初三数学总复习抛物线经典例题列举

抛物线专题考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换1.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为32. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程3.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p =, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p = ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p -，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证6.设A 、B 为抛物线px y22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。

初三抛物线试题大全及解析一、抛物线的基本概念抛物线是一种重要的几何图形，它在中考数学试题中占有重要地位。

抛物线通常由一条直线和一个二次曲线组成，它可以用来描述一些常见的数学问题，如二次函数、几何问题等。

二、抛物线试题类型1. 已知抛物线解析式求未知量2. 抛物线的性质与应用3. 抛物线的形状与开口方向、对称轴、顶点坐标的关系4. 抛物线与方程的综合题5. 与抛物线有关的实际问题三、抛物线试题解析【例1】（基础题）已知抛物线解析式为y=x²-2x-3，请回答下列问题：（1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？【解析】（1）因为a=1>0，所以抛物线开口向上。

对称轴为直线x=-b/2a=-(-2)/2=1，顶点坐标为（1，-4）。

（2）因为对称轴为直线x=1，且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大而增大。

【例2】（提高题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（1，0），B（0，-6），C（2，-4）三点，求这个二次函数的解析式。

【解析】由题意可设y=ax²+bx-6，把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。

再由点A（1，0）在抛物线上可求c值，即可得到二次函数的解析式。

【答案】解：由题意可设y=ax²+bx-6。

把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。

又因为图像经过A（1，0），B（0，-6），所以y=x²+x-6。

【例3】（压轴题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点。

求这个二次函数的解析式和图像的对称轴。

【解析】这道题需要用到待定系数法。

首先根据条件确定系数可能取到的值，再代入求出解析式。

然后根据对称性求出对称轴。

【答案】设这个二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k，将A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点代入得{c=5a+b+c=39a−2a+k=7解得{a=2k=5∴y=2(x−1)2+3图像的对称轴为直线x=1。

初中数学抛物线经典试题集锦编著】黄勇权第一组题型】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5，0 ），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式3、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点 C 为（2，4），并在x 轴上截得的长度为 6 。

（1）写出抛物线与x 轴交点 A 、B 的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y 轴交点P 的坐标4、直线的解析式为y=2x+4 ，交x 轴于点 A ，交y 轴于点B，若以 A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB 于点D，交y 轴负半轴于点 C ，（1）若△ ABC 的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△ BDO 的面积为8，求此时抛物线的解析式答案】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标解：【第一问】因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0 代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c -①将x=0，y=-8 代入y=x2+bx+c，得-8=c -------- ②将②代入①，解得：b=2 ------------------------------------ ③此时，将② ③代入y=x2+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】1△ABP的面积= 2│AB│*│y p│------------- ④因为A、B 两点在x 轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4所以：│ AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│ =6 ---- ⑤又△ ABP的面积=15 --------------------------------- ⑥1由④ ⑤ ⑥，得：2 *6* │y p│=15y p =5故有：y p= ± 5即：p 点的纵坐标为 5 或-5.把y=5 代入y=x2+ 2x -8 ，即：5=x2+ 2x -8x2+ 2x -13=0解得：x= -1 ± 14那么，此时p 点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）---- ⑦把y=-5 代入y=x2+ 2x -8，即：-5=x2+ 2x -8x2+ 2x -3=0 （x-1）（x+3）=0 解得：x= 1 或x= -3 那么，此时p 点坐标（1，-5），（-3，-5）⑧由⑦ ⑧得，使△ ABP的面积为15，p 点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5，0 ），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

过 K 点，并说明理由．
【答案】(1)66
(2)①基准点 K 的高度 h 为 21m；②b＞ 9 ； 10
(3)他的落地点能超过 K 点，理由见解析．
【分析】（1）根据起跳台的高度 OA 为 66m，即可得 c＝66；
（2）①由 a＝﹣ 1 ，b＝ 9 ，知 y＝﹣ 1 x2+ 9 x+66，根据基准点 K 到起跳台的水平距
3.2022 年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练
场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，过跳台终点 A 作水平线的垂线为 y 轴，建
立平面直角坐标系．图中的抛物线
C1
:
y
1 12
x2
7 6
x
1 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，
某运动员从点 O
正上方
（3）由抛物线 C1
:
y
1 12
x2
7 6
x
1 可知坡顶坐标为
(7, 61) ，此时即当 x 7时，运动员
12
运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过 3 米，即 y 1 72 7b c 61 3 ，由此即可求出 b
8
12
的取值范围．
【详解】
解：（1）根据题意可知：点
A（0，4），点
B（4，8）代入抛物线 C2
3
3
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的
运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分， 在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA 8m ，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m ．

