高考数学一轮复习 单元滚动检测六 数 列 理 新人教B版

数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一 形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型命题点1 a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)例1 (1)数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)且a 1＝0，则a 2 024等于( )A ．22 023－1B ．42 023－1C ．22 023＋1D ．42 023＋1(2)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且1a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为__________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N +)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3 (1)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1，n ∈N +.则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝(2n ＋1)·3n B ．a n ＝(n －1)·2nC ．a n ＝(2n －1)·3nD ．a n ＝(n ＋1)·2n(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝6a n ＋3n ，则a n ＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 形式 构造方法a n ＋1＝pa n ＋q 引入参数c ，构造新的等比数列{a n －c }a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c 引入参数x ，y ，构造新的等比数列{a n ＋xn ＋y }a n ＋1＝pa n ＋q n 两边同除以q n ＋1，构造新的数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n q n跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．n ·2n －1B ．n ·2nC ．(n －1)·2nD ．(n ＋1)·2n(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，(2＋a n )·(1－a n ＋1)＝2，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则a 2 023(S 2 023＋2 023)的值为( )A ．22 023－2B ．22 023－1C ．2D ．1(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ，a 1＝2，则a n ＝________.题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1)例4 (1)已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝2，a n ＝3a n －1＋4a n －2(n ≥3)，则a 9＋a 10等于( )A ．47B ．48C ．49D ．410(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N +)．则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2 若x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 4－a n x 3－a n ＋2x ＋1(n ∈N +)的极值点，数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.题型三 倒数为特殊数列⎝⎛⎭⎫形如a n ＋1＝pa n ra n＋s 型 例5 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N +)，则满足a n >137的n 的最大取值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10(2)(多选)数列{a n }满足a n ＋1＝a n 1＋2a n (n ∈N +)，a 1＝1，则下列结论正确的是( ) A.2a 10＝1a 3＋1a 17B.1{2}n a 是等比数列 C ．(2n －1)a n ＝1 D ．3a 5a 17＝a 49 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华两边同时取倒数转化为1a n＋1＝sp·1a n＋rp的形式，化归为b n＋1＝pb n＋q型，求出1a n的表达式，再求a n.跟踪训练3已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)(n∈N+)，则数列{a n}的通项公式为____________．。

单元检测六 数 列(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·芜湖市第一中学模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．4C ．2D ．82．已知正项等比数列{a n }满足log 12(a 1a 2a 3a 4a 5)＝0，且a 6＝18，则数列{a n }的前9项和为( ) A ．73132B ．83132C ．76364D ．863643．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝2，且a 5是a 3与a 7的等差中项，则a 1008的值为( )A ．1或－1B ．1C ．2或－2D ．24．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第121项是( )A ．14B ．15C ．16D ．1215．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3n (n ∈N ＋)B ．a n ＝3n －1(n ∈N ＋)C ．a n ＝2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝2n －1(n ∈N ＋)6．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为( )A.n 2＋5n 2B.n 2＋5n 4C.n 2＋3n 2D.n 2＋3n 47．(2019·北京市朝阳区摸底)数列{a n }满足1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，a 1＝1，a 8＝115，b n ＝a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，则满足S n >1123的最小的n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．128．定义n∑n i ＝1u i 为n 个正数u 1，u 2，u 3，…，u n 的“快乐数”．若已知正项数列{a n }的前n 项的“快乐数”为13n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫36(a n ＋2)(a n ＋1＋2)的前2020项和为( ) A.20182019B.20192020C.20202021D.20191010二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．(2020·江苏省扬州市新华中学月考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －13|，那么满足a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝102的整数k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．510．(2020·山东省莱州市第一中学月考)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 7＝S 12C ．S 10最小D ．S 20＝011．(2020·山东省临沂市罗庄区期末)已知数列{a n }是正项等比数列，且2a 3＋3a 7＝6，则a 5的值可能是( )A ．2B ．4C.85D.8312．(2020·山东省菏泽市期末)已知在等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，则( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列 B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列 C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{log 2a n }是递减数列第Ⅱ卷(非选择题 共70分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －2n ＋3，则a 3＋a 4＝________.14．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．15．(2020·山东省淄博市实验中学月考)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝________；若b n ＝2a n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知数列{a n }满足a 1＝13,3a n ＋1＋a n －4＝0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则满足不等式 |S n －n －9|>11000的n 的最大值为________． 四、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2018·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．18.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝5，S 3＝a 7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和．19．(13分)设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ，a n ＋1,4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12. 20.(13分)已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若(n ＋1)2S n －λ⎝⎛⎭⎫32n －1≤0恒成立，求λ的取值范围．答案精析1．B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.D 7.D8．C [设S n 为数列{a n }的前n 项和，由“快乐数”定义可知，n S n ＝13n ＋1，即S n ＝3n 2＋n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4，当n ≥2且n ∈N ＋时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，经验证可知a 1＝4满足a n ＝6n －2，∴a n ＝6n －2(n ∈N ＋)，∴36(a n ＋2)(a n ＋1＋2)＝366n ·(6n ＋6)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫36(a n ＋2)(a n ＋1＋2)的前2020项和为1－12＋12－13＋…＋12020－12021＝20202021.] 9．AD [因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13－n (n ≤13)，n －13(n >13)，， k ＝1时，a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＋…＋a 20＝12＋11＋…＋1＋0＋1＋2＋…＋7＝13(12＋0)2＋7(1＋7)2＝106，不合题意． k ＝2时，a 2＋a 3＋…＋a 13＋a 14＋…＋a 21＝11＋10＋…＋1＋0＋1＋2＋…＋7＋8＝12(11＋0)2＋8(1＋8)2＝66＋36＝102，满足题意．经检验，k ＝4时，不满足题意， k ＝5时，满足题意．所以k ＝2或5均满足题意．]10．