2014年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

2014上海市初三数学竞赛试卷（2014年12月7日 上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a a b ab b a ab b--+=-+ 2. 若y xa x z+=，z y b y x +=，x z c z y +=，则()()()b c a c a b a b c +-+-+-的值为3. 已知ABCD 是等腰梯形， ABIICD ，AB=6，CD=16，△ACE 是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD ，则AE 的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯11. 已知边长为a 的正方形ABCD 的内部有n 个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD 的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n 个圆的面积之和小于a 。

12. （1）证明：可以将全体正整数分成3组A 1，A 2，A 3，使得对每一个整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3的每一组中都能取出两个不同的数，它们的和为n（2）证明：将全体正整数任意分成4组A 1，A 2，A 3，A 4，则存在整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3 ，A 4中一定有一组A i ，在A i 中不存在两个不同的数，它们的和为n2014上海市初三数学竞赛试卷解答（2014年12月7日上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a ab ab ba ab b--+= -+2. 若y xax z+=，z yby x+=，x zcz y+=，则()()()b c a c a b a b c+-+-+-的值为3. 已知ABCD是等腰梯形，ABIICD，AB=6，CD=16，△ACE是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD，则AE的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++⨯=⨯, 10.如图，在凸四边形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA =3000，AB CD BC AD⨯=⨯求证：AB CD AC BD11. 已知边长为a的正方形ABCD的内部有n个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n个圆的面积之和小于a。

新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。

5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。

6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。

7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。

8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。

9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。

设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

ODCBA2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．如图，正六边形111111A B C D E F 的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边 形222222A B C D E F ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．2．已知正整数1210,,,a a a 满足：3,1102>≤<≤ji a i j a ，则10a 的最小可能值是 ． 3．若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-，cot cot αβγβcot cot +αγcot cot +517-=，则()tan αβγ++= ．4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 ．5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ， ,,==>AE a EF b a b ，则=x ． 6．方程1233213+⋅-+=mnn m 的非负整数解(),=m n ．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 ． 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =， 对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=； 求证：（1）43xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：①1,21nA A ∈-∈；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f 的值；（2）求证：(100)108f ≤．2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案12、923、114、(){},04-∞ 52 6、()()3,0,2,2 7、25 8、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ① …………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得2OB OC ⋅= ③ …………………（5分）所以：144sin 2ABCD OBC S S OB OC BOC ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=，故：()AB h x ⋅212x -=， 所以 ：21()2x h x x -=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得：221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <≤．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x ++-==++++++．当71a <≤时，02≤，此时：3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． ………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t-=+在(内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分） 11．证 （1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分）于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+， 所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而43xy yz zx ++≥． …………………（10分） （2）又因为：2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分） 12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >．而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =． …………………（6分） （2）首先证明：(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}1122,21n n B A ++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而：(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明： (2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21nnn n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k nknknk n +-=-+-=-， 2212(21)(21)nnnn-=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是：(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分）由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。

2014上海市初三数学竞赛试卷（2014年12月7日上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a ab ab ba ab b--+=-+2. 若y xax z+=，z yby x+=，x zcz y+=，则()()()b c a c a b a b c+-+-+-的值为3. 已知ABCD是等腰梯形，ABIICD，AB=6，CD=16，△ACE是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD，则AE的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z++++++=的非负整数解（x,y,z）的组数为5.在三角形ABC中，∠ABC=440，D是边BC上的一点，满足DC=2AB,∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy上，由不等式221xyx y⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x的方程2221130a x ax a++-=有两个整数根的所有正实数a是8. 设20142的所有正约数为d1,d2,…,d k,则12111...201420142014kd d d+++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分）9. 解关于x 的方程：(1)x x x x x a x x+--=++10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯11. 已知边长为a 的正方形ABCD 的内部有n 个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD 的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n 个圆的面积之和小于a 。

12. （1）证明：可以将全体正整数分成3组A 1，A 2，A 3，使得对每一个整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3的每一组中都能取出两个不同的数，它们的和为n（2）证明：将全体正整数任意分成4组A 1，A 2，A 3，A 4，则存在整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3 ，A 4中一定有一组A i ，在A i 中不存在两个不同的数，它们的和为n。

2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。

2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则的值为______________。

3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是____________________。

4. 在矩形中，。

点分别在上，使得。

是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。

5. 使得是素数的整数共有___________个。

6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_____________。

7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。

8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则___________。

（这里表示不超过实数的最大整数。

）二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。

已知，求证：或者，或者。

10. 解方程组。

11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。

（1）若，求的取值范围；（2）求证：。

12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。

若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。