2008北京大学自主招生数学试题

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（理科） 试题 2019.091,已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B ð等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2,若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3,“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4,若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5,若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1C．96,已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-7,过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．908,如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）9,已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ． 10,已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．11,若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）12,如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）13,已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；②2212x x >；③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．14,某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．15,已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16,如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．17,甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 18,已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．19,已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．20,对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，．对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m mS B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，．（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．试题答案1, 【标准答案】: D【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B ð＝{}|13x x -≤≤【高考考点】:集合【易错提醒】: 补集求错【备考提示】: 高考基本得分点 2, 【标准答案】: A【试题分析】:利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0. 【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（北京卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，那么集合A B 等于A ．{34}x x x ≤>或B ．{13}x x -≤≤C ．{34}x x ≤<D ．{21}x x -≤<-2．若3log a π=，7log 6b =，2log 0.8c =，则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3.“双曲线的方程为116922=-y x ”是“双曲线的准线方程为95x =±”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知ABC ∆中，a =b =60B =，那么角A 等于A ．135B ．90C ．45D ．305.函数2()(1)1f x x =-+（1x <）的反函数为A.1()1f x -=1x >）B.1()1f x -=-1x >）C.1()1f x -=1x ≥）D.1()1f x -=1x ≥）6．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ．0B ．21 C ．1 D ．2 7.已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于A ．30B ．45C ．90D ．1868．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N ．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.若角α的终边经过点(1,2)P -,则tan 2α的值为 .10.不等式121>+-x x 的解集是 . 11．已知向量a 与b 的夹角为120，且4a b ==，那么a b ⋅的值为 ．12.若532)1(x x +展开式中常数项为 ；各项系数之和为 .（用数字作答） 13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(04)，，(20)，，(64)，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．（用数字作答）14．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ[]22-，上的任意1x ，2x ，有如下条件： ①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin()2f x x x x ωωω=++（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π[0]3，上的取值范围． 16．（本小题共14分）A B CDM N P A 1B 1C 1D 1如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；17.（本小题共13分） 已知函数32()3f x x ax bx c =+++（0b ≠）且()()2g x f x =-是奇函数. （Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.18.（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；19．（本小题共14分）已知ABC ∆的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 所在直线l ：2y x =+上，且AB ∥l ，（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=时，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程.20.（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-，（1,2,n =），λ是常数.（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ,当n m >时总有0n a <. A C B P。

2008年高考试题——数学理(北京卷)(有答案) 2008年高考试题——数学理(北京卷)(有答案)一、选择题1. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$，则 $f[f(x)]$ 的定义域为（）A. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$B. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$C. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$D. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$解析：由于 $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$，所以 $f(x)$ 的定义域为$x\neq1$，即 $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。

因此，当 $x\neq1$ 时，$f[f(x)]$ 的定义域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。

因此，选项A、B、C、D 中只有选项 A 正确。

答案：A2. 已知函数 $f(x)=\log_2(x+2)$，则 $f(x)$ 的值域为（）A. $(-\infty,1]$B. $(-\infty,0]$C. $(-\infty,2]$D. $(-\infty,+\infty)$解析：由于 $f(x)=\log_2(x+2)$，所以 $f(x)$ 的定义域为 $x>-2$。

