112；7．【学案1】（例1巩固）（2011年大联盟）一根绳子被剪成两段，第一段长23米，第二段占全长的23，这两段绳子相比（）．A、第一段长B、第二段长C、两段一样长D、无法比较【解析】B【巩固2】（例1巩固）在第二十九届北京奥运会上，中国运动员共夺得100枚奖牌，其中金牌51枚，银牌21枚，请问：⑴铜牌数量占总数的几分之几？⑵金牌数量占总数的几分之几？【解析】金牌51枚、银牌21枚，因此铜牌100512128--=（枚）．⑴铜牌是总数的28100，在没学约分之前这个答案是正确的，在学习约分之后回来改答案，加深印象正确答案是725，加深印象．⑵铜牌是金牌的28 285151÷=．五年级秋季 基础⑴ 把下列假分数化成带分数：125，318，117，149．⑵ 将下列带分数化成假分数：739、3211、374．【解析】⑴225，738，417，519；⑵349，2511，314．【学案2】（例2巩固）⑴把下列假分数化成带分数：403，227，14713，9017⑵将下列带分数化成假分数：334，3125，177，81211【解析】⑴1133，137，41113，5517；⑵154，635，507，14011．⑴把下列分数约分：924，4560，1854，5691，99121⑵把下列分数通分母：34和45，27和311，16和38，512和716【解析】⑴38，34，13，813，911； ⑵1520和1620，2277和2177，424和924，2048和2148．五年级秋季 基础【学案3】（例3巩固）⑴ 把下列分数约分：3248，1751，7260，108144 ⑵ 把下列分数通分母：29和311，718和524，825和715【解析】⑴ 23，13，65，34；⑵ 2299和2799，2872和1572，2475和3575．【学案4】（例3巩固）我当小法官⑴ 根据分数基本性质，12和36分数大小相等，分数单位相同．（ ）⑵ 一根绳子的34比14米长．（ ）⑶ 爸爸有7对黑袜子，5对白袜子，黑袜子的数量是白袜子的75．（ ）⑷ 真分数比1小，假分数比1大．（ ）⑸ 分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变． （ ）⑹ 与47相等的分数有无数个．（ ）⑺ 若分数的分母加上3，要使分数大小不变，分子也应该加上3．（ ）⑻ 若0a >，且a 是整数，则1aa +必定是一个最简分数． （ ）【解析】⑴×；⑵×；⑶√；⑷×；⑸×；⑹√；⑺×；⑻√．五年级秋季 基础计算： ⑴2377+= ⑵151212+= ⑶3588+= ⑷1171616-= 【解析】 ⑴57；⑵12；（注意提醒学生要把计算结果化成最简分数）⑶1；⑷14．【巩固1】（例4巩固）⑴ 1133+=2155-= 4677+= 1344+= 2499+= 751010-= ⑵ 21255+= 24255+= 232155+=21255-= 24255-= 232155-= 【解析】⑴ 112333+=211555-= 4610777+= 13144+= 242993+= 75110105-= ⑵ 2121322255555+=++=24241122213555555+=++=+=五年级秋季 基础2323 21214 5555+=+++=2121122255555-=+-=242423 2221 555555-=+-=-=23234 212155555-=+--=【学案5】（例4巩固）我当小医生（判断下列式子是否正确，把不正确的式子改正过来）：⑴25257999918++==+．（）⑵1151151617171717+-==．（）⑶171788888++==．（）⑷743999-=．（）【解析】⑴错误．252579999++==（分数加法的运算方法）；⑵错误．115115617171717--==（分数减法的运算方法）；⑶错误．1717818888++===（最后结果要约分）；⑷错误．74319993-==（最后结果要约分）．五年级秋季 基础【巩固2】（例4巩固） 计算：⑴43155++= ⑵325141414++=⑶936191919--= ⑷57111242424+++= 【解析】⑴435433451221255555555++++=++===； ⑵32532510514141414147++++===； ⑶936936019191919----==； ⑷571124571147231124242424242424+++++=+==．⑴请将分母为18的最简真分数一一列出． ⑵分母为18的最简真分数之和是多少？ 【解析】⑴ 分母为18的最简真分数有118，518，718，1118，1318，1718；⑵ 分母为18的最简真分数有118，518，718，1118，1318，1718．和是(117)(513)(711)318+++++=． 如果数a 是一个最简真分数，有结论1a -同时也是最简真分数．类似的题目可以凑整．五年级秋季 基础【铺垫】（例5铺垫）分数单位是12的所有最简真分数的和是多少？57112121212+++=．【拓展1】（例5拓展） （等差数列求和）计算：1220132014201520152015201520152015+++++= ________． 【解析】12201320142015201520152015201520152015201622016100820152+++++⨯÷=== ．【拓展2】（例5拓展） （简单容斥原理）肥罗、小琦和小宇共同角逐《我是好声音》歌唱比赛年度总冠军，现在观众以一人一票的方式选出最心爱的歌手．经点票发现，支持肥罗和小琦的观众占总投票人数的58，支持小琦和小宇的观众占总投票人数的78，请问在投票人数中有几分之几是支持小琦的？7411882+-==．五年级秋季 基础计算下列各式：⑴ 2134+= ⑵ 51124+=⑶ 72105+= ⑷ 115126-=【解析】 ⑴1112；⑵23；⑶1110或1110；⑷112．【铺垫】（例6铺垫） 将下列分数通分母： ⑴23和14 ⑵58和1112 ⑶316和524 ⑷710和715 【解析】 ⑴812和312；⑵1524和2224；⑶948和1048；⑷2130和1430．【学案6】（例6巩固） 计算下列各式： ⑴1123+= ⑵51812-= ⑶211234+= ⑷122143-=⑸3214+= ⑹3214-=【解析】⑴56；⑵1324；⑶11312；⑷712；⑸334；⑹14．五年级秋季 基础【巩固1】（例6巩固）我当小医生（判断下列式子是否正确，把不正确的式子改正过来）：⑴25257474711++==+． ⑵115115631612161242--===-． ⑶37373710181081010880808++=+===⨯⨯． ⑷47497536351595995454545⨯⨯-=-=-=⨯⨯． 【解析】意在熟悉异分母分数相加减的计算规则．⑴ 错．252754341747472814⨯+⨯+===⨯．（注意异分母加法的规则）；⑵ 错．115113541316124848⨯-⨯-==．（注意异分母加法的规则）；⑶ 373574438104040⨯+⨯+==（别忘记分子也要跟着变化）；⑷ 对．小白兔家里有大白菜58千克，比小白菜多14千克．