高考数学高三模拟考试试卷压轴题文一轮：一课双测A+B精练九二次函数与幂函数

高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。

§2.4二次函数与幂函数Ａ组基础题组1.(2021陕西模拟)若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图,则a、b、c、d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c2.(2021浙江乐清白象中学模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=()A. B.1 C. D.23.(2022杭州学军中学其次次月考文,2,5分)函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()4.(2021安徽芜湖质检)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有( )A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定5.(2021辽宁,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-166.(2021四川,9,5分)假如函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为( )A.16B.18C.25D.7.(2022超级中学原创猜测卷三,7,5分)已知关于x的方程|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,1]B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(0,2)8.(2022超级中学原创猜测卷八,11,6分)若函数f(x)=且b=f(f(f(0))),则b= ;若y=是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则整数a的值是.9.(2021杭州二模文,12,6分)设函数f(x)=其中c>0,则函数f(x)的零点为;若f(x)的值域是,则c的取值范围是.10.(2022杭州学军中学其次次月考文,13,4分)已知二次函数f(x)=-x2+x,其定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n](m<n),则m-n= .11.(2022杭州学军中学其次次月考,20,15分)已知函数f(x)=ax2-x-3.(1)求a的范围,使y=f(x)在[-2,2]上不具单调性;(2)当a=时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上的最小值记为g(t),求g(t)的函数表达式;(3)第(2)题的函数g(t)是否有最值?若有,恳求出;若没有,请说明理由.12.(2021浙江宁波十校联考,20)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c,且a≠0),f(1)=0,且存在实数m使得f(m)=-a.(1)求证:①b≥0;②f(m+3)>0;(2)函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴的两个交点间的距离记为d,求d的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷二,19,15分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)若函数y=为奇函数,求g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)在[-1,1]上的最小值h(a);(2)若a=2,当x∈[-1,1]时,f(x)的最大值与最小值之差总不大于3,求实数b的取值范围.B组提升题组1.若(x-3<(1+2x,则x的取值范围是( )A. B.{x|x<-4}C. D.{x|x>-4}2.(2021诸暨一模文,5,5分)函数f(x)=xα+1,若f(x)在区间[a,b](0<a<b)内的值域为[3,6],则f(x)在[-b,-a]内的最大值与最小值之和为( )A.-9B.-7C.-5D.9或-53.(2021杭州高级中学月考,4)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定4.(2021浙江舟山模拟,6)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③>;④<.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③5.(2021浙江冲刺卷三,5)若函数f(x)=x2+m|x-2|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是( )A.[-4,0]B.[-2,0]C.[0,4]D.[0,2]6.(2021陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上7.(2021镇海中学5月模拟,9,6分)已知函数f(x)=.当a=1时,不等式f(x)≥1的解集是;若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是.8.(2021福建,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.9.(2022温州高三上学期返校联考文,20,15分)设函数f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).(1)求f(x)在[0,2]上的最小值g(a)的表达式;(2)若f(x)在闭区间[m,n]上单调递增,且{y|y=f(x),m≤x≤n}=[m,n],求a的取值范围.10.(2022温州高三上学期返校联考,18,15分)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,f(x)是区间[2,+∞)上的增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若|f(m)|=|f(n)|,且m<n<2,u=m+n,求u的取值范围.11.(2021浙江测试卷,20)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<.(1)当x∈(0,x1)时,证明:x<f(x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<. 12.(2021浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.13.(2022超级中学原创猜测卷一,20,15分)已知函数f(x)=x|x-a|+2x.(1)当a=0时,若对任意的m∈[-2,2],不等式f(mx-2)+f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围;(2)若存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,求实数t的取值范围.Ａ组基础题组1.B 依据幂函数的性质及图象知选B.2.C ∵f(x)=k·xα是幂函数,∴k=1.又f(x)的图象过点,∴=,∴α=,∴k+α=1+=.故选C.3.D 在A、B、C中,由y=的图象知a>0,而y=ax2+a=a(x2+1)的图象过定点(0,a)且对称轴为直线x=0,故A、B、C均错.再推断可知D对.4.A 由f(0)>0得c>0.∵函数f(x)=x2+x+c图象的对称轴是x=-,∴-1<p<0,∴0<p+1<1,再由二次函数的图象知f(p+1)>0,故选A.5.B 令f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)·x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.由题意知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),故A-B=f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.6.B 当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-8<0⇒n<8,于是mn<16,则mn无最大值.当m∈[0,2)时,f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间上单调递减,需-≤,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m=-m2+9m.而g(m)=-m2+9m在[0,2)上为增函数,∴m∈[0,2)时,g(m)<g(2)=16,故m∈[0,2)时,mn无最大值.当m>2时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2,所以mn≤18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m>2.故(mn)max=18.故选B.7.A 依据题意,k>0,|x-k|=k等价于|x-k|2=,即x2-x+k2=0,因此,|x-k|=k在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根等价于方程x2-x+k2=0在区间[0,k+1]上有两个不相等的实根,记f(x)=x2-x+k2,依据二次函数的图象与性质,得解得0<k≤1,故选A.8.答案1;1或3解析由分段函数f(x)可得b=f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1.由于y=在(0,+∞)上是减函数,则a2-4a-1<0,解得2-<a<2+,由于a为整数,则a=0,1,2,3,4.检验:只有当a=1,3时,函数y=x-4为偶函数.故a的值为1或3.9.答案-1和0;0<c≤4解析解方程f(x)=0,得x=-1或x=0.由图可知,若f(x)的值域是,则c的取值范围是0<c≤4.10.答案-4解析分对称轴x=1在区间[m,n]内,在区间[m,n]左侧和在区间[m,n]右侧三种状况争辩.11.解析(1)由题知-2<-<2,解得a>或a<-.(2)当a=时,f(x)=x2-x-3=(x-1)2-,g(t)=(3)当t≥1时,g(t)≥-;当0<t<1时,g(t)=-;当t≤0时,g(t)≥-.综上,g(t)有最小值-,无最大值.12.解析(1)证明:①由于f(1)=a+b+c=0,且a>b>c,所以a>0,c<0,且a+c=-b.由于存在实数m使得f(m)=-a,即存在实数m,使am2+bm+c+a=0成立,所以Δ=b2-4a(a+c)≥0,即b2+4ab=b(4a+b)≥0.(2分)由于4a+b=3a+a+b=3a-c>0,所以b≥0.(4分)②由题意可知f(x)=0的两根为1,,所以可设f(x)=a(x-1),其中a>0,<0.(5分)由于f(m)=-a,所以a(m-1)=-a,即(m-1)=-1<0,所以必有<m<1.(6分)由于a+c=-b≤0,a>0,c<0,所以+1=-≤0,即≤-1,又由于a>b=-a-c,所以>-2,所以-2<≤-1,(7分)所以m+3>3+>3-2=1,结合图象可知f(m+3)>f(1)=0,即f(m+3)>0成立.(8分)(2)由(1)可知-2<≤-1.令g(x)=f(x)+bx=0,即ax2+2bx+c=0,记函数g(x)=f(x)+bx的图象与x轴必有两个交点分别(x1,0),(x2,0),则d=|x1-x2|,x1+x2=-,x1x2=,(10分)d2=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=-=-=4=4+2+其中-2<≤-1.(12分)所以4≤d2<12,又d>0,所以2≤d<2.(15分)13.解析(1)由于函数y==为奇函数,所以b=1,函数g(x)=f(x)-(a-1)x2-(2a+1)x-(c-2)=x2-2ax+2.函数g(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=a,所以分三种状况争辩:①当a>1时,g(x)在[-1,1]上单调递减,故[g(x)]min=g(1)=3-2a;②当-1≤a≤1,且a≠0时,g(x)在[-1,1]上先减后增,故[g(x)]min=g(a)=2-a2;③当a<-1时,g(x)在[-1,1]上单调递增,故[g(x)]min=g(-1)=3+2a.综上,函数g(x)在[-1,1]上的最小值h(a)=(2)由题意可知,f(x)=2x2+bx+c=2+c-,设f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值分别为M,m,当≥1,即|b|≥4时,M-m=|f(1)-f(-1)|=|2b|≥8,与题意不符;当<1,即|b|<4时,M必为f(1),f(-1)中的较大者,所以M=2+|b|+c,而m=c-,所以M-m=2+|b|+c-=2+|b|+≤3,整理得b2+8|b|-8≤0,解得|b|≤2-4,所以4-2≤b≤2-4,即实数b的取值范围为[4-2,2-4].B组提升题组1.A 奇函数f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)内均为减函数,且x>0时,f(x)>0,x<0时,f(x)<0,所以x-3>1+2x>0或1+2x<x-3<0,或所以x<-4或-<x<3.2.D 当α∈时,函数g(x)=xα均是奇函数,g(x)=xα在[a,b]上的值域是[2,5],则g(x)=xα在[-b,-a]上的值域是[-5,-2],所以f(x)在[-b,-a]上的值域是[-4,-1],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于-5;当α=2时,函数f(x)是偶函数,则f(x)在[-b,-a]上的值域是[3,6],f(x)在[-b,-a]上的最大值与最小值之和等于9,故选D.3.A f(x)=ax2+2ax+4=a(x+1)2+4-a,其图象的对称轴为x=-1,由于0<a<3,所以x1+x2=1-a>-2,又由于抛物线开口向上,所以结合图象可知f(x1)<f(x2).4.D 设f(x)=xα,∵f(x)的图象经过点,∴=,∴α=,即f(x)=,又P(x1,y1),Q(x2,y2)是f(x)=图象上的两点,且0<x1<x2,∴f(x2)>f(x1),∴x2f(x2)>x1f(x1).∵k OP>k OQ,∴>,故②③是正确的,选D.5.A 由题意得f(x)=由条件知f(x)在[0,2)和[2,+∞)上都是增函数,∴解得-4≤m≤0.6.A 由已知得,f'(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有由①②得代入③中并整理得9a2-4a+=0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.故选A.7.答案(-∞,0]∪[2,+∞);0≤a≤1解析当a=1时,f(x)≥1⇔≥2,可得x2-2x+1≥1,解得不等式的解集为(-∞,0]∪[2,+∞).若函数的定义域为R,则不等式≥1恒成立,等价于x2-2ax+a≥0恒成立,只需Δ=4a2-4a≤0,解得a∈[0,1]. 8.