AB [因为{a n }是等差数列，设公差为d ，由a 1＋5a 3＝S 8， 可得a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，即选项A 正确；又S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0，即选项B 正确；当d >0时，则S 9或S 10最小，当d <0时，则S 9或S 10最大，即选项C 错误； 又S 19＝19a 10＝0，a 20≠0，所以S 20≠0，即选项D 错误．]11．ABD [∵数列是正项等比数列，∴a 3>0，a 7>0，由2a 3＋3a 7≥22a 3·3a 7＝26a 3·a 7＝26a 5， 即a 5≥2，符合题意的有ABD.]12．BC [由题意得a n ＝2n －1， A 项，1a n ＝12n －1，1a n ＋11a n＝2n －12n ＝12， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为12的等比数列，不是等差数列，故不正确； B 项，由A 可知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列， 所以是递减数列，故正确；C 项，log 2a n ＝n －1，log 2a n ＋1－log 2a n ＝n －(n －1)＝1， 所以{log 2a n }是等差数列，故正确；D 项，由C 可知{log 2a n }是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D 不正确．]13．8 14.10 15.2n －1，n ∈N ＋ 23(4n －1)，n ∈N ＋ 16．8解析 对3a n ＋1＋a n －4＝0变形得3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)， 即a n ＋1－1a n －1＝－13，故可以分析得到数列{b n ＝a n －1}是首项为12，公比为－13的等比数列． 所以b n ＝a n －1＝12×⎝⎛⎭⎫－13n －1，故a n ＝12×⎝⎛⎭⎫－13n －1＋1， 所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n 1－⎝⎛⎭⎫－13＋n ＝9－9×⎝⎛⎭⎫－13n ＋n ，|S n －n －9|＝⎪⎪⎪⎪－9×⎝⎛⎭⎫－13n >11000， 解得最大正整数n ＝8.17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9(n ∈N ＋)．(2)由(1)得S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值－16.18．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝2. 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可知a n ＝2n ＋1，则b n ＝22n ＋1，所以b n ＋1b n ＝22(n ＋1)＋122n ＋1＝4. 因为b 1＝23＝8，所以{b n }是首项为8，公比q ＝4的等比数列． 记{a n ＋b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a n ＋b n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝n (a 1＋a n )2＋b 1(1－q n )1－q＝n 2＋2n ＋8(4n －1)3. 19．(1)解 由题意得4S n ＝(a n ＋1)2. 当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，所以a 1＝1； 当n ≥2时，4S n ＝(a n ＋1)2，①4S n －1＝(a n －1＋1)2，②①－②得4a n ＝a 2n ＋2a n －a 2n －1－2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 又a n >0，所以a n －a n －1＝2， 所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 即a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝⎛1－13＋13－15＋15－17＋…＋ ⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 20．解 (1)因为a 1＝1，所以2a 1＝2， 又因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是公差为1的等差数列， 所以2na n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， 即a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N ＋)． (2)因为a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 于是(n ＋1)2S n －λ⎝⎛⎭⎫32n －1≤0，即为(n ＋1)2·2n n ＋1－λ⎝⎛⎭⎫32n －1≤0， 整理可得λ≥2n (n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n －1.设b n ＝2n (n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n －1，则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋2)⎝⎛⎭⎫23n 2n (n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n －1＝2(n ＋2)3n . 令b n ＋1b n ＝2(n ＋2)3n≥1，解得1≤n ≤4，n ∈N ＋， 所以b 1<b 2<b 3<b 4＝b 5，b 5>b 6>b 7>……，故数列{b n }的最大项的值为b 4＝b 5＝2×4×5×⎝⎛⎭⎫233＝32027，故λ≥32027， 因此，实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32027，＋∞.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

1单元质检卷六 数列(B )(时间:45分钟 满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2018全国1,理4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .122.(2019宁夏高三联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若1a 1+1a 2+1a 3=2,a 2=2,则S 3=( )A.8B.7C .6D.43.(2019福建联考,12改编)在数列{a n }中,a 1=2,且a n +a n-1=na n -a n -1+2(n ≥2),令b n =(a n -1)2,则b 10=( )A.50B.55 C .60 D.654.(2019贵州遵义模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 9=12a 12+6,a 2=4,若数列1S n的前k 项和为1011,则k=( )A.11B.10 C .9 D.8二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.已知数列{a n }是公差不为0的等差数列,前n 项和为S n ,满足a 1+5a 3=S 8,下列选项正确的有( ) A.a 10=0 B.S 7=S 12 C.S 10最小 D.S 20=06.在数列{a n}中,若a n2−a n-12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{a n}为“等方差数列”,下列对“等方差数列”的判断正确的是()A.若{a n}是等差数列,则{a n2}是等方差数列B.{(-1)n}是等方差数列C.若{a n}是等方差数列,则{a kn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列D.若{a n}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019浙江温州中学模拟)已知等比数列{a n}的前n项和S n=3n+r,则a3-r=.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),若a1=3,a5=-11,则a3=,S5=.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019湖北八校联考一,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a n+1=2+S n对一切正整数n 恒成立.(1)求a1和数列{a n}的通项公式;(2)求数列{S n}的前n项和T n.10.(15分)(2019安徽宣城八校联考)已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2a n2(n∈N*).2(1)证明:数列{1+log2a n}为等比数列;(2)设b n=n,求数列{b n}的前n项和S n.1+log2a n,其中n∈N*.11.(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-14a n(1)设b n=2,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式;2a n-13(2)设c n=4a n,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<1m m+1对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检卷六数列(B)1.B因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.2.A因为等比数列{a n}的前n项和为S n,且1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2,则S3=8.故选A.3.B∵a n+a n-1=na n-a n-1+2(n≥2),∴a n2−a n-12-2(a n-a n-1)=n,整理得(a n-1)2−(a n-1-1)2=n,由累加法得(a n-1)2−(a1-1)2=n+(n-1)+…+2,又a1=2,∴b n=(a n-1)2=n(n+1)2,可得b10=55.故选B.454.B 设等差数列{a n }的公差为d ,则{a 1+8d =12(a 1+11d )+6,a 1+d =4,解得{a 1=2,d =2.∴S n =2n+n (n -1)2×2=n 2+n , ∴1S n=1n (n+1)=1n −1n+1, ∴1S 1+1S 2+…+1S k =1-12+12−13+…+1k −1k+1=1-1k+1=1011,解得k=10.故选B . 5.AB 因为{a n }是等差数列,设公差为d ,由a 1+5a 3=S 8,可得a 1+9d=0,即a 10=0,即选项A 正确;又S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,即选项B 正确;当d>0时,则S 9或S 10最小,当d<0时,则S 9或S 10最大,即选项C 错误; 又S 19=19a 10=0,a 20≠0,所以S 20≠0,即选项D 错误.故选AB .6.BCD 对于A 选项,取a n =n ,则a n+14−a n 4=(n+1)4-n 4=[(n+1)2-n 2]·[(n+1)2+n 2]=(2n+1)(2n 2+2n+1)不是常数,则{a n 2}不是等方差数列,故A 错误;对于B 选项,[(-1)n+1]2-[(-1)n ]2=1-1=0为常数,则{(-1)n }是等方差数列,故B 正确;对于C 选项,若{a n }是等方差数列,则存 在常数p ∈R ,使得a n+12−a n 2=p ,则数列{a n 2}为等差数列,所以a k (n+1)2−a kn 2=kp ,则数列{a kn }(k ∈N *,k 为常数)也是等方差数列,故C 正确;对于D 选项,若数列{a n }为等差数列,设其公差为d ,则存在m ∈R ,使得a n =dn+m ,则a n+12−a n 2=(a n+1-a n )(a n+1+a n )=d (2dn+2m+d )=2d 2n+(2m+d )d ,由于数列{a n }也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得a n+12−a n 2=p ,则2d 2n+(2m+d )d=p ,对任意的n ∈N *恒成立,则{2d2=0,(2m +d )d =p ,得p=d=0,6此时,数列{a n }为常数列,故D 正确,故选BCD .7.19 等比数列前n 项和公式具有特征S n =aq n -a ,据此可知,r=-1,则S n =3n -1,a 3=S 3-S 2=(33-1)-(32-1)=18,a 3-r=19. 8.