“实数的相关概念及实数的运算”考法分析

实数知识点详细总结（二）引言概述：本文将详细总结实数的相关知识点。

实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数。

本文将以五个大点为主线，分别介绍实数的基本性质、实数的运算、实数的表示方法、实数的大小比较以及实数的应用场景。

通过阅读本文，读者将全面了解实数的概念和性质。

正文内容：一、实数的基本性质1. 实数的定义及其分类：有理数和无理数2. 实数的分布性质：无缝覆盖整个数轴3. 实数的有序性：实数的大小可以进行比较4. 实数的等价性：实数可以有多种不同的表示形式5. 实数的密度性质：任意两个实数之间都存在其他实数二、实数的运算1. 实数的加法运算性质：满足交换律、结合律等2. 实数的减法运算性质：减法可以转化为加法运算3. 实数的乘法运算性质：满足交换律、结合律等4. 实数的除法运算性质：除法可以转化为乘法运算5. 实数的运算律和运算规则：涉及加法、减法、乘法和除法的运算规则三、实数的表示方法1. 实数的小数表示法：有限小数和无限循环小数2. 实数的百分数表示法：以百分数形式表示的实数3. 实数的科学计数法：用以10为底的指数形式表示的实数4. 实数的含参表示法：用字母表示实数中未知的部分5. 实数的根式表示法：以根式形式表示的实数四、实数的大小比较1. 实数的绝对值：实数的距离原点的距离2. 实数的大小比较原则：比较实数的大小需要考虑正负和绝对值3. 实数的大小比较方法：根据实数的绝对值大小分情况讨论4. 实数的大小比较示例：通过具体例子演示实数大小的比较过程5. 实数的大小比较应用：应用于实际问题中，如温度比较、长度比较等五、实数的应用场景1. 实数在几何学中的应用：用实数表示线段、角度等2. 实数在物理学中的应用：用实数表示物体的质量、速度等3. 实数在经济学中的应用：用实数表示价格、利润等4. 实数在统计学中的应用：用实数表示数据的数量5. 实数在计算机科学中的应用：用实数进行程序运算和计算机模拟总结：通过本文的阅读，我们了解了实数的基本性质、运算、表示方法、大小比较以及应用场景。

