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2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P （0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P（0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．。
2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1. 已知曲线方程为221169x y +=，P 为曲线上任意一点，,A B 为曲线的焦点，则 A. 16PA PB += B. 8PA PB += C. 16PA PB -= D. 8PA PB -= 2. 抛物线24yx 的焦点坐标是A.（0,1）B. （1,0）C. (0，116) D.（116，0） 3．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为12,x x ，中位数分别为12,y y ，则 A ．12x x ，12y y B ．12x x ，12y y C ．12x x ，12y y D ．12x x ，12y y4. 双曲线22143x y 的渐近线方程为A.3yx B.34y x C.23y x D.43y x 5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是 A 、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B 、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 C 、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定D 、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定6. “0>>n m ”是“方程221x y n m+=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 7. 过抛物线24y x 的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若126x x ，则AB 的值为A.10B.8C.6D.48.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是 A ．恰有一个红球与恰有二个红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．至少有一个红球与都是红球9..过点()2,1A -的直线与抛物线x y 42=相交于,C D 两点，若A 为CD 中点，则直线的方程是A. 02=+y xB. 042=--y xC. 032=-+y xD.053=-+y x10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为 2.236≈） A ．0.618 B. 0.472 C ．0.382 D ．0.23611.已知双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A ．B ．C ．3D ．512.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于B A ,两点．若AB A F =1，021=⋅B F B F ，则C 的离心率为A. 3B. 13+C.34D . 2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．设命题2:,2n p n N n ∃∈>,则:p ⌝为______ .14．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积为 ；15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为 16.以下四个关于圆锥曲线的命题:（1）直角坐标系内,到点()1,2-和到直线2340x y +-=距离相等的点的轨迹是抛物线; （2）设,A B 为两个定点，若2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线； （3）方程22520x x -+=的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； （4）若直线4mx ny +=和22:4O x y +=没有交点,则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2.其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知命题()0)2(3:<+-x x p ，命题05:>-x q ，若命题q p ∨为真命题，命题q p ∧为假命题，求实数x 的取值范围．18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.(Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(Ⅱ) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析： ①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校没有大学的概率.19.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为)0,1(F ，且椭圆上的点到点F 的最大距离为3，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F 倾斜角为︒60的直线与椭圆交于M 、N 两点，求弦长MN20. (本小题满分12分)某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．21. (本小题满分12分)已知抛物线C 的准线方程为41-=x . (Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ) 若过点)0,(t P 的直线l 与抛物线C 相交于、B A 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证t 为常数，并求出此常数。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知全集，，，则__________.【答案】3【解析】【分析】先根据和确定是中元素，不是中元素，由此计算的值.【详解】因为，，所以，解得.【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素.2.方程组增广矩阵为____________【答案】【解析】【分析】直接利用增广矩阵的概念得到答案.【详解】的增广矩阵为故答案为：【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.3.若，则化简后的值等于________．【答案】【解析】【分析】由题意可知，为三阶行列式中元素的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出的值.【详解】由题意可知，为三阶行列式中元素的代数余子式，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.幂函数经过点，则此幂函数的解析式为_______.【答案】【解析】设幂函数为，代入点，所以所以，，填。
5.若直线过点，且法向量为，则直线的点方向式方程为________．【答案】【解析】【分析】求出直线的一个方向向量，根据直线的点方式方程可得出直线的点方向式方程.【详解】由于直线过点，且法向量为，则直线的一个方向向量为，因此，直线的点方向式方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线的点方向式方程的求解，求出直线的方向向量是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.6.______【答案】【解析】【分析】运用等差数列的求和公式和，结合极限的运算性质可得所求值．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查运算能力，属于基础题．7.设为奇函数，且当时，，则当时，=____【答案】【解析】【分析】根据函数是奇函数，得，由，得，代入已知的函数关系中，可得解.【详解】是奇函数，，因为时，．当时，，，所以时，．故填：.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求对称区间上的函数解析式，属于基础题.8.若，，，且，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示得出，利用正弦函数的最值可得出实数的最小值.【详解】，，，且，，则，由于，因此，实数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的最值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.9.过直线上的一点作圆的两条切线，，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为__________．【答案】【解析】不妨设与交点为，圆心，当，关于对称时，则直线，则，设在上的切点为，则，∴，∴，故，夹角为，故答案为.10.已知、是关于的方程的两个实数根，则经过两点、的直线与圆公共点的个数是________．【答案】或【解析】【分析】列出韦达定理，求出直线的方程为，可求出直线所过定点的坐标，并判断点与圆的位置关系，从而可得出直线与圆的公共点个数.