-4 -20 依题意,a 3=a 1+a 52=3-112=-4;S 5=a 1+a 52×5=5a 3=5×(-4)=-20.9.解 (1)当n ≥2时,a n =2+S n-1,与a n+1=2+S n 相减得a n+1=2a n (n ≥2).∴数列{a n }是公比q=2的等比数列,a 2=2a 1,又∵a 2=2+S 1=2+a 1,∴a 1=2,∴a n =2n .(2)由a n+1=2+S n 得S n =2n+1-2,∴T n =(22+23+…+2n+1)-2n=22(1-2n )-2n=2n+2-2n-4.10.(1)证明 由a n+1=2a n 2,两边取以2为底的对数,得log 2a n+1=1+2log 2a n ,则log 2a n+1+1=2(log 2a n +1),所以{1+log 2a n }为首项为2,公比为2的等比数列.且log 2a n +1=(log 2a 1+1)×2n-1=2n .(2)解 由(1)得b n =n2n .因为S n 为数列{b n }的前n 项和,所以S n =12+222+…+n 2n ,则12S n =122+223+…+n 2n+1.两式相减得12S n =12+122+…+12n−n 2n+1=12(1-12n )1-12−n 2n+1=1-12n −n2n+1,所以S n =2-n+22n.11.(1)证明∵b n+1-b n=22a n+1-1−22a n-1=22(1-14an)-1−22a n-1=4a n2a n-1−22a n-1=2(常数),∴数列{b n}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此b n=2+(n-1)×2=2n,由b n=22a n-1得a n=n+12n.(2)解存在.由c n=4a nn+1,a n=n+12n得c n =2n,∴c n c n+2=4n(n+2)=21n−1n+2,∴T n=21-13+12−1 4+13−15+…+1n−1n+2=21+12−1n+1−1n+2<3,依题意要使T n<1c m c m+1对于n∈N*恒成立,只需1c m c m+1≥3,即m(m+1)4≥3, 解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,∴m的最小值为3.7。

45分钟滚动基础训练卷(一)(考查范围：第1讲～第3讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·肇庆模拟] 已知集合M＝{0，1，2}，集合N满足N⊆M，则集合N的个数是() A．6 B．7C．8 D．92．[2012·延吉质检] 设非空集合A，B满足A⊆B，则()A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A3．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为()A．∀x∈R，cos2x>cos2xB．∃x∈R，cos2x>cos2xC．∀x∈R，cos2x<cos2xD．∃x∈R，cos2x≤cos2x4．[2012·沈阳、大连联合模拟] 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|log x4＝2}，则A∪B ＝()A．{－2，1，2} B．{1，2}C．{－2，2} D．{2}5．[2012·鹰潭一模] 关于x的不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是()A．a<1 B．a≤1C．0<a<1 D．a<06．[2012·威海模拟] 设集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．[2012·泉州四校联考] 命题p：∀x∈R，函数f(x)＝2cos2x＋3sin2x≤3，则() A．p是假命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x≤3B．p是假命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x>3C．p是真命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x≤3D．p是真命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋3sin2x>38．[2013·邯郸模拟] 给出以下命题：①∃x∈R，sin x＋cos x>1；②∀x∈R，x2－x＋1>0；③“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知a，b都是实数，命题“若a＋b>0，则a，b不全为0”的逆否命题是________．10．[2012·淄博模拟] 由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．11．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x的一元二次方程①mx2－4x＋4＝0；②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，m∈Z，试求方程①和②的根都是整数的充要条件．13．命题p：－2<m<0，0<n<1；命题q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件．14．[2013·徐水模拟] 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若p，q都是假命题，求a的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(二)(考查范围：第4讲～第12讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·江西师大附中] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0.若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1.函数h (x )＝f (x )－log 2x 零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．[2012·湖北黄冈] 设n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3，则使得f (x )＝x n 为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．a 是f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定5．设函数y ＝f (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若g (x )＝f (x )－2x 在区间[2，3]上的值域为[－2，6]，则函数g (x )在[－12，12]上的值域为( )A ．[－2，6]B ．[－20，34]C ．[－22，32]D ．[－24，28]6．[2012·郑州质检] 定义在(－1，1)上的函数f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ；当x ∈(－1，0)时f (x )>0.若P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111，Q ＝f ⎝⎛⎭⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( ) A ．R >Q >P B ．R >P >Q C ．P >R >Q D ．Q >P >R7．[2012·石家庄教学质检] 设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12（x ∈A ），2（1－x ）（x ∈B ），x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，14 B.⎝⎛⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎣⎡⎦⎤0，388．[2012·哈三中等四校三模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0.则下列关于函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．如果实数x 满足方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝________．10．已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝________．11．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·山西四校联考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋12x ，x <0，ln （x ＋1），x ≥0，若函数y ＝f (x )－kx 有三个零点，求实数k 的取值范围．13．[2013·山西忻州一中月考] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)．(1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求a 的取值范围．14．[2012·福建德化一中模拟] 某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y(万元)与技术改造投入x(万元)之间的关系满足：①y与a－x和x的乘积成正比；②x＝a2时，y＝a2；③0≤x2（a－x）≤t，其中t为常数，且t∈[0，1]．(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域；(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第16讲，以第13讲～第16讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·济南一中模拟] 如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1) 2．若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝⎛⎭⎫14x <⎝⎛⎭⎫14y3．[2012·山西四校联考] 曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－124．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a5．[2012·济宁检测] 函数y ＝ln 1|x ＋1|的大致图象为( )图G3－16．[2012·金华十校联考] 设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为( )图G3－27．[2012·哈尔滨六中一模] 曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．4－2ln2B ．2－ln2C ．4－ln2D ．2ln2 8．[2012·宁夏二模] 抛物线y ＝x 2在A (1，1)处的切线与y 轴及该抛物线所围成的图形面积为( )A.13B.12C ．1D ．2 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．曲线y ＝x 3和y ＝ x 13所围成的封闭图形的面积是________．10．[2012·威海一模] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集是________．11．[2013·山西诊断] 已知函数f (x )＝e x ＋x 2－x ，若对任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤k恒成立，则k 的取值范围为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y (元)与每公斤蘑菇的出厂价x (元)的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．13．设函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)已知21x>x a 对任意x ∈(0，1)恒成立，求实数a 的取值范围．14．[2012·景德镇质检] 设f (x )＝a x －ln x (a >0)． (1)若f (x )在[1，＋∞)上递增，求a 的取值范围； (2)求f (x )在[1，4]上的最小值．45分钟滚动基础训练卷(四)(考查范围：第17讲～第20讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1，3] C ．[0，3] D ．[－3，0]2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π43．[2013·南阳模拟] sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值为( ) A.23 B.12 C.14 D.134．