初二实数的概念及运算实数是数学中最基本的数集之一，包括正数、负数和零。

初二数学课程中，学生开始接触实数的概念和运算。

本文将详细介绍初二实数的概念以及基本运算。

1. 实数的概念实数是一种用来表示具体数量的数。

它们可以是有理数或无理数的集合。

有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和可以有限或无限循环的小数。

无理数是无法表示为有理数的数，例如根号2和圆周率π等。

初二阶段，学生主要学习实数的基本概念，包括正数、负数和零。

正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是不大于也不小于零的唯一数。

2. 实数的运算实数具有四种基本的运算，分别是加法、减法、乘法和除法。

下面我们将逐一介绍这些运算。

2.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。

给定实数a、b和c，a + b的结果仍然是一个实数，记作c。

例如，2 + 3 = 5，-5 + 7 = 2。

2.2 减法实数的减法也是一种加法运算，可以将减法转化为加法的形式。

给定实数a和b，a - b的结果可以表示为a + (-b)。

例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。

2.3 乘法实数的乘法也满足交换律和结合律。

对于给定的实数a、b和c，a × b的结果仍然是一个实数，记作c。

例如，2 × 3 = 6，-5 × 7 = -35。

2.4 除法实数的除法也可以转化为乘法的形式。

给定实数a和b，a ÷ b的结果可以表示为a × (1/b)。

需要注意的是，除数b不能为零，否则结果将无意义。

例如，6 ÷ 3 = 6 × (1/3) = 2，-15 ÷ (-5) = -15 × (1/(-5)) = 3。

3. 实数的性质实数具有许多重要的性质，下面我们简要介绍其中几个。

3.1 闭合性实数的加法和乘法都满足闭合性。

也就是说，对于任意的实数a和b，a + b和a × b仍然是实数。

初中实数概念及分类实数是数学中的基本概念之一，在数轴上表示，包括有理数和无理数两个部分。

有理数可以表示为一个整数除以另一个非零整数的商，而无理数则表示为一个无限不循环小数或一个无穷不循环循环小数。

下面将详细介绍实数的概念及分类。

一、实数的概念实数是指可以在数轴上表示的所有数的集合。

数轴上的每一个点都对应一个实数，实数包括有理数和无理数两部分。

有理数：可以表示为两个整数的比值。

有理数集合通常用Q 表示，Q = {a/b | a, b是整数，且b≠0}。

无理数：无理数无法表示为两个整数的比值，通常可以通过无穷不循环小数来表示。

无理数集合通常用R-Q表示。

二、实数的分类1. 有理数的分类有理数可以分为整数、正整数、负整数、分数、正分数和负分数等几个分类。

（1）整数：整数包括正整数、负整数和0。

整数集合通常用Z表示。

（2）正整数：正整数是大于0的整数。

（3）负整数：负整数是小于0的整数。

（4）分数：分数是可以表示为一个整数除以另一个整数的商的数，其中分母不为0。

（5）正分数：正分数是大于0的分数。

（6）负分数：负分数是小于0的分数。

2. 无理数的分类无理数可以分为无限不循环小数和无穷不循环循环小数两类。

（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分无限延伸，且没有循环节的小数。

例如，π、e、根号2等都是无限不循环小数。

（2）无穷不循环循环小数：无穷不循环循环小数是指小数部分有无线循环的小数。

例如，1/3 = 0.333...、1/7 = 0.142857142857...等都是无穷不循环循环小数。

三、实数的性质1. 实数的加法性质（1）交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。

（2）结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。

（3）存在零元：存在一个实数0，使得任意实数a + 0 = a。

（4）存在负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。

专题1 实数的有关概念一、考纲要求1．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；2．理解数轴、相反数、绝对值、倒数等概念，了解数的绝对值的几何意义； 3．会求一个数的相反数、绝对值和倒数；4．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的平方根、立方根；5．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小；6．了解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数．在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值． 7．了解常见的非负数及性质．二、知识梳理 1．实数的分类 （1）按定义分类（2）按正负分类2．实数的有关概念（1）数轴：数轴的三要素为 原点 、 正方向 和 单位长度 ．数轴上的点与 实数 一一对应． （2）相反数：实数的相反数为a -．若，互为相反数，则= 0 ． （3）倒数：非零实数的倒数为1a．若，互为倒数，则= 1 ． （4）绝对值：(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪⎨⎪-⎩＝>=<（5）科学记数法：把一个数表示成 a ×10n的形式，其中1≤＜10的数，n 是整数．（6）近似数的精确度：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位（7）有效数字：四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．3．平方根、算术平方根、立方根（1）任何正数a 都有__两_个平方根,它们互为__相反数__．