【配套K12】2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(204)(无答案)

2018年全国高中数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共24分）函数f(x)=4−x2的定义域是（）.A. [−2,2]B. (−2,2)C. [0,2]D. (0,2)下列命题中，正确的是（）.A. 若α⊂β，则α∩β=αB. 若直线l与平面α平行，则l与α内的所有直线平行C. 若直线l与平面α相交，则l与α内的无数条直线垂直D. 若平面α∥β，直线a⊂α，则a∥β若x,y∈R，且xy=0，则“x>y”是“x1<y1”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件已知tanα=21，则sin2α=（）.A. 51B. 52C. 54D. 53设Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3,S9−S3,S15−S9成等差数列，则公比q为（）.A. 2B. −2C. 21D. −21在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,b=4,cosC=41，则sinB=（）.A. 815B. 16315C. 23D. 415二、填空题（每题5分，共20分）函数y=log2(x2−2x−3)的定义域是_______.若直线l与平面α垂直，则l与α内所有直线所成的角中（）.A. 必有一个是直角B. 必有一个是锐角C. 必有一个是钝角D. 都是直角已知函数f(x)=x3−3x2+2x，则f′(x)= _______.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB:sinC=3:5:7，则cosC= _______.三、解答题（共56分）（12分）求函数f(x)=x+1x2−1在x=2处的导数值.（12分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=2,b=3,cosC=31。

（1）求sinB的值；（2）求△ABC的面积。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（215）（无答案）第一试一、填空题n2017 11. ________________________________________________________________ 已知数列｛色｝满足对于任意正整数72,均有工CI严记。

则工——= ______________________k=l k=2 a k一12.已知实数兀、y满足= 12则X2 -/的最大值为____________________________3.若从1, 2,…，14这14个整数中同时取三个数，使得任何两数之差的绝对值不小于3,则不同的取法数为 __________ o4.在MBC 中，CA二2, CB二6, ZACB = 60°,若点0 在ZACfi 的平分线上，满足OC = mOA+nOB（m> neR）, M < n一-,4 20则|oc|的取值范围是_____________ 。

5.如图1,正方形ABCD的边长为1, E、F分别为边BC、AD的中点，将\ABF沿BF所在直线进行翻折，将ACDE沿DE所在直线进行翻折，则在翻折的过程中，点八与C之间的最大距离图12 96•已知椭圆C：^ + pi的左、右焦点分别为九F2,左、右顶点分别为A、B,过右焦点F2 的直线l:x = my +1 与椭圆C 交于点 ,刃）、Ng,歹2）（丁1 > 0, y2 < 0）□若MA 丄NF〕, 则实数m =___ o7.已知函数/（x） = x2+2x+alnx,对于任意的宀1恒有f（2t-i）>2f（t）-3.则实数G的取值范围是 ______________ o4034 1344&若/來与（F+x+2严7的展开式，则£（2冬一除+1 一阪+2）= _______________________ 。

^=0 k=（）二、解答题ZA=39°, (a 2-b 2)(a 2+ac-b 2) = b 2c 2，求上C 的度数。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（219）（无答案）第一试一、填空题1 .等比数列-a + logs 2017、2Q + log9 2017、- 4a + lo% 2017 的公比为 _____________ .2.二次曲线2/+3小+ 2尸=1的离心率为_______________ 。

3.在复数范围内,方程z4 + z = l与方程忖二1的公共解的个数为 _______________ o4.将边长为10、12、14的三角形沿三条屮位线折起来围成四面体，则四面体的外接球直径为______________ 。

r\〔5.------------------------------------------------------------- 设正整数列｛色｝满足5=迈-\, a n+[=------------------------------------------- （斤=1,2,…），其中，S”为d”的前nS“ + S“+i + 2项和，则数列的通项公式为____________ 06.在\ABC中，ZA<Zfi<ZC,若‘曲+ sinB+ sirC =羽,则sinB+ sin s的值cosA+ cosB+ co£?为___________ 。

7. ______________________________________________ 掷四个色子，四个点数的乘枳被6整除的概率为_________________________________________ c&正方体任两个顶点确定一条直线，这些直线屮垂直异面的直线共有 _______ 对。

二、解答题r_l 1 9•设奇数n（n > 1）,方程z" =1的〃个根为1,召,％2,…心-1。

求表达式工一的值。

気1+壬10.已知数列｛线｝满足马=64 =20, a n(a n -8) = a n_x a n+｛ -12 ①记[x]=x-[x], ［兀］表示不超过实数兀的最大整数，求lim ｛、冏｝的值。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（206）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知正整数()a b c a b c <<、、组成等比数列，且201620162016log log log 3,a b c ++=则a b c ++的最大值为 。

