中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)

中考数学抛物线压轴题之角度关系处理（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为﹣2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC＝∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．（1）求a，b的值；（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x 轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．12．如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．17．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下方的抛物线上．①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂足为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；②过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．1．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．【分析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，由DO＝DP 可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【解答】解：（1）当y＝c时，有c＝﹣x2+bx+c，解得：x1＝0，x2＝b，∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，OA＝1，BC＝c﹣3，CP＝b．∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB，∴b＝3，c＝4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）当y＝0时，有﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点F的坐标为（4，0）．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）＝﹣m2+6m+1，∴S＝S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM＝OA•ME＝﹣m2+3m+＝﹣（m﹣3）2+5．∵﹣＜0，0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；当m＝3时，S取最大值，最大值为5．（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA．设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，∴n2＝（n﹣3）2+16，解得：n＝，∴点D的坐标为（，0）．设直线PD的解析式为y＝kx+a（k≠0），将P（3，4）、D（，0）代入y＝kx+a，，解得：，∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，．∴点M的坐标为（，）．综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；。

中考数学抛物线压轴题之任意角三角函数1．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O 的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．2．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP＝，求M点坐标．3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P是y轴上的动点，当△CMN的面积最大时，求△MPN的周长取得最小值时点P的坐标；（3）如图2，线段AE在第一象限内交BD于点E，其中tan∠EAB＝，将抛物线向右水平移动，点A平移后的对应点为点G；将△ABD绕点B逆时针旋转，旋转后的三角形纪为△A1BD1，若射线BD1与线段AE的交点为F，连接FG．若线段FG把△ABF分成△AFG和△BFG两个三角形，是否存在点G，使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；（2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标；（3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求点P的横坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE ∥CF．①若特征点C为直线y＝﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．6．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连BC交对称轴于G点，且BG ＝2CG．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有两动点M、N（点M在点N的下方），且MN＝6，若四边形ACMN的周长最小，试求AN+CM的长．（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使tan∠APC＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x﹣3交于点E，若tan∠DPE＝，求四边形BDEP的面积．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC①当△PBC的面积最大时，y轴上是否存在点M，使四边形PMAB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；②连接AC，当tan∠PBO＝2tan∠ACO时，请直接写出点P的坐标．10．综合与探究：如图，已知抛物线y＝2x2+4x﹣6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴相交于点D．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若点E为坐标平面内一点，且AE＝BE＝CE，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使tan∠ABP＝tan∠ABE？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，点A（m，n）是抛物线y＝x2上的任意一点（m＞0）．直线y＝kx+b经过点A，交y轴于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，∠ABO的平分线交x轴于点D，交AC延长线于点E，且AD⊥BE．（1）求证：AB＝AE；（2）求点D的坐标（用含m的代数式表示）并求OB的长；（3）若60°≤∠BAE＜90°，且n是整数．①直接写出满足条件的所有k的值；②当k取最大值时，在x轴上找一点P，使tan∠APB＝，直接写出此时OP的长．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣与x轴交于点A和点D（点A在点D左侧），点C和点B在y轴正半轴上，且OC＝OA，OB＝OD，将线段OB，OD分别绕点O逆时针旋转α°（0＜α＜90）得到OB′，OD′，点BD的对应点分别是B′D′，（1）点A的坐标是，点D的坐标是；（2）判断AB′与CD′的关系，并说明理由；（3）直线CD′与x轴相交于点N，当tan∠B'AN＝2时，点N的坐标是；（4）连接BD，点Q在BD上，且2BQ＝5DQ，点P是抛物线上的一点，直线PQ交x轴于点K，设△BPQ的面积为S1，△DKQ的面积为S2，当S1：S1＝15：2时，直接写出满足条件的点P的纵坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝，5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR ∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．15．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于点D，E（﹣2，3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，过点P作PF⊥CD，垂足为F，连接PE交y轴于G，求证：FG∥DE；（3）如图2，在（2）的条件下，过点F作FM⊥PE于M．若∠OFM＝45°，求P点坐标．18．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求k的值和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．②连接BN，当∠PBN＝45°时，求m的值．19．如图1，直线AD对应的函数关系式为y＝﹣2x﹣2，与抛物线交于点A（在x轴上），点D．抛物线与x 轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连结CD，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线AD与y轴交点为F，若点P由点D出发以每秒1个单位的速度沿DE边向点E移动，1秒后点Q也由点D出发以每秒3个单位的速度沿DC，CO，OE边向点E移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒，当PQ⊥DF时，求t 的值；（图3为备用图）（3）如果点M是直线BC上的动点，是否存在一个点M，使△ABM中有一个角为45°？若存在，直接写出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．20．已知抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于点B，且该抛物线经过点E（4，3），联结BD．（1）求点E关于直线BD的对称点E′的坐标：（2）联结BC，若点P在直线x＝2左侧的抛物线上，且∠PDB＝∠OBC，求点P的坐标：（3）点M在x轴负半轴上，如果∠AMB＝45°，求点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP＝，求M点坐标．解析：1．【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），可得a＝﹣，b＝﹣，∴y＝﹣x2﹣x+6；（2）过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，∵tan∠AED＝，∴AN＝，NE＝3，Rt△AFN∽Rt△EFO，∴，∵EF2＝OF2+4，∴NF＝3﹣EF，∴＝，∴OF＝2，∴F（﹣2，0），∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6时，x＝，∴D（，）；（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，∴Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），当P点在C点时，Q（﹣6，6），∴Q点的轨迹长为2，故答案为2．2．【解答】解：（1）如图①，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C．∴A（﹣5，0），C（5，0）．∴OC＝OA＝5．∵S△ABC＝20，∴AB＝8．∴OB＝3．∴B（3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A，B两点，∴．解得．∴抛物线解析式为：；（2）如图②，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交AC于点G设点P的横坐标为3n，则纵坐标为：．∴E（0，﹣3n2﹣2n+5），F（﹣3n，0）．∴OE＝﹣3n2﹣2n+5，OF＝﹣3n在矩形PEOF中，PE＝OF，PF＝OE，∴PE＝﹣3n，PF＝﹣3n2﹣2n+5．∵OC＝OA＝5，∴AF＝5﹣3n，∠OAC＝∠OCA＝45°．∴∠PDE＝∠DPE＝45°．∴．∵PD＝3PH，∴．∵∠DPE＝45°，∴∠GPH＝45°．∵PH⊥AC，∴PG＝﹣2n．∵∠OAC＝45°，∴AF＝GF＝5+3n，∴PF＝﹣2n+5+3n＝n+5．∵PF＝﹣3n2﹣2n+5，∴n＝﹣1或n＝0（舍）∵点P在第二象限的抛物线上．∴n＝﹣1．∴；（3）∵M（m，7+m），∴点M在直线y＝x+7上．∵n＝﹣1，∴P（﹣3，4）．∴点P也在直线y＝x+7上．①如图③，当点M在点P上方时，过点M作MN⊥PE于点N∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴N（m，4）．∴PN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN＝7+m﹣4＝m+3．∴∠MPN＝∠PMN＝45．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝∠MPN+∠DPE＝90°．在直角三角形PMN中，PN＝m+3，MN＝m+3，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣2．∴M（﹣2，5）；②如图④，当点M在点P下方时，过点M作MK⊥EP延长线于点K，∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴K（m，4）．∴PK＝﹣3﹣m，MK＝4﹣（7+m）＝﹣3﹣m．∴PK＝MK．∴∠MPK＝∠PMK＝45°．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝180°﹣∠MPK﹣∠DPE＝90°．在直角三角形PMK中，PK＝﹣3﹣m，MK＝﹣3﹣m，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣4．∴M（﹣4，3）．∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣4，3）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵对称轴为x＝＝，且C，D关于对称轴对称，∴D（，2）．令y＝0，则0＝﹣x2+x+2，∴x1＝﹣，x2＝2，∴A（﹣，0），B（2，0），设直线AD解析式y＝kx+b，．