其中正的平方根a 叫做_a 的算术平方根__． 负数 没有平方根，0的算术平方根为_0__．（2） 任何一个实数a 都有立方根，记为3a ．a ab b a +a a b ab a（3(0)(0)a a a ≥==<4．非负数：（1（2）非负数的性质： ①非负数有最小值是零；②任意几个非负数的和仍为非负数；③n 个非负数的和为0，则这n 个非负数同时为0． 例如：若a +2b +c =0，则a=b=c=0．三、要点精析（1）区分有理数和无理数的关键有两点：一是正确理解无限循环小数与无限不循环小数的意义；二是能写成分数形式的都是有理数，但2π，53等不是分数．（2）近似数、有效数字：①取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；②用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．如0．030是2个有效数字（3和0）精确到千分位；3．14×105是3个有效数字；精确到千位．3．14万是3个有效数字（3，1，4）精确到百位．（3）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．（4）在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题．四、中考真题和试题精粹 1．（2015湖南益阳）下列实数中，是无理数的为（ ）A．13C ．0D ．3-【答案】A 【解析】试题分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 试题解析：AB ．13是分数，是有理数，选项错误；C ．0是整数，是有理数，选项错误；D ．-3是整数，是有理数，选项错误． 故选A ．考点：无理数．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0．1010010001…，等有这样规律的数．2．a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简2a b a --的结果是 ( )A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a ＋b 【答案】C 【解析】试题分析:先由数轴判断实数a ，b 的正负，再判断a －b 的正负，最后化简、合并．由数轴知a ＞0，b ＜0，a ＞b ，所以a －b ＞0，所以2a b a --＝a －b －a ＝－b ．故选C ． 3．在－2，0，2，1，43，－0．4中，正数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B 【解析】试题分析:正数包括正有理数和正无理数，本题中2，1，43三个数为正数．故选B ． 点评：0既不是正数，也不是负数．无理数也有正、负之分． 考点：实数的分类．412a =-，则1a a --=( )A ．1-2aB ．1C ．-1D ．以上选项都不对 【答案】B 【解析】试题分析:12a =-左边为非负数，所以120a -≥，解得12a ≤∴10a ->．112a a a =-+=-，∴a a =-． ∴0a ≤． 又10a ->，故()111a a a a --=---=．故选B5．下列说法中，正确的是 ( )A ．近似数3．20和近似数3．2的精确度一样B ．近似数3．20和近似数3．2的有效数字一样C ．近似数2千万和近似数2000万的精确度一样D ．近似数32．0和近似数3．2的精确度一样 【答案】D 【解析】试题分析:近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．试题解析：A 、近似数3．20精确到百分位，而近似数3．2精确到十分位，故本选项错误； B 、近似数3．20有3个有效数字，而近似数3．2有2个有效数字，故本选项错误； C 、近似数2千万精确到千万位，而近似数2000万精确到万位，故本选项错误； D 、近似数32．0和近似数3．2都是精确到了0．1，故本选项正确． 故选D ．点评：考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．6．如果a 与3互为相反数，那么|a+2|等于( ) A ．5 B ．1 C ．-1 D ．-5 【答案】B 【解析】试题分析:a 与3互为相反数，则a ＝-3，所以|a+2|＝|-3+2|＝|-1|＝1． 故选B7．(-1)2 015的相反数是( )A ．1B ．-1C ．2 015D ．-2 015 【答案】A 【解析】试题分析:由于指数2 015为奇数，所以(-1)2 015＝-1，其相反数为1． 故选A ．8．m-n 的相反数是( )A ．-(m+n)B ．m+ nC ．m-nD ．-(m-n) 【答案】D【解析】试题分析:可设m ＝2，n ＝1，则m - n ＝1．又-( m + n)＝-3，m+ n ＝3，m- n ＝1，-( m- n)＝-1．故选D ． 故选D点评：赋值时取值要符合题意，但又不能特殊，本题中m ，n 不能取0，得出结论后再用其他值试一试，如：m ＝3，n ＝-2等．9．（2014•广西玉林市）将6．18×10﹣3化为小数的是（ ）A ．0．000618B ．0．00618C ．0．0618D ．0．618 【答案】B 【解析】试题分析:科学记数法的标准形式为a ×10n （1≤|a|＜10，n 为整数）．本题把数据“6．18×10﹣3中6．18的小数点向左移动3位就可以得到．试题解析：把数据“6．18×10﹣3中6．18的小数点向左移动3位就可以得到为0．00618． 故选B ．点评：将科学记数法a ×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向左移动n 位所得到的数． 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 考点：科学记数法—原数． 10．（2012湖北荆门3分）下列实数中，无理数是( )A ．﹣B ．π C．