傅里叶级数的数学推导,小白必看

傅里叶级数得数学推导但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛得应用,这不由得让人肃然起敬、一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍,动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。

如下就就是傅里叶级数得公式:不客气地说,这个公式可以说就是像“臭婆娘得裹脚布—-又臭又长”,而且来历相当蹊跷,不知那个傅里叶什么时候灵光乍现,把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。

单瞧那个①式,就就是把周期函数ｆ(ｔ)描述成一个常数系数a0、及1倍ω得ｓｉn与cos函数、2倍ω得sｉn与cos函数等、到n倍ω得ｓin与cｏs函数等一系列式子得与,且每项都有不同得系数,即Ａｎ与Bｎ,至于这些系数,需要用积分来解得,即②③④式,不过为了积分方便,积分区间一般设为［—π, π],也相当一个周期T得宽度。

能否从数学得角度推导出此公式,以使傅里叶级数来得明白些,让我等能了解它得前世今生呢?下面来详细解释一下此公式得得出过程:1、把一个周期函数表示成三角级数:首先,周期函数就是客观世界中周期运动得数学表述,如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器得电子振荡等,大多可以表述为:f(x)=A sin(ωt+ψ)这里t表示时间,A表示振幅,ω为角频率,ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。

然而,世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。

傅叶里就想,能否用一系列得三角函数Aｎsin(nωt＋ψ)之与来表示那个较复杂得周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说就是最简单得周期函数了。

于就是,傅里叶写出下式:(关于傅里叶推导纯属猜想)这里,t就是变量,其她都就是常数、与上面最简单得正弦周期函数相比,5式中多了一个ｎ,且n从1到无穷大、这里f(t)就是已知函数,也就就是需要分解得原周期函数。

从公式5来瞧,傅里叶就是想把一个周期函数表示成许多正弦函数得线性叠加,这许许多多得正弦函数有着不同得幅度分量(即式中An)、有不同得周期或说就是频率(就是原周期函数得整数倍,即ｎ)、有不同得初相角(即ψ),当然还有一项常数项(即A0)。

傅⾥叶级数推导物理意义：把⼀个⽐较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。

三⾓函数系cos x, sinx, cos2x, sin2x.…, cosnx, sinnx.…正交性在[-，]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在[-，]上的积分等于0.可以证明：当m=n时设是周期为2的周期函数，且可逐项积分，利⽤三⾓级数得想要表达得求出 ，对两边进⾏积分得因为为常数，利⽤三⾓函数的正交性ππππcos nxdx =∫−ππsin nxdx =∫−ππcos mx cos nxdx =0(m =1,2,3,⋯,n =1,2,3,⋯m =n )∫−ππsin mx sin nxdx =0(m =1,2,3,⋯,n =1,2,3,⋯m =n )∫−ππsin mx cos nxdx ∫−π=0(m =1,2,3,⋯,n =1,2,3,⋯)(n =1⋅1d x =2π∫−ππcos nxdx =π∫−ππ2sin nxdx=π∫−ππ21,2,⋯)f (x )πf (x )=+2a 0a cos nx +b sin nx n =1∑∞(n n )f (x )a ,a ,b 0n n f (x )d x =∫−ππd x +a cos nx d x +b sin nx d x ]∫−ππ2a 0n =1∑[∫−ππn ∫−ππn a ,a ,b 0n n cos nxdx =∫−ππ得到为了求，在等式两边 当k=n时，由三⾓函数的正交性可知其余各项均为零.因此同理整理⼀下得：sin nxdx =∫−ππf (x )d x =∫−ππd x =∫−ππ2a 0πa 0a =0f (x )dx π1∫−ππa n cos kxf (x )cos kxdx ∫−π=cos kxdx ∫−π2a 0+I a cos kx cos nxdx n =1∑∞−ππn +b cos kx sin nxdx ]∫−ππn =a cos kx cos nxdx =a cos nxdx ∫−πn ∫−πn 2a dx =a πn ∫−ππ21+cos 2nx n a =n f (x )cos nxdx (n =π1∫−ππ1,2,3,⋯)b =n f (x )sin nxdx (n =π1∫−ππ1,2,3,⋯)⎩⎨⎧a =f (x )cos nxdx n π1∫−ππb =f (x )sin nxdx n π1∫−ππ(n =0,1,2,⋯)(n =1,2,3,⋯)称为傅⾥叶系数。