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2π D.π45．已知函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π86．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A.16B.14C.13D.127．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )图G4－18．如图G4－2，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )图G4－2A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．函数y ＝lgsin x ＋cos x －12的定义域为________．10．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．11．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？13．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围．14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·开封模拟] 设sin π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.792．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 23．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.11164．[2013·长春模拟] 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.则cos(α－β)的值为( )A.13B.23C.35D.455．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )A ．2 B.12C ．3 D.136．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.17B.15C.152D ．37．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α＝( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.π68．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的部分图象如图G5－1所示，则平移后的图象图G5－1所对应函数的解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________．10．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．11．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则φ＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若a ∥b ，求sin x 和cos2x 的值；(2)若a ·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫12k π＋13π6＋x (k ∈Z )，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的值．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．14．如图G5－2，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？图G5－245分钟滚动基础训练卷(六)(考查范围：第25讲～第27讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 2．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a ≠±b ，则a 与b 一定满足( ) A ．a 与b 的夹角等于α－β B ．a ⊥b C ．a ∥bD ．(a ＋b )⊥(a －b )3．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a|＝|b| D ．|a|≠|b|4．已知下列命题：①若k ∈R ，且k b ＝0，则k ＝0或b ＝0；②若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③若不平行的两个非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则(a ＋b )·(a －b )＝0；④若a 与b 平行，则a·b ＝|a |·|b |.其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )6．如图G6－1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )图G6－1A ．0B ．4C ．8D ．－47．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－2，0]8．已知两点M (－3，0)，N (3，0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3，0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．10．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________．11．在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a －k b |＝3|k a ＋b |，其中k >0. (1)试用k 表示a·b ，并求出a·b 的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值； (2)当a·b 取得最大值时，求实数λ，使|a ＋λb |的值最小，并对这一结果作出几何解释．13．[2013·郑州模拟] 已知二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，设向量a ＝(sin x ，2) ，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin x ，12，c ＝(cos2x ，1)，d ＝(1，2)，当x ∈[0，π]时，求不等式f (a ·b )＞f (c ·d )的解集．14．如图G6－2，平面上定点F 到定直线l 的距离|FM |＝2，P 为该平面上的动点，过P作直线l 的垂线，垂足为Q ，且(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →)＝0.(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点N ，已知NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →，求证：λ1＋λ2为定值．图G6－245分钟滚动基础训练卷(七) (考查范围：第28讲～第32讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 6＝12，则数列{a n }的前10项的和为( ) A ．100 B ．110 C ．120 D ．1302．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且有a 4a 6＝4a 27，则a 3＝( ) A ．1 B ．2 C.14 D.123．在等差数列{a n }中，已知a 6＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．604．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 5．设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( ) A ．等于－2 B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在6．已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 6＝8，a 3a 4＝12，则a 2 012a 2 007＝( )A ．2B ．3C ．6D ．3或67．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －2，则a 2＝( ) A ．4 B ．12 C ．24 D ．368．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎫1－12n 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．[2012·江西卷] 设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________．10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n ＝________．11．某数表中的数按一定规律排列，如下表所示，从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式a n ＝________．1 1 1 1 1 1 … 123456 … 1 3 57 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … … … … … … … …三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知等差数列{a n}，S n为其前n项的和，a5＝6，S6＝18，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝3a n，求数列{b n}的前n项的和．13．等差数列{a n}的公差为－2，且a1，a3，a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n（12－a n）(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.14．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两个根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n＝1－b n2(n∈N*)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n＝a n·b n，求数列{c n}的前n项和T n.45分钟滚动基础训练卷(八)(考查范围：第33讲～第36讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a 、b ∈R ，则“a >1且0<b <1”是“a －b >0且ab>1”成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件2．不等式1x≤1的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)3．[2012·山东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1，6] D.⎣⎡⎦⎤－6，32 4．设a ，b ，c ，d ∈R ，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b |≤2cdD ．|a ＋b |≥2cd5．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1y的最小值是( )A ．2 3B ．4 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3 6．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v 1，下山的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上下山的速度都是v 1＋v 22(甲、乙两人中途不停歇)，则甲、乙两人上下山所用的时间t 1，t 2的关系为( )A ．t 1>t 2B ．t 1<t 2C ．t 1＝t 2D ．不能确定7．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，若目标函数z ＝kx －y 在x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－1]8．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．