答案9解析依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根,则a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由题意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a,将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此时a+b=5,则p=5,故p+q=9.9.解析(1)当-≤0,即a≥-时,g(a)=f(0)=a2+3a;当-≥2,即a≤-时,g(a)=f(2)=a2+7a+6;当0<-<2,即-<a<-时,g(a)=f=2a-.综上,g(a)=(2)∵f(x)在[m,n]上递增,∴即方程f(x)=x在上有两个不相等的实数根,设F(x)=f(x)-x,则F(x)=x2+2ax+a2+3a,则则-≤a<0.故a的取值范围为-≤a<0.10.解析(1)由f(1)=b+c+1=0可得b=-c-1,又由于当1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立,所以f(3)=9+3b+c≤0,所以9+c-3(c+1)≤0,即c≥3;由f(x)是区间[2,+∞)上的增函数可知-=≤2,所以c≤3,所以c=3,b=-4,所以f(x)=x2-4x+3.(2)由(1)可知|f(x)|=|(x-1)(x-3)|=|(x-2)2-1|,设|f(m)|=|f(n)|=t,则2-<m<1<n<2,且0<t<1,由|f(m)|=|(m-2)2-1|=t可得(m-2)2=1+t,所以m=2-,由|f(n)|=|(n-2)2-1|=t可得(n-2)2=1-t,所以n=2-,u=m+n=4--.令s=+,则s2=(+)2=2+2,由0<t<1可知,2<s2<4,所以<s<2,所以2<u<4-.故u的取值范围是2<u<4-.11.证明(1)由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)(a>0).当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,a>0,所以a(x-x1)(x-x2)>0,故x<f(x).由于x1-f(x)=x1-a(x-x1)(x-x2)-x=(x1-x)[1+a(x-x2)],又x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0,于是x1-f(x)>0.从而f(x)<x1.综上,x<f(x)<x1.(2)由题意知x0=-.由于x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根,所以x1+x2=-,所以x0=-==.由于ax2<1,所以x0<=.12.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,故f(x)图象的对称轴为直线x=-.当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-2<a≤2时,g(a)=f=1.当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,≤st≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-4].13.解析(1)当a=0时,有f(x)=x|x|+2x=由于f(-x)=-x|-x|-2x=-(x|x|+2x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易得函数f(x)在R上单调递增.不等式f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<f(-x),所以mx-2<-x,即mx+x-2<0对任意的m∈[-2,2]恒成立.令g(m)=mx+x-2,则g(m)可看作关于m的一次函数,所以即解得-2<x<.故实数x的取值范围是-2<x<.(2)易知f(x)=x|x-a|+2x=若x≥a,当对称轴x=≤a,即a≥-2时,函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增;若x<a,当对称轴x=≥a,即a≤2时,函数f(x)在区间(-∞,a)上单调递增.则当-2≤a≤2时,函数f(x)在R上单调递增,所以函数y=f(x)-at不行能有三个不同的零点,即此时实数t的取值范围为⌀.只需要争辩a∈(2,4]的情形:若x≥a,对称轴x=<a,则函数f(x)在区间[a,+∞)上单调递增,此时函数f(x)的值域为[f(a),+∞),即[2a,+∞).若x<a,对称轴x=<a,则①函数f(x)在区间上单调递增,此时函数f(x)的值域为;②函数f(x)在区间上单调递减,此时函数f(x)的值域为.由于存在a∈[-2,4],使得函数y=f(x)-at有三个不同的零点,则ta∈,即存在a∈(2,4],使得t∈.而当a∈(2,4]时,函数y=为单调递增函数,所以实数t的取值范围为.。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题（文）一轮：一课双测A+B 精练(五十八)变量间的相关关系统计案例1．(·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )A ．6.5hB ．5.5hC ．3.5hD ．0.3h2．(·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 ym35.57已求得关于y 与x 的线性回归方程y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.53．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为7，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 4．已知x 、y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ^＝( ) A ．2.5B ．2.6C ．2.7D ．2.85．(·湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi ，yi)(i ＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg6．(·合肥检测)由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x0，y0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x0＝x1＋x2＋…＋x1010，y0＝y1＋y2＋…＋y1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．(·唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50cm 时，肱骨长度的估计值为________cm.8．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算K2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)9．(·宁夏模拟)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．10．已知x ，y 的一组数据如下表：x 1 3 6 7 8 y12345(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．11．(·东北三省联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下 50岁以上 合计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 12．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元23345(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．1．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表：x 6 8 10 12 y2356则y 对x A.y ^＝2.3x －0.7B.y ^＝2.3x ＋0.7 C.y ^＝0.7x －2.3D.y ^＝0.7x ＋2.32．(·东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．附：P(K2≥k0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k02.7063.8415.0246.63510.8283京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：支持 不支持 总计 北京暴雨后 x y 50 北京暴雨前 20 30 50 总计AB100已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25.(1)求列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？附：K2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋dP(K2≤k)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(六十八)A 级1．A2.D3.C4.B5．选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．6．选Bx0，y0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x0，y0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．7．解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19cm.答案：56.198．解析：由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关．答案：有关9．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a. ∴a ＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68.答案：6810．解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y)，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝925.(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫103－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫113－52＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫72－32＋(4－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92－52＝12.∵S2<S1，∴直线y ＝12x ＋12的拟合程度更好．11．解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．(2)主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计201030(3)K2＝308－128212×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10＞6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．12．解：(1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝x ＝15xi －x yi －y－x ＝15xi －x 2＝1020＝0.5，a ^＝y －b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．B 级1．选C ∵i ＝14xiyi ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4.∴b ^＝158－4×9×436＋64＋100＋144－4×81＝0.7，a ^＝4－0.7×9＝－2.3.故线性回归直线方程为y ^＝0.7x －2.3.2．解析：因为7.069与附表中的6.635最接近(且大于6.635)，所以得到的统计学结论是：有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．答案：99%3．解：(1)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A ， 由已知得P(A)＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)由(1)知北京暴雨后支持为4050＝45，不支持率为1－45＝15，北京暴雨前支持率为2050＝25，不支持率为1－25＝35.条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．(3)K2＝10030×40－20×10250×50×40×60＝100000050×20×60＝503≈16.78＞10.828. 故至少有99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