|﹣2| 【答案】B 【解析】试题分析:根据初中无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可得出答案：A 、﹣是有理数，故本选项错误；B 、π是无理数，故本选项正确；C ，是有理数，故本选项错误； D、|﹣2|=2，是有理数，故本选项错误．故选B ．考点：无理数．11．（2012湖北黄冈3分）下列实数中是无理数的是( ) AB ． D 【答案】D 【解析】试题分析:根据初中无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可得出答案：A =2，是有理数，故本选项错误；B =2，是有理数，故本选项错误；C 、=1，是有理数，故本选项错误；D 是无理数，故本选项正确．故选D ． 考点：无理数．12．的相反数是（ ） A ． B ．5201－ C ．52011D ．52011- 【答案】C【解析】试题分析：只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．故选C ． 考点：相反数的定义． 13．12015-的倒数是( ) A ．2015 B ．－2015 C ．－D ． 【答案】A【解析】试题分析：负数的绝对值等于它的相反数，当两数的乘积为1时，则两数互为倒数．5250π0π52011-52012015120151因为1120152015-=所以12015-的倒数是2015．故选A ． 考点：绝对值和倒数的计算．14．（2015年浙江宁波4分）的绝对值是( ) A ． B ．3 C ． D ．-3【答案】A 【解析】试题分析：方法一，根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以，的绝对值是． 方法二，根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．可得的绝对值是故选A ．考点：绝对值 15．（2015浙江宁波）2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学计数法可表示为（ ）A ．0．6×1013元B ．60×1011元C ．6×1012元D ．6×1013元 【答案】C 【解析】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）． 试题解析：∵6万亿=6 000 000 000 000一共13位，∴16万亿=6 000 000 000 000=6×1012． 故选C ．考点：科学记数法． 16．（2015四川自贡）将-32.0510⨯用小数表示为（ ）A ．0.000205B ．0.0205C ．0.00205D ．-0.00205 【答案】C 【解析】试题分析：10﹣3就是0．001，把2．05的小数点向左移动3位即可．试题解析：2．05×10﹣3=0．00205， 故选C ．考点：科学记数法—原数．点评：本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n ＞0时，n 是几，小数点就向右移几位；n ＜0时，n 是几，小数点就向左移几位． 17．（2013•内江）下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A ．﹣5 B． C ．1 D ．4 【答案】C 【解析】试题分析: 计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可． 试题解析：|﹣5|=5，=，|1|=1，|4|=4，所以绝对值最小的是1．故选C ．点评：本题考查了实数的大小比较，属于基础题，注意先运算出各项的绝对值． 18．（2013•东营）的算术平方根是（ ） A ． B ．4 C ． D ．2【答案】D 【解析】试题分析:先计算出的值，然后再求其算术平方根即可．试题解析：因为=4，4的算术平方根是2，所以的算术平方根是2．故选D ． 考点：算术平方根的定义31-3131-31-3131-3131-31164±2±16161619．下列各数：π２，00.23•，cos 60°，227，0．300 03…，( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【解析】试题分析:π２中π是无理数，所以π２是无理数；0＝3是有理数；0.23•是无限循环小数，属于有理数；cos 60°＝12，是有理数；227是有理数；0．300 03…是无理数；是无理数．故选B点评：有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．20．已知四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身．那么这个数是正数．其中真命题有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B 【解析】试题分析:倒数等于它本身的数为±1，故②错；绝对值等于它本身的数除了正数还有0．故④错．①③是正确的．故选B ． 21．（2014•广西贺州，第4题3分）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ）A ．0．845×104亿元B ．8．45×103亿元C ．8．45×104亿元D ．84．5×102亿元 【答案】B 【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．试题解析：将8450亿元用科学记数法表示为8．45×103亿元．故选B ． 考点：科学记数法—表示较大的数．22．(2014年四川资阳，第4题3分)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．5×1010千克B ．50×109千克C ．5×109千克D ．0．5×1011千克 【答案】A 【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于500亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．试题解析：500亿=50 000 000 000=5×1010． 故选A ．考点：科学记数法—表示较大的数．