初三数学抛物线解析式练习题抛物线是数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用和意义。

学好抛物线解析式对于初三学生来说非常重要，本文将为大家提供一些抛物线解析式的练习题，帮助大家加深对该概念的理解和掌握。

题1：已知抛物线的顶点为(2, 4)，焦点为(2, 2)，求抛物线的解析式。

解：由于抛物线的顶点和焦点的横坐标相同，所以抛物线的解析式可以表示为：y = a(x - 2)^2 + 4，其中a为待定系数。

再根据焦点的纵坐标可以得到：2 = a(2 - 2)^2 + 4，解方程可得a = -1/2。

因此，抛物线的解析式为：y = -1/2(x - 2)^2 + 4。

题2：已知抛物线的焦点为(-1, 2)，过点(2, 6)的直线是抛物线的切线，求抛物线的解析式。

解：首先，由于抛物线的焦点为(-1, 2)，所以抛物线的顶点的横坐标为-1。

设抛物线的解析式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待定系数。

由题意可得三个方程：1）过点(2, 6)：6 = 4a + 2b + c；2）抛物线的顶点：c = 2；3）抛物线的切线：6 = 4a(2 - 1) + 2b。

根据第二个方程可得c = 2，代入其他两个方程可得：1）6 = 4a + 2b + 2；2）6 = 4a + 2b。

解方程组可得a = 0，b = 3。

因此，抛物线的解析式为：y = 3x + 2。

题3：已知抛物线的焦点为(1, 1)，经过点(2, 3)，求抛物线的解析式。

解：与题2类似，设抛物线的解析式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待定系数。

由题意可得三个方程：1）过点(2, 3)：3 = 4a + 2b + c；2）抛物线的焦点：1 = a(1 - 1)^2 + b(1 - 1) + c；3）焦点与直线的距离公式：1 = 2a(1 - 1) + b(1 - 1) + c - 3。

化简方程2和方程3可得：1）1 = c；2）1 = c - 3。

抛物线专题练习1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )7．A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝163，则k＝.15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ⊥OP ⊥OQ ，⊥x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ⊥m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为⊥AGB 的平分线． 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.⊥抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：⊥点A (2，m )在抛物线E 上，⊥m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ⊥直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，⊥p ＝2. ⊥抛物线方程为y 2＝4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43， ⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34. ⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)， ⊥ MN 的方程为y －2＝－34x ， ⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45， ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。

2.4 抛物线的相关例题例1 点P 到（1，0）的距离比其到直线x+2=0的距离少1，求点P 的轨迹方程。

例2 已知点A （4,-2），F 为抛物线x y 82=的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，点M 的坐标是-______例3 求分别满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线。

（1）过点（-3,2）（2）焦点在x-2y-4=0上。

例4 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上有一点A （4，m ），其到准线的距离为6，则m=______例5 已知圆A ：1)2(22=++y x 与定值线l ：x=1，且动圆P 与圆A 外切，并与直线l 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

例6 抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程。

例7 已知抛物线x y 62=的弦AB 经过点P （4,2），且OB OA ⊥，O 为坐标原点，求弦AB 的长。

例8 已知抛物线x y 22=，过点Q （2，1）作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 的中点的轨迹方程。

例9 设抛物线x y82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是_____例10设抛物线x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么|PF|=_____例11 已知抛物线)0(22>=p px y 的准线为l ，过M （1，0）且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B 。

若MB AM=，则p=_____例12 已知过抛物线x y42=的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|=2，则|BF|=_____。