当$x>-2$ 时，$f(x)$ 的值域为 $(-\infty,+\infty)$。

因此，选项 A、B、C、D 中只有选项 D 正确。

答案：D3. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$，则 $f[f(x)]$ 的定义域为（）A. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$B. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$C. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$D. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$解析：由于$f(x)=\dfrac{1}{x}$，所以$f(x)$ 的定义域为$x\neq0$，即 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）一、本大题共8小题，第小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|1B x x =<-或4}x >，则集合A B 等于A.{|3x x ≤或4}x >B.{|13}x x -<≤C.{|34}x x ≤<D.{|21}x x -≤<-2.若3log a π=，7log 6b =，2log 0.8c =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a >> 3.“双曲线的方程为116922=-y x ”是“双曲线的准线方程为95x =±”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知ABC ∆中，a =b =60B =︒，那么角A 等于A.135°B.90°C.45°D.30°5.函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为A.1()11)fx x -=+>B.1()11)f x x -=>C.1()11)f x x -=+≥D.1()11)f x x -=≥ 6.若实数x 、y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值是 A.0 B.12C.1D.2 7.已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于A.30B.45C.90D.1868.如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.若角α的终边经过点(1P ，2)-，则tan 2α的值为__________.10.不等式121>+-x x 的解集是__________. 11.已知向量a 与b 的夹角为120︒，且||||4a b ==，那么a b ⋅=的值为_________.12.532)1(xx +展开式中常数项为__________；各项系数之和为_________.（用数字作答） 13.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则((0))f f =________；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆_______．（用数字作答）14.已知函数2()cos f x x x =-，对于π[2-，π]2上的任意1x ，2x ，有如下条件：①12x x >；②2212x x >；③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分）已知函数2π()sin 3sin()(0)2f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π．⑴求ω的值；⑵求函数()f x 在区间[0，2π]3上的取值范围．16.（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． ⑴求证：PC AB ⊥；⑵求二面角B AP C --的大小.17.（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数.⑴求a ，c 的值；⑵求函数()f x 的单调区间.18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． ⑴求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；19.（本小题共14分）已知ABC ∆的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：2y x =+上，且//AB l . ⑴当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积；⑵当90ABC ∠=︒，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程.20.（本小题共13分）数列{}n a 满足2111,()(n n a a n n a n λ+==+-=1，2，...)，λ是常数. ⑴当21a =-时，求λ及3a 的值；⑵数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； ⑶求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <.。

2008清华一、解答题1.已知a 、b 、c 都是有理数，a +b +c 也是有理数，证明：a 、b 、c 都是有理数2.(1)任意给定一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以构成一个三角形.(2)四面体一个顶点的三个角分别是900,600,arctan2,求由600的面和arctan2的面所成的二面角.3.求正整数区间[m,n](n>m)中，不能被3整除的数之和.4.已知θθθ2sin 1cos sin +=+，求θ的取值范围5.已知0lim ()(0)1x f x f →==，2)()2(x x f x f =-，求f (x)6.证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点.##Answer##1.【简解】证明：设a +b +c =t ∈Q,),a=2t )t+b+c ∈Q ⇒∈Q=s ∈⇒b=2s s+c ∈Q ⇒Q 。

同理，∈Q a 、b 、c 都是有理数2.【简解】⑴如图，设四面体ABCD 最大棱长为AB ，只要证明：AC+AD>AB 或BC+BD>AB（用反证法）加设AC+AD ≤AB 或BC+BD ≤AB ，则AC+AD+BC+BD ≤2AB而AD+BD>AB,AC+BC>AB ，故AD+BD+AC+BC>2AB于是2AB<2AB ，矛盾。

故AC+AD>AB 或BC+BD>AB四面体中，至少有一个顶点的三条棱可以构成三角形⑵如图，设∠DAC=arctan2,∠BAC=90°，∠BAD=60°，AD=1过D 作平面BDC ⊥AD,则∠BDC 即为所求DC=2,AD=,DB=于是BC=3cos ∠BDC=2222.DB DC BC DB DC+-=-36,∠BDC=arcos(-36)3.【简解】在区间[0,n]中，3的正倍数有3n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个，故其中不能被3整除的数之和为(1)3(1)2233n n n n +⎡⎤⎡⎤-+⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，同理在区间[0,m-1]中不能被3整除的数的和为m(1)3(1)2233m m m +⎡⎤⎡⎤-+⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦在区间[m,n]中不能被3整除的数的和为(1)3(1)2233n n n n +⎡⎤⎡⎤-+⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-m(1)3(1)2233m m m +⎡⎤⎡⎤-+⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦4.[2kπ-4π,2kπ+34π],k∈Z 5.【简解】211()()24f x f x x -=，211()()2416x f f x x -=，211(()4864x f f x x -=，…，2111(()224n n n x f f x x --=，迭加得到211(1)144()()1214n n f x f x x --=-=211(1)34n x -，()f x =1()2n f x +211(134n x -当n →∞时，()f x =(0)f +213x =1+213x 6.【解析】设矩形的长宽分别为x,y ，则xy=4,对角线长22x y +2xy 2根据矩形中心为原点O ，于是对角线两个顶点必在以原点为圆心，以2为半径的圆内或边界上。