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键． 23．（2014年云南省，第1题3分）17-=（ ） A ．17-B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B 【解析】试题分析：根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 试题解析：1177-=． 故选：B ．考点：绝对值．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．24．（2014•襄阳，第1题3分）有理数53-的倒数是（）A．53B．53-C．35D．35-【答案】D【解析】试题分析：根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，可得出答案．试题解析：53-的倒数是35-．故答案选D．考点：倒数．点评：本题考查了倒数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握倒数的定义．25．（2014•襄阳，第7题3分）下列命题错误的是（）A．所有的实数都可用数轴上的点表示B．等角的补角相等C．无理数包括正无理数，0，负无理数D．两点之间，线段最短【答案】C【解析】试题分析：根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；根据补角的定义对B进行判断；根据无理数的分类对C进行判断；根据线段公理对D进行判断．试题解析：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项的说法正确；B、等角的补角相等，所以B选项的说法正确；C、无理数包括正无理数和负无理，0是有理数，所以C选项的说法错误；D、两点之间，线段最短，所以D选项的说法正确．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．26．（2014·台湾，第14题3分）小明在网络上搜寻到水资源的数据如下：地球上水的总储量为1．36×1018立方公尺，其中可供人类使用的淡水只占全部的0．3%．根据他搜寻到的数据，判断可供人类使用的淡水有多少立方公尺？( )A．4．08×1014B．4．08×1015C．4．08×1016D．4．08×1017【答案】B【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．试题解析：36×1018×0．3%＝0．00408×1018=4．08×1015．故选：B．27．（2014•浙江宁波，第1题4分）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（）A．0 B．-1 C．2【答案】A【解析】试题分析：根据实数的分类，可得答案．试题解析：0既不是正数也不是负数，故选：A．点评：本题考查了实数，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数．考点：实数的分类；正数和负数．28．（2014•株洲，第1题，3分）下列各数中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【答案】A【解析】试题分析：根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离，可得答案．试题解析：|﹣3|＞|﹣2|＞|1|＞|0|，故选：A．考点：绝对值；有理数大小比较点评：本题考查了绝对值，绝对值是实数轴上的点到原点的距离．29．（2014年江苏南京，第5题，2分） 8的平方根是（）A ．4B ．±4C ．D ．±【答案】D 【解析】试题分析：直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题．试题解析：∵(28±=，∴8的平方根是±．故选D ．考点：平方根的定义点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 30．（2015年浙江嘉兴4分） 2014年嘉兴市地区生产总值为335 280 000 000元，该数据用科学记数法表示为（ ）A ．33528×107B ．0．33528×1012C ．3．3528×1010D ．3．3528×1011【答案】D 【解析】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．∵335 280 000 000一共12位，∴335 280 000 000=3．3528×1011，故选D ． 考点：科学记数法．31．下列说法正确的是（ ）A ．1的相反数是－1B ．1的倒数是－1C ．1的立方根是±1D ．－1是无理数 【答案】A 【解析】试题分析：根据相反数、倒数、立方根、无理数的定义判断即可． A 、1的相反数为-1，故A 正确； B 、1的倒数是1，故B 错误； C 、1的立方根是1，故C 错误；D 、-1是有理数，是整数，故D 错误． 故选：A考点：相反数的定义32．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）A ．点B 与点D B ．点A 与点C C ．点A 与点D D ．点B 与点C 【答案】C 【解析】试题分析：到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数．-2与2是互为相反数，故选C ．33 ）A ．2x > D ．2x ≥ 【解析】试题分析：非正数的绝对值等于它的相反数，则x －2≤0，解得 x ≤2．故选B ． 考点：绝对值的性质．34．下列各数中是负数的是（ ） A ．()13--- B ．()23-- C ．113-⎛⎫⎪⎝⎭D ．|﹣2|【答案】B 【解析】试题分析：根据幂的运算性质及二次根式的性质，绝对值可求结果． A 、()11113033-⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭>，故选项A 不正确；B 、()2390--=-<，故选项B 正确；C 、11303-⎛⎫= ⎪⎝⎭>，故选项C 不正确；D 、|﹣2|=2＞0，故选项D 不正确． 