解得：k＝1，b＝，∴直线AD解析式y＝x+；（2）如图1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT设M（m，2），则T（m，m+）∵A（﹣，0），D（，2），∴AH＝DH∴∠DAH＝∠ADH＝45°＝∠CDA∵MT∥DH，KN∥CD∴∠KNT＝∠KTN＝45°＝∠CDA∴KT＝KN，MT＝MD∵MN∥BD，∴∠MND＝∠ADB且∠CDA＝∠DAB∴△ADB∽△MND，∴＝＝，∴ND＝MD．∵DT＝MD，∴NT＝MD．∵KN∥CD，∴＝＝，∴KT＝MT∴KM＝MT＝（﹣m）∴S△CMN＝CM×KM＝m×（﹣m）＝﹣m2+m∴当m＝时，S△CMN最大值．∴M（，2）．如图2 作M关于y轴对称点M1（﹣，2），由B（2，0），D（，2）得到直线BD的解析式为：y＝﹣2x+4．∵MN∥BD，∴设直线MN的解析式为：y＝﹣2x+t．把M（，2）代入求得：y＝﹣2x+3．联立方程组，解之得，即N（，），由M1（﹣，2），N（，）得到直线M1N的解析式为：y＝﹣x+．令x＝0，则y＝，即：P（0，）．（3）如图3：①当AG＝FG，∠GFB＝90°时，∵tan∠EAB＝，∴设FH＝a，则AH＝2a，设AG＝FG＝x，则GH＝2a﹣x ∵FH2+GH2＝FG2∴a2+（2a﹣x）2＝x2∴x＝a，∴GH＝a，∵FH⊥AB，GF⊥FB∴∠FBG＝∠GFH∴tan∠GFH＝tan∠FBG∴＝，∴BH＝ a∵AH+BH＝AB＝3，∴2a+a＝3，∴a＝，∵OG＝AG﹣AO∴OG＝×﹣＝，∴G（，0）．不会题意，舍去．②如图4当FG＝BG，∠AGF＝90°时，设GF＝a，则AG＝2a，BG＝a，∴AB＝AG+BG＝3a＝3，∴a＝，∴G（，0）；③如图5：当FG＝BG，∠AFG＝90°时，设GF＝a，则BG＝a，AG＝a．∴AB＝AG+BG＝a+a＝3，∴a＝，∵OG＝AG﹣AO＝a﹣＝，∴G（，0），综上所述G（，0），（，0），（，0）．4．【解答】解：（1）该二次函数的对称轴是：直线x＝﹣＝﹣1；（1分）∵当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，连接AC，BC，∵S△ABC＝AB•OC＝12，AB＝6，∵A、B关于直线x＝﹣1对称，∴A（﹣4，0），B（2，0），把B（2，0）代入y＝ax2+2ax﹣4中得：4a+4a﹣4＝0，a＝，∴二次函数的解析式为：y＝x2+x﹣4；（2分）（2）如图1，∵∠BOC＝∠AOD＝90°，且OB＝2，OC＝OA＝4，∴＝，分两种情况：①当△AOD∽△COB时，＝2，∴OD＝2，即D1（0，2）或D2（0，﹣2）；②当△AOD∽△BOC时，，∴OD＝2OA＝8，即D3（0，8）或D4（0，﹣8）；综上所述，点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（6分）（3）如图2，过D作DF⊥x轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时，由（1）得：A（﹣4，0），∵D（﹣2，1），∴AF＝2，DF＝1，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，得tan∠ADF＝＝2，延长DF交抛物线于P1，则P1就是所求，∴P1（﹣2，﹣4）；（8分）②当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G，使得AG＝AP1，连接DG，作GH⊥x轴于H，∴△GHA≌△P1FA，∴HA＝AF，GH＝P1F，∵A（﹣4，0），P1（﹣2，﹣4），∴G（﹣6，4），易得DG的解析式为：y＝﹣x﹣，在△ADP1中，DA＝，DP1＝5，AP1＝2，∴，∴∠DAP1＝90°，∴DA⊥GP1，∴DG＝DP1，∴∠ADG＝∠ADP1，∴tan∠ADG＝tan∠ADP1＝2，设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求，设P2（x，+x﹣4），代入DG的解析式中，﹣x﹣＝+x﹣4，解得x＝，∵P2点在第二象限，∴P2点的横坐标为x＝（舍正）（11分）综上，P点的横坐标为﹣2或．（12分）5．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y＝ax+b，解得：a＝3，b＝0，∴直线y＝3x，抛物线解析式：y＝3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b＝0，∴（ax+b）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣，x＝1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y＝﹣4x上一点，∴b＝﹣4a．∵抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF＝1．∵特征直线y＝ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE＝DF＝1．∴a＝﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜||＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE＝DF，由题意可得：1+＝a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b＝2a2﹣2a即：b＝2（a﹣）2﹣当b＝2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1时，可得﹣≤b＜0综上所述：或﹣≤b＜0．6．【解答】解：（1）如图，设抛物线的对称轴交x轴于点D，则DG∥OC，∵BG＝2CG，∴BD：OB＝BG：CG＝2，∴BD＝2OD，∴B点的横坐标是3．将B（3，0）代入y＝（x﹣1）2+m，得4+m＝0，解得m＝﹣4．∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，将点C（0，﹣3）向上平移6个单位得C′（0，3），连BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位得点M，则AN+CM最小．∵CC′∥MN，CC′＝MN＝6，∴CC′NM是平行四边形，∴C′N＝CM．∵A、B两点关于MN对称，∴BN＝AN，∴AN+CM＝BN+C′N＝BC′．∵B（3，0），C′（0，3），∴BC′＝＝3，即四边形ACMN的周长最小时，AN+CM的长为3；（3）如图，在x轴正半轴上取一点D，使OD＝9．∵tan∠ADC＝＝＝，tan∠APC＝，∴tan∠ADC＝tan∠APC，∴∠ADC＝∠APC，∴A、C、D、P四点共圆，易证∠ADC＝∠ACO，∴∠ADC+∠DAC＝∠ACO+∠DAC＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD是直径，∠APD＝90°．设在第一象限的抛物线上存在点P（x，y），使tan∠APC＝，则x＞0，y＞0．∵AP2+PD2＝AD2，A（﹣1，0），D（9，0），∴（x+1）2+y2+（x﹣9）2+y2＝102，化简整理，得y2＝（x+1）（9﹣x），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），∴（x+1）2（x﹣3）2＝（x+1）（9﹣x），∵x＞0，∴x+1≠0，∴（x+1）（x﹣3）2＝（9﹣x），化简整理，得x3﹣x2+4x＝0，∵x（x﹣1）（x﹣4）＝0，∵x＞0，∴x＝1或4，当x＝1时，y＝﹣4＜0，不合题意舍去；当x＝4时，y＝5＞0，符合题意．故所求P点坐标为（4，5）．7．【解答】解：（1）∵直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A（1，0），B（0，﹣3），∵抛物线y＝ax2+2x+c过点A（1，0），B（0，﹣3）∴，解得．∴y＝x2+2x﹣3，∴y＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）①∵B、C两点关于直线x＝﹣1对称，∴C（﹣2，﹣3），BC∥x轴∴AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝3x+b，∵C（﹣2，﹣3），∴﹣6+b＝﹣3，∴b＝3，∴直线CD的解析式为y＝3x+3∴D（0，3），②作DF⊥PE于F，则PF＝7，在Rt△DFP中，tan∠DPE＝＝＝，∴DF＝3，∴P（3，﹣4），即EP的方程为x＝3，∵点E在直线y＝3x﹣3上，∴y＝3×3﹣3＝6，∴点E（3，6），∴S四边形BDEP＝（BD+EP）•DF＝（6+10）×3＝24．8．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝，点N的横坐标为：+＝5，故点N的坐标为（5，﹣3）；（3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝，即点R的坐标为：（，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AR的表达式为：y＝﹣x+2…②，联立①②并解得：x＝，故点F（，﹣）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝＝，则sinα＝，cosα＝；①当0≤t≤时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，则DT＝＝＝＝t，DS＝，S＝S△DST＝DT×DS＝t2；②当＜t≤时（右侧图），同理可得：S＝S梯形DGS′T′＝×DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝t﹣；③当＜t≤时，同理可得：S＝t+；综上，S＝．9．【解答】解（1）∵直线y＝x﹣5经过点B，C，点B（5，0），C（0，﹣5），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5…①；（2）①存在．如图1，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D．设点P（m，﹣m2+6m﹣5），则点D的坐标为（m，m﹣5）∴PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m，S△PBC＝PD×OB＝×（﹣m2+5m）×5＝﹣m2+m，∵0＜m＜5，当m＝时，S△PBC取得最大值，此时点P的坐标为（，），如图1，作点P关于y轴的对称点P’，连接P’A交y轴于点M，连接MP，此时，MP+MA的值最小，∵PB，AB为定长线段，此时四边形PMAB的周长最小，点P的坐标为（，），∴点P′的坐标为（﹣，），∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣5交x轴于A，B两点，且B（5，0），点A的坐标为（1，0），∴直线P′A的解析式为y＝﹣x+，∴点M的坐标为（0，）；②在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，则tan∠P′BO＝2tan∠ACO＝，如图2，当点P′位于第一象限时，过点B作直线BE交抛物线于点P′、交y轴于点E，设直线BP′的表达式为：y＝﹣x+b，将点B的坐标代入上式并计算得：b＝2，故直线BP′的表达式为：y＝﹣x+2…②，联立①②并解得：x＝（不合题意值已舍去），则点P′的坐标为（，）；当点P″位于第四象限时，同理可得P″（，﹣）；故点P的坐标为（，）或（，﹣）．10．【解答】解：（1）令y＝0，得2x2+4x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣6）；（2）∵EA＝EB＝EC，∴点E在AB的垂直平分线上，同时也在AC的垂直平分线上，∵y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，∴设E（﹣1，m），如图1，连接AE，EC，过点E作EG⊥y轴于点G，则AD＝2，DE＝﹣m，EG＝1，GC＝m+6，∵EA＝EC，∴22+m2＝12+（m+6）2，解得m＝﹣，∴点E的坐标为（﹣1，﹣）；（3）抛物线上存在点P，使tang∠ABP＝tan∠ABE，①当点P在x轴下方时，如图2﹣1，连接EB，PB，PB与直线l相交于点F，在Rt△DBE中，tan∠ABE＝＝，∴tan∠ABP＝tan∠ABE＝2，∴在Rt△DBF中，＝2，∴F（﹣1，﹣4），将B（1，0），F（﹣1，﹣4）代入y＝kx+b，得，解得：k＝2，b＝﹣2，∴y BF＝2x﹣2，联立y＝2x2+4x﹣6与y BF＝2x﹣2，得2x2+4x﹣6＝2x﹣2，解得x1＝1，x2＝﹣2，∴P（﹣2，﹣6），②如图2﹣2，当点P在x轴上方时，点F关于x轴的对称点F'的坐标为（﹣1，4），将B（1，0），F'（﹣1，4）代入y＝kx+b，得解得：k＝﹣2，b＝2，∴y BF＝﹣2x+2，联立y＝2x2+4x﹣6与y BF'＝﹣2x+2，得2x2+4x﹣6＝﹣2x+2，解得x1＝1，x2＝﹣4，∴P（﹣4，10）；综上所述，在抛物线上存在点P，使tan∠ABP＝tan∠ABE，满足条件的点P的坐标为（﹣2，﹣6），（﹣4，10）．11．【解答】解：（1）∵AC⊥x轴，∴AC∥OB，∴∠E＝∠ABE＝∠OBD，∴AB＝AE；（2）在等腰三角形ABE中，∵AD⊥BE，∴D是BE的中点，∴BD＝DE，∠EDC＝∠BDO，∠ACO＝∠BOD＝90°，∴△EDC≌△BDO（AAS），∴OD＝DC，OB＝CE，点A（m，n），则：OC＝m，AC＝n，点D的坐标为（m，0）；AE＝AC+CE＝AC+OB＝n+CE＝n+OB，AB2＝（AC﹣OB）2+OC2＝m2+（n﹣OB）2，由AB2＝AE2，解得：OB＝＝1，即点B的坐标为（0，1），（3）①点B的坐标为（0，1），则直线AB的表达式为：y＝kx+1 点A时抛物线和直线的交点，则：n＝km+1，n＝m2，整理得：n2﹣2（2k2+1）n+1＝0，…当n＝0时，k无解，当n＝1时，k无解，当n＝2时，k＝，当n＝3时，k＝，…经验证只有n＝2，3时，符合题意，即：当k＝或时，n为整数，即k值为或；②连接BP交AE于点M，tan∠APB＝，则∠APB＝60°，当k＝为最大值，则∠BAE＝60°＝∠APB，MC∥OB，则△ABE为等边三角形，则：AB＝2BD＝4OB＝4，CO＝2，又∠APB＝∠APB，∴△BAM∽△BPA，∴，即：BP•BM＝AB2＝16，∵MC∥AB，∴，即：，设：OP＝S，在Rt△BOP中，1+S2＝BP2＝，解得：S＝，即：OP的长为．12．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣＝0，解得：x＝7或﹣4，∵点A在点D左侧，∴A（﹣4，0），D（7，0）故答案为：（﹣4，0），（7，0）；（2）AB'＝CD'且AB'⊥CD'，理由是：如图1，由旋转得：OD＝OD'，OB＝OB'，∠DOD'＝∠BOB'，∵OB＝OD，OA＝OC，∴OB'＝OD'，∵∠DOB＝∠AOC，∴∠COD'＝∠AOB'，∴△AOB'≌△COD'，∴AB'＝CD'，∠AB'O＝∠CD'O，延长D'C交OB'于H，交AB'于G，∵∠BOD＝∠B'OD'＝90°，∠OHC＝∠GHB'，∴∠B'GH＝∠B'OD'＝90°，∴AB'⊥CD'；（3）如图2，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵tan∠B'AN＝2，即＝2，∴MO＝8，∴M（0，8）或（0，﹣8），易得△AOM≌△CON，∴ON＝OM，∴N（8，0）或（﹣8，0），故答案为：（8，0）或者（﹣8，0）；（4）如图3，点P在x轴上方时，过点P作PM⊥BD于M，过K作KN⊥BD于点N，过P作PI⊥x轴于点I，过Q作QH⊥PI于H，∵BQ：DQ＝5：2，可得Q（5，2），∵S△BPQ：S△KDQ＝15：2，∴＝，∴＝＝，可得PM：KN＝3：1，∵PM∥KN，∴△PMQ∽△KNQ，∴，同理得：PH：HI＝3：1，∵HI＝2，∴PH＝6，∴所以P点纵坐标为8；如图4，点P在x轴下方时，过点P作PM⊥BD于M，过K作KN⊥BD于点N，过P作PI⊥x轴于点I，过Q 作QH⊥PI，交PI的延长线于H，同理得：Q（5，2），PM：KN＝PQ：KQ＝PH：HI＝3：1，∵HI＝2，∴PI＝4，所以P点纵坐标为﹣4．