2008年普通高等学校招生全国统一考试北京文数全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． ．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ）A ．{}|34x x x ≤>或B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<【答案】D 【解析】{}|21AB x x =-≤-<2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【解析】利用中间值0和1来比较: 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“双曲线的方程为221916x y -=”⇒是“双曲线的准线方程为95x =±” “95x =±” ⇒ “221916x y -=”,如反例: 2211882x y -=.4．已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．30【答案】C【解析】由正弦定理得:,sin ,sin sin sin sin 2a b A B A B A B =⇒===45a b A B A <⇒<∴=5．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A．1()11)fx x -=+> B．1()11)f x x -=-> C．1()11)f x x -=+≥D．1()11)fx x -=-≥【答案】B【解析】221(1)1,(1)1,1x y x x y x <⇒=-+∴-=-⇒-=所以反函数为1()11)f x x -=->6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】A【解析】本小题主要考查线性规划问题。

绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试卷上。

一、本题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin52,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。

2008年普通高等学校招生全国统一考试北京文数一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ） A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 3．“双曲线的方程为221916xy-=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知A B C △中，a =b =60B = ，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．305．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A．1()11)f x x -=+> B．1()11)f x x -=-> C．1()11)fx x -=+≥D．1()11)fx x -=-≥6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1868．如图，动点P 在正方体1111ABC D A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大 致是（ ）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ．10．不等式112x x ->+的解集是 ．11．已知向量a 与b 的夹角为120 ，且4==a b ，那么 a b 的值为 ． 12．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．14．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．ABC D MNP A 1B 1C 1D116．（本小题共14分）如图，在三棱锥P A B C -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，P C A C ⊥． （Ⅰ）求证：P C A B ⊥；（Ⅱ）求二面角B A P C --的大小．17．（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数． （Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．19．（本小题共14分）已知A B C △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l //．（Ⅰ）当A B 边通过坐标原点O 时，求A B 的长及A B C △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边A C 的长最大时，求A B 所在直线的方程．ACBP20．（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n = ，，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．答案选择:D A A C B A C B 填空:9.4310. {}|2x x <- 11．8-12. 10 32 13．2 -2 14. ② 15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222xf x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取A B 中点D ，连结P D C D ，．AP BP = ，PD AB ∴⊥．A CBC = ，CD A B ∴⊥．PD CD D = ，AB ∴⊥平面PC D ． P C ⊂ 平面PC D ，P C A B ∴⊥．（Ⅱ）A C B C = ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又P C A C ⊥，P C B C ∴⊥．又90ACB ∠=，即A C B C ⊥，且AC PC C = ，BC ∴⊥平面PAC ．取A P 中点E ．连结B E C E ，． AB BP = ，BE AP ∴⊥．E C 是B E 在平面PAC 内的射影，C E A P ∴⊥．B EC ∴∠是二面角B A P C --的平面角．在B C E △中，90BCE ∠=，2B C =，2BE AB ==ABDPABE Psin 3BC BEC BE∴∠==．∴二面角B A P C --的大小为arcsin3．解法二：（Ⅰ）A C B C = ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又P C A C ⊥，P C B C ∴⊥．AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂ 平面ABC ，P C A B ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB == ，2t ∴=，(002)P ，，．取A P 中点E ，连结B E C E ，．AC PC = ，AB BP =，C E A P ∴⊥，BE AP ⊥．B EC ∴∠是二面角B A P C --的平面角．(011)E ，，，(011)E C =-- ，，，(211)EB =--，，，cos 3EC EBBEC EC EB∴∠===．∴二面角B A P C --的大小为arccos3．17．（共13分）解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数， 所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时，由()0f x '=得x =x 变化时，()f x '的变化情况如下表：所以，当0b <时，函数()f x 在(-∞-，上单调递增，在(上单调递减，x y在)+∞上单调递增．当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 18．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．19．（共14分）解：（Ⅰ）因为AB l //，且A B 边通过点(00)，，所以A B 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=．又因为A B 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122A B C S A B h == △．（Ⅱ）设A B 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=又因为B C 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =．所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，A C 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时A B 所在直线的方程为1y x =-．20. 解：（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-= ，，，且11a =．所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=． 从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-= ，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ> 且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数， 则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)n k k == ，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩．故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。