故选B ．考点：幂的运算性质及二次根式的性质，绝对值 35．（2015年江苏南通3分）如果水位升高6m 时水位变化记作+6m ，那么水位下降6m 时水位变化记作（ ） A ．﹣3m B ．3m C ．6m D ．﹣6m 【答案】D【解析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示 因此， ∵“上升”和“下降”相对，∴水位升高6m 时水位变化记作+6m ，则水位下降6m 时水位变化记作﹣6m ． 故选D ．考点：正数和负数．36．已知下列各数：8，3．14，-2，3π，0，14，0.31•，-，则无理数有 ；分数有 ．【答案】3π，-3．14，14，0.31•．【解析】试题分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．所以无理数有：3π，3．14，14，0.31•．考点：实数．37．要到玻璃店配一块面积为1．21 m 2的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 m ． 【答案】1．1 【解析】试题分析：正方形的边长是其面积的算术平方根，故该玻璃的边长为21.1＝1．1(m)．故答案为1．1．点评：解答此类问题主要注意以下几点：一是开平方和开立方的区别；二是看题目要求，弄清被开方数．解此题的关键是要弄清正方形的面积和边长的关系．38．已知x 、y为实数，且4y =，则x ﹣y= ． 【答案】-1或-7 【解析】试题分析：因为x 2-9≥0，9-x 2≥0，所以x 2-9=9-x 2=0，所以x=±3，y=4，所以x ﹣y=-1或-7 39．将近似数23460保留两个有效数字，并用科学记数法表示是__________________．【答案】2．3×104【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．23460≈2．3×104．考点：本题考查的是科学记数法，近似数与有效数字点评：解答本题的关键是注意用科学记数法表示的数a ×10n的有效数字只与前面的a 有关，与n 无关．40．若(a-1)2+|b+2|＝0，则a+ b ＝ ． 【答案】-1 【解析】试题分析：由于(a-1)2≥0，|b+2|≥0，又(a-1)2+|b+2|＝0，因此 (a-1)2＝0且|b+2|＝0，则a ＝1，b ＝-2，所以a +b ＝-1．点评：若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0． 41．（2012四川达州3分）实数、在数轴上的位置如下图所示，化简：= ．【答案】n －m ．m n m n-【解析】试题分析：∵在数轴上实数m 位于n 的左侧，∴m＜n ． ∴m－n ＜0∴|m－n|=－（m －n ）=n －m ． 考点：实数与数轴，绝对值的概念．42．（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b40b -=，则该直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【解析】试题分析：根据非负数的性质求得a 、b 的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．40b -=， ∴a 2﹣6a+9=0，b ﹣4=0． 解得a=3，b=4．∵直角三角形的两直角边长为a 、b ，∴该直角三角形的斜边长5===． 故答案是：5．考点：勾股定理；非负数的性质；绝对值；非负数的性质；算术平方根．43．(1)(－1．44)2的算术平方根为________________＝________； (2)(－2)－3的立方根是________；立方等于－216的数是________；3＝________．【答案】(1)1．44 ±3 0．2；(2)－１２－6 125 【解析】试题分析：(1)(－1．44)2|－1．44|＝1．449，9＝0．2； (2)∵(－2)－3＝()3１－２，∴(－2)－3１２； ∵(－6)3＝－2166；3＝3=53＝125．点评：对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，a ≥0；②算术平方根≥0．而在立方根中，注意3．44．若实数x ，y ＋(3－y)2＝0，则代数式xy －x 2的值为__________．【答案】2 【解析】≥0，(3－y)2≥0，＋(3－y)2＝0，所以x －2＝0,3－y ＝0．解得x ＝2，y ＝3．则xy －x 2＝2×3－22＝2．答案：2点评：常见的非负数的形式有三种：|a|≥0)，a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0． 45．如果某个数的平方根是a ＋3和2a －15，那么这个数等于__________． 【答案】49 【解析】 试题分析：根据任何正数a 都有两个平方根,它们互为相反数，而互为相反数的两个数之和为零列方程求解即可求a 的值，再求(a+3)2即可．试题解析：根据题意，得a ＋3+2a －15=0，解得a=4所以这个数等于(a+3)2=49．考点：平方根，互为相反数的两个数的性质46．一个数的相反数的倒数是2，这个数是________． 【答案】12- 【解析】试题分析：此题考查相反数与倒数的概念设一个数为x ，则这个数的相反数的倒数为1x -，所以1122x x -=∴=-， 答案12-47．当x=_________时，代数式x －1与2x+10的值互为相反数【答案】-3【解析】根据相反数的定义先列出方程，然后求解．试题解析：根据题意得：x-1=-（2x+10），去括号，得 x-1=-2x-10，移项，合并同类项得 3x=-9，系数化为1得 x=-3．即当x=-3时代数式x-1与2x+10的值互为相反数．点评：本题的关键在于根据题意列出方程，注意读准题意．48．3－22的相反数是 ．【答案】22-3【解析】试题分析：根据只有符号不同的数是相反数进行解答．试题解析：∵-（3-22）=22-3，∴3-22的相反数是：22-3．故答案为：22-3．点评：本题考查了实数的性质，主要利用了只有符号不同的数是相反数的定义，比较简单．