专题3.4 幂函数（真题测试）一、单选题1．（2021·福建·高三学业考试）函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y =，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.2．（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2yxB ．1y x -=C ．2y xD ．13y x =【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C. 2yx 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．3.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x R 上的增函数，符合题意， 故选：D.4．（2011·陕西·高考真题（文））函数的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A ，D ； 由特殊点（8，2），（，），可排除C ．故选B ．5．（2007·山东·高考真题（理））设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所A ．1,3B ．1,1-C ．1,3-D ．1,1,3-【答案】A 【解析】 【详解】11,2αα=-=时，函数定义域不是R,不合题意； 1,3αα==时，函数y x α=的定义域为R 且为奇函数，合题意，故选A.6．（2019·全国·高考真题（理））若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．7．（2015·湖北·高考真题（理））设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以， 由得，所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．8．（2012·山东·高考真题（理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】 【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<， 21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-，同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种 【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可. 【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误. 故选：AB10.（2021·全国·高三专题练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数 B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数 D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项． 【详解】对于A 选项，1y x=，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误．对于C 选项，2yx ，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD11．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A 错误、选项B 正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P 求出切线方程，进而判定选项C 正确；平方作差比较大小，进而判定选项D 错误. 【详解】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =， 对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x ='0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．12．（2022·全国·模拟预测）已知实数0,0,a b c R >>∈,且1a b +=,则下列判断正确的是（ ） A ．2212a b +≥B ．22ac bc <C ．()2bb a a >- D ．2111b a -<+ 【答案】AD 【解析】 【分析】利用均值不等式可判断A ；取0c 可判断B ；借助幂函数b y x =的单调性，结合0,1a b <<可判断C ；作差法可判断D 【详解】 由于0,0a b >>，由均值不等式114a b ab +=≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立选项A ，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确；选项B ，由于R c ∈，当0c 时，22ac bc =，故B 错误；选项C ，由于0,0a b >>，1a b +=，故01,122a a <<<-<，即2a a <-由于01b b y x <<∴=在(0,)+∞单调递增，故()2bb a a <-，故C 错误； 选项D ，2122111b b a a a ----=++，由于0,1220,10a b b a a <<∴--<+>，故21101b a --<+，2111b a -∴<+，故D 正确 故选：AD13．（2022·全国·模拟预测）若幂函数()25ay a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数=a ______．【答案】2- 【解析】 【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可 【详解】由幂函数可得251a a --=，解得3a =或2a =-，又因为函数图像关于y 轴对称，则a 为偶数，所以2a =-． 故答案为：2-14．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-15．（2014·上海·高考真题（理））若，则满足的取值范围是_____.【答案】(0,1) 【解析】 【详解】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 16．（2022·北京房山·二模）已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足1a <-或01a <<即可) 【解析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <-或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小，故当1a <-或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22211mm m f xx m --=--在区间()0,∞+上是增函数，求实数m 的取值集合． 【答案】{}1- 【解析】 【分析】解方程211m m --=得到m 的值，再检验即得解. 【详解】解：由题得211m m --=，所以1m =-或2m =．当1m =-时，()2f x x =在()0,∞+上是增函数； 当2m =时，()1f x x -=在()0,∞+上不是增函数，舍去．故所求实数m 的取值集合为{}1-．18．（2020·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2g x x k =-. (1)求m 的值；(2)当[]1,2x ∈时，记()(),f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】(1)0m =； (2)[]0,1. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得m ；（2）由一次函数和二次函数单调性可求得,A B ，由并集结果可构造不等式组求得结果. (1)()f x 为幂函数且在()0,∞+上单调递增，()2211420m m m ⎧-=⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得：0m =；(2)由（1）知：()2f x x =，∴当[]1,2x ∈时，()[]1,4f x ∈，即[]1,4A =；当[]1,2x ∈时，()[]2,4g x k k ∈--，即[]2,4B k k =--；A B A =，2144k k -≥⎧∴⎨-≤⎩，解得：01k ≤≤，即实数k 的取值范围为[]0,1.19．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高三阶段练习）已知函数23y x =（1）求定义域； （2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.【答案】（1）定义域为(),x ∈-∞+∞；（2）偶函数；（3）图像见解析，23y x =的单调增区间是[)0+∞，，单调减区间是(]0-∞，【分析】（1）将函数23y x =改写成y ，即可判断定义域;（2）令23()f x x =()f x -并判断与()f x 的关系即可确定函数的奇偶性；（3）根据23y x =的奇偶性补全图像，根据补全后的图像确定函数的单调区间；【详解】（1）23y x =R;（2）令23()y x f x =23()f x x =(()f x f x ∴-，且定义域关于坐标原点对称，∴函数23y x =为偶函数.（3）因为函数23y x =为偶函数,所以函数23y x =的图像关于y 轴对称， 根据23y x =第一象限的图像补全图像如图所示:根据图像可知，函数23y x =单调增区间是[)0+∞，，单调减区间是(]0-∞，. 20．（2021·福建·上杭一中高三阶段练习）已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在0,上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-.【解析】【分析】（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，2221m m -+=，2520k k ->，即可求出,m k ，得到函数()f x（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得()()212f x f x -<-，即212x x -<-，即可解出．【详解】（1）∵2221m m -+=，∴1m =，∵2520k k ->， ∴()502k k <<∈Z ，即1k =或2， ∵()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 为偶函数，∴2k =，即()2f x x =．(2)∵()()()()212212f x f x f x f x -<-⇒-<- ∴212x x -<-，()()22212x x -<-，21x <，∴()1,1x ∈-，即x 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()3m f x x m N -*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，求满足13233m m f a f a ⎛⎫⎛⎫+-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的实数a 的取值范围. 【答案】21033a a ⎧<<⎨⎩且43a ⎫≠⎬⎭. 【解析】【分析】根据幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上单调递减，可得30m -<且3m -为偶数，求得1m =，再利用函数2y x 在在0,上为减函数，由偶函数的性质可转化为28233a a +>-求解即可. 【详解】因为函数()f x 在0,上单调递减，所以30m -<，解得3m <. 因为m *∈N ，所以1m =或2.又函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以3m -是偶数，而231-=-为奇数，132-=-为偶数，所以1m =，所以()2f x x -=，()f x 在,0上为增函数，在0,上为减函数，所以1113233f a f a ⎛⎫⎛⎫+-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于28233a a +>-且8203a -≠， 解得21033a <<且43a ≠. 故实数a 的取值范围为21033a a ⎧<<⎨⎩且43a ⎫≠⎬⎭.. 22．（2021·全国·高三专题练习）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+，满足()()24f f <.(1)求函数()f x 的解析式. (2)若函数()()()2g x f x mf x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？(3)若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b >，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)()f x =存在1m =-使得()g x 的最小值为0(3)存在，9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义结合()()24f f <即可得解；（2）由函数()()()2g x f x mf x =+，即()2g x =+令t =记()2k t t mt =+，分12m -≤，132m <-<，32m -≥三种情况讨论即可得出答案； （3）由函数()()3h x n f x n =-+=在定义域内为单调递减函数，若存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则n b n a ⎧=⎪⎨=⎪⎩①②，消元可得1n a a =+=+令q =求出q 的范围，即可得解.(1)解：∵()f x 是幂函数，∴得2331p p -+=，解得：1p =或2p =，当1p =时，()1f x x =，不满足()()24f f <， 当2p =时，()f x ()()24f f <，∴故得2p =，函数()f x 的解析式为()f x =(2)解：由函数()()()2g x f x mf x =+，即()2g x =+令t =[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，记()2k t t mt =+，其对称轴在2m t =-， ①当12m -≤，即2m ≥-时，则()()min 110k x k m ==+=，解得：1m =-； ②当132m <-<时，即62m -<<-，则()2min 024m m k x k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得：0m =，不满足，舍去； ③当32m -≥时，即6m ≤-时，则()()min 3390k x k m ==+=，解得：3m =-，不满足，舍去； 综上所述，存在1m =-使得()g x 的最小值为0；(3)解：由函数()()3h x n f x n =-+=若存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b，则n b n a ⎧=⎪⎨⎪⎩①②， ②-()()33a b a b -=+-+22=-=，1=③，将③代入②得，1n a a ==+q = ∵a b <1=313b a +=++-1b a a =+->，112<，∴102q <≤， 得：2219224n q q q ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.故得实数n 的取值范围9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.。