§20-1 傅里叶级数一、三角函数系的正交性三角级数: )sin cos (210nwx b nwx a a n n ++∑∞=∧ wT π2=三角函数系: ΛΛ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nwx nwx wx wx wx wx (线性组合) 正交性:(1) ⎰-=220cos T T nwxdx (2) ⎰-=220sin T T nwxdx (3) ⎰-=220sin cos T T mwxdx nwx(4) ⎰-=⋅220cos cos T T mwxdx nwx n m ≠(5) ⎰-=⋅220sin sin T T mwxdx nwx n m ≠ 验证另易验证,三角函数亦中两相同函数的乘积在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2T T 上的积分不等于零.① T dx TT =⎰-2221 ②2sin 222T nwxdx T T =⎰- ③⎰-=2222cos TT Tnwxdx )2(w T π=二、(函数展开成)傅里叶级数 条件: 已知)(x f 周期T,在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2T T 上可积,且可展开成逐项可积的三角级数.即 ∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nwx b nwx a a x f结论⎰⎰--==22220cos )(22TT n TT nwxdxx f T a fxdxT a ),2,1(Λ=n ⎭⎬⎫⎰-==22),1,0(cos )(2TT n n nwxdx x f T a Λ过程:①T anwxdx b nwxdx a dx a dx x f n T T T T n n T T T T 2sin cos 2)(01222222022正交性∑⎰⎰⎰⎰∞=----⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=② ⎰-22cos )(TT nwxdx x f⎰∑⎰⎰-∞=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=22122220sin cos cos cos cos 2T T K T T TT K K kwxdx nwx b kwxdx nwx f a nwxdx a2cos 222T a nwxdx aTT n n ⋅=⎰-正交性 ③同②傅里叶级数: )(x f ～)sin cos (21nwx b nwx a a n n n ++∑∞=其中 =0a =n a =n b提问: 给一函数)(x f =)(x f 傅里叶级数. 问题解决了?傅里叶级数收敛性? 收敛的话,其和函数)(?)(x f x S定理(狭里克雷(Dirichlet)收敛定理) 设)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2T T 上满足 (1)连续,或还多有有限个第一类间断点(2)分段单调,且单调区间的个数还多只有有限个则)(x f 的傅里叶级数∑∞=++1)sin cos (2n n n nwx b nwx a a 收敛,且其和函数[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-=)02()02(21)0()0(21)()(T f T f x f x f x f x S 2,2)2,2()2,2(T T x T T x TT x -=-∈-∈ )(第一类间断点连续点推论:1.,2π=T 12==Tw π取[]ππ,- ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰--ππππππnxdx x f b nxdxx f a n n sin )(1cos )(1 ),2,1,0(),2,1,0(ΛΛ==n n)(x f ～∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a2.l T 2= )0(>l , l T w ππ==2 取[]l l ,- ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰--ll n l ln xdx ln x f l b xdx l n x f l a ππsin )(1cos )(1 ),2,1,0(),2,1,0(ΛΛ==n n )(x f ～∑∞=++10)sin cos(2n n n x ln b x l n a a ππ 3. )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2T T 上是奇函数, 即)()(x f x f -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2T T x ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰0cos )(420n T n b nwxdx x f T a ),2,1,0(),2,1,0(ΛΛ==n n)(x f ～∑∞=+1cos 2n n nwx a a -----余弦(傅里叶)级数4. )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2T T 上是奇函数, 即)()(x f x f -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2T T x ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰20sin )(40Tn n nwxdx x f T b a ),2,1,0(),2,1,0(ΛΛ==n n)(x f ～nwx b n n sin 1∑∞= -----正弦(傅里叶)级数例1:得⎩⎨⎧=xx f 0)( ππ≤<≤<-x x 00展开成傅里叶级数.解:① 图示② π2=T 12==Tw π③ )(x f 在[]ππ,-上满中收敛定理的条件,在端点π±=x 处)(x f 的傅里叶级数在端点=x π处收敛于2202)0()0(ππππ=+=-++-f f ,而在连续点),(ππ-∈x 处收敛于)(x f .(和函数的图形见上)(x S )④ 计算傅里叶系数: ⎰⎰===-ππππππ0021)(1xdx dx x f a⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⎰⎰-2)1(cos 1cos 1cos )(1220ππππππππn n n nxdx x nxdx x f a n 分部 偶奇n n⎪⎩⎪⎨⎧-=-===⎰⎰-nn n nxdx x nxdx x f b n 11cos sin 1sin )(10πππππππ偶奇n n⑤ 因此)(x f 的傅里叶级数展开式为)sin cos (2)(1nwx b nwx a a x f n n n ++=∑∞=)3sin 313cos 32(2sin 21)sin cos 2(42x x x x x +-+-+-+=πππΛ+-x 4sin 41 ),(ππ-∈x例2.设)(x f 是周期为4的周期函数,在[)2,2-上的表达式为⎩⎨⎧-=11)(x f 2002<≤≤≤-x x将)(x f 展开成傅里叶级数.解: 图示 4=T 22ππ==T w )(x f 满足狭氏条件,在),1,0(2Λ±==k K x 处不连续,因此)(x f 的傅里叶数在K x 2=处收敛于0,而在连续点K x 2≠处,收敛于)(x f . 计算傅里叶系数:0=n a Λ,2,1,0=n (∵)(x f 是奇函数)xdx n x f nwxdx x f T b TT n ⎰⎰--==22222sin )(21sin )(2πxdx n dx x n ⎰⎰+-=-20022sin 21)2sin (21ππ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-=014)cos 1(2n n n πππ 偶奇n n 因此, )(x f 的傅里叶级数展开式为x n b x f n n 2sin)(1π∑∞== )25sin 5123sin 312sin 11(4Λ+++=x x x ππππ ),(+∞-∞∈x K x 2≠ Λ,2,1,0±±=K 作业: 206P 1(1) 2(1)希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、理想的路总是为有信心的人预备着。

傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。

1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。

如果n个函数,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足如果是复数集，那么正交条件是为函数的共轭复函数。

有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。

比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。

先证明三角函数集：设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==再证两个都是正弦的情况设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==最后证明两个是不同名的三角函数的情况设，,把代入(1)得===0 (n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。

至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。

证毕。

由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。

接着是复指数函数集的证明设，,则把代入(2)得当n时，根据欧拉公式==0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时，=1 (n,m=1,2,3,…,n)所以，复指数函数集也是正交函数集。

因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。

明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。

因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。

有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。

我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。

把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是其中，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。

傅里叶级数推导
傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数来表示周期性函数的方法。

这种方法将一个周期性函数分解为多个正弦和余弦函数的和，从而可以更好地理解和分析这种函数的特性。

傅里叶级数的基本思想是任何周期性函数都可以表示为正弦和余弦函数的组合。

这意味着我们可以用一系列不同振幅和频率的正弦和余弦函数来逼近任何周期性函数。

这种分解的过程称为傅里叶级数展开。

通过傅里叶级数展开，我们可以将一个周期为T的函数f(t)表示为无穷级数的形式：
f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))
其中，a0是直流分量，an和bn是函数f(t)的傅里叶系数，n是正整数，ω是基本频率，也就是2π/T。

傅里叶级数的展开式可以帮助我们更好地理解周期性函数的振幅和频率分布。

通过调节不同的傅里叶系数，我们可以改变正弦和余弦函数的振幅和频率，从而调整逼近函数的精度。

傅里叶级数在信号处理、通信工程、物理学等领域都有广泛的应用。

在信号处理中，傅里叶级数可以帮助我们分析复杂信号的频谱特性，从而更好地理解信号的特点和行为。

在通信工程中，傅里叶级数可以帮助我们设计滤波器、调制解调器等设备，从而实现信号的传输
和处理。

在物理学中，傅里叶级数可以帮助我们研究波动现象、振动现象等，从而揭示自然界的规律和定律。

总的来说，傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，可以帮助我们分析周期性函数的特性，揭示信号的频谱特性，设计通信系统和物理系统，从而推动科学技术的发展。

通过深入学习和理解傅里叶级数，我们可以更好地应用它来解决实际问题，促进科学技术的进步。