【详解】由韦达定理得，，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，即，即，即，令，得，所以，直线恒过定点.，则点在圆上，因此，直线与圆的公共点个数为或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的公共点个数的判断，同时也考查了韦达定理的应用，求出直线所过定点的坐标是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.11.设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．(1)不论为何值，点N都不在直线上；(2)若，则过M，N的直线与直线平行；（3）若，则直线经过MN的中点；（4）若，则点M、N在直线的同侧且直线与线段MN的延长线相交．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用分母不等于零判断(1)，利用斜率相等判断（2）；利用中点坐标满足方程判断（3）；根据，以及M、N在直线的距离不同判断（4）.【详解】(1)因为，所以不在直线上，正确；（2）时，由可得，化为，即直线的斜率为，所以过M，N的直线与直线平行，时，过M，N的直线与直线都与轴平行，综上可得（2）正确；（3）时，化为，即直线经过MN的中点，正确；（4）可得，可得M、N在直线的同侧，进而得，M、N在直线的距离不同，直线与线段MN的延长线相交，正确.即正确命题的序号为(1)(2)(3)(4)，故答案为(1)(2)(3)(4).【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查直线的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.如图，正方形边长为米，圆的半径为米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以米/秒的速度从出发向移动，同时，点以米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约________秒（精确到）．【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出点、的坐标和直线的方程以及圆的方程，利用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件下，解不等式即可得出所求时长.【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系：可设点，，可得出直线的方程为，圆的方程为，由直线与圆有公共点，可得，化为，解得，而，因此，点在点的盲区中的时长约为秒.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查坐标法与一元二次不等式的解法，属于中等题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.函数的定义域为，值域为，则的最大值是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】如图.要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是. 选C.14.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是A. 系数行列式B. 比例式C. 向量不平行D. 直线，不平行【答案】D【解析】【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到为充要条件，直线分共面和异面两种情况．【详解】解：当两直线共面时，直线，不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线，不平行，二元一次方程组无解，故直线，不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．15.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得知与同向的单位向量和与同向的单位向量是相反向量，由此可得出、方向相反，由此可得出正确选项.【详解】由题意知，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以，、方向相反.因此，使得成立的条件为.故选：A.【点睛】本题考查了相反向量的概念，同时也考查了与非零向量同向的单位向量概念的理解，考查推理能力，属于基础题.16.到两条坐标轴距离之差的绝对值为的点的轨迹是（）A. 两条直线B. 四条直线C. 四条射线D. 八条射线【答案】D【解析】【分析】设所求动点的坐标为，可得出动点的轨迹方程为，可得出、，分析出方程所表示的射线条数，从而可得出动点轨迹对应的射线条数.【详解】设所求动点的坐标为，可得出动点的轨迹方程为，所以，或，下面来考查所代表的射线条数.①当，时，；②当，时，；③当，时，；④当，时，.可知方程代表四条射线，同理可知方程也代表四条射线.因此，到两条坐标轴的距离之差的绝对值为的点的轨迹是八条射线.故选：D.【点睛】本题考查动点轨迹形状的判断，求出动点的轨迹方程是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在中，已知、．（1）若点坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（2）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出的值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.【详解】（1），即，，且，，设点的坐标为，，，，解得，.直线的斜率为，，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，，解得或.因此，关于的函数关系式为或.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足．（1）求动点所在曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且满足，又点关于原点的对称点为点，求点、的坐标．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）求出向量、的坐标，结合条件可得出动点的轨迹方程；（2）得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出的坐标，再由点关于原点的对称点为点，可求出点的坐标.【详解】（1），，，即，化简得，即，因此，曲线的方程为；（2）设点、，直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，得．由韦达定理得，，，，所以，点的坐标为，又点关于原点的对称点为点，则点的坐标为.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，涉及了利用向量的坐标运算求解点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.19.有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，现地的居民从、两地之一购得商品后回运的运费是：地每公里的运费是地运费的倍，已知、两地相距，居民选择或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．（1）求地的居民选择地或地购物总费用相等时，点所在曲线的形状；（2）指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．【答案】（1）点所在曲线的形状是圆；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，设点，然后根据题意建立、的方程，即可得出动点的轨迹方程，即可判断出点所在曲线的形状；（2）先考虑居民在地购货费用较低，得出，由此得出，可得出圆内的居民从地购货费用较低，同理得出圆外的居民从地购货费用较低．【详解】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，则、，设地的坐标为，且地到、两地购物的运费分别是、（元/公里），当地到、两地购物总费用相等时，价格地运费价格地运费，即，整理得．故地的居民选择地或地购物总费用相等时，点所在曲线的形状是圆；（2）若居民在地购货费用较低时，即：价格地运费价格地运费，得，化简得，所以，此时点在圆内，即圆内的居民从地购货费用较低.同理，圆外的居民从地购货费用较低．【点睛】本题考查轨迹方程，考查圆的方程的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点(1)求的值；(2)设为曲线上的动点，求的最小值；(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题时间：120分钟满分;150分（考试范围：必修2第二章，选修2-1第二章2.2，第三章3.1.5,3.2）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 下列说法中正确的是( )A. 经过两条平行直线,有且只有一个平面B. 如果两条直线平行于同一个平面,那么这两条直线平行C. 三点确定唯一一个平面D. 如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等,则这两个平面相互平行2.如图所示，用符号语言可表达为（）A. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂nB. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈nC. α∩β=m，n⊂α，m∩n=AD. α∩β=m，n∈α，m∩n=A3. 