高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(二)命题及其关系、充分条件与必要条件1．(·福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝02．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”3．(·武汉适应性训练)设a ，b ∈R ，则“a>0，b>0”是“a ＋b2>ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x2＋(y －a)2＝1相切”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(·广州模拟)命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( ) A ．若x2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x<1，则x2<1 C ．若x>1或x<－1，则x2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x2≥16．(·天津高考)设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x(x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“x>1，则x2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题8．对于函数y ＝f(x)，x ∈R ，“y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)10．已知集合A ＝{x|y ＝lg(4－x)}，集合B ＝{x|x<a}，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．11．(·绍兴模拟)“－3<a<1”是“方程x2a ＋3＋y21－a ＝1表示椭圆”的____________条件．12．若“x2>1”是“x<a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 13．下列命题： ①若ac2>bc2，则a>b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log2x ，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－x －6<1，B ＝{x|log4(x ＋a)<1}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则“A<B ”是“cos 2A>cos 2B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y>2C ．x2＋y2>2D ．xy>13．已知不等式|x －m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12，则m 的取值范围是________．4．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a2－4b ≥0，则不等式x2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a2－4b<0，则不等式x2＋ax ＋b ≤0的解集是空集；③若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b<0；④若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b<0；⑤若a2－4b<0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．5．设条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．6．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．[答题栏]A级1.______2.______3.______4.______5.______6.______7.______8.______B级1.______2.______3.______4.______9.______10.______11.______12.______13.______14.______高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(二)A级1．D2.B3.D4.A5．选Dx2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.6．选CA∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．7．选A对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．8．选B若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数．9．解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假10．解析：A ＝{x|x<4}，由题意得A B 结合数轴易得a>4.答案：(4，＋∞)11．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a>0，a ＋3≠1－a解得－3<a<1且a ≠－1，故“－3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分12．解析：由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a ”的必要不充分条件，知由“x<a ”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－113．解析：对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b 正确；对于②，sin30°＝sin150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A1C2⇒/A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④14．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－x －6<1，即x2－x －6>0，解得x<－2或x>3，故A ＝{x|x<－2，或x>3}；由log4(x ＋a)<1，即0<x ＋a<4，解得－a<x<4－a ，故B ＝{x|－a<x<4－a}，由题意，可知BA ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)B 级1．选C 由大边对大角可知，A<B ⇔a<b.由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，故a<b ⇔sin A<sin B.而cos 2A ＝1－2sin2A ，c os 2B ＝1－2sin2B ，又sin A>0，sin B>0，所以sin A<sin B ⇔cos 2A>cos 2B.所以a<b ⇔cos 2A>cos 2B ，即“A<B ”是“cos 2A>cos 2B ”的充要条件． 2．选B 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x>1或y>1”． 若x ＋y>2，必有x>1或y>1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x>1或y>1不能推出x ＋y>2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x>1或y>1. 对于x2＋y2>2，当x<－1，y<－1时，满足x2＋y2>2，故不能推出x>1或y>1. 对于xy>1，当x<－1，y<－1时，满足xy>1，不能推出x>1或y>1，故选B. 3．解析：由题意知：“13<x<12”是“不等式|x －m|<1”成立的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x<12是{x||x －m|<1}的真子集． 而{x||x －m|<1}＝{x|－1＋m<x<1＋m}，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 4．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案：①③②④5．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx>1，或x<12，綈q 对应的集合B ＝{x|x>a ＋1，或x<a}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a<12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.6．解：(1)由M ∩P ＝{x|5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x|5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x|5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x|5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x|5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x|5<x ≤8}的一个充分不必要条件．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

心尺引州丑巴孔市中潭学校练习与稳固1．假设函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，那么a 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析：选C.∵y ＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 是偶函数∴1－a ＝0，∴a ＝1，应选C.2．假设f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，那么实数a 的取值范围是( )A ．a >2或a <－2B ．－2<a <2C ．a ≠±2D ．1<a <3解析：选A.f (x )有负值，那么必须满足f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，其充要条件是：Δ＝(－a )2－4>0，a 2>4即a >2或a <－2.3．假设f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，那么f (m ＋1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关解析：选B.法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12， 而－m ，m ＋1关于12对称， ∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0，应选B. 法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0.应选B.4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图象是( )解析：选D.∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，得a ＞0，c ＜0(用反证法可得)，∴f (0)＝c ＜0，∴只能是D. 5．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且f (x ＋2)是偶函数，那么f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是( )A ．f (52)＜f (1)＜f (72)B ．f (1)＜f (72)＜f (52)C ．f (72)＜f (1)＜f (52)D ．f (72)＜f (52)＜f (1)解析：选A.由f (x ＋2)是偶函数可知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)，又该函数图象开口向上，当x ＞2时单调递增，故f (52)＜f (3)＝f (1)＜f (72)，故答案为A. 6．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a ＜12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，假设将这颗树围在花圃内，那么函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：选C.据题意设BC ＝x ，那么DC ＝16－x ，要使树围在花圃内，需⎩⎨⎧x ≥a16－x ≥4⇒a ≤x ≤12，此时花圃的面积f (x )＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64(a ≤x ≤12)，当8＜a <12时，有f (a )＝－a 2＋16a ，当0＜a ≤8时有f (a )＝f (8)＝64，综上所述可得：f (a )＝⎩⎨⎧－a 2＋16a ，8＜a <1264，0＜a ≤8，作出图形易知C 选项正确．7．函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，那么b ＝________. 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数，f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，∴b 2－2b ＋2＝b ，∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝2或1(舍)．答案：28．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，那么实数m 的取值范围是________．解析：∵⎩⎨⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β，∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈(2，52)． 答案：(2，52) 9．定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝k (x －1)2－k ，(1)当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；(2)当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3. (3)当k ＝0时，显然不成立．故k 的取值集合为{1，－3}． 答案：{1，－3}10．求以下二次函数的解析式：(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)； (2)二次函数f (x )满足f (0)＝1，且f (x ＋1)－f (x )＝2x . 解：(1)法一：(一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，4ac －b24a ＝－1，11＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11，所以y ＝3x 2－12x ＋11.法二：(顶点式)设y ＝a (x －2)2－1. 将(0,11)代入可得：11＝4a －1，于是a ＝3， 所以y ＝3(x －2)2－1＝3x 2－12x ＋11.(2)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，可知c ＝1.而f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0. 因而a ＝1，b ＝－1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1.11．函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )．(1)假设函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)假设函数值为非负数，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负数， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3>0，∵f (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴二次函数f (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减． ∴f ⎝⎛⎭⎫32≤f (a )≤f (－1)，即－194≤f (a )≤4，∴f (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.12．函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a 、c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11.(1)求a 、c 的值；(2)假设对任意的实数x ∈[12，32]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (1)＝a ＋2＋c ＝5， ∴c ＝3－a .①又∵6＜f (2)＜11，即6＜4a ＋c ＋4＜11，② 将①式代入②式，得－13＜a ＜43， 又∵a 、c ∈N *，∴a ＝1，c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 2＋2x ＋2.法一：设g (x )＝f (x )－2mx ＝x 2＋2(1－m )x ＋2.①当－2(1－m )2≤1，即m ≤2时， g (x )max ＝g (32)＝294－3m ，故只需294－3m ≤1， 解得m ≥2512，又∵m ≤2，故无解．②当－2(1－m )2＞1，即m ＞2时， g (x )max ＝g (12)＝134－m ，故只需134－m ≤1，解得m ≥94.又∵m ＞2，∴m ≥94. 综上可知，m 的取值范围是m ≥94. 法二：∵x ∈[12，32]， ∴不等式f (x )－2mx ≤1恒成立⇔2(1－m )≤－(x ＋1x )在[12，32]上恒成立．易知[－(x ＋1x )]min ＝－52， 故只需2(1－m )≤－52即可． 解得m ≥94.。