综上，所以P点纵坐标为8或﹣4．13．【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F的纵坐标为3，把y＝3代入y＝﹣x2+x+3得，3＝﹣x2+x+3；解得x＝0或x＝4，∴F（4，3）∴OH＝4，∵∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠EDH＝90°，∴∠OCD＝∠EDH，在△OCD和△HDE中，，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH＝OC＝3，∴OD＝4﹣3＝1；（3）①如图3，连接CE，DF，。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（角度问题）1．如图，抛物线2y ax2x c=++（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当:COD COBS S＝1：3时，求点F的坐标；(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣32），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC∠的度数；(2)若ACO CBD∠=∠，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围． 3．如图1，直线y ＝2x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A 、C 两点的抛物线232y ax x c =++与x 轴的另一交点为B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是抛物线在第一象限内的一点，连接OD ，将线段OD 绕O 逆时针旋转90°得到线段OM ，过点M 作MN ∠x 轴交直线AC 于点N ．求线段MN 的最大值及此时点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点E 是点A 关于y 轴的对称点，连接DE ，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得∠PED ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标； (3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线211322y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，D 为线段AB 上一点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)过点D 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，与直线BC 相交于点F ，求出点E 到直线BC 距离d 的最大值；(3)连接CD ，作点B 关于CD 的对称点B '，连接AB '，B D '．在点D 的运动过程中，ADB ∠'能否等于45°？若能，请直接写出此时点B '的坐标，若不存在请说明理由．6．如图1，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A (﹣2，0)，B (4，0)，抛物线的顶点为C ，作射线AC ，BC ．动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AC 做匀速运动，动点Q 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC 运动．(1)填空：b ＝_____，c ＝_____，C 的坐标为_____．(2)点P ，Q 运动过程中，∠CPQ 可能为等腰三角形吗？说明理由．(3)如图2，连接PO ，QO ，当∠POQ ＝30°时，直接写出t 的值．7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点，1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标； (3)当点P 是抛物线上第一象限上的点，1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______． 8．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点A （-2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求抛物线24y ax bx =+-的表达式； (2)如图2，点E （x ，0）是线段OB 上的点，过点E 作与x 轴垂直的直线与直线BC 交于点F ，与抛物线交于点G ．∠线段FG 的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，说明理由； ∠连接CG ，当∠DCG =∠ACO 时，求点G 的坐标；(3)若点P 是直线BC 下方的抛物线上的一点，点Q 在y 轴上，点M 在线段BC 上，当以C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是菱形时，直接写出菱形的边长．9．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在这样的点P ，使得∠ACP=∠ABC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点D 为线段BC 上一点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，连结BE ．当∠DBE =90°时，求BEC S ∆．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-2x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)找出图中与∠DAB 相等的一个角，并证明；(3)若点P 是第二象限内抛物线上的一点，当点P 到直线AC 的距离最大时，求点P 的坐标．11．如图所示：二次函数26y ax bx =+-的图象与x 轴交于()2,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求二次函数表达式及直线BC 的函数表达式；(2)如图1，若点M 为抛物线上线段BC 右侧的一动点，连接CM ，BM ．求四边形ACMB 面积最大时点M 的坐标；(3)如图2，该抛物线上是否存在点P ，使得ACO BCP ∠=∠？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知如图，二次函数23y x bx =++的图像与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连接AC 、BC ，tan 1ABC ∠=，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点E ，当AE CE +取得最小值时，E 点坐标为________；此时AE 与BC 的位置关系是________，tan ACE ∠=________；(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M ，满足ACB BAM ∠=∠，若存在求M 点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)若抛物线上一动点Q ，当BAQ ACO ∠=∠时，直接写出Q 点坐标________． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于B ，C 两点（C 在B的左侧），与y 轴交于点A ，已知()0,4A -，2OA OB =．(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q 是线段AC 下方抛物线上一点，过点Q 作QD 垂直AC 交AC 于点D ，求DQ 的最大值及此时点Q 的坐标；(3)点E 是线段AB 上一点，且14AOE AOC S S =△△；将抛物线212y x bx c =++沿射线AB 的方向平移，当抛物线恰好经过点E 时，停止运动，已知点M 是平移后抛物线对称轴上的动点，N 是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．14．如图，抛物线()()22369=++-+y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知()3,0B ．(1)m 的值是________；(2)P （异于点A ）为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，求点P 的坐标：(3)Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．16．我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“足距”，记作AB ．根据该约定，完成下列各题：（1）若点1(,6)A x ，2(,4)B x -．当点A 、B 在函数2y x =的图象上时，AB =______；当点A ，B 在函数24y x=-的图像上时，AB =______； （2）若反比例函数()11k y k x -=≠的图象上有两点()1,A x k ，()22,B x k k -，当AB k =时，求正整数k 的值． （3）在（2）条件下抛物线223y kx x =+-与x 轴交于1A ，1B 两点，与y 轴交于点C ．如图，点D 是该抛物线的顶点，点(,)P m n 是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接1A D 、1A C 、1A P ，当1112PA B CA D ∠=∠时，求m 的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象与x 轴交于O 、A 两点，其顶点B 的坐标为（2，﹣6）．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，点C 是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO 、CO ，当∠OBC 是以BC 为腰的等腰三角形时，求点C 的坐标；（3）如图2，P 是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP ，与对称轴交于点M ，点Q 在OP 上，满足OQ PQ ＝21，设点P 的横坐标为n ； ∠请用含n 的代数式表示点Q 的坐标（，）；∠连接BQ ，OB ，当∠OBQ 的面积为15时，求点P 的坐标；∠当∠POA ＝2∠OBM 时，直接写出点P 的横坐标．18．如图1，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，抛物线212y x bx c =-++经过点A 、B ，在线段OA 上有一动点(),0D m ，点D 不与O 、A 重合，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点C 是DE 的中点时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'D A 、'D B ，直接写出''12D A D B +的最小值．参考答案：1．(1)223y x x =-++；(2)F （35，125）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．2．(1)A （-1，0）；B （2m +1，0）；C （0，2m +1）；45OBC ∠=︒(2)1m =(3)0m <<3．(1)213222y x x =-++ (2)最大值为3；()2,3D(3)存在，11P ⎛ ⎝⎭，()20,2P4．(1)213 2.22y x x (2)79,28D 或121,.28(3)点D 的横坐标为2或2911．5．(1)A （-2，0），B （3，0），C （0，3）；(2)点E 到直线BC 的距离d ；(3)在点D 的运动过程中，∠ADB '能等于45°，此时点B ′的坐标为（0，-或（-，3）．6．；(1， (2)不可能，理由见解析(3)t 的值为：17．(1)2=23y x x --(2)点P 的坐标为()9,0(3)点P 的坐标为()4,58．(1)2142y x x =-- (2)∠当2x =时，FG 有最大值，FG 的最大值=2；∠G （3，－52）或（1，－4.5）． (3)2或49．(1)2=+43y x x --(2)存在点P ，使得∠ACP=∠ABC ，点P 的坐标为7524,⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3△BEC S =10．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点D 的坐标为（﹣1，4）(2)∠ACB ，证明见解析(3)点P 坐标为（32-，154）11．(1)26y x x =--，26y x =-(2)点M 的坐标为321,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)存在，（2，-4）或（8，50）12．(1)y =x 2-4x +3；(2)（2，1）；AE ∠BC ，12； (3)存在，M 点的横坐标为52或72； (4)Q 点的坐标为(103，79)或(83，59-) ．13．(1)2142y x x =+-(2)DQ ()2,4Q -(3)N 点坐标为(2,或(2,-或()2,0-或52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，见解析14．(1)1-(2)()2,1P ，⎝⎭P ，⎝⎭P (3)75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q15．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或2y x =+或2y x =+． 16．（1）5；10；（2）1；（3）74m =17．（1）a ＝32，b ＝﹣6；（2）点C 的坐标为（2，6--2，6-+2，83-）；（3）∠23n ，n 2﹣4n ；∠P （5，152）；∠点P 的横坐标为92．18．（1）2142y x x =-++；（2）2；（3。