是不同的直线,是不同的平面,以下结论成立的个数是（）①②③④A. 1B. 2C. 3D. 44.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α， m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α；其中真命题的序号是（）A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ②④5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直6.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.7.若ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)4,1,6(),3,2,4(),1,2,1(--C B A ,则ABC ∆的形状是（ ）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形8.已知空间向量)2,1,2(),2,,1(-==n ，若-2与等于（ ） A. B. C. D.9.已知向量),,3(),5,4,2(y x b a ==，分别是直线21,l l 的方向向量，若21//l l ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，10.若椭圆C ：的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为（ ） A. B . C. D. 11.若曲线表示椭圆,则k 的取值范围是 ( )． A.B. C. D. 或12.椭圆1922=+x y 中，过点)21,21(P 的直线与椭圆相交于B A ,两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ）A. 049=--y xB. 059=-+y xC. 022=-+y xD. 05=-+y x二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分）13.a (2,1,2),(1,1,4),2a 3)(__________)_b b a b =--=--⋅+=已知向量则（1m,,___________,2n l m n l αα〈〉=-14.已知分别是直线的方向向量和平面的法向量，若cos 则与所成的角为．22122221103___________x y C a b F F F a b l C A B AF B C +=15.已知椭圆：（＞＞）的左、右焦点为、，离心率为的直线交于、两点，若的周长为的方程为．16.已知点P 是椭圆＋＝1)0(>>b a 上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，则椭圆的离心率为___________．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）17.求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点（2）经过两点18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA =PD =AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点．（1） 求证：EF ∥平面PAD ；（2） 求证：EF ⊥平面PDC ．19.如图：在三棱锥P -ABC 中，PB ⊥面ABC ，△ABC 是直角三角形，∠B =90°，AB =BC =2，∠PAB =45°，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点．（1）求证：EF⊥PD；（2）求二面角E-PF-B的正切值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB 上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B-PD-A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．21.如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD．（Ⅰ）求证AD⊥PB；（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD．①求二面角B-PC-D的大小；②在棱PC上存在点M，满足)10(≤≤=λλ，使得直线AM与平面PBC所成的角为45°，求λ的值．22.已知椭圆C：)0(12222>>=+baaybx的离心率为,椭圆C的长轴长为4．求椭圆C的方程；已知直线l：与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由．海南枫叶国际学校2019-2020学年度第一学期高二年级数学学科期中考试试卷答案一．选择题1-6.ACACDD 7-12.ABDCDB二．填空题13.-45 14.030 15.12322=+y x 16.413三．解答题17.解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0），∵椭圆过点，∴=+=4，∴a =2，b =， ∴椭圆的标准方程为；（2）设所求的椭圆方程为，m ＞0，n ＞0，m ≠n ． 把两点代入，得： ， 解得m =8，n =1， ∴椭圆方程为．18.证明：（Ⅰ）连接AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD，∴EF∥平面PAD（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC.19.连接BD、在△ABC中，∠B=90°．∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影，∴PD⊥AC．∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥PD．（2）（仅供参考，建议建系做）过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角．∵Rt△PBF中，，∴．20.（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（-2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B （-2，4，0），M（-1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B-PD-A的大小为60°；（3）解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．21.证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB∥CD，AB=CD，∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵∠B=90°，∴AD⊥BE，当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，又AB∩PA=A，AB、PA平面PAB，∴AD⊥平面PAB，又∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）, P（0，0，1），=（1，1，-1），=（0，1，0），=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角B-PC-D的大小为θ，则cosθ=-=-=-，∴θ=120°．∴二面角B-PC-D的大小为120°．②设AM与面PBC所成角为α，=（0，0，1）+λ（1，1，-1）=（λ，λ，1-λ），平面PBC的法向量=（1，0，1），∵直线AM与平面PBC所成的角为45°，∴sinα=|cos＜＞|===，解得λ=0或．22.解：（1）设椭圆的半焦距为c，则由题设，得：，解得，所以b2=a2-c2=4-3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1.（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得．（*）则x1+x2=， x1x2=．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以•=0，即x1x2+y1y2=0．又，于是+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）不等式x2+2x-3≥0的解集是（）A. B.C. D. 或设M=3x2-x+1，N=2x2+x，则（）A. B. C. D.已知等差数列{an}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）A. 5 B. 6 C. 15 D. 30若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A. 3 B. 15 C. 48 D. 63已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为（）A. 且B. 且C. D.在△ABC中，a=5，b=7，c=6，则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形已知中，，，则数列的通项公式是( )A. B. C. D.当x＞3时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.已知等差数列{an}的前n项和为，满足S5=S9，且a1＞0，则Sn中最大的是（）A. B. C. D.设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B. C. D.