初三上册数学抛物线练习题抛物线是数学中的重要概念之一，研究抛物线可以帮助我们更好地理解数学中的曲线和函数。

在初三上册数学课程中，抛物线的相关知识有一定的难度，需要同学们进行充分的练习。

下面将为大家提供一些抛物线的练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。

题目一：抛物线的基本形式1. 将抛物线的标准形式 y = ax^2 + bx + c 转化成顶点形式 y = a(x -h)^2 + k。

2. 已知抛物线的顶点为 V(3, -2)，求抛物线的标准形式方程。

3. 抛物线的顶点为 V(4, -3)，经过点 P(2, 5)，求抛物线的方程。

题目二：抛物线的性质及应用1. 抛物线的对称轴是 x = h，如何通过方程的形式确定抛物线的对称轴？2. 已知抛物线的焦点为 F(1, 2)，直径所在直线方程为 2x + y - 7 = 0，求抛物线的方程。

3. 一架火箭垂直发射，其运动轨迹形如抛物线。

已知火箭从地面起飞经过点 A(0, 0)，最高点为 B(2, 3)，点 P 在抛物线上且 x 坐标为 4，求点 P 的纵坐标。

题目三：抛物线的图像与变化1. 已知抛物线的焦点为 F(2, -1)，直径所在直线为 x + y - 4 = 0，求抛物线的方程。

2. 如果抛物线的开口向上，顶点在 x 轴上，且焦点为 (0, 4)，求抛物线的方程。

3. 抛物线 y = k(x - a)(x - b) 所表示的图像开口向上还是向下？这里 a、b 和 k 均为常数。

题目四：抛物线的解析式1. 已知抛物线的顶点为 V(h, k)，过点 P(x1, y1)，求抛物线的解析式。

2. 已知抛物线经过两点 A(1, 2) 和 B(3, 4)，求抛物线的解析式。

3. 抛物线的顶点为 V(0, 0)，过点 P(-3, 4)，求抛物线的解析式。

以上就是一些初三上册数学抛物线练习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握抛物线的相关知识。

通过反复练习和解答这些题目，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩。

初三上抛物线练习题1. 已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的顶点为V(-1,4)，且过点P(3,12)，求抛物线的方程。

解析：由题意可知，顶点V(-1,4)是抛物线的最低点，也是对称轴的横轴坐标的负值。

因此，对称轴的方程为x=-1。

抛物线经过点P(3,12)，根据抛物线的性质可知，点P关于对称轴有对称点P'，且P和P'在抛物线上。

故点P'的横坐标为3关于对称轴的对称点，即-1-(3-(-1))=-1-4=-5。

纵坐标P'的值为12，即抛物线中点P'的坐标为(-5,12)。

由此可得到抛物线的方程为：y=a(x+1)^2+4（式1）。

将点P'的坐标(-5,12)代入式1，得到12=a(-5+1)^2+4，化简得12=a(16)+4，进一步化简为12=16a+4，再进一步化简为16a=8，最后得到a=0.5。

将a的值代入式1，得到抛物线的方程为y=0.5(x+1)^2+4。

2. 抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(2,0)和B(-5,0)，且过点C(1,6)，求抛物线的方程。

解析：由题意可知，点A(2,0)和B(-5,0)都在抛物线和x轴的交点上，即它们的纵坐标都为0。

代入抛物线的方程可得到两个方程：0=a(2)^2+b(2)+c （式2）0=a(-5)^2+b(-5)+c （式3）即4a+2b+c=0 （式4）25a-5b+c=0 （式5）同时，抛物线还过点C(1,6)，代入抛物线的方程可得到第三个方程：6=a(1)^2+b(1)+c （式6）即a+b+c=6 （式7）将式4和式5的等式左侧相加，并将式6的等式左侧加上6，可得：29a-3b+2c+6=0 （式8）将式4和式5的等式左侧相减，得：-21a+7b=-6 （式9）解方程组（式8，式9），得到a=3/7，b=-2/7，c=15/7。