初中数学抛物线压轴题技巧抛物线是初中数学中的重要内容之一，掌握抛物线的压轴题技巧对于提高数学解题能力和应对考试非常重要。

在本文中，我将为大家分享一些初中数学抛物线压轴题的解题技巧。

首先，我们需要了解抛物线的基本特点和方程形式。

抛物线的方程通常是二次方程，一般形式为y=ax^2+bx+c。

其中，a决定抛物线的开口方向和形状，b决定抛物线的位置，c决定抛物线的纵轴截距。

在解题过程中，我们需要注意以下几个方面的技巧。

第一，抛物线的顶点问题。

抛物线的顶点是抛物线的最高或最低点，通常在解题中要求计算抛物线的最值。

我们可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的顶点来获得抛物线的最值。

顶点的横坐标可以通过公式x=-b/2a得到，然后将横坐标代入方程求解纵坐标即可。

第二，抛物线的对称性问题。

抛物线具有关于纵轴的对称性，即抛物线的左右两侧关于纵轴完全对称。

在解题过程中，我们可以利用这个对称性来简化计算。

例如，如果我们已经计算出了抛物线上某一点的坐标，那么我们可以根据对称性得出另一对称点的坐标，从而避免重复计算。

第三，抛物线的焦点和准线问题。

抛物线的焦点是抛物线上所有点到直线准线的距离之和的最小点，而准线则是与抛物线平行且与焦点的距离相等的一条直线。

在解题中，我们可以利用焦点和准线的性质来求解抛物线的相关问题。

例如，已知抛物线的焦点坐标和准线的方程，我们可以求解抛物线的方程。

第四，抛物线的切线问题。

抛物线的切线是与抛物线相切且与切点的切线垂直的一条直线。

在解题中，我们可以通过求解抛物线的切线方程来得到切线的斜率和方程。

求解抛物线的切线方程通常需要用到导数的知识，可以利用导数的定义来进行求解。

最后，我们还需要进行大量的练习来巩固这些抛物线的解题技巧。

通过不断的练习和思考，我们可以更加熟练地掌握抛物线的相关知识和技巧，从而在考试中取得更好的成绩。

总结起来，初中数学抛物线压轴题的解题技巧包括求解抛物线的顶点、利用抛物线的对称性简化计算、求解抛物线的焦点和准线、求解抛物线的切线等。

抛物线角度问题解题方法引言抛物线角度问题是物理学和工程学中常见的问题，涉及到抛物线的轨迹以及不同角度对于抛物线的影响。

解决这类问题，需要理解抛物线的特性和相关的数学原理，以及应用合适的解题方法。

本文将从抛物线轨迹的基本性质出发，探讨抛物线角度问题的解题方法。

抛物线基本性质抛物线是一种二次曲线，它的轨迹由平面直角坐标系中的一般二次方程所描述。

抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c分别为常数，a ≠ 0。

抛物线的顶点坐标为：(-b/2a , -Δ/4a)，其中Δ = b^2 - 4ac抛物线开口向上或向下取决于a的正负。

求解抛物线角度的一般方法要求解抛物线角度，通常需要确定抛物线上两点的坐标，然后再计算这两点间的夹角。

下面介绍常用的求解方法。

步骤一：确定抛物线上两点的坐标为了计算抛物线上两点的坐标，我们可以选择抛物线上的特定点，如顶点、焦点等，并确定该点的坐标。

步骤二：计算夹角计算夹角的方法有多种，下面介绍两种常用的方法。

方法一：向量法1.计算两个点的位置矢量，即从原点指向这两个点的向量；2.根据向量的内积公式，计算两个向量的内积；3.根据内积的性质，计算夹角。

方法二：导数法1.根据抛物线方程，求解导数，得到斜率表达式；2.分别计算两点的斜率；3.根据斜率的性质，计算夹角。

步骤三：转换为角度通常，我们习惯用角度来表示夹角，因此还需要将计算出的弧度转换为角度。

抛物线角度实例分析为了更好地理解抛物线角度问题的解题方法，我们来分析一个具体的实例。

示例：求解抛物线在顶点处的切线角度1.确定顶点坐标：假设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，求解方程d(y)/d(x) = 0，即求导得到抛物线的斜率表达式，并令斜率为0，解方程得到抛物线的顶点坐标。