2.关于实数x 的方程212sin2222log (1sin )xx -=+-的解集为 。

3.曲线2224x y y +≤围成的封闭图形的面积为 。

4.对于所有满足z i ≠的复数z 均有()z iF z z i-=+，对所有正整数n ，有1()n n z F z -=，若020162016,z i z =+=则 。

5.已知P 为正方体1111ABCD A BC D -棱AB 上的一点，满足直线A 1B 与平面B 1CP 所成角为060，则二面角11A B P C --的正切值为 。

6.已知函数22()224,()2f x x x g x x x =+-=-+，集合()()f x A xZ g x +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭则A= .7.在平面直角坐标系xOy 中，P 为椭圆2212516x y +=在第三象限内的动点，过点P 引圆229x y +=的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则OMN ∆面积的最小值为 。

8.有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。

二、解答题（共56分）9.（16分）已知整数2n ≥，实数120n x x x ≥≥≥≥…，2411400,10nni ii i x x==≤≥∑∑且，证明：10≥，并说明是否可以取到等号。

10.定义数列{}n a ：011, 2.1,a a ==2231112()n n n n n a a a a a n N +--++=∈。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（212）（无答案）第一试一、填空题Jx2-y2 + x-2y = (), 〔2 与 + 2x+ y - 4 = 0 3. ______________________________ 已知点集T = |u,y ） x+l|+|j-2|<3| ,数集M ={x + 2y|（x,y ） wT},则集合 M 中最大 元素与最小元素之和为 o4.当〃为正整数时，函数/满足/（«+ 3昇心 *纟1）且/0,北±（。

则/（^> I /( 1J (20 ______________________5. 在直角坐标系xOy 中，有50条不同抛物线y = cuc+bx + c 和另50条不同抛物线 x = 6Z 1/+/?1y + c 1,这100条抛物线把坐标平面最多分成 ___________ 个部分。

6. 已知三内角成等差数列的三角形的最长、最短两边Z 差为第三边上的最高的4倍，则最大 内角比最小内角大 _______ （用反三角函数表示）。

7. _____________________________________________________________________ 滨螺最初位于点（0, 1）,每天其从点（兀,y ）爬到点（2, 1）,则第2017天其位于 _________________1- 已知圆心均在.直线y = 1 —x 上的两圆Q 交于A 、B 两点, A （-7,9）,则点B 的坐标2.方程组 的实数解（圮刃为&如图1, P为AABC内一点，AABC的周长、面积分別为/、$ ,点P到AB、BC、CA的垂线A n nr CA 段分别为PD、PE、PF, M —+ —+—PD PE PF二、解答题9.己知兀为实数,求函数/（x） = 4sin3x+sin2x-4sinx+8的值域。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（200）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数2log 2x y =的定义域为[],m n ，值域为[]0,2。

则区间[],m n 长度的最小值为 。

2.已知向量a b 、满足2,a b a b ===且()()0a c b c --=。

则2b c -的最小值为3.若复数z 满足2z =的最大值为 。

4.设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>。

若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为 。

5.已知方程22ay b x c =+中的{}3,2,,3a b c ∈--、、…，且a b c 、、互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 条。

6.已知高为4的四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，点S A B C D 、、、、均在半径为1的同一球面上。

则侧棱SA 长度的最大值为 。

7.设函数2()1f x x x =-+。

定义()()n fx 如下：(1)()(1)()(),()(())n n f x f x f x f f x -==。

记n r 为()()0n f x =的所有根的算术平均值，则2015r = 。

8.已知数列{}1222:121n n n n a a +=-+。

记01n n T a a a =…，则lim n →+∞n T = 。

二、解答题（共56分）9.（16分）设常数a R ∈，函数()()f x a x x =-存在反函数1()f x -。

若关于x 的不等式12()()f x m f x -+<对所有的[]2,2x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

10.（20分）已知椭圆22:1,2x C y O +=为原点，若动点A 在椭圆C 上，动点B在直线y =上，且OA OB ⊥,证明：点O 到直线AB 的距离为定值。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(221)(无答案)第一试一、填空题1. 在\ABC 中，z 二姮sin4E + icos 上色，z 二座，则ZC 的最大值为 5 2 2 5----------2. 设 /(%) = ||…卜° -Z 2007|-22006|---22|-2| ,则 /(2007) = ____________ 。

3. 将1,2,…北排成一列，使得每一个数严格大于排在其前面的所有数，或严格小于排在其前 面的所有数，记不同的排列个数为色伙= 1,2,…)。

则色= _____________4. 已知方程兀2+(b + 2)j^ + by2=0@wR)表示两条直线，则英夹角0的取值范围是 ___________5. 有p + q 个零件，已知其屮有〃个正品、g 个次品。

