初三数学抛物线知识点

中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解题思路：1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；解题思路1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论2.P在原点右侧比较简单3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan ∠ACM＝2时，求M点的横坐标；解题思路：1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标2.求出直线CF的解析式3.联立直线CF方程和抛物线方程，求交点坐标（求交点可以利用韦达定理）例5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；解题思路：1.分情况讨论，P在直线BC的上方和下方2.P在直线BC上方，利用∠PCB＝∠CBD得出PC平行BD，利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程，求交点坐标3.P在直线BC的下方，∠PCB＝∠CBD得出等腰三角形CFB，4.可以得出△BCD为直角三角形，，推出F为BD的中点5.求出直线CF的方程，再联立抛物线方程求出交点坐标例6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；解题思路：1.过点B做OA平行线2.∠ABD＝2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA，得出∠FBD=∠BAC3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标例7.已知抛物线y＝（x﹣1）2，D为抛物线的顶点，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．求证：∠PDQ＝90°；解题思路思路1.构造一线三垂直思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1思路3.利用勾股定理逆定理证明例8.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．连接BD，F为抛物线上一动点，当∠F AB ＝∠EDB时，求点F的坐标；解题思路：1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论2.AB在x轴上，利用tan∠FAB＝tan∠EDB去求最简便例9.如图，已知抛物线C1：交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标．解题思路：1.分D在BC上方和下方讨论2.找到特殊点发现tan∠OBC=3.利用角平分线的性质去求F坐标4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标例10，平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；解题思路：利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解例11.已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2，BC平分∠PCO时，求点P的横坐标．解题思路：1.角平分线联想到角平分线＋平行线得到等腰三角形2.利用PE=PC去求解（两点之间的距离公式）例12.抛物线y＝x2﹣1，M（﹣4，3），N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN ＝，求N点坐标；解题思路：构造一线三垂直课后练习1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．直线DC交x轴于点E，tan∠AED＝，求a的值和CE的长；2.已知抛物线y＝（x+1）2+1，点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上。

【初中数学】初中数学抛物线知识点归纳
【—归纳】平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

下面导师为大家带来的是
初中数学
知识点归纳之抛物线。

抛物线
y=ax^2+bx+c(a≠0)
Y等于a乘以x的平方加上B乘以x+C
置于平面直角坐标系中
a> 在0向上打开
a<0时开口向下
（a=0是一个单变量函数）
c>0时函数图像与y轴正方向相交
当C<0时，函数图像与Y轴的负方向相交
c=0时抛物线经过原点
当B=0时，抛物线的对称轴为y轴
(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)
顶点公式y=a（x+H）*2+K，（H，K）=-B/（2a），（4ac-B^2）/（4a））
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-H是顶点坐标的X
k是顶点坐标的y
它通常用于求最大值和最小值以及对称轴
抛物线标准方程：y^2=2px(p>0)
这意味着抛物线的焦点在X的正半轴上，焦点坐标为（P/2,0），拟线性方程为X=-P/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py
你已经看到了初中数学知识点归纳的抛物线。

你应该知道固定点是抛物线的焦点，固定线是抛物线的准直。

接下来，有越来越多完整的初中数学知识点等待大家记住。

数学知识点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）高考数学知识点：抛物线的性质（顶点、范畴、对称性、离心率）抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆．(2)关于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．利用抛物线的几何性质解题的方法：依照抛物线定义得出抛物线一个专门重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，能够进行求值、图形的判定及有关证明．抛物线中定点问题的解决方法：观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。

有的小孩说“乌云跑得飞速。

”我加以确信说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。

初中抛物线知识点总结
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

下面就是小编整理的初中抛物线知识点总结，一起来看一下吧。

抛物线
y=ax^2+bx+c(a≠0)
就是y等于a乘以x的平方加上b乘以x再加上c
置于平面直角坐标系中
a>0时开口向上
a<0时开口向下
(a=0时为一元一次函数)
c>0时函数图像与y轴正方向相交
c<0时函数图像与y轴负方向相交
c=0时抛物线经过原点
b=0时抛物线对称轴为y轴
(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)
还有顶点公式y=a(x+h)*2+k,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值和对称轴
抛物线标准方程：y^2=2px(p>0)
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py。

2019年中考初三数学知识点总结抛物线顶点坐标公式
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网小编给大家整理了2019 知识点总结抛物线顶点坐标公式内容，供大家参考学习。

2019 抛物线顶点坐标公式
y=ax?+bx+c的顶点坐标公式是/4a)
y=ax?+bx的顶点坐标是
相关结论
过抛物线y =2px焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A，B,有
①x1*x2 = p /4 , y1*y2 = —P ,要在直线过焦点时才能成立;
②焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[ ];
③+= 2/P;
④若OA垂直OB则AB过定点M;
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 ;
⑥弦长公式：AB=√*│x2-x1│;
⑦△=b -4ac;
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项;
⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p。

⑴△=b -4ac>0有两个实数根;
⑵△=b -4ac=0有两个一样的实数根;
⑶△=b -4ac<0没实数根。

上述是2018初三数学知识点总结抛物线顶点坐标公式内容，希望对大家的复习带来帮助，更多内容请关注教育网。

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初三数学抛物线的性质知识点概括
抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线独一的交点为抛物线的极点P。

特别地，当
b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个极点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

二次项系数a决定抛物线的张口方向和大小。

当a0时，抛物线向上张口 ;当a0时，抛物线向下张口。

|a|
越大，则抛物线的张口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的地点。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)
抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
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抛物线圆常用考点公式抛物线和圆是数学中非常重要且常见的图形，其相关公式是学习和理解这些图形的基础。

本文将详细介绍抛物线和圆的常用考点公式，包括它们的定义、性质和相关定理。

一、抛物线抛物线是指平面上点到定点的距离等于点到直线的距离的轨迹。

距离定点距离的一根直线称为准线，准线上的一点称为焦点。

抛物线的定义方程是：y = ax² + bx + c (a ≠ 0)其中a、b、c是常数。

1.抛物线的标准方程通过平移和旋转可将抛物线的一般方程转换为标准方程。

一般来说，抛物线的标准方程可以表示为：y = 4ax (a ≠ 0)其中a是常数。

2.抛物线的焦点、顶点和准线在抛物线上，有几个重要的点和直线：-焦点(F)：是抛物线上的一个固定点，满足焦点到抛物线上任意点的距离等于该点到抛物线的准线的距离。

-顶点(V)：抛物线的最高（或最低）点。

-准线：焦点(F)到对称轴的垂线。

3.抛物线的性质抛物线具有以下性质：-对称性：抛物线关于准线对称。

-单调性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

-零点：抛物线与x轴交点的坐标为(x,0)。

- 判别式：对于一般方程y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac 可用来判断抛物线与x轴的交点个数和性质。

4.抛物线的定理抛物线的相关定理有：-焦距定理：焦点到顶点的距离等于焦点到准线的距离。

-焦半径定理：离焦点距离为r的两个点与焦点的连线与准线的夹角是相等的。

二、圆圆是指平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的轨迹。

该固定点称为圆心，固定长度称为半径。

圆的定义方程是：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

1.圆的标准方程圆的标准方程可表示为：x²+y²=r²其中圆心位于原点(0,0)。

若圆心不在原点，则标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(h,k)是圆心的坐标。