不等式x2＜|x-1|+a的解集是区间（-3，3）的子集，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）在等比数列{an}中，已知a2a4a6=8，则a3a5=______已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，b=sinB，则a= ______ ．若关于x的不等式ax2-6x+a2＜0的解集是（1，m），则m=______．已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N*）定义使a1•a2•…•ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2019]内所有的企盼数的和是______．三、解答题（本大题共6小题）已知椭圆C中心在原点，焦点为F1（-2），F2（2），且离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，求△ABF2的周长．已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，an2=an-1an+1，n∈N•；（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）不等式x2+2x-3≥0的解集是（）A. B.C. D. 或设M=3x2-x+1，N=2x2+x，则（）A. B. C. D.已知等差数列{an}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）A. 5B. 6C. 15D. 30若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A. 3B. 15C. 48D. 63已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为（）A. 且B. 且C. D.在△ABC中，a=5，b=7，c=6，则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形已知中，，，则数列的通项公式是( )A. B. C. D.当x＞3时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.已知等差数列{an}的前n项和为，满足S5=S9，且a1＞0，则Sn中最大的是（）A. B. C. D.设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B. C. D.不等式x2＜|x-1|+a的解集是区间（-3，3）的子集，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）在等比数列{an}中，已知a2a4a6=8，则a3a5=______已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，b=sinB，则a= ______ ．若关于x的不等式ax2-6x+a2＜0的解集是（1，m），则m=______．已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N*）定义使a1•a2•…•ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2019]内所有的企盼数的和是______．三、解答题（本大题共6小题）已知椭圆C中心在原点，焦点为F1（-2），F2（2），且离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，求△ABF2的周长．已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，an2=an-1an+1，n∈N•；（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围．。
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案2.“x>0”是“x ≠0”的__ ____条件．（“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”）.3、按如图所示的流程图运算，若输入x ＝20，则输出的k ＝ __.4、某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_ 的学生5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿ ＿6.已知函数f(x)＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为_ ____7 、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为___ ____ ____．8．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P(A)＝___ __. 9、下列四个结论正确的是_ _ ____．(填序号)① “x ≠0”是“x ＋|x|>0”的必要不充分条件；② 已知a 、b ∈R ，则“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；③ “a>0，且Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是R ”的充要条件； ④ “x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．10．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为_ __．11、已知点A(0,2)，抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝12. 已知命题p “∃x ∈R ，ax 2－ax －2≥0” ，如果命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是_ ____． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是____ ____．14、若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线f(x)＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则 a 的值是__ __．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．17、（本题满分15分）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．18、（本题满分15分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．19、（本题满分16分）设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f(x)＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．20、（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点分别为B 2，B 1，点P ⎝⎛⎭⎫35a ，m (m>0)是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO 分别交A 1B 1，A 2B 2于点M ，N.(1)求椭圆的离心率；(2)若MN ＝4217，求椭圆C 的方程；(3)在第（2）问条件下，求点 Q(0,31)与椭圆C 上任意一点T 的距离d的最小值．一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1、抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是__．(0，116)______ 2.“x>0”是“x ≠0”的____充分不必要 ____条件．（“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”）.3、按如图所示的流程图运算，若输入x ＝20，则输出的k ＝_3__.4、某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_37__的学生5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿1/3＿＿6.已知函数f(x)＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为__1_____7 、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为___ x 2－y 2＝2_____________．8．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P(A)＝___512__.9、下列四个结论正确的是__①③______．(填序号)① “x ≠0”是“x ＋|x|>0”的必要不充分条件；② 已知a 、b ∈R ，则“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；③ “a>0，且Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是R ”的充要条件； ④ “x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．10．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为__12___．