考点07 二次函数与幂函数1、如果方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是____．【答案】(－∞，－3)【解析】设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3，所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．2、 若幂函数y ＝mx n (m ，n ∈R)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，14，则n ＝___． 【答案】－23【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，8n ＝14， 解得n ＝－23，故n 的值为－23. 3、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，则a ，b 的值为____．【答案】13，0 【解析】由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b ，即2bx ＝0对任意x 恒成立，所以b ＝0.又因为a －1＝－2a ，解得a ＝13，所以a ，b 的值分别为13，0. 4、函数y ＝－x 2＋2||x ＋3的单调减区间是____． 【答案】[－1，0]和[1，＋∞)【解析】令f(x)＝－x 2＋2|x|＋3，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3， x<0， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x≥0，－（x ＋1）2＋4， x<0， 所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．5、若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[]a ，a ＋2上的最大值为4，则a 的值为____．【答案】－1或1【解析】由题意得，f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴为直线x ＝1.当a≥0时，f(a ＋2)＝4，即(a ＋2)2－2(a ＋2)＋1＝4，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)；当a<0时，f(a)＝4，即a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．综上，a 的值为1或－1.6、 若不等式x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是___.【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)【解析】由题意得x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0，即(x 2＋1)2≥－a 2＋a ＋3，所以－a 2＋a ＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．7、设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使函数y ＝x α为奇函数且定义域为R 的所有α的值为____． 【答案】1，3【解析】当α＝－1时，y ＝x －1＝1x ，此时函数的定义域为{x |x ≠0}，不符合题意；当α＝12时，y ＝x 12＝x ，此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意；当α＝1时，y ＝x ，此时函数的定义域为R ，且是奇函数，符合题意；当α＝2时，y ＝x 2，此时函数的定义域为R ，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y ＝x 3，此时函数的定义域为R ，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3.8、求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2(x ∈[2，4])的最小值．【答案】f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.【解析】f(x)图象的对称轴是直线x ＝a ，可分以下三种情况：①当a ＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min ＝f(2)＝6－4a ；②当2≤a≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；③当a ＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min ＝f(4)＝18－8a.综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a≤4，18－8a ， a>4.9、已知函数f(x)＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【答案】g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.【解析】由题意得，f(x)＝(x －1)2＋1.①当t ＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t ＋1)＝t 2＋1;②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1;③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t 2－2t ＋2.综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t≤1，t 2－2t ＋2， t>1.10、若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g(x)的图象上，定义 h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g（x ），g （x ）， f （x ）>g （x ）.试求函数h(x)的最大值以及单调区间． 【答案】1 单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1，如例1图所示，则有h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x<－1或x>1，x 2， －1≤x≤1且x≠0. 根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0，1)；单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞).11、已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14. (1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；(2) 求当x 为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．【答案】(1) g(x)＝x －2(2) ①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．【解析】(1) 设f(x)＝x α，因为图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，所以f(x)＝x 2. 设g(x)＝x β，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14， 所以14＝2β，解得β＝－2，所以g(x)＝x －2.(2) 在同一平面直角坐标系下作出f(x)＝x 2与g(x)＝x－2的图象，如图所示. 由图象可知，函数f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1，1)，所以①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x ＝1或x ＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．12、已知函数f(x)＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围． 【答案】{a |a <－1或23<a <32} 【解析】因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.又函数的图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3是偶数，当m ＝2时，22－2×2－3＝－3为奇数，当m ＝1时，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1.又y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， 所以(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ， 解得a <－1或23<a <32. 故a 的取值范围为{a |a <－1或23<a <32}． 13、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)．(1) 若函数f (x )＝f (x )－mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围； (2) 求函数G (x )＝f (sin x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最值．【答案】(1) (－∞，2] (2) 最大值为0，最小值为－3【解析】(1) 因为f (x )>0的解集为(1，3)，所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，所以可设f (x )＝a (x －1)(x －3)．又因为函数图象过点(0，－3)，代入f (x )得3a ＝－3，解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3，所以f (x )＝－x 2＋4x －3－mx ＝－x 2＋(4－m )x －3.因为函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，所以－4－m 2×（－1）≥1，解得m ≤2， 故实数m 的取值范围是(－∞，2]．(2) 由题意得，G (x )＝－sin 2x ＋4sin x －3＝－(sin x －2)2＋1. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ∈[0，1]， 所以当sin x ＝0时，G (x )min ＝－3；当sin x ＝1时，G (x )max ＝0，故函数G (x )的最大值为0，最小值为－3.14、已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2) 若该函数经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 【答案】(1) [0，＋∞) 增函数 (2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 【解析】(1) 因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，且m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m (m ＋1)为偶数． 所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2) 因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， 所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32， 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.15、已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调增区间；(2) 当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a ≠0，函数y ＝f (x )在区间(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．【答案】(1) (－∞，1]，[2，＋∞) (2) f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3.(3) 2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0. 【解析】(1) 当a ＝2时，f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ）， x <2. 