[2012·天津卷] 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．图G8－110．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图G8－1中的阴影部分(包括边界)，则这个不等式组是________．11．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物________吨．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．13．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料A、B、C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A 1150B 40160C 25200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？14．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？45分钟滚动基础训练卷(九)(考查范围：第37讲～第41讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·兰州一模] 直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线2．如图G9－1是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()图G9－13．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α4．[2012·广州模拟] 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知正方体的外接球的体积是4π3，则这个正方体的棱长是( )A.23B.33C.223D.2336．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点7．设m ，l 表示直线，α表示平面，若m ⊂α，则l ∥α是l ∥m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．[2012·西安一模] 已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ⊥α⇒ m ∥n ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α； (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n . 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)9．在空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)10．[2012·济南一模] 一个几何体的三视图如图G9－2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.图G9－211．[2013·哈尔滨期中测试] 在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是________．图G9－3三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·合肥一模] 定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．13．[2012·太原二模] 直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若P为A1B1的中点，求证：DP∥平面BCB1，且DP∥平面ACB1.14. 如图G9－4，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB＝BC＝2CD.(1)在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE?(2)求证：平面ADE⊥平面ABE.图G9－445分钟滚动基础训练卷(十)(考查范围：第37讲～第44讲，以第42讲～第44讲为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·长沙二模] 已知平面α内有一个点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．P (2，3，3)B ．P (－2，0，1)C ．P (－4，4，0)D ．P (3，－3，4)2．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ等于 ( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2553．[2012·杭州二模] 已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3，2D ．2，24．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32C ．2 D.345．[2012·银川二模] 已知二面角α－l －β的大小为120°，点B 、C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( )A.14B.13 C ．2 2 D ．2 5 6．[2012·哈尔滨三模] 已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657 7．[2013·济南期中] 已知△ABC 的三个顶点分别是A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 长为( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 8．[2012·石家庄三模] 正四棱锥P －ABCD 的所有棱长相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值等于( )A.12B.22C.23D.33二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________．10．如图G10－1，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．图G10－111．如图G10－2，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则直线B 1N 与平面BDM 所成角的正弦值为________．图G10－2三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·沈阳、大连联考] 如图G10－3，在底面为长方形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AP ＝AD ＝2AB ，其中E ，F 分别是PD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面P AC ？若存在，请指出点O 的位置并证明BO ⊥平面P AC ；若不存在，请说明理由．图G10－313．[2013·武汉期中] 如图G10－4所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB ，AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点．设AB→＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．图G10－414．[2012·长春三模] 如图G10－5所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．图G10－545分钟滚动基础训练卷(十一)(考查范围：第45讲～第48讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·青岛一模] 已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1 2．[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能3．以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0 4．[2012·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．15．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则|PM |的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．如图G11－1，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )图G11－1A．210 B．6C．3 3 D．2 57．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()A．[－1，1＋22] B．[1－22，1＋22]C．[1－22，3] D．[1－2，3]8．[2012·天津卷] 设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－3，1＋3]B．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C．[2－22，2＋22]D．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·金华十校联考] 已知点A(－2，0)，B(1，3)是圆x2＋y2＝4上的定点，经过点B的直线与该圆交于另一点C，当△ABC面积最大时，直线BC的方程是________．10．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上恰有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为22，则k＝________．11．[2012·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．13．设点C 为曲线y ＝2x(x >0)上任一点，以点C 为圆心的圆与x 轴交于点E ，A ，与y 轴交于点E ，B .(1)证明：多边形EACB 的面积是定值，并求这个定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|EM |＝|EN |，求圆C 的方程．14．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2，0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．45分钟滚动基础训练卷(十二)(考查范围：第45讲～第53讲，以第49讲～第53讲为主 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2012·茂名二模] 双曲线y 29－x 24＝1的焦距为( )A.13 B ．26 C ．213 D ．2 52．设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1长轴的两个端点为焦点，实轴长为45，则双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±2B ．±43C ．±12D ．±343．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617B.41717C.45D.2554．[2013·山西大学附中月考] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在一点P ，满足|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，3]B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)5．定义：离心率e ＝5－12的椭圆为“黄金椭圆”，已知E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F (c ，0)(c ＞0)，则E 为“黄金椭圆”是a ，b ，c 成等比数列的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件6．[2012·山东卷] 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝163yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y7．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．38．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)且|PF 1|＝λ|PF 2|，则λ的值为( )A ．2 B.12 C ．3 D.13二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．10．F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．11．[2012·辽宁卷] 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若PM→＝λ1MF →，PN →＝λ2NF →，则λ1＋λ2＝－2a 2b 2.在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，λ1＋λ2的值是什么，并证明你的结论．13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (2，0)，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2.14．[2012·陕西师大附中等五校联考] 到定点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比到y 轴的距离大12.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求点P 的轨迹方程；(2)设圆M 过A (1，0)，且圆心M 在P 的轨迹上，BD 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时弦长BD 是否为定值？说明理由；(3)过F ⎝⎛⎭⎫12，0作互相垂直的两直线交曲线C 于G ，H ，R ，S ，求四边形GRHS 面积的最小值．。