2.计算导数：求解抛物线方程的导数，得到斜率表达式。

3.计算角度：根据斜率的性质，计算夹角。

4.转换为角度：将计算出的弧度转换为角度。

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．(4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。

41直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y 轴上的C点。

若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C 。

（1）求直线BC及抛物线解析式（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC交抛物线对称轴交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限.①当线段PQ=3AB/4时，求tan∠CED的值；②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答.第25题图第25题备用图直角坐标系XOY中，半径2√5的⊙C与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且点C在X轴上方。

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题--角度问题1．在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y =2x −2x −3 与 x 轴交于 A 、 B 两点， 与 y 轴交于 C 点， D 为抛物线顶点．(1)A 点坐标： ；顶点D 的坐标： ；(2)如图1，抛物线的对称轴上是否存在点T ，使得线段TA 绕点T 顺时针旋转90°后，点A 的对应点A '恰好也落在此拋物线上? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上第四象限的一个动点，连接 AP 、BE 交于点G ，设BGP ABGSw S=， 则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？(4)点Q 是抛物线对称轴上一动点， 连接OQ 、AQ ，设 AOQ △ 外接圆圆心为H ， 当 sin OQA ∠的值最大时， 变直接写出点H 的坐标 ．2．如图，抛物线222433y x x =-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m ．(1)A ，B ，C 三点的坐标为____________，____________，____________；(2)连接AP ，交线段BC 于点D ， ①当CP 与x 轴平行时，求PDDA的值； ①当CP 与x 轴不平行时，求PDDA的最大值； (3)连接CP ，是否存在点P ，使得290BCO PCB ∠+∠=︒，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于()()2,08,0A B -、两点，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC 沿AC 所在直线折叠，得到ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标．并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当PCB ABC ∠=∠时，求点P 的坐标．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为M （1，4），且经过点N （2，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点P 在对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM 与x 轴交于点D ，若DME APE ∠∠=，求点P 的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P ，使ANB 2APE ∠∠=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线()22212y x t x t t =--+--+与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 右边），与y 轴交于C 点． （1）当12t =时，直接写出点A 、B 、C 的坐标； （2）在（1）的条件下，点P 在y 轴的负半轴上，延长PB 至点M ，使CBM OBC ∠=∠，求直线PM 的解析式；（3）如图2，若点Q 是抛物线上点B ．C 之间的动点，直线QA ．QB 分别交y 轴于D ．E 两点，设点Q 的横坐标为m ，求DEm的值．6．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，OB OC =，点()2,3D -在抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(,1)4P m km +（n 为任意实数），当m 变化时，点P 在直线l 上运动，若点A ，D 到直线l 的距离相等，求k 的值；（3）M 为抛物线在第二象限内一动点，若45AMB ∠>︒，求点M 的横坐标M x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为C(3，6)，与y 轴交于点B(0，3)，点A 是对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，直线AB 交抛物线于点E ，连接BC 、CE ，求①BCE 的面积； （3）如图①所示，在对称轴AC 的右侧作①ACD ＝30°交抛物线于点D ，求出D 点的坐标；并探究：在y 轴上是否存在点Q ，使①CQD ＝60°？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点小B ，与y 轴分别交于点C ，其中点()1,0A -，点()0,2C ．（1）求抛物线的解析式并确定ABC 形状；（2）点P 是线段AB 上一动点，过P 作//PD AC 交BC 于D ，当PCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）点M 是位于线段BC 上方的抛物线上一点，当ABC ∠恰好等于ABCM 中的某个角时，直接写出M 的坐标．9．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标 （2）求抛物线的解析式（3）D 为直线AB 上方抛物线上一动点①连接DO 交AB 于点E ，若DE①OE ＝3①4，求点D 的坐标①是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 的2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，请说明理由．10．如图，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点()2,0A -和B 两点，点()6,4C 在抛物线上．（1）直接写出B 点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）；（2）如图1，D 为y 轴左侧抛物线上一点，且2∠=∠DCA CAB ，求点D 的坐标； （3）如图2，直线y mx n =+与抛物线交于点E 、F ，连接CE 、CF 分别交y 轴于点M 、N ，若·3=OM ON ，求证：直线EF 经过定点，并求出这个定点的坐标．11．如图1，已知抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于A 、C 点，与y 轴交于B 点，并与直线4y x =-交于A 、B 两点．（1）点A 的坐标为____；点B 的坐标为___；抛物线的解析式为___．（2）若在直线AB 的下方抛物线上有一点D （不与A ，B 重合），使得2DBA BAC ∠=∠，求点D 的坐标．（3）如图2，在（2）的条件下，过点D 作DE x ⊥轴于E ，在平面内是否存在点M ，使得DEA △绕M 点逆时针旋转90度后得到111D E A △，使111D E A △的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在请求出点1D 的坐标，若不存在请说明理由．12．如图，直线3y kx =-与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，经过A ，B 两点的抛物线2(1)=-+y x m 与x 轴负半轴交于点C ．（1）求m 和k 的值；（2）过点B 作//BD x 轴交该抛物线于点D ，连结CD 交y 轴于点E ，连结CB ． ①求BCD OBC ∠+∠的度数；①在x 轴上有一动点F ，直线BF 交抛物线于点P ，若ABP BCD ∠=∠时，求此时点P 的坐标．13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝12；连接AC ，BC ，S △ABC ＝15． （1）求抛物线的解析式；（2）①点M 是x 轴上方抛物线上一点，且横坐标为m ，过点M 作MN ①x 轴，垂足为点N ．线段MN 有一点H （点H 与点M ，N 不重合），且①HBA +①MAB ＝90°，求HN 的长； ①在①的条件下，若MH ＝2NH ，直接写出m 的值； （3）在（2）的条件下，设d ＝MANNBHS S ∆∆，直搂写出d 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围．14．已知，点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()4,3B 和抛物线214y x =，将抛物线214y x =沿着y 轴方向平移经过点53,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画出平移后的抛物线如图所示．（1）平移后的抛物线是否经过点 ()4,3B ？说明你的理由；（2）在平移后的抛物线上且位于直线AB 下方的图像上是否存在点P ，使7PABS =？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平移后的抛物线上有点M ，过点M 作直线2y =-的垂线，垂足为N ，连接OM ON 、，当60MON ∠=︒时，求点M 的坐标．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2(0)y x bx c c =++<的顶点为A ，且与y 轴的交点为B ，过点B 作//BC x 轴交抛物线于点(4,4)C --，在CB 延长线上取点D ，使12BD BC =，连接OC ，OD ，AC 和AD ．（1）求抛物线的解析式；（2）试判断四边形ADOC 的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P ，使得45POC ∠=︒．若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，直线:2l y x =-+与y 轴相交于点A ，抛物线21:(1)L y x m =-+也经过点A ，其顶点为B ．将该抛物线沿直线l 平移使顶点B 落在直线l 上的点D 处，点D 的横坐标为(1)n n >．（1）求点B 坐标；（2）求平移后的抛物线2L 的解析式（用含n 的式子表示）；（3）若平移后的抛物线2L 与原抛物线1L 相交于点C ，且点C 的横坐标为a ． ①请求出a 关于n 的函数关系式；①如图2，连接AC 、CD ，若90ACD ∠=︒，求a 的值．17．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线过点A （-4，0），顶点坐标为C （-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式．（2）点B 在抛物线上，且B 点的横坐标为-1，点P 在x 轴上方抛物线上一点，且①PAB=45°，求点P 的坐标．（3）点M 在x 轴下方抛物线上一点，点M 、N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ．连结MD 交两坐标轴于E 、F 点. 求证：OE=OF ．19．如图1，已知：抛物线2y ax bx c =++过点()()()104358，、，、，，交x 轴于点C ，点B （C在B 左边），交y 轴于点A ． （1）求抛物线的解析式；（2）D 为抛物线上一动点，ABD CAB ABC ∠=∠+∠，求点D 的坐标；（3）如图2，():370l y kx k k =-+≠交抛物线于,M N 两点（,M N 不与,C B 重合），直线,MC NC 分别交y 轴于点I ，点J ，试求此时OI OJ 是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．20．如图，为已知抛物线25y ax bx =++经过()()5,0,4,3A B ---两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B C 、不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当3PBC S ∆=时，求t 的值；①该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，OA ＝OB ，点C 的坐标为（﹣1，0），OA ：OC ＝3：1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，顶点为D ．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝13x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求①BAF﹣①BAD的值；①若直线EF上有点H，使①AHC＝90°，求n的取值范围．参考答案：1．(1)（-1，0），（1，-4）(2)点T 的坐标为(1，3)或(1，-2)；(3)w 有最小值，最小值为2425； (4)（-12-12，）2．(1)()2,0A -;()3,0B ;()0,4C (2)①15；①940 (3)存在点P ，74m =3．(1)213442y x x =-++ (2)()8,8,24D -(3)()6,4P 或34100,39⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （1，2）或（1，-2）；（3）P （1）或（1，1）．5．（1）5(,0)2A -、1(,0)2B 、5(0,)4C ；（2）20102121y x =-；（3）36．（1）223y x x =--；（2）54-或14-；（3）1M x ＜﹣17．（1）21233y x x =-++；（2）27；（3）D 点坐标为()33D +-，存在，Q 点坐标为(0，或(0，8．（1）213222y x x =-++，直角三角形；（2）3(,0)2p ；（3）M 点坐标为()3,2或528,39⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（1）()()4,0,0,2A B -；（2）213222y x x =--+；（3）①()1,3D -或()3,2D -；①存在，()2,3D -． 10．（1）()4,0，211242y x x =--；（2）D 坐标为()6,10-；（3）定点坐标为45,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．（1）()()4,0,0,4-，234y x x =--；（2）()2,6D -；（3）存在，1543,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．（1）4m =-，1k =；（2）①45︒；①(5,12)或720,39⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（1）y ＝﹣x 2+x +6；（2）①1；（3）d ＝（m +2）2（﹣2＜m ＜3）．14．（3）M （2）或（，23-）． 15．（1）244y x x =+-；（2）四边形ADOC 是平行四边形，见解析；（3）存在，P 的坐标是(2--或(0,4)-16．（1）()1,1B ；（2）2()2=--+y x n n ；（3）①2n a =；①117．（1）2y x 2x 3=-++；（2）点D 的坐标为(14)，或(2)3，；（3）点P 的坐标为：(14)，或17()24-，或13209()24--，或． 18．（1）y=214x x +；（2）（125，9625）； 19．（1）243y x x =-+；（2）不存在点D ；（3）是，720．（1）265y x x =++；（2）①2t =-或3t =-或t =或t =①点P 的坐标为(32-，74-)或（0，5）21．（1）a =-1，b=2，c=3；（2）①①BAF ﹣①BAD ＝45°；①n 的取值范围n。