将a、b、c的值代入抛物线的方程y=ax^2+bx+c，得到抛物线的方程为y=(3/7)x^2-(2/7)x+15/7。

抛物线习题精选精讲（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线，()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线()022φp px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：（1）12AB x x p =++ （2）pBF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2pA BB l B AA x ⊥==+于，则AF ， 122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2）当AB ⊥x 轴时，有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.代入抛物线方程：XY P H MNO (,0)2p F :2pl x =-22y px=Q XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p pp p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p pp x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有pBF AF 211=+成立.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线22y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）【证明】对方程22y px =两边取导数：22.py y p y y''⋅=∴=，切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =Q ，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-以下再举一例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =2111111.90A FB CFCA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法（1）解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+.由()223013y x mx x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +==-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：220x x +-=.解得： 2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.32AB ∴=，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 3XYAB FA 1B 11M C XOY ABMl x y +=ÿxyM(x,y)F 1(-c ,0)F 2(c,0)OH2:a l x c=-r 1r 2r 2物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（ ）A ．4B ．33C ．3D ．8 【解析】如图直线AF 3时∠AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p ==且∠KFM=60°，∴234,43AKFKF S ∆===选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的 面积用公式234S a ∆=计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说：12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到： ()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. XY O F(1,0)AK60°Y2=2px L:x=-1M这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

解：【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥，得：12*6*│y p│=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

【编著】 黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x ²+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15，请直接写出p 点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x ²+mx+n 经过点A （5，0），B （2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B 关于原点的对称点为C ，写出过A 、C 两点直线的表达式。

初中数学抛物线 经典试题集锦3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

解：【第一问】因为函数y=x ²+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x ²+bx+c ， 得 0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x ²+bx+c ，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将② ③代入y=x ²+bx+c ，所以：二次函数的解析式 y=x ²+ 2x -8【第二问】△ABP 的面积= 12│AB │*│y p │----------------------④ 因为A 、B 两点在x 轴上，令x ²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x 1=2，x 2= -4所以：│AB │=│X 1- X 2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP 的面积=--------------------------⑥由 ④ ⑤ ⑥，得 ： 12*6*│y p │=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入 y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入 y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