由图象可知，y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2) 因为a >2，x ∈[1，2]，所以f (x )＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24. 当1<a 2≤32，即2<a ≤3时，f (x )min ＝f (2)＝2a －4；当a 2>32，即a >3时，f (x )min ＝f (1)＝a －1， 所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3. (3) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x <a . ①当a >0时，图象如图1所示.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ），得x ＝1＋22a ， 所以0≤m <a 2，a <n ≤ 2＋12a . ②当a <0时，图象如图2所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），得x ＝1＋22a ， 所以2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0.图1图2 16、已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z)满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由． 【答案】 (1) f (x )＝x 2(2) 2【解析】 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q 满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得． ①当q >0时，而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q－(2－3q )＝q －24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.②当q <0时，g (x )max ＝g (－1)＝2－3q ＝178， g (x )min ＝4q 2＋14q ＝－4， q 不存在．综上所述，存在q ＝2满足题意．17、设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)， f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．【答案】(1) 见解析 (2)见解析解析：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12. 又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13. 方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0. (2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0，∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0，∴f (m －4)的符号为正．18、设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．【答案】(1) M ＝10 m ＝1 (2) 314【解析】(1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a 2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1；当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝1－b a 1＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1－2a c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a， 又a ≥1，故1－12a ∈[12，1)， ∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (2a －12a )＝1－14a. g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1. 又g (a )在区间[1，＋∞)上是单调递增的，∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三第一次模拟试题(文科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．已知全集{12345}U =，，，，，集合{12}{23}A B ==，，，，则)(A C U B =（ ） 2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是( )3．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） A ．43B ．83C ．4D ．84．设a ∈R ,则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（）5．（15年房山一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，45B =︒，2ABC S =△，则b等于 ( )A ．B ．5C ．41D ．25A ．}3{B ．{45}，C ．{123}，，D ．{2345}，，，A ．23y x =± B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件俯视图侧视图6．在同一个坐标系中画出函数sin xy a y ax ==与的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是（ ）7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ）8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ） A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡指定位置.9.若复数(1)(2)z m m i =-+-，（m ∈R ）是纯虚数，复数z 在复平面内对应的点的坐标为_____． 10．连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，设向量(,)m a b =， 向量(1,1)n =-，则m n ⊥的概率是_____．A ．42B ．5C ．41D ．25A ．12-nB ．1)23(-nC ．1)32(-n D ．121-n11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=,0,31,0,)21()(x x x x f x则=-))1((f f ____；若)5()32(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是_____．13．已知命题2:,p x x ax a ∃∈++R ＜0.若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是_____．14. 实数,x y 满足320x y x y +≥⎧⎨-≤⎩，若(x 2)y k ≥+恒成立，则实数k 的最大值是_____．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，当n n S T ≤时，请直接写出n 的值.16.（本小题共13分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）当1[6,]3x ∈--时，求函数()y f x =的最大值与最小值及相应的x 的值．ABCDEF17.（本小题共13分）教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结10 幂函数与二次函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲 研读1.了解幂函数的概念2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c 答案 D解析 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .2．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f (0)＝－4，则f (x )( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3 D ．有最大值－3 答案 D解析 由a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，得⎩⎨⎧c ＝－4，b 2＝ac .显然a <0，故f (x )有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c4＝－3.故选D.3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋m ，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m 答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (1)＝m －1.故选C.4.幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<1<mC ．－1<m <0<1<nD ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0，1)内作直线x ＝x 0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域都是[1，b ]，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，它在[1，b ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （b ）＝b 2－2b ＋2＝b ，b >1，解得b ＝2.故选C.6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上单调递增，则实数k 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案 A解析 二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的图象的对称轴为直线x ＝2k ，当k >0时，要使y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时二次函数图象的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上递减，不符合要求．综上可得，实数k 的取值范围是[2，＋∞).7．已知幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (x )的图象关于y 轴对称，则f (－2)的值为( )A ．16B ．8C ．－16D ．－8 答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，又幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3是偶数，且－m 2＋2m ＋3>0，∵m ∈Z ，∴m ＝1，∴幂函数f (x )＝x 4，f (－2)＝16.故选A.8．已知二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 通过点(α，0)，(β，0).若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14 D ．不能确定，与n 的具体取值有关 答案 B解析 由二次函数通过点(α，0)，(β，0)，有恒等式f (x )＝(x －α)(x －β) ①.取x ＝n ，n ＋1(n <α<β<n ＋1)代入①，有f (n )＝(n －α)(n －β)>0，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)>0.两式相乘得0<f (n )f (n ＋1)＝(n －α)(n －β)·(n ＋1－α)(n ＋1－β)＝(α－n )(n ＋1－α)(β－n )(n ＋1－β)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－n ）＋（n ＋1－α）22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（β－n ）＋（n ＋1－β）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142，当且仅当⎩⎨⎧α－n ＝n ＋1－α，β－n ＝n ＋1－β，即⎩⎪⎨⎪⎧α＝2n ＋12，β＝2n ＋12时取等号，又α≠β，∴0＜f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142.令min{f (n )，f (n ＋1)}＝k ，则0＜k ≤f (n )，0＜k ≤f (n ＋1)，∴k 2≤f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即k ＜14.从而，min{f (n )，f (n ＋1)}<14.故选B.9．(多选)已知幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，则下列结论正确的有( )A ．f (－32)＝116 B ．f (x )的定义域是RC ．f (x )是偶函数D ．不等式f (x －1)≥f (2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 答案 ACD解析 由幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，∴m ＋95＝1，∴m ＝－45，∴f (x )＝x－45，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B 错误；f (－32)＝(－32)－45＝116，故A 正确；f (x )＝x －45＝15x 4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝15（－x ）4＝15x 4＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故C 正确；∵f (x )＝x－45，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f (x －1)≥f (2)等价于f (|x －1|)≥f (2)，∴⎩⎨⎧x －1≠0，|x －1|≤2，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤3，故D 正确．故选ACD.10．