中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

所需知识点：一、 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-=。

二、 圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。

则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()222R b y a x =-+-。

∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

三、 中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

四、 任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。

_ Q_ G_P_ O典型例题：例一、如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．3例2、 如图，一次函数m x y +=图像经过点A （1，0），交y 轴于点B ，C 为y 轴负半轴上一点，且BC=2OB ，过A 、C 两点的抛物线交直线AB 于点D ，且CD ∥x 轴 （1）求这条抛物线的解析式；（2）观察图像，写出使一次函数值小于二次函数值时x 的取值范围；（3）在题中的抛物线上是否存在一点M ，使得ADM ∠为直角？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B 。

抛物线角度问题解题方法
抛物线是一种形式的圆锥曲线，其灵活性和考察性受到了很多命题的青睐。

在解题过程中，我们可以通过设点、分解加速度、数形结合等方法来简化问题。

其中，角度问题是抛物线中常见的问题之一。

在解决此类问题时，我们可以采用以下方法:
1. 利用代数方法来解决角度问题。

通过设点，将抛物线方程转化为代数式，然后利用代数运算来解决角度问题。

2. 利用几何方法来解决角度问题。

通过画出图形，利用几何性质来解决角度问题。

例如，可以通过画出辅助线，来证明角度的大小关系。

3. 利用三角函数来解决角度问题。

通过三角函数的性质和定义，来解决角度问题。

例如，可以利用正弦定理和余弦定理，求解角度的大小关系。

4. 利用代数和几何相结合的方法来解决角度问题。

通过将代数和几何相结合，利用代数式和几何图形之间的相互转化，来解决角度问题。

总之，解决抛物线角度问题需要灵活应用各种方法，并结合具体
问题进行具体分析。

只有熟练掌握各种方法，才能够在解题过程中更加快速、准确地解决问题。

抛物线角度问题解题方法抛物线角度问题解题方法抛物线是一种常见的曲线形状，在数学、物理、工程等领域广泛应用。

抛物线角度问题是指在给定初速度和高度的情况下，如何确定发射角度，使得物体能够落在目标位置。

本文将详细介绍抛物线角度问题的解题方法，包括理论推导和实际应用。

一、理论推导1.基本公式在平面直角坐标系中，抛物线的一般式为：y=ax^2+bx+c其中a、b、c为常数，x、y为变量。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

根据牛顿第二定律和运动学公式，可以得到以下基本公式：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2其中v0为初速度大小，θ为发射角度（与水平面夹角），g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），t为时间。

利用以上两个公式可以求出任意时刻物体的位置坐标。

2.最优解法对于给定的初速度v0和目标位置(x,y)，求出最优发射角度θ，使得物体能够落在目标位置。

根据以上公式，可以列出关于θ的方程组：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2由于t=2ysinθ/g，将t代入上式得：x=v0cosθ*2ysinθ/gy=v0sinθ*2ysinθ/g-1/2g(2ysinθ/g)^2化简可得：x=2v0^2sinθcosθ/g*yy=(v0sinθ)^2/2g将y代入第一个式子中，得到：x=2v0^2sin^2θ/g*(v0sinθ)^2/2g化简可得：tan(2θ)=4yx/v0^2因此，最优发射角度为：θ=1/2tan^-1(4yx/v0^2)二、实际应用以上理论推导是基于理想情况的假设，实际应用中还需要考虑一些因素。