专题15抛物线15类常考题型汇总知识点梳理模块一抛物线的概念与基本性质【题型1】抛物线的焦半径相关计算【题型2】抛物线的焦点弦【题型3】抛物线的轨迹问题【题型4】抛物线的光学性质【题型5】抛物线的实际应用问题【题型6】利用几何性质计算求值模块二抛物线中最值问题【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题【题型8】直线到抛物线距离最小问题【题型9】抛物线中的线段和差最值问题【题型10】其它最值问题模块三抛物线与直线联立韦达化运算【题型11】焦点弦中点相关运算与证明【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算【题型13】不过焦点的弦长相关计算【题型14】垂直关系的处理【题型15】向量数量积的处理知识点梳理一、抛物线标准方程的几种形式y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p 2二、圆锥曲线第二定义结论：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为一个常数，即|MF ||MA |＝e . (1)当0＜e ＜1时，动点M 的轨迹是椭圆； (2)当e ＝1时，动点M 的轨迹是抛物线；(3)当e ＞1时，动点M 的轨迹是双曲线．此时定点F 为圆锥曲线的一个焦点，定直线l 叫做圆锥曲线对应该焦点F 的一条准线x ＝a 2c ，常数e 就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．三、抛物线的简单几何性质类型y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图象性质焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0F ⎝⎛⎭⎫0，p 2F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴y 轴顶点 O (0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左向上向下四、抛物线的焦点弦1．已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (3)S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (4)1|AF |＋1|BF |＝2p ；(5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p模块一 抛物线的概念与基本性质 【题型1】抛物线的焦半径相关计算C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝4，则以下结论正确的是( ) A ．p ＝2 B ．F 为AD 中点 C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝2【题型2】抛物线的焦点弦4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.5．已知AB 是抛物线2x 2＝y 的焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标为________．【题型3】抛物线的轨迹问题6．若动点P 到点()3,0的距离和它到直线3x =-的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．抛物线C ．直线D ．双曲线7．设圆22:4O x y +=与y 轴交于A ，B 两点（A 在B 的上方），过B 作圆O 的切线l ，若动点P 到A的距离等于P 到l 的距离，则动点P 的轨迹方程为（ ）【题型4】抛物线的光学性质11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( ) A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y12．抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线29x y =上一点P 作其切线交准线l 于点M ，PN l ⊥，垂足为N ，抛物线的焦点为F ，射线PF 交l 于点Q ，若MP MQ =．则MPN ∠= ，MN = ．13．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()5,4A 射出，经过抛物线上的点B 反射后，再经抛物线上的另一点C 射出，则BC = ．14．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线22y x =，若从点Q （3，2）发射平行于x 轴的光射向抛物线的A 点，经A 点反射后交抛物线于B 点，则AB = .【题型5】抛物线的实际应用问题15．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度6m AB =，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m16．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m 时，水面宽6.4m ，当水面下降0.9m 时，水面的宽度为（ ） A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m17．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为2m ，且水流落在地面上以O 为圆心，6m 为半径的圆内，则管柱OA 的高度为（ ） A ．2mB ．3mC ．2.5mD ．1.5m18．如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m 时，拱顶距离水面4m ，当水面上升1m 后，桥洞内水面宽为（ ）19．图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，水面宽4m ，水面下降2m 后，水面宽8m ，则桥拱顶点【题型6】利用几何性质计算求值．已知抛物线的焦点为，准线为，若，则．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线两点．若ABF △的面积等于△若2FM MN =，6y x =F ()1AF FB λλ=>4BD =模块二 抛物线中最值问题【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题26．已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上的一点，则|AB |的最小值为________．【题型8】直线到抛物线距离最小问题的最短距离为________，此时点P 的坐标为________．32．已知直线1:2160l x y --=和直线2:10l x +=，则抛物线24y x =上的动点P 到直线1l 和2l 的距离【题型9】抛物线中的线段和差最值问题33．已知P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为________．34．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点P 在C 上，若点()6,3Q ，则PQF △周长的最小值为（ ）． A ．13B ．12C ．10D ．8【题型10】其它最值问题36．知抛物线2:16C x y =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为6，39．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，若以AB 为直径的圆M经过焦点F ，则ABMN的最小值为________40．已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点），60，过)0,y 是抛物线模块三 抛物线与直线联立韦达化运算 【题型11】焦点弦中点相关运算与证明44．已知抛物线 ²4y x =的焦点为 F ，直线()():10l y k x k =->与该抛物线交于A 、B 两点，过AB 的中点Q 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若2PF =，则k = ．45．已知O 为坐标原点，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于,A B 两点．若D 为线段AB 的中段AB 的中点．(1)求m 的取值范围；(2)求证：点Q 的纵坐标为定值．47．物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算50．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为4－，求抛物线C 的方程．51．已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【题型13】不过焦点的弦长相关计算52．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．213B ．215C ．217D ．21953．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．【题型14】垂直关系的处理54．若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB .55．过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．【题型15】向量数量积的处理56．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中点A 在第一象限，若直线l 经过焦点F ，且12OA OB ⋅=-，则p =________ 57．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上点T (3，t )到焦点F 的距离为4. (1)求t ，p 的值；(2)如图所示，设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅= (其中O 为坐标原点)．求证直线AB 必过定点，并求出该定点的坐标．。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。

以下为题目和解答。

第一组题型】1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$1）求此二次函数的解析式；2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15，请直接写出$p$点的坐标。

解：第一问】因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$-----①。

将$x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$-------------②。

将②代入①，解得：$b=2$--------------------------------------③。

此时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-8$。

第二问】因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。

所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。

又$\triangle ABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot 6=30$，即$|y_p|=5$。

故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。

2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。

1）求抛物线的表达式及对称轴；2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、$C$两点直线的表达式。

解：第一问】因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$，分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$-----①。