§6.6数列中的综合问题考试要求数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n 项和公式等．题型一等差数列、等比数列的综合运算例1(2023·厦门模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32n 2＋12n ，递增的等比数列{b n }满足b 1＋b 4＝18，b 2·b 3＝32.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ∈N +，求数列{c n }的前n 项和T n .解(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2＋12(n －1)＝3n －1，又∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝2符合上式，∴a n ＝3n －1.∵b 2b 3＝b 1b 4，∴b 1，b 4是方程x 2－18x ＋32＝0的两根，又∵b 4>b 1，∴解得b 1＝2，b 4＝16，∴q 3＝b4b 1＝8，∴q ＝2，∴b n ＝b 1·q n －1＝2n .(2)∵a n ＝3n －1，b n ＝2n ，则c n ＝(3n －1)·2n ，∴T n ＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n －1)·2n ，2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n －1)·2n ＋1，将两式相减得－T n ＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －1)·2n ＋1＝4＋322(1－2n －1)1－2－(3n －1)·2n ＋1＝(4－3n )·2n ＋1－8，∴T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.思维升华数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．跟踪训练1(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．(1)证明由2S nn＋n ＝2a n ＋1，得2S n ＋n 2＝2a n n ＋n ，①所以2S n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)，②②－①，得2a n ＋1＋2n ＋1＝2a n ＋1(n ＋1)－2a n n ＋1，化简得a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知数列{a n }的公差为1.由a 4，a 7，a 9成等比数列，得a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12.所以S n ＝－12n ＋n (n －1)2＝n 2－25n2－6258，所以当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值为－78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n (n ∈N +)，设数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，则实数λ的取值范围为()A.14，＋∞C.38，＋∞答案D解析数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n ，①当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，②①－②得1na n ＝2n ，故a n ＝2n 2，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式．数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝141n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝141＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝141－1(n ＋1)2，由于T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，故141－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝n ∈N +上单调递减，故当n ＝1＝38，所以λ>38.(2)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ,2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．{a n }的通项公式；②记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.①解由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3a n ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，所以数列是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n－1，所以a n ＝11.②证明由①可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271n，a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－3<7528.综上所述，1271n≤S n <7528成立．命题点2数列与函数的交汇例3(1)(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋4x ，记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，则S 2022等于()A ．－4044B ．－2022C ．2022D ．4044答案A解析因为f (－x )＝－13x 3－4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因为f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，所以f (a 1＋2)＝－f (a 2022＋2)，所以a 1＋2＋a 2022＋2＝0，所以a 1＋a 2022＝－4，所以S 2022＝2022(a 1＋a 2022)2＝－4044.(2)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1,2]，且a 4＋λa 10＋a 16＝15，则实数λ的最大值为________．答案－12解析因为a 4＋λa 10＋a 16＝15,所以a 1＋3d ＋λ(a 1＋9d )＋a 1＋15d ＝15，令λ＝f (d )＝151＋9d －2，因为d ∈[1,2]，所以令t ＝1＋9d ，t ∈[10,19]，因此λ＝f (t )＝15t －2，当t ∈[10,19]时，函数λ＝f (t )是减函数，故当t ＝10时，实数λ有最大值，最大值为f (10)＝－12.思维升华(1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n 项和公式、求和方法等对式子化简变形．跟踪训练2(1)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2023的两个零点是a 2，a 3，则a 1a 4等于()A ．2023B ．1C ．－1D ．－2023答案D解析由题意a 2，a 3是x 2－x －2023＝0的两根．由根与系数的关系得a 2a 3＝－2023.又a 1a 4＝a 2a 3，所以a 1a 4＝－2023.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N +)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.①求数列{a n }，{b n }的通项公式；②设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.①解由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.所以S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，所以d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.②证明因为log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1，所以c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋1)＝所以T n －13＋13－15＋…＋12n －1－因为n ∈N +，所以T n <12，＝n 2n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)>0，所以数列{T n }是一个递增数列，所以T n ≥T 1＝13.综上所述，13≤T n <12.课时精练1．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，则a 1等于()A ．52－5B ．52＋5C ．52D ．5答案A解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，可得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，4a 3＝4a 1＋a 5，即4a 1＋a 1q 4＝4a 1q 2，即q 2－2＝0，解得q ＝2，a 1＝52－5.2．(2023·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7000万元()(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7000万元．3．在正项等比数列{a n }中，3为a 6与a 14的等比中项，则a 3＋3a 17的最小值为()A ．23B ．89C ．6D ．3答案C解析因为{a n }是正项等比数列，且3为a 6与a 14的等比中项，所以a 6a 14＝3＝a 3a 17，则a 3＋3a 17＝a 3＋3·3a 3≥2a 3·3·3a 3＝6，当且仅当a 3＝3时，等号成立，所以a 3＋3a 17的最小值为6.4．(2023·岳阳模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝－2a 5,1<a 3<2，则数列{a 3n }的前5项和S 5的取值范围是()－118，－－338，－答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝－12，数列{a 3n }是首项为a 3，公比为q 3＝－12的等比数列，则S 51＋12＝1116a 35．(多选)(2023·贵阳模拟)已知函数f (x )＝lg x ，则下列四个命题中，是真命题的为()A ．f (2)，f (10)，f (5)成等差数列B ．f (2)，f (4)，f (8)成等差数列C ．f (2)，f (12)，f (72)成等比数列D ．