请问小白兔一共有多少千克的蔬菜？【解析】方法一：小白菜有5152384888-=-=（千克），蔬菜共有5381888+==（千克）；方法二：5511 884+-=．【学案7】（例6巩固）要文老师吃一袋饼干．第一天吃了整袋饼干的12，第二天比第一天少吃了整袋饼干的16．现在还剩下饼干的几分之几？【解析】方法一：第一天吃了12，第二天吃了111263-=，剩下1111236--=；方法二：11152266+-=，剩下51166-=．五年级秋季 基础五年级秋季 基础计算下列各式：⑴433254+ ⑵2979311+⑶329443- ⑷354156-【解析】⑴11820；⑵161733；⑶16421；⑷23230．【学案8】（例6拓展） 计算下列各题：⑴425753+ ⑵359746-【解析】⑴71315；⑵11112．计算下列各式：⑴ 578111111+-=⑵ 512637-+=⑶ 742993⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⑷1136717101710+++= ⑸ 15111486+-=⑹ 111112342346+-+=【解析】⑴ 原式5784==1111+-； ⑵ 原式522321274116676727141414=-+=+=+=+=；五年级秋季 基础⑶ 原式742321219939333=-+=+=+=；⑷ 原式1163711217171010⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑸ 法一：原式5571057157452817===48688686242424+-+-=-=-； 法二：原式1511516154171148648624242424=++--=+-=+-=； ⑹ 原式()1111123423461111134414236444⎛⎫=+-+++-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+++-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【巩固】（例7巩固） 12141271823131915155153++++=________． 【解析】 原式12141271823131915155153⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1234527182313191515151515⎛⎫=+++++++++ ⎪⎝⎭1001=+ 101=．五年级秋季 基础【学案9】（例7巩固） 计算下列各式： ⑴72110511-+ ⑵525636⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ⑶24155757+++ ⑷111165432345-+-【解析】⑴ 7211051174110101131101143110-+=-+=+=⑵52563652563652331⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+=-= ⑶ 241557572145557739576635+++⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+= ⑷()1111654323451111654323451326013260-+-⎛⎫=-+-+-+- ⎪⎝⎭=+=五年级秋季 基础计算： 4444499999999999999955555++++=________．【解析】 原式111111010010001000010000055555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()110100100010000100000551111101111109⎛⎫=++++-⨯ ⎪⎝⎭=-=【铺垫】（例8铺垫）⑴191991999++ ⑵222191991999333++【解析】⑴191991999++()()()201200120001222032217=-+-+-=-= ⑵222191991999333++111202002000333222012219⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=五年级秋季 基础【学案10】（例8拓展）计算：11111119931992199119901232323-+-++- ．【解析】111111199319921991199012323231111111993199219911990102323231111111993199219911990102323231111(199319921991199010)2323-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+--++--+++--=-+-++-+-+- 1994299711231997199711(111)9979972323÷=⎛⎫++- ⎪⎝⎭⨯⨯⎛⎫⎛⎫=++++-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 个997119979971661163666=+=+=【拓展1】（例8拓展） 计算：1111222233323420345204520181819192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【解析】观察可知分母是2分子和为1分母是3分子和为12+；分母是4分子和为123++；……依次类推；分母是20子和为12319++++ ．原式()1111(12)(123)1231923420=+⨯++⨯++++⨯++++()1111(12)22(13)3211919223420=+⨯+⨯÷+⨯+⨯÷++⨯+⨯÷五年级秋季 基础12319952222=++++= ．【拓展2】（例8拓展） 计算下面的式子：11111111111123102341034510111____91010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【解析】观察可知，整个式子有1个1，2个12，3个13……9个19和10个110，因此： 原式11111123910111111023910=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=+++++=计算：11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++ 【解析】观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推；分母是1995的和为1995．这样，此题简化成求1231995++++ 的和．11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++12341995119951995299819951991010=+++++=+⨯÷=⨯= ()。