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小值为－4B ．函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增C ．函数f (|x |)为偶函数D ．若方程f (|x －1|)＝a 在R 上有4个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4答案 ACD解析 二次函数f (x )在对称轴x ＝1处取得最小值，且最小值f (1)＝－4，故A 正确；二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B 错误；f (|x |)＝|x |2－2|x |－3，显然f (|x |)为偶函数，故C 正确；令h (x )＝f (|x －1|)＝|x －1|2－2|x －1|－3，方程f (|x －1|)＝a 的零点转化为y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 的交点，作出h (x )的图象如图所示，图象关于x ＝1对称，当y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点时，两两分别关于x ＝1对称，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4，故D 正确．故选ACD.11．已知幂函数f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且满足f (a 2＋1)＋f (－5)>0，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2，2)解析 设幂函数y ＝f (x )＝x α，其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫8，12，所以8α＝12，即23α＝2－1，解得α＝－13，所以f (x )＝x －13.因为f (－x )＝(－x )－13＝－f (x )，所以f (x )＝x－13为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以f (a 2＋1)＋f (－5)>0可化为f (a 2＋1)>－f (－5)＝f (5)，可得a 2＋1<5，解得－2<a <2，所以实数a 的取值范围为(－2，2).12．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝______．答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又因为y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3，所以二次函数f (x )的图象与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f (x )＝a (x －1)(x －3).又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.二、高考小题13．(2022·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x答案 A解析 y ＝x 12＝x ，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝x 12在(0，＋∞)上单调递增．故选A.14．(2022·全国Ⅱ卷)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83答案 B解析 ∵当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)，∴当x ∈(0，1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0；∵f (x＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0；当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1，0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，0；…；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0；当x ∈(2，3]时，x －1∈(1，2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1，0]；….f (x )的图象如图所示．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，设f (m )＝－89，则4(m －2)(m －3)＝－89，∴m ＝73或m ＝83.结合图象可知，当m ≤73时，符合题意．故选B.15．(2022·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.16．(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以425<423，即b <a ，所以b <a <c .故选A.17．(2022·上海高考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．答案 －1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.三、模拟小题18．(2022·四川省宜宾市第四中学模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2 答案 D解析 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝f(5－12)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 答案C解析由2f(2)＝f(16)可得2·2α＝24α，∴1＋α＝4α，∴α＝13，即f(x)＝x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增．而由换底公式可得log42＝log22log24＝12，ln 2＝log22log2e，5－12＝15，∵1<log2e<2，∴log22log24<log22log2e，于是log42<ln 2，又15<12，∴5－12<log42，故a，b，c的大小关系是b>a>c.故选C.20．(2022·北京交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是()A．f(－1) B．f(1)C．f(2) D．f(5)答案 B解析∵对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝2，当a>0时，自变量取值离对称轴距离越近，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个是f(2).当a<0时，自变量取值离对称轴距离越远，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).故选B.21．(2022·湖北荆州质量检查)若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．(－∞，0] D．[0，＋∞)答案 B解析因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].故选B.22．(多选)(2022·河北省邢台市质量检测)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是()A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称D．方程f(x)＝0最多有两个实根答案ABC解析由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x·|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－c，B正确；∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0，0)对称，∴f (x )＝x |x |＋bx ＋c 的图象关于点(0，c )对称，C 正确；f (x )的图象可能如图，方程f (x )＝0有三个实根，D 不正确．故选ABC.23．(多选)(2022·江苏扬州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列结论成立的是( )A ．f (x )在R 上为偶函数B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x )有最小值－1D ．f (x 1)－f (x 2)<0 答案 ACD解析 函数f (x )的图象如图中实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而f (x )是偶函数，有最小值－1，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.故选ACD.24．(2022·湖南岳阳模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a .若a ＝0，则f (x )的最大值为________；若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 0 (－∞，0)解析 若a ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0，当x ≤0时，f (x )＝x 3，此时函数为增函数， 当x ＞0时，f (x )＝－2x ，此时函数为减函数， 故当x ＝0时，f (x )的最大值为f (0)＝0.当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图1所示，由图可知存在最大值；图1 图2当a ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图2所示，由图可知此时不存在最大值；已证当a ＝0时，函数f (x )有最大值． 综上所述，若f (x )无最大值，则a ＜0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·四川绵阳高三阶段测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2. 则F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. 故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0].2．(2022·广东汕头质检)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要条件，求实数k 的取值范围．解 (1)依题意得，(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，即B ＝[2－k ，4－k )， 由于p 是q 的必要条件，则B ⊆A ， 则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围为[0，1].3．(2022·辽宁大连模拟)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值. 解 (1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0，得a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞，1]. (2)f (x )＝(x －2)2＋a －1.当|a －2|≥|a ＋1－2|，即a ≤32时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3，解得a ＝0或a ＝3(舍去)；当|a －2|<|a ＋1－2|，即a >32时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3， 解得a ＝1＋132或a ＝1－132(舍去).综上，a ＝0或a ＝1＋132.4．(2022·甘肃甘谷第一中学第一次检测)已知函数g (x )＝x 2－(m －1)x ＋m －7. (1)若函数g (x )在[2，4]上具有单调性，求实数m 的取值范围；(2)若在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方，求实数m 的取值范围．解 (1)g (x )图象的对称轴为直线x ＝m －12， 因为函数g (x )在[2，4]上具有单调性，所以有m －12≤2或m －12≥4，所以实数m 的取值范围为(－∞，5]∪[9，＋∞). (2)因为在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方， 则x 2－(m －1)x ＋m －7>2x －9在[－1，1]上恒成立，即x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2>0在[－1，1]上恒成立，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2，x ∈[－1，1]， 则f (x )min >0，当m ＋12≤－1，即m ≤－3时，f (x )min ＝f (－1)＝2m ＋4>0，解得m >－2，无解； 当－1<m ＋12<1，即－3<m <1时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12＝－m 24＋12m ＋74>0，此时1－22<m <1；当m ＋12≥1，即m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝2>0，此时m ≥1. 综上，实数m 的取值范围为(1－22，＋∞).。