49的相反数是 ，的倒数是【解析】试题分析：-（，故∵乘积为1 50．5的相反数的平方是______， －的倒数是______．【答案】25 ,【解析】试题分析：5的相反数是-5，而25)5(2=-；51．如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作 ．【答案】－3℃．【解析】试题分析：根据正数和负数是表示意义相反的量即可求得．∵零上2℃记作+2℃，∴零下3℃记作﹣3℃．故答案为：－3℃．考点：正数和负数．52．在数轴与原点的距离为2个单位的点所表示的有理数是__________．【答案】±2．【解析】试题分析：根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．试题解析：设数轴上，到原点的距离等于2个单位长度的点所表示的有理数是x ，则|x|=2，解得 x=±2．考点：数轴．53．把下列各数分别填入相应的集合里：38，3，－3．14159，3π，722，32-，87-，0，－0．••02，1．414，7-，1．2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1)． (1)正有理数集合：{ …}；(2)有理数集合：{ …}；(3)无理数集合：{ …}；(4)实数集合：{ …}．【答案】(1)正有理数集合：{38，722，1．414，…}． (2)有理数集合：{38，－3．14159，722，87-，0，－0．••02，1．414，…}． (3)无理数集合：{3，3π，32-，1．21121112l 1112…，7-，…}． (4)实数集合：{ 38，3，－3．14159，3π，722，32-，87-，0，－0．••02，1．414，7-，42．2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1)…}．【解析】试题分析：准确理解实数的概念，按要求分类，注意不要遗漏．点评：(1)带根号的数不一定是无理数：(2)分数是有理数，但3π这种形式的数是无理数；(3)只有无限不循环小数才是无理数．54．(2015安徽省)－64的立方根是 ．【答案】-4【解析】试题分析：根据立方根的定义求解即可．试题解析：∵（﹣4）3=﹣64，∴﹣64的立方根是﹣4．故答案为﹣4．考点：立方根．点评：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．55．（2015年广东4分）观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 ． 【答案】1221． 【解析】 试题分析：观察得该组数的排列规律为：分母为连续奇数，分子为连续自然数，第n 个数为21n n +，所以，第10个数是1012210121=⨯+． 考点：探索规律题（数字的变化类）．56．已知b ＝a 3＋2c ，其中b 的算术平方根为19，c 的平方根是±3，求a 的值．【答案】7【解析】132********试题分析：因为b 的算术平方根是19，所以b ＝192＝361．又因为c 的平方根是±3，所以c ＝(±3)2＝9．代入已知条件即可求出a 的值．试题解析：因为b 的算术平方根是19，所以b ＝192＝361．又c 的平方根是±3．所以c ＝(±3)2＝9．所以a 3＝b －2c ＝361－18＝343，即a ＝7．57．已知a ，b 为数轴上的点，如图所示，求ba b a ++的值．【答案】-1【解析】试题分析：解决此题的关键在于去掉分子的绝对值符号，也就是要确定a ＋b 的正负．由图可知a ＞0，b ＜0，且b ＞a ，所以a ＋b ＜0，因此b a +＝－(a ＋b)．试题解析：由题意可知a ＞0，b ＜0，且b ＞a ，所以a ＋b ＜0，即b a +＝－(a ＋b)． 所以1)(-=++-=++ba b a b a b a ． 58．已知：a ，b ，c 都是实数，且满足(2－a)2＋82++++c c b a ＝0，且ax ２＋bx ＋c ＝0，求代数式3x 2＋6x ＋1的值．【答案】13【解析】试题分析：若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0．先根据非负数的性质求出a ，b ，c 的值，再整体代入求值．试题解析：依题意知(2－a)2≥0，c b a ++2≥0，8+c ≥0， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-,08,0,022c c b a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===,8,4,2c b a所以ax 2＋bx ＋c ＝0即为2x 2＋4x －8＝0，可化为x 2＋2x ＝4，故3x 2＋6x ＋1＝3(x 2＋2x)＋1＝3×4＋1＝13．点评：本题在求代数式的值时充分采用了整体代入的方法．59．已知实数x ，y 满足022132=+-+--y x y x ，求y x 542-的平方根． 【答案】32±【解析】 试题分析：要求y x 542-的平方根，关键是知道x ，y 的值，由非负数的性质知，几个非负数之和等于零，则每个非负数都等于零，从而得到一个关于x ，y 的二元一次方程组．解出x ，y 的值． 试题解析：因为022132=+-+--y x y x ， 又132--y x ≥0，22+-y x ≥0，所以⎩⎨⎧=+-=--,022,0132y x y x 解得⎩⎨⎧==.5,8y x 所以1255482542=⨯-⨯=-y x ． 所以3212542±=±=-±y x ． 60．若a ，b 为实数，且11122++-+-=a a a ab ，求3-+-b a 的值． 【答案】-3【解析】试题分析：因为要使12-a 与21a -均有意义．所以a 2－1≥0，且1－a 2≥0，可得出a 2－1＝0．即a ＝±1．又a ＋1≠0．所以a ＝1．进而代入求值．试题解析：因为a ，b 为实数，且a 2－1≥0，1－a 2≥0，所以a 2－1＝1－a 2＝0． 所以a ＝±1．又因为a ＋1≠0，所以a ＝1．代入11122++-+-=a a a ab ，得b ＝21． 所以3-+-b a ＝－3．。