现随机地逐一栓查，则恰在检查第 r{q< p<r< p-\-q)个零件时，查出所有次品的概率为 ____________ 。

6. 设么b 、c 为非负实数，则S=」—————+」—————+」——-——的最小斗(b + c)(c + a) Y (a + c)(b + a) q(b + c)(h + a)值为 ______ ，最大值为 ___________ o7. 记卜］表示不超过实数x 的最大整数，则方程［tanx ］ = 2cos 2 x 的解为 ___________ 。

&对有限集合A = {^|l</<H,/GZ +}(HeZJ,记5 = $>「则称S 为集合A 的“和”， i=l 记作|A|。

已知集合P = {2〃-1” = 1,2,・・・,10},集合P 的含有三个元素的全体子集分别为 £,£,・・・&,则X\P]= _____;=1二、解答题9•设数列{%}、{h n }满足勺=$=1卫小=5色+7$,仇+严7色+10仇，证明：对任意的m 、nwN ，均有a m+n ^b m+n =a m a n +b nt b n10.—种排卡游戏规则如下：将写有1, 2,…，9的九张卡片随机地排成一行，若第一张卡片（左起）上的标数为则将前R张卡片逆序排过称为一次操作，无法操作时（即第一张卡片上的标数为“1”）游戏停止。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)(无答案)第一试一、填空题1.已知点A(3, 1), B -,2，且UABCD的四个顶点均在函数/(x) = log2的图像上,13 丿x-\则UABCD的面积为______________ o2.设集合％｝(马£尺,心1,2,・・・,5),若集合A中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为3二｛2,3,4,6,9｝,则集合A中的元素和为_____________ 。

3.在\ABC中，ZB = —,点D 在边AB±, BD=1, AC二JL DA二DC,则ZDCA= ____________兀24.椭圆—+/=1上任意两点P、Q, 0为坐标原点，若OP丄O0,则\POQ面积的最小值4・为___________ O5.现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为 ____________ -6.某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周均是从上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

设第一周使用A种密码，则第七周也使用A 种密码的概率为______________ (用最简分数表示)。

7.在四面体ABCD 中，ZADB = ZBDC = ZCDA = 60° , AD二BD二3, CD二2,则四面体ABCD 的外接球的体积为_________ o&设/(劝为定义在R上的奇函数，且当C0时，/(x) = %2,若对任意xw[d,d + 2],均有/(X +6Z)>2/U),则实数Q的取值范围是_____________ o二、解答题A7 Y■—工n9.己知函数£O)=—2——1 (ne乙、设兀］,兀2,…心为正实数，且Vx z = I o证明:兀+1 苗Z=110.设抛物线E: y2=2px(p > 0)的焦点为F,过F且垂直于兀轴的直线I与抛物线E交于S、T两点，以P(3,0)为圆心的圆过点S、T,且ZSPT = 90°o(1)求抛物线E、P的方程。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（205）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数()f x=x=时，函数()y f x=取得最大值。

00000000tan25tan25cos10tan25sin1025tan185cos10sin10-+++= 。

3.已知51633136()x y z x y z R+++≥∈、、则333222x y z x y z+++++的最小值为。

4.在三棱柱111ABC A B C-中，正方形11AAC C的边长为4，平面ABC⊥平面11AAC C，AB=3,BC=5.若在线段1BC上有一点D，使得1AD A B⊥,则1BDBC的值为。

5.复数12z z、满足11221212()()()()z z z z z z z z+=+，且121112z zz z-+-的最大值和最小值之和为20161221()z z z z+= .6.已知所有的正整数均在n个集合中，满足当i j-为素数时，,i j属于两个不同的集合，则当n的最小值为。

7.已知椭圆C过点M（1，2），两个焦点(0,O为坐标原点，平行于OM的直线l与椭圆C 交于A、B两点，则OAB∆面积的最大值为。

8.已知正整数a b c x y z、、、、、满足1,1a b c x y z≥≥≥≥≥≥且244,244,a b c xyzx y z abc++=⎧⎨++=⎩则满足题意的六元数组（a b c x y z、、、、、）有组。

二、解答题（共56分）9.（16分）已知数列{}{}n n x y 、满足111,n x x x +==110,n y y +== 证明：（1）111n n n n n x x y y y ++++=；（2）若,1,2,)n n n n a x y a n =+≤=则…。

10.（20分）设函数:f R R →满足(())()(f f x x f x a a Z =+∈。