【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第四节 二次函数与幂函数课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2|x |，若f (－a )＋f (a )≤2f (2)，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－2,2]B ．(－2,2]C ．[－4,2]D ．[－4,4]2．(2016·某某模拟)已知f (x )＝ax 2－x －c ，若f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的大致图象是( )A B C D3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值X 围是( )A ．[0，＋∞) B．(－∞，0] C ．[0,4] D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)4．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2355．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝ax 2＋b |x |＋c (a ≠0)有四个单调区间，则实数a ，b ，c 满足( )A ．b 2－4ac >0，a >0 B ．b 2－4ac >0 C ．－b 2a >0 D ．－b2a <0二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是________．7．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________． 8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值X 围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围． 10．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，某某数a 的取值X 围．[冲击名校]1．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．22．已知函数f (x )满足f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max(p ，q )表示p ，q 中的较大值，min(p ，q )表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝()A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．163．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值X 围是________．4．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值X 围．5．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，某某数a 的取值X 围．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选A 由f (x )＝x 2＋2|x |，f (2)＝8知，f (－a )＋f (a )＝2a 2＋4|a |≤16，解得a ∈[－2,2]．2．解析：选C 法一：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可得a ＝－1，c ＝－2，所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，故选C.法二：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可知函数f (x )的大致图象为选项D ，又函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，所以f (－x )的大致图象为选项C.3．解析：选C 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.4．解析：选C 法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，又f (0)＝－2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 5≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤0，5a ＋23≥0，∴－235≤a ≤1.法二：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x－x在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.5．解析：选C x >0时，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，此时f (x )应该有两个单调区间，∴对称轴x ＝－b 2a >0；x <0时，f (x )＝ax 2－bx ＋c ，对称轴x ＝b2a<0，∴此时f (x )有两个单调区间，∴当－b2a>0时，f (x )有四个单调区间． 二、填空题6．解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.答案：1或27．解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16,4f (2)＝4(4a ＋c )＝16a ＋4c ＝16，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f (x )＝x 28．解析：∵当x ≥0时，f (x )＝x 2，且f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在R 上是增函数，又f (x ＋t )≥2f (x )＝f (2x )，∴x ＋t ≥2x ，∴t ≥(2－1)x .∵x ∈[t ，t ＋2]，∴t ≥(2－1)(t ＋2)，∴t ≥ 2.答案：[2，＋∞) 三、解答题9．解：(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)． (2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值X 围为(－∞，1)． 10．解：2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当a ＝0时，适合；当a ≠0时，x ＝0时，有－3<0恒成立；x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12，且a ≠0.综上，实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. [冲击名校]1．解析：选A 由题意知， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示．令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点． ．2．解析：选C 取a ＝－2，则f (x )＝x 2＋4，g (x )＝－x 2－8x ＋4，画出它们的图象，如图所示．则H 1(x )的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H 2(x )的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4＝y ，－x 2－8x ＋4＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝20，∴A ＝4，B ＝20，A －B ＝－16.3．解析：由题意得g (x )min ≤f (x )min 且g (x )max ≥f (x ) max ，f (x )在区间[－1,2]上的最大值f (x ) max ＝f (－1)＝3，f (x )在区间[－1,2]上的最小值f (x ) min ＝f (1)＝－1.由于g (x )＝ax ＋2(a >0)在区间[－1,2]上单调递增，则g (x ) min ＝g (－1)＝－a ＋2，g (x ) max ＝g (2)＝2a ＋2，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≤－1，2a ＋2≥3，解得a ≥3.答案：[3，＋∞)4．解：(1)f (x )＝a (x －1) 2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f3＝2，f 2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值X 围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．5．解：∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2. ∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]， 总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x ) max －f (x ) min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值X 围是[2,3]．。

2021高考一轮复习第七讲二次函数与幂函数一、单选题(共14题；共28分)1．（2分）已知幂函数f(x)=x n的图象过点(8,1)，且f(a+1)<f(3)，则a的取值范围是4（）A．(−4,2)B．(−∞,−4)∪(2,+∞)C．(−∞,−4)D．(2,+∞)2．（2分）已知函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m=（）A．0或4B．0或2C．0D．23．（2分）设a=(1)0.5，b=(13)0.5，c=log0.30.2，则a、b、c的大小关系是()2A．a>b>c B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b4．（2分）二次函数f(x)=−x2+2tx在[1 , +∞)上最大值为3，则实数t＝（）A．±√3B．√3C．2D．2或√35．（2分）已知二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，若f(x)在区间[3,+∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,0]B．[0,6]C．[6,+∞)D．(−∞,0]∪[6,+∞)6．（2分）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()A．B．C．D．7．（2分）若二次函数f(x)=ax2−x+4对任意的x1,x2∈(−1,+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则实数a的取值范围为（）A．[−1,0)B．[−12,+∞)C．(−12,0)D．(−12,+∞)28．（2分）如果二次函数y＝x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．｛-2,6｝B．（-2,6）C．[-2,6]D．(-∞，-2)∪(6，+∞)9．（2分）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b∈R,c∈R)，M,N分别是函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值，则M−N的最小值（）A．B．C．D．10．（2分）二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意项x∈R都有f(x)=f(4−x)成立，若f(1−2x2)<f(1+2x−x2)，则x的取值范围是（）A．B．或C．0D．或11．（2分）二次函数f(x)=x2−4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[−2，6]B．[−3，+∞)C．[−3，6]D．[−3，−2] 12．（2分）二次函数y=ax2+bx+c和y=cx2+bx+a( ac≠0, a≠c)的值域分别为M 和N,命题p:MÜ N,命题q:M∩N≠∅,则下列命题中真命题的是（）A．p∧q B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q)D．(¬p)∧q13．（2分）二次函数f（x）满足f（x＋2）＝f（-x＋2），且f（0）＝3，f（2）＝1，若在[0，m]上f （x）的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是（）A．（0，＋∞）B．[2，＋∞）C．（0，2]D．[2，4]14．（2分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题(共3题；共3分)15．（1分）幂函数f(x)的图像经过点P(4,2)，则f(9)=.16．（1分）已知集合A={−2,−1,−12,13,12,1,2,3}，任取k∈A，则幂函数f(x)=x k为偶函数的概率为（结果用数值表示）17．（1分）幂函数y=(m2−m−1)x−5m−3在x∈(0,+∞)时为减函数，则m=。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题一对一个性化教案高考压轴题——函数篇2学生签字：教学主任审批：华实教育一对一个性化学案教师：肖传略学生：日期: 年月日时间：第次课§教学内容：高考压轴题——函数篇2◆教学目标：掌握解决高考数学压轴题函数题型的一些相关解题方法◆重难点：掌握解决高考数学压轴题函数题型的一些相关解题方法◆教学步骤及内容： 一、不等式证明 作差证明不等式1. （湖南，最值、作差构造函数）已知函数x x x f -+=)1ln()(． (1)求函数)(x f 的单调递减区间； (2)若1->x ，求证：111+-x ≤)1ln(+x ≤x ． 解：(1)函数f (x)的定义域为(－1，+∞),1111)(+-=-+='x x x x f ，由0)(<'x f 得：⎪⎩⎪⎨⎧-><+-101x x x ，∴x ＞0,∴f (x)的单调递减区间为(0，+∞).(2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，0)(>'x f ，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，且(0)0f '=∴x ＞－1时，f (x)≤f(0)，∴x x -+)1ln(≤0，)1ln(+x ≤x 令111)1ln()(-+++=x x x g ，则22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g ， ∴－1＜x ＜0时，0)(<'x g ，x ＞0时，0)(>'x g ，且0)0(='g ∴x ＞－1时，g (x)≥g (0)，即111)1ln(-+++x x ≥0∴)1ln(+x ≥111+-x ，∴x ＞－1时，111+-x ≤)1ln(+x ≤x ．2. （湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用a 表示b ，并求b 的最大值；⑵求证：当0x >时，()()f x g x ≥．解：⑴设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()ag x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是 当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<． 故()h t 在13(0)e ，为增函数，在13()e ∞,+为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12333()2h e e =． ⑵设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．3. （全国II 理21，字母替换，构造函数）设函数()()2ln 1f x x a x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <⑴求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；⑵证明：()212ln 24f x ->解: ⑴()2222(1)11a x x af x x x x x++'=+=>-++令2()22g x x x a =++，其对称轴为12x =-。