f (2)，f (4)，f (16)成等比数列答案ABD解析对于A ，f (2)＋f (5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f (10)＝2lg 10＝1，故f (2)，f (10)，f (5)成等差数列，故是真命题；对于B ，f (2)＋f (8)＝lg 2＋lg 8＝lg 16,2f (4)＝2lg 4＝lg 16，故f (2)，f (4)，f (8)成等差数列，故是真命题；对于C ，f (2)·f (72)＝lg 2×lg ＝lg 212＝f 2(12)，故f (2)，f (12)，f (72)不成等比数列，故是假命题；对于D ，f (2)f (16)＝lg 2×lg 16＝4lg 22＝(2lg 2)2＝lg 24＝f 2(4)，故f (2)，f (4)，f (16)成等比数列，故是真命题．6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，不是质数．现设a n ＝log 4(F n －1)(n ＝1,2，…)，S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析因为F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)，所以a n ＝log 4(F n －1)＝log 4(22n＋1－1)＝log 422n＝2n －1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1(1－2n )1－2＝2n －1.所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6.7.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中“落—形”就是每层为“三角形数”的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为________．答案120解析∵“三角形数”可写为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，…，∴“三角形数”的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴这个三角锥垛的第十五层球的个数为a 15＝15×162＝120.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，则p 的取值范围为________．答案ln 33，＋∞解析数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，故p ，设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2，令f ′(x )＝1－ln x x 2＝0，解得x ＝e ，故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)，所以函数在x ＝e 处取最大值，由于n ∈N +，所以当n ＝3时函数最大值为ln 33.所以p 的取值范围是ln 33，＋9．记关于x 的不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0(n ∈N +)的整数解的个数为a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足4T n ＝3n ＋1－a n －2.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝2b n －，若对任意n ∈N +，都有c n <c n ＋1成立，试求实数λ的取值范围．解(1)由不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0可得，n ≤x ≤3n ，∴a n ＝2n ＋1，T n ＝14×3n ＋1－12n －34，当n ＝1时，b 1＝T 1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12×3n －12，∵b 1＝1适合上式，∴b n ＝12×3n －12.(2)由(1)可得，c n ＝3n －1＋(－1)n －1，∴c n ＋1＝3n ＋1－1＋(－1)n ＋1，∵c n <c n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝2×3n ＋52(－1)n >0，∴(－1)n λ>－45×2n ，当n 为奇数时，λ<45×2n ，由于45×2n 随着n 的增大而增大，当n ＝1时，45×2n 的最小值为85，∴λ<85，当n 为偶数时，λ>－45×2n ，由于－45×2n 随着n 的增大而减小，当n ＝2时，－45×2n 的最大值为－165，∴λ>－165，综上可知，－165<λ<85.10．设n ∈N +，有三个条件：①a n 是2与S n 的等差中项；②a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)；③S n ＝2n ＋1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解(1)选择条件①：因为a n 是2与S n 的等差中项，所以2a n ＝2＋S n ，所以当n ≥2时，2a n －1＝2＋S n －1，两式相减得，2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，在2a n ＝2＋S n 中，令n ＝1，可得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件②：由a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)，知S n ＋1＝2(S n ＋1)，当n ＝1时，可求得a 2＝4，所以当n ≥2时，S n ＝2(S n －1＋1)，两式相减得，a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝2，a 2＝4也满足上式，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件③：在S n ＝2n ＋1－2中，令n ＝1，则a 1＝21＋1－2＝2，当n ≥2时，有S n －1＝2n －2，两式相减得，a n ＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，所以a n ＝2n .(2)因为{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，所以a n ·b n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，由(1)知，a n ＝2n ，所以b n ＝2n －12n －1，所以T n ＝1＋3＋5＋…＋2n －12n －1，12T n ＝1＋3＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，两式相减得，12T n ＝1＋2＋2＋…＋2－1－2n －12n ＝1＋2×21－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n，所以T n ＝6－2n ＋32n －1.11．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析设无穷等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d .若{a n }为递增数列，则d >0，则存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，所以充分性成立；若存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，即d >d －a 1n对任意的n >N 0，n ∈N +均成立，由于n →＋∞时，d －a 1n→0，且d ≠0，所以d >0，{a n }为递增数列，必要性成立．故选C.12．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)．若a 1>1，则()A ．a 1<a 3，a 2<a 4B ．a 1>a 3，a 2<a 4C ．a 1<a 3，a 2>a 4D ．a 1>a 3，a 2>a 4答案B 解析因为ln x ≤x －1(x >0)，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1，所以a 4＝a 1·q 3≤－1.由a 1>1，得q <0.若q ≤－1，则ln(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )·(1＋q 2)≤0.又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1>1，所以ln(a 1＋a 2＋a 3)>0，矛盾．因此－1<q <0.所以a 1－a 3＝a 1(1－q 2)>0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)<0，所以a 1>a 3，a 2<a 4.13．函数y ＝f (x )，x ∈[1，＋∞)，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N +，①函数f (x )是增函数；②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f (x )的解析式________．写出一个满足②但不满足①的函数f (x )的解析式________．答案f (x )＝x 2f (x )(答案不唯一)解析由题意，可知在x ∈[1，＋∞)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为f (x )＝x 2.第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为f (x ).则这个函数在1，43上单调递减，在43，＋∴f (x )在[1，＋∞)上不是增函数，不满足①.而对应的数列为a n 在n ∈N +上越来越大，属于递增数列．14．设函数f (x )－4，x ≤－3，x 2＋2，x >－3，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )(n ∈N +)，若{a n }是等差数列．则a 1的取值范围是__________．答案(－∞，－3]∪{－2,1}解析画出函数f (x )的图象如图所示，当a 1≤－3时，a 2＝f (a 1)＝a 1－4≤－7，a 3＝f (a 2)＝a 2－4≤－11，…，数列{a n }是首项为a 1，公差为－4的等差数列，符合题意，当a 1>－3时，因为{a n }是等差数列，①若其公差d >0，则∃k 0∈N +，使得0k a >2，这与a n ＋1＝f (a n )＝2－a 2n ≤2矛盾，②若其公差d ＝0，则a 2＝－a 21＋2＝a 1，即a 21＋a 1－2＝0，解得a 1＝－2或a 1＝1，则当a 1＝－2时，a n ＝－2为常数列，当a 1＝1时，a n ＝1为常数列，此时{a n }为等差数列，符合题意，③若其公差d <0，则∃k 0∈N +，使得0k a >－3且01k a ＋≤－3，则等差数列的公差必为－4，因此001k k a a ＋－＝－4，所以2－002k k a a －＝－4，解得0k a ＝－3(舍去)或0k a ＝2.又当0k a ＝2时，000123k k k a a a ＋＋＋＝＝＝…＝－2，这与公差为－4矛盾．综上所述，a 1的取值范围是(－∞，－3]∪{－2,1}．15．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n >0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有()A ．S n ≤2n 2＋3B ．S n ≥n 2＋4nC ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n 答案D 解析∵a n >0，∴a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1，∵a n a n ＋1＝n ＋1，∴{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2，∴数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ≥2×n (n ＋3)2＝n 2＋3n .16．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b nn ∈N +)，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n <1＋n .(1)解由已知a n ＋22＝2S n (n ∈N +)，整理得S n ＝18(a n ＋2)2，所以S n ＋1＝18(a n ＋1＋2)2.所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝18[(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2]＝18(a 2n ＋1＋4a n ＋1－a 2n －4a n )，整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0，由题意知a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝4，而a 1＝2，即数列{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2.(2)证明令c n ＝b n －1，则c n ＋a n a n ＋1－＝12n －1－12n ＋1.故b 1＋b 2＋…＋b n －n ＝c 1＋c 2＋…＋cn…1－12n ＋1<1.故b 1＋b 2＋…＋b n <1＋n .。