将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$-6=8+2m+n$-------------②。

1 / 5数学中考题精选----------抛物线1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ， △AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标．2、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直线x ＝2． （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C （3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． ．4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴2 / 5上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ． （1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．5、如图，把抛物线y ＝－x 2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l 1，抛物线l 2与抛物线l 1关于y 轴对称．点A 、O 、B 分别是抛物线l 1、l 2与x 轴的交点，D 、C 分别是抛物线l 1、l 2的顶点，线段CD 交y 轴于点E ．（1）分别写出抛物线l 1与l 2的解析式；（2）设P 是抛物线l 1上与D 、O 两点不重合的任意一点，Q 点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．（3）在抛物线l 1上是否存在点M ，使得S △ABM ＝S 四边形AOED ，如果存在，求出M 点的坐标；如果不存在，请说明理由．6、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （3，0），B （2，－3），C （0，－3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）点P 从B 点出发以每秒个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ，求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值X 围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值． 说明理由．7、如图，二次函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴交于A （－21，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；3 / 5（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．8、如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－21，23），C （1，0），∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，33），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，是否存在这样的点P ，使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．9、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式； （2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值X 围；（3）若点E E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F4 / 511、如图，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．12、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线：x x y 22121+-= （1）求抛物线y 1的顶点坐标；（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式；（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．x ＝m5 / 514如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为，高为（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？15、已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）如图（2），点P 在直线．．OC ．．上运动，点Q在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图。

《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．22（1）x24 y （2）x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）p 2 ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 12 1 1（2）原抛物线方程为：y2 1 x， 2 p 1 a a①当 a 0时，p 1，抛物线开口向右，2 4a11∴焦点坐标是（1 ,0），准线方程是：x 1．4a 4a②当a 0 时，p 1，抛物线开口向左，2 4a11∴焦点坐标是（ ,0），准线方程是：x ．4a 4a2 1 1 综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（1 ,0），准线方程是：x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k ．故所求直线方程为： y 2x 2 ．则所求直线方程为： y 2x 2 ．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0)．如图所示，只须证明 A 2B MM 1 ，解法一：设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ，则由：y kx 22y 28x可得：k 2x 2 (4k 8)x 4 0．∵直线与抛物线相交， k 0 且 0， 则k1．∵AB 中点横坐标为： x 1 x 2 4k 82 k 22，解得： k 2 或 k 1舍去)．解法二： 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ，则有 y 1 28x 12y28x 2 ．两式作差解： ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ，即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ，k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去)．1MM 1AB ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．12说明：类似有： 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离， 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5，求 k 值．为 9 时，求 P 点坐标．求 P 点坐标．k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解：（ 1）由 yy4x 2x 得： 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ，即 k 4 2）S 9 ，底边长为 3 5 ，∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上，∴设 P 点坐标是 （x 0,0） 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ，即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5，即所求 P 点坐标是（－ 1，0）或（ 5，0）．典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积 分析：（1）题可利用弦长公式求 k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A （x 1,y 1）与B （x 2,y 2） 两点．则有：BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上)，n 为过A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B ，点 B 关于 AN 的对称点为 P ，求证 P 的轨迹为抛物线．分析：要证 P 的轨迹为抛物线， 有两个途径， 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程， 可先用第一种方法，由 A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA PN 且 PN l 即可． 证明： 如图所示，连结 PA 、PN 、NB ．由已知条件可知： PB 垂直平分 NA ，且 B 关于 AN 的对称点为 P ． ∴ AN 也垂直平分 PB ．则四边形 PABN 为菱形．即有 PA PN ．AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析： 此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：F(2p ,0)，若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时，则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦， F 为 C 的焦点，求证：1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：y k(x 2p)(k 0) ，且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) ．k(x p )2得：k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有：P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得：112P1F P2F p证法二：如图所示，设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ，且不妨设P2P2 n m P1P1 ，又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ，AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立．典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p ．sin分析： 此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一： 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0)， 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得： y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2，求证：x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ，则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二： 如图所示，分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l ．由抛物线定义有：AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P （3,2 3） ，它的一个焦点为 F （1，0），对应于该 焦点的准线为 x 1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ，若弦 AB 的长度不超过 8， 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点，求 （ 1） AB 的倾斜角 的取值范围．（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为 k ，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点， 可求出 k 的取值范围， 从而可得 的 取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即 可．于是可得出：AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立．解：(1)由已知得PF 4 ．故P到x 1 的距离 d 4 ，从而PF d ∴曲线C是抛物线，其方程为y24x ．设直线AB的斜率为k，若k 不存在，则直线AB与3x2∴k 存在．设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得：ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点．2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2)，则：y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8，24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得：(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点，k2由k21和k2 3可得： 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ，∴所求的取值范围是：3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得：(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标．分析： 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设 F 是y 2 x 的焦点， A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ， 又M 到准线的垂线为 MN ， C 、 D 和N 是垂足，则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得： 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为： 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， MN x ，则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F ．2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2，y 1 y 2 2 ， y5 2 5 所以 M(54, 22) ，此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 ．说明：本题从分析图形性质出发， 把三角形的性质应用到解析几何中， 解法较简．典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A 、B 两点， 求 AB 的最小值．分析：本题可分 2 和 2两种情况讨论．当 2 时，先写出 AB 的表达式， 再求范围．解：(1) 若 2 ，此时 AB 2p ．11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时， y 1y 2 P 214，故MN1AB ：y tan (x 2p )，即 x ta y n说明：(2) 若 2 ，因有两交点，所以 0．代入抛物线方程，有 ta 2 3n p y tan p 2 0 ．故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p ．因 2 ，所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ，当 2 时， AB 最小值 2p ．(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论；的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则 AA ' AF 1 2， 又 AA ' // x 轴 1 3 ． ∴ 2 3，同理 4 6 ， 而 2 3 6 4 180 ，∴ 3 6 90 ，∴ A 'FB ' 90 ．选 C ．②过AB 中点 M 作MM ' l ，垂中为 M '，∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切，切点为 M ' ．又 F ' 在圆的外部，∴ AF 'B 90 ． 特别地，当 AB x 轴时， M '与 F '重合， AF 'B 90 ．即 AF 'B 90 ，选 B ．典型例题十二例 12 已知点 M(3,2)， F 为抛物线 y 2 2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动， 当 PM PF 取最小值时，点 P 的坐标为 __________ ．分析： 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的，若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义，结合图形则问题不难解决．1 由定义知PF PE ，故PM PF PF PM ME MN 3 ．取等号时，M 、P、E三点共线，∴ P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为(2, 2) ．。