1.空气阻力和风速在空气中运动的物体会受到空气阻力的影响，这会使其轨迹偏离预期。

此外，风速和方向也会对轨迹产生影响。

因此，在实际应用中需要考虑这些因素，并进行修正。

一种常见的修正方法是使用数值模拟软件进行计算。

这些软件可以模拟物体在不同条件下的运动轨迹，并提供准确的发射角度。

抛物线角度问题解题方法
抛物线是高中数学中的一种常见函数形式，涉及到许多与角度有关的计算问题，如何解决这些问题成了学生们需要面对的难题。

下面将介绍一些解决抛物线角度问题的方法。

首先，要理解抛物线的基本形态和参数方程。

抛物线的标准形式为
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

而参数方程则是x=at^2+vt+s，y=ht+k，其中a、h、k为常数，t为时间，v、s为初速度和位移。

理解这些基本概念有助于我们更好地解决抛
物线角度问题。

其次，要掌握抛物线的几何性质和物理含义。

抛物线是一种对称的曲线，其顶点为最高点，对称轴为与x轴垂直的直线。

抛物线也是空中物体的运动轨迹，可以用物理学中的自由落体运动和斜抛运动来分析。

最后，要学会运用三角函数和向量知识来解决抛物线角度问题。

三角函数可以用来计算抛物线对称轴与水平面之间的夹角，而向量知识可以用来计算抛物线在不同方向上的速度和加速度。

这些技巧可以在题目中灵活运用，帮助我们解决抛物线角度问题。

综上所述，掌握抛物线的基本概念和几何性质，学会运用三角函数和向量知识，可以帮助我们解决抛物线角度问题，提高数学解题的能力
和水平。

抛物线角度问题解题方法
抛物线角度问题是指在给定初始速度和发射高度的情况下，如何确定抛物线的发射角度，使得抛物线的飞行距离最远或者落点最准确。

这类问题在物理学、工程学和运动学等领域都有广泛的应用。

解决抛物线角度问题需要掌握一些基本的物理概念和数学方法。

首先，我们需要了解抛物线的基本特性，包括它的形状、轨迹、速度和加速度等。

其次，我们需要掌握一些基本的运动学公式，如速度、加速度、位移和时间等的关系式。

最后，我们需要运用微积分和优化方法，对抛物线的运动轨迹进行分析和计算。

具体地，解决抛物线角度问题的方法如下：
1. 确定初始条件。

首先需要确定抛物线的初始速度和发射高度。

这
些参数可以通过实验测量或者其他途径得到。

2. 建立运动模型。

根据抛物线的运动规律，可以建立出其运动模型。

对于自由落体运动，可以利用重力加速度和运动的时间来计算落点位置。

对于在空气中运动的物体，需要考虑空气阻力等因素。

3. 计算发射角度。

利用微积分和优化方法，可以求解出使抛物线飞
行距离最远或者落点最准确的发射角度。

一般来说，这个过程需要借
助计算机进行数值计算。

4. 验证结果。

最后需要验证计算结果的正确性。

可以通过实验测量
或者其他方法进行验证。

总之，解决抛物线角度问题需要掌握物理和数学知识，以及良好的计算和分析能力。

只有对这些知识和能力有了深刻的理解和熟练的应用，才能准确地解决实际问题。

九年级数学抛物线解题技巧哎呀，大家好呀，今天咱们聊聊九年级数学里的抛物线，听起来是不是有点高大上，其实也就是一些简单的技巧，让我们轻松搞定这些看似复杂的题目。

抛物线就像是个调皮的小家伙，它总是和我们玩捉迷藏，不过别怕，掌握了窍门后，咱们就能一眼识破它的小把戏。

抛物线的方程通常是 ( y = ax^2 + bx + c )。

你可能会想，哎呀，这些字母是啥意思？其实就是我们在图形中找它的身影的关键。

想象一下，( a ) 就像是这条线的性格，正的让它向上笑，负的则让它向下哭。

就像人一样，有的人爱笑，有的人爱哭嘛。

再说说 ( b )，它就像是个调皮的小朋友，让抛物线偏向左边或者右边，而 ( c ) 就是这个抛物线与 y 轴的交点，简简单单，真是个小可爱。

对了，说到这，大家有没有发现，抛物线的图形总是那么优雅动人？上面有个顶点，就像一颗星星，在天上闪闪发光。

想找到这个顶点，其实也不难。

顶点的横坐标是( frac{b{2a )，再代入 ( y ) 的方程就能得到纵坐标。

就像寻宝一样，挖出那个珍珠，心里是不是特别满足？不过要小心，如果 ( a ) 是负的，顶点就是个最低点，要是正的，那就最高点，真是反差萌呀。

说到这里，大家应该记得抛物线有对称性，简直就像是双胞胎兄弟，左边和右边一模一样。

这个特性在解题时可是大大的加分项呀。

如果你知道一个点的坐标，嘿嘿，另一边也能轻松算出来。

真是省时省力，有时候就像是做数学魔法，变出两个一样的答案来。

哦，还有一个小秘密，那就是判断抛物线的开口方向。

你说这跟做饭有什么关系？还真有呢，抛物线的开口方向就像是食物的味道，咸的还是甜的，( a ) 的符号决定了一切。

正的就是甜的，向上张开，负的就变成咸的，向下倾斜。

记住这点，做题的时候就会心中有数。

解抛物线题目，别忘了要掌握它的根。

也就是方程的解，想找到根，可以用求根公式。

记住，根就是方程的解，能告诉你抛物线和 x 轴的交点。

这就像是在跟你的朋友打招呼，碰到的地方就是他们的相聚之地。

1.抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．2.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE =S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．（2018•淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．（2018•扬州）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P 从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D 是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．（2018•滨州）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．（2017•丹东）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）求ED的长；（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S与m的函数关系式；（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（2018•常州）如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A 的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b= ，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（2018•攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2018•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．（2018•咸宁）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．（2018•深圳）已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．（2018•桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE=11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．（2018•玉林）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．（2018•株洲）如图，已知二次函数y=ax2﹣5x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．如图,已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A(1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于C(0,2),连接AC、BC.(1)求抛物线解析式;(2)BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点,求直线DE的解析式;(3)若点P在抛物线的对称轴上,且∠CPB=∠CAB,求出所有满足条件的P点坐标。

抛物线压轴题考点及解决技巧摘要：1.抛物线压轴题概述2.抛物线压轴题的考点a.抛物线的性质b.抛物线与直线的关系c.抛物线与坐标轴的关系d.抛物线的顶点3.解决抛物线压轴题的技巧a.利用抛物线的性质b.利用抛物线与直线的关系c.利用抛物线与坐标轴的关系d.利用抛物线的顶点4.例题解析5.总结与建议正文：抛物线是中学数学中的重要内容，其在压轴题中的出现频率相当高。

对于许多学生来说，抛物线压轴题往往显得难度较大，因此掌握一定的解决技巧显得尤为重要。

本文将为大家介绍抛物线压轴题的考点及解决技巧，希望能为大家带来帮助。

首先，我们来了解一下抛物线压轴题的概述。

抛物线压轴题通常涉及抛物线的性质、抛物线与直线的关系、抛物线与坐标轴的关系以及抛物线的顶点等多个方面。

要解决这类问题，关键是熟练掌握抛物线的各种性质和公式。

接下来，我们来详细了解一下抛物线压轴题的考点。

1.抛物线的性质：包括抛物线的开口方向、对称轴、焦距等。

这些性质在解决抛物线与直线的关系时尤为重要。

2.抛物线与直线的关系：掌握抛物线与直线的交点、切线等知识点，能够帮助我们解决抛物线与直线相交、相切等问题。

3.抛物线与坐标轴的关系：了解抛物线与坐标轴的交点、对称性等知识点，能够帮助我们解决抛物线与坐标轴的位置关系问题。

4.抛物线的顶点：掌握顶点的求法及顶点坐标，能够帮助我们快速找到抛物线的最值、对称轴等信息。

在了解了抛物线压轴题的考点后，我们来看看解决抛物线压轴题的技巧。

1.利用抛物线的性质：在解决抛物线问题时，可以充分利用抛物线的性质，例如对称性、单调性等，简化问题。

2.利用抛物线与直线的关系：当抛物线与直线相交时，可以利用解析几何知识求解交点坐标；当抛物线与直线相切时，可以利用导数求解切线方程。

3.利用抛物线与坐标轴的关系：解决抛物线与坐标轴的位置关系问题时，可以利用对称性快速求解。

4.利用抛物线的顶点：在解决抛物线问题时，可以尝试寻找顶点，从而找到最值、对称轴等信息。

初中数学抛物线压轴题技巧初中数学抛物线压轴题涉及的知识点主要有二次函数、二次方程、二次不等式等，同时也考察了转化思想和方程思想等。

下面将结合具体题目，给出一些解题技巧和注意事项。

一、审题技巧审题是解题的第一步，也是最关键的一步。

在抛物线压轴题中，审题需要关注以下几个方面：明确题目所给的条件和问题，包括已知抛物线的方程、开口方向、顶点坐标、对称轴等，以及需要解决的问题，如求某一点的坐标、求某个量的值等。

理解抛物线的几何性质，如对称性、开口大小和方向等，这些性质有助于将问题转化为数学表达式。

寻找已知条件和问题之间的联系，通过转化思想和方程思想等，将问题转化为数学表达式，建立数学模型。

二、解题技巧在抛物线压轴题的解题过程中，需要注意以下几点：利用已知条件列方程：根据题目给出的条件，列出关于未知数的方程。

如果涉及到点的坐标，需要将几何问题转化为代数问题。

解方程求出未知数：通过解方程求出未知数的值。

在解方程时，需要注意方程的解的合理性，避免出现不符合实际情况的解。

检验解的正确性：在求出未知数的值之后，需要进行检验，确保所得解是正确的。

可以通过将解代回原方程或利用其他方法检验。

总结答案：在得出解之后，需要将解进行整理和总结，形成完整的答案。

同时需要注意答案的表述方式，尽量使用数学语言进行表述。

三、举例说明例如，已知抛物线y=x 2上有三个点(x 1 ,y 1)，(x 2 ,y 2 )，(x 3 ,y 3)，且x 1<x 2 <x 3。

若这三个点到直线y=kx+b 的距离分别为d1，d2和d3，则下列关系式一定成立的是( )A.d 1<d 2<d3B.d3<d2<d1C.d1<d3<d2D.d2<d3<d1首先观察题目所给的抛物线方程y=x2，这是一个开口向上的抛物线，其顶点为原点。