单元质检卷六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=15,S5=55,则数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.(2018辽宁沈阳交联体期中,5)已知a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N*),则数列{a n}的通项公式是()A.a n=2n-1B.a n=2n+3C.a n=nD.a n=n23.在等差数列{a n}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{a n}的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或254.(2018河南郑州一模,5)等比数列{a n}中,a3=9,前3项和为S3=3x2d x,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或-5.(2018全国高考必刷模拟一,5)已知数列{a n}的前n项和为S n,若S n=1+2a n(n≥2),且a1=2,则S20=()A.219-1B.221-2C.219+1D.221+26.(2018新疆乌鲁木齐三模)已知数列{a n}、{b n}满足a1=b1=1,a n+1-a n==2(n∈N*),则数列{}的前10项的和为()A.(49-1)B.(410-1)C.(49-1)D.(410-1)二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018江苏南京、盐城一模,10)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2 017项中的奇数项的和为2 018,则S2 017的值为.8.(2018辽宁抚顺一模,16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n+2,则a9的值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018北京,文15)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求+…+.10.(15分)(2018河北石家庄一模,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足2S n=2n+1+m(m∈R).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.11.(15分)(2018山东济宁一模,17)已知{a n}是等比数列,满足a1=2,且a2,a3+2,a4成等差数列,数列{b n}满足b1+b2+b3+…+b n=2n(n∈N*).(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=(-1)n(a n-b n),求数列{c n}的前2n项和S2n.单元质检卷六数列(A)1.B∵{a n}是等差数列,a4=15,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11.∴公差d=a4-a3=4.2.C由a n=n(a n+1-a n),得(n+1)a n=na n+1,,=1,故a n=n,故选C.3.A∵在等差数列{a n}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,-解得∴S5=5a1+d=5×(-1)+2=15.故选A.4.C由S3=3x2d x=3×=3×33-0=27,且a3=9,得a1+a2=18,两式相除得=2,解得q的值为1或-5.C∵S n=1+2a n(n≥2),∴S2=1+2a2(n≥2),a1+a2=1+2a2,∴a2=1.S n=1+2a n(n≥2),①S n-1=1+2a n-1(n≥3),②①-②得a n=2a n-1,∴数列{a n}是从第2项开始的等比数列,则S20=a1+-=219+1.-6.D由题可知a n=1+(n-1)·2=2n-1,b n=1·2n-1,则数列{}即为数列{b n}的奇数项,数列{}仍为等比数列,其首项为b1=1,公比为原数列{b n}公比的平方,则数列{}的前10项的和为S10=--(410-1).7.4 034∵{a n}的前2 017项中的奇数项的和为2 018,(a1+a2 017)=2 018,∴a1+a2 017=4.∴S2 017=(a1+a2 017)=4 034.8.384当n≥2时,由a n+1=S n+2,得a n=S n-1+2,两式相减,得a n+1-a n=a n,∴a n+1=2a n,当n=1时,a2=S1+2=3,所以当n≥2时,数列{a n}是以2为公比的等比数列,∴a9=a2×27=3×128=384.9.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a2+a3=5ln 2.∴2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,∴d=ln 2.∴a n=a1+(n-1)d=n ln 2.(2)由(1)知a n=n ln 2.=e n ln 2==2n,∴{}是以2为首项,2为公比的等比数列.+…+=2+22+…+2n=2n+1-2.10.解(1)由2S n=2n+1+m(m∈R),得2S n-1=2n+m(m∈R).当n≥2时,2a n=2S n-2S n-1=2n,即a n=2n-1(n≥2).又a1=S1=2+,当m=-2时符合上式,所以通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)可得log2(a n·a n+1)=log2(2n-1·2n)=2n-1,∴b n=,--∴T n=b1+b2+…+b n=1-+…+=-11.解(1)设数列{a n}的公比为q,则由条件得2(a3+2)=a2+a4,又a1=2,则2(2q2+2)=2q+2q3⇒4(q2+1)=2q(1+q2).因为1+q2>0,解得q=2,故a n=2n.对于{b n},当n=1时,b1=2×1=2;b n-1=2(n-1), 当n≥2时,由b1+b2+b3+…+b n=2n得:b1+b2+b3+…+-b n=2(n≥2),可得b n=2n,且b1=2也适合,故b n=2n.∴a n=2n,b n=2n.(2)因c n=(-1)n(a n-b n),由(1)得S2n=c1+c2+…+c2n=-a1+b1+a2-b2+…+a2n-b2n+n·(-2)=(-a1+a2-…+a2n)+(b1-b2+…-b2n)=-----=-(1-22n)-2n=22n+1-2n-。

单元质检六数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=5,S6=36,则a6=()A.9B.10C.11D.122.在单调递减的等比数列{a n}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=()A.2B.4C.D.23.设a n=-n2+9n+10,则数列{a n}前n项和最大时n的值为()A.9B.10C.9或10D.124.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A. B.- C.2 D.-25.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n=()A.80B.26C.30D.166.(2017辽宁沈阳三模)若数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+a n+1=3×2n-1,则S2 017=()A.22 018-1B.22 018+1C.22 017-1D.22 017+1二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则三数成等比数列,则此未知数是.8.(2017河北石家庄二中模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a n=+2a n-1(n≥2),若b n=(n∈N+),则数列{b n}的前n项和S n=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知数列{a n}的前n项和为S n,首项为a1,且,a n,S n成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列的前n项和T n.10.(15分)(2017陕西渭南二模)已知{a n}为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=,设{b n}的前n项和为S n,求最小的正整数n,使得S n>.11.(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-,其中n∈N+.(1)设b n=,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式.(2)设c n=,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<对于n∈N+恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检六数列(B)1.C解析∵S6=×6=×6=36,又a3=5,∴a4=7.∴a6=a4+(6-4)×(7-5)=11.故选C.2.B解析由已知得:a1q2=1,a1q+a1q3=,∴,q2-q+1=0,∴q=(q=2舍去),∴a1=4.3.C解析令a n≥0,得n2-9n-10≤0,∴1≤n≤10.令a n+1≤0,即n2-7n-18≥0,∴n≥9.∴9≤n≤10.∴前9项和等于前10项和,它们都最大.4.A解析由条件得∴∴a5=a1q4=×42=.5.C解析设各项均为正数的等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.∵S n=2,S3n=14,∴=2,=14,解得q n=2,=-2.∴S4n=(1-q4n)=-2×(1-16)=30.故选C.6.C解析由a1=1和a n+1=3×2n-1-a n,可知数列{a n}唯一确定,并且a2=2,a3=4,a4=8,猜测a n=2n-1,经验证a n=2n-1是满足题意的唯一解.∴S2017==22017-1.7.3或27解析设此三数为3,a,b,则解得故这个未知数为3或27.8.1-解析当n≥2时,a n+1=+2a n-1+1=(a n-1+1)2>0,两边取以2为底的对数可得log2(a n+1)=log2(a n-1+1)2=2log2(a n-1+1),则数列{log2(a n+1)}是以1为首项,2为公比的等比数列,log2(a n+1)=2n-1,a n=-1, 又a n=+2a n-1(n≥2),可得a n+1=+2a n(n∈N+),两边取倒数可得,即,因此b n=,所以S n=b1+…+b n==1-,故答案为1-.9.解(1)∵,a n,S n成等差数列,∴2a n=S n+.当n=1时,2a1=S1+,即a1=;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,即=2,故数列{a n}是首项为,公比为2的等比数列,即a n=2n-2.(2)∵b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=(log222n+1-2)×(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1),∴.∴T n==.10.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12,∴∵d≠0,∴解得a1=1,d=2,∴{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N+.(2)∵b n=,∴{b n}的前n项和S n=1-+…+=1-.令1-,解得n>1008,故满足条件的最小的正整数n为1009.11.解(1)∵b n+1-b n====2(常数),∴数列{b n}是等差数列.∵a1=1,∴b1=2,因此b n=2+(n-1)×2=2n,由b n=得a n=.(2)由c n=,a n=得c n=,∴c n c n+2==2,∴T n=2+…+=2<3,依题意要使T n<对于n∈N+恒成立,只需≥3,即≥3,解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,所以m的最小值为3.。