11、已知点A(0,2)，抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝12. 已知命题p “∃x ∈R ，ax 2－ax －2>0” ，如果命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是___(－8,0]_____．13. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是． 14、若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线f(x)＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是____1或641____． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）已知命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；命题q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．q p ∨为真，q p ∧为假，求a 的取值范围．解：当p 为真时：0<a<1-------------------------------------------------4分 当q 为真时：a>5/2或a<1/2---------------------------------------------8分 有题意知：p ，q 一真一假-----------------------------------------------10分25121,1><≤≤a a a 或------------------------------------------------14分 17、（本题满分15分）已知函数f(x)＝x 3＋(1－a)x 2－a(a ＋2)x ＋b(a ，b ∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x)＝3x 2＋2(1－a)x －a(a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，---------------------------------4分解得b ＝0，a ＝－3或1.---------------------------------------------------------------------4分 (2)∵曲线y ＝f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x)＝3x 2＋2(1－a)x －a(a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，--------10分 ∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.---------------------------------15分 18、（本题满分15分）中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m .解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，------------------------------------------------- --------------------4分双曲线方程为x 29－y 24＝1.-------------------------------------------------------------- ----------8分(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， 所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.----------------------------15分19、（本题满分16分）设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f(x)＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．解：(1)f （x ）共有四种等可能基本事件即（a ，b ）取（2,1）（2,3）（4,1）（4,3）记事件A 为“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数” 有条件知f （x ）开口一定向上，对称轴为x=1-≥-ab所以事件A 共有三种（2,1）（4,1）（4,3）等可能基本事件 则P （A ）=34.所以f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为34.-------------------8分(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， ∴概率为16.----------------------------------------------------16分20、（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A 1，A 2，上、下顶点分别为B 2，B 1，点P ⎝⎛⎭⎫35a ，m (m>0)是椭圆C 上一点，PO ⊥A 2B 2，直线PO分别交A 1B 1，A 2B 2于点M ，N.(1)求椭圆的离心率；(2)若MN ＝4217，求椭圆C 的方程；(3)在第（2）问条件下，求点 Q(0,21)与椭圆C 上任意一点T 的距离d 的最小值．解：(1)由题意P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 5，4b 5，kA 2B 2·k OP ＝－1， 所以4b 2＝3a 2＝4(a 2－c 2)，所以a 2＝4c 2，所以e ＝12.①---------------5分(2)因为MN ＝4217＝21a 2＋1b2， 所以a 2＋b 2a 2b 2＝712②由①②得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.--------------------10分（3）924)34(419283241)41(3)31()31(2002020202020+-=+-=-+-=+-=x x x x x y x TQ因为)2,2(0-∈x ，所以当340=x时TQ 最小为362-----------------------------16分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是A.A B < B. A B > C. A B = D.11A B< 2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 等于A ．30 B ．60 C ． 30或150 D.60或1203．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是 A ．2m ≤-或2m ≥ B. 22m -≤≤ C.2m <-或2m > D.22m -<<4．下列各函数中，最小值为2的是 A ．1y x x =+, 0x ≠且x R ∈ B ．sin 22sin x y x=+，(0,)x π∈ C．y =, x R ∈ D ．xxy e e -=+ , x R ∈5.等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为常数,则下列各数中恒为常数的是A ． 6S B ． 11S C ．12S D ． 18S6.已知变量,x y 满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为A ．2-B ．1-C ．2D ．7. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40° 的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮 在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向 是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里8.关于x 的不等式20x px q -+<的解集为(,)(0)a b a b <<，且,,2a b -这三个 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b ()a b <，其全程的平均时速为v ，则A.a v<<2a bv+<<v b<< D.2a bv+=10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为297，则这样的数列共有 A.2个B.3个 C.4个 D.5个第1页（共4页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 在等比数列{}na中，4525a a==，，则128lg lg lga a a+++等于▲ .12. 已知ABC∆的等比数列，则其最大角的余弦值为▲ .13.设函数(1)()1(1)x xf xx>⎧=⎨-≤⎩，则不等式()2f xx x-≤的解集是▲ .14.要制作一个容积为34m，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是▲ (单位：元)．15.已知方程220x ax b++=(,)a Rb R∈∈，其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则31ba--的取值范围为▲ .16．平面内有()n n N*∈个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成()f n个区域，那么()f n=▲ .三、解答题：本大题共6小题，共76分。