接下来我们根据抛物线的性质来分析题目中的选项。

对于选项A：由于抛物线开口向上，当x的值增大时，y 的值也会增大。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（角度问题）一、解答题1．抛物线y ＝ax 2+bx +3过点A (﹣1，0)，点B (3，0)，顶点为C ．(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作∠PEF ＝∠CAB ，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的取值范围．2．如图1，已知抛物线2y ax bx =++x 轴交于点()2,0A -，点()6,0B 与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，其对称轴与x 轴交于Q 点．(1)抛物线解析式为______，顶点M 的坐标为______； (2)判断MAB 的形状，并说明理曲；(3)如图2，点P 是线段MQ 上的一个动点（点P 与点M 、点Q 不重合），连结PA 、PB ，过点B 作BD AP ⊥，射线BD 交射线AP 于点D ，交抛物线于点E ；过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，EF 交射线BP 于点G ． ①当ABD ≌EBF 时，请求出此时点P 的坐标；②当135APB ∠=︒时，请你直接写出BFEG的值． 3．如图，已知直线2y x b =+与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，抛物线的顶点是()1,4A -，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是y 轴上一点，点N 是坐标平面内一点，当以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形时，求点M 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点Q ，使=45BAQ ∠︒，若存在，请直接写出点Q 的横坐标；若不存在，说明理由． 4．如图1，已知直线y ＝－12x ＋1与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，将直线AB 向下平移，分别与x 轴、y 轴交于D 、C 两点，且OC ＝OA ，以点B 为顶点的抛物线经过点A ，点M 是线段AB （不含端点）上的一个动点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，M 1，M 2分别是点M 关于直线CA ，CB 的对称点，连接CM 1，CM 2，M 1M 2，求证：△CM 1M 2∽△CDB ； （3）如图2，作ME ⊥OB 分别交抛物线和直线CD 于P ，E 两点．点Q 是DE 上一动点，当线段PE 长最小且∠EPQ ＝∠CDO 时，求点Q 的坐标．5．如图1，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ． （1）求直线BD 的解析式；（2）P 为抛物线上一点，当点Р到直线BD 的距离为P 的坐标；（3）如图2，直线y t =交抛物线与M ，N 两点，C 为抛物线上一点，当90MCN ∠=︒时，请探究点C 到MN 的距离是否为定值．6．如图1，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点A （2，0）B （6，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ． （1）求抛物线的表达式； （2）求ACB ∠的正切值；（3）如图2，过点C 的直线交抛物线于点D ，若45ACD ∠=︒，求点D 的坐标．7．已知：抛物线22y ax =+交x 轴于(1,0)A -，B 两点 （1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点C 是第二象限抛物线上的一个动点，连接AC ，BC ，设点C 的横坐标为1，ABC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点D 在第一象限，连接AD ，BD ，且AD AB =，在AD 的上方作EAD CBA ∠=∠，AE 分别交BD 的延长线，y 轴于点E ，F ，连接DF ，且AFO DFE ∠=∠，BC 交AD 于点G ，若点G 是AD的中点，求S 的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴负半轴于点A B 、（点A 在点B 左边），交y 轴于点,4C OA OC ==． （1）求抛物线解析式；（2）点Р为对称轴右x 轴下方的侧抛物线上一点，射线AP 关于x 轴对称图形（射线AQ ）交抛物线于点Q ，若点Р的横坐标为t ，点Q 的横坐标为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，射线BQ AP 、分别交抛物线对称轴于点D E 、，过点Q 作x 轴的平行线QF ，在对称轴左侧作DEF ∠交QF 于点,2F DEF BDE ∠=∠，92QF EF +=，连接DF ，求QDF ∠的度数．9．综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -， ()3,4D 两点，直线AD 与y 轴交于点Q ．点(),P m n 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，并且交直线AD 于点 E ．（1）请直接写出抛物线与直线AD 的函数关系表达式； （2）当//CP AD 时，求出点P 的坐标；（3）是否存在点P ，CPE QFE ∠=∠？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线2y x bx c =++经过P(1，0)、Q(3，2)两点，与y 轴交于点M （1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为K ，请判断MKQ △的形状，并说明理由；（3）该抛物线上是否存在点D ，使∠MQD=12∠MKQ ，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由11．若二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、B （0，－2），且过点C （2，－2）.（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且10PBA S ∆=，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ，判定APC △的形状，并说明理由；（3）在直线BC 上是否存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知二次函数图象过点A （-2，0），B （4，0），C （0，4） （1）求二次函数的解析式；（2）如图，当点P 为AC 的中点时，在线段PB 上是否存在点M ，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）点K 在抛物线上，点D 为AB 的中点，直线KD 与直线BC 的夹角为锐角θ，且tan θ=53，求点K 的坐标．14．如图，抛物线()2<0y ax bx c a =++与x 轴交于点()2,0A -和点,B 与y 轴交于点,C 对称轴为直线12x =．连接,,15.ABCAC BC S=()1求抛物线的解析式；()2①点M 是x 轴上方抛物线上一点，且横坐标为m ，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为点N ．线段MN 上有点H (点H 与点,M N 不重合)，且90HBA MAB ∠+∠=︒，求HN 的长； ②在①的条件下，若2MH NH =，直接写出m 的值；()3在()2的条件下，设MAN NBHS d S=，直接写出d 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围．15．已知二次函数y ＝ax 2﹣2x ＋3经过点A(﹣3，0)，P 是抛物线上的一个动点． （1）求该函数的表达式；（2）如图所示，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ，连接AC ，PA ，PC ．求△ACP 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出△ACP 的面积最大时点P 的坐标．（3）连接BC ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠PCA ＝∠OCB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与BC 相交于点E ，与x 轴交于点H ，连接PB ．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上存在一点G ，使45GBA PBE ∠+∠=，请求出点G 的坐标；(3)抛物线上是否存在一点Q ，使QEB ∆与PEB ∆的面积相等，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．17．已知抛物线2y x bx c =-++与直线y kx m =+交于(1,1)A --，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB 交x 轴于点D ，且2ACB ABC BCD ∠-∠=∠，求点B 的坐标； （3）如图2，当0k <时，在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值．18．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点(2,)D m 在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD .试问，在对称轴左侧的抛物线是否存在一点P ，满足PBC DBC ∠=∠？如果存在，请求出点P 的坐标：如果不存在，请明理由；（3）存在正实数m ，n （m n <），当m x n ≤≤时，恰好满足2323m nm y n ≤≤+++，求m ，n 的值．参考答案：1．(1)223y x x =-++；C (1，4)(2)P 720(,)39(3)514m -<≤2．(1)2y =++(2,； (2)△MAB 为等边三角形，理由详见解析；(3)①⎛ ⎝⎭；②12BF EG =．3．（1）2=23y x x --；（2）3(0,)2或7(0,)2-；（3）存在，(2,5)Q -或435(,)39-4．（1）y ＝142x －x ＋1；（2）证明见解析；（3）（136，2512-）或（310，2320-）．5．（1）1y x =-；（2）P ⎝⎭或P ⎝⎭；（3）C 到MN 的距离为定值1. 6．（1）21462y x x =-+；（2）12；（3）D 57,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（1）222y x =-+；（2）222S t =-+；（3）350S =8．（1）254y x x =---；（2）2d t =--；（3）45°9．（1）234y x x =-++，1y x =+；（2）点P （2，6）；（3）存在点P ，使得CPE QFE ∠=∠，m =或m ． 10．（1）21262y x x =-++；（2）等腰三角形，见解析；（3）存在，(-23，409)或(23，49) 11．（1）224233y x x =--；（2）()5,8；（3）存在，118． 12．（1）265y x x =-+；（2）APC △的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍的点，且坐标为M 1（1317,66），M 2（236，76）．1113．（1）2142y x x =-++；（2）线段上存在2456,2929M ，使得90BMC ︒∠=，理由详见解析；（3）抛物线上符合条件的点K 坐标为： (2,4)或(8,36)--或31451145,416或31451145,416． 14．（1）2y -x +x 6=+；（2）①1；②m =（3）()22,d m =+m << 15．（1）y ＝－x 2－2x ＋3；（2）23922S t t =--，315(,)24P -；（3）57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或(－4，－5) 16．（1）223y x x =-++；（2）139(,)24G --或217(,)24G -；（3）存在，1(2,3)Q ，2Q，3Q 17．（1）222y x x =-++；（2）82,39B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）k 18．（1）223y x x =-++；（2）存在，211,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）m ，2n =。