抛物线题型1：抛物线定义的应用1.已知F是抛物线产二X的焦点，A、B是该抛物线上的两点，，AF +B F^ = 3 ,则线段AB 的中点到了轴的距离为.2.设抛物线尸=8X的焦点为F,准线为1，点P为该抛物线上一点，PA 11，点A为垂足，如果直线AF的斜率为一、3，那么PF=.3.已知以F为焦点的抛物线尸二4X上的两点A、B满足AF = 3FB，则弦AB的中点到准线的距离为 ___________ .题型2：求抛物线的方程4.设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为X二 -2，则该抛物线的方程是.5.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是 ______ .6.已知抛物线过点P（—3,2），则该抛物线的标准方程为，其准线方程为7.已知抛物线的焦点F在直线X— " 一4"0上，则该抛物线的标准方程为其准线方程为 _________ .8.已知动圆与圆A：（X—3）2 +尸=9外切，且与y轴相切，则动圆圆心M的轨迹方程为9.若抛物线y2 = 2p X（P > 0 ）的焦点恰好是双曲线X2 一尸二2的右焦点，则p =10.若抛物线""2PX（p > 0）的准线经过双曲线X2 一尸二1的一个焦点，则p .11.已知抛物线的焦点是双曲线16X2 —9尸=144的左顶点，则该抛物线的标准方程为12.已知抛物线的焦点F在X轴上，直线y二 -3与该抛物线交于点A，并且।A F卜5，则该抛物线的标准方程为__________ .题型3：抛物线的性质13.已知抛物线C：产=2 p X（p > 0）过点A（1,—2），与抛物线C有公共点的直线1平行于OA（O为坐标原点），并且直线OA与1之间的距离等于5，则直线1的方程为14.过抛物线X2=2p y（p > 0）的焦点作斜率为1的直线1与该抛物线交于A、B两点，A、B在^X轴上的正射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为12J2，则p =.15.过点M(0,6)且与抛物线尸二-12"有一个公共点的直线方程为.16.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于4、B两点，交C的准线于D、E两点。