实数的概念及运算法则实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的数的集合。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能被表示为两个整数的比值。

实数包括了所有的整数、分数和无限不循环小数。

实数的运算法则1. 加法法则：实数的加法满足交换律和结合律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 减法法则：实数的减法可以视为加法的逆运算。

即对于任意实数a、b和c，有：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法法则：实数的乘法满足交换律和结合律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)4. 除法法则：实数的除法可以视为乘法的逆运算。

即对于任意实数a、b和c，有：- 除法定义：a / b = a * (1 / b)5. 分配律：实数的乘法对加法具有分配律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 左分配律：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)- 右分配律：(a + b) * c = (a * c) + (b * c)6. 幂的法则：实数的幂运算满足以下法则：- a^0 = 1，其中a是非零实数- a^n * a^m = a^(n + m)，其中a是非零实数，n和m是整数这些实数的运算法则可以帮助我们在数学计算中正确地进行加减乘除等运算。

通过熟练掌握这些法则，我们可以更好地理解和应用实数的运算概念。

实数的相关概念中考考点梳理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：实数是数学中最基础的概念之一，它包括有理数和无理数两类。

在数学的学习中，实数的相关概念是非常重要的。

在中考中，实数相关的考点也是比较多的。

下面我们来看看实数相关概念中中考的考点梳理。

1. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数。

无理数是不能表示为有理数的数，如π和根号2等。

在中考中，同学们需要了解实数的分类，并能够判断一个数是有理数还是无理数。

2. 实数的运算实数的运算是中考数学的重要内容之一。

同学们需要掌握实数的加减乘除运算规则，包括有理数和无理数的运算。

在中考中，常见的考点有实数的加法、减法、乘法、除法运算，以及混合运算等。

3. 实数的大小比较在实数的概念中，同学们也需要学会对实数进行大小比较。

无论是有理数还是无理数，都可以通过大小比较符号进行比较，如大于等于、小于等于、大于、小于等等。

在中考中，通常会出现实数的大小比较题目，同学们需要根据实数的性质进行判断。

4. 实数的分数表示实数可以表示为分数的形式，分数是有理数的一种形式。

在中考中，同学们需要能够将实数表示为分数的形式，并且能够进行化简和计算。

分数的化简和运算是中考数学的常见考点之一，同学们需要多进行练习，掌握分数的性质和运算规则。

5. 实数的应用问题实数的概念在中考中不仅仅是为了考察同学们的概念掌握程度，还可以通过应用题目考察同学们对实数的应用能力。

实数在现实生活中有着广泛的应用，比如长度、重量、体积等问题都可以通过实数进行表示和计算。

在中考中，同学们可能会遇到一些实际问题，需要用实数进行求解，这就需要同学们将实数的概念运用到实际问题中去。

实数的相关概念在中考数学中占据着重要的地位，同学们需要充分理解实数的分类、运算、大小比较、分数表示以及应用问题等知识点。

通过不断的练习和巩固，可以帮助同学们提高实数相关概念的理解和运用能力，从而在中考中取得更好的成绩。

八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类．（2）按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=o＞0)0(=0)−o＜0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.【例题1】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．【解答】解：整数有：⑤−16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③−13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），故答案为：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．【变式1-1】（2022秋•社旗县期末）实数−13，−6，0，﹣1中，为负整数的是（）A．﹣1B．−6C．0D．−13【分析】根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，39，1，2，−73，0.3⋅，分数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．−73，0.3⋅共3个．故选：B．【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．【变式1-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（）A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，无限不循环的小数是无理数，故C错误，实数分为有理数和无理数，故D正确．故选：D．【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．【变式1-4】下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③2的算术平方根是2；④无理数是带根号的数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案．【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故原题说法错误；②实数包括无理数和有理数，故原题说法正确；③2的算术平方根是2，故原题说法正确；④无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如4=2是有理数．故选：B．【变式1-5】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（）A．3−27是整数B．−1713是有理数C．33是分数D．9的立方根是无理数【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．【解答】解：A、∵3−27=−3，∴3−27是整数，故A不符合题意；B、−1713是有理数，故B不符合题意；C、33是无理数，不是分数，故C符合题意；D、∵9=3，3的立方根是33，33是无理数，∴9的立方根是无理数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．【变式1-6】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，−34，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式2-7】（2023秋•滨湖区期中）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②313；③0；④2；⑤﹣8；⑥10%；⑦−27；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩−0.345⋅⋅．整数集合：{…}；负分数集合：{…}；正有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：整数集合：{③⑤⑨…}；负分数集合：{①⑦⑩…}；正有理数集合：{②⑥⑨…}；无理数集合：{④⑧…}．故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；②⑥⑨；④⑧．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．【例题2】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式2-1】（2022春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式2-2】（2023秋•昌黎县期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（）A．−12B．−10C．−8D．−3【分析】根据数轴可得−9＜＜−4，再逐一分析各选项的数据即可．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，∴−9＜＜−4，∵9＜12，9＜10，∴−12＜−9，−10＜−9，故A，B不符合题意；∵3＜4，∴−3＞−4，故D不符合题意；∵4＜8＜9，∴−9＜−8＜−4，即−3＜−8＜−2，故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．【变式2-3】（2023秋•新吴区校级期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4，从﹣2到2020共滚动2022，由2022÷4＝505......2，即可作出判断．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正方形的起点在﹣2处，∴2020﹣（﹣2）＝2022，∵2022÷4＝505......2，∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键．【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用数轴表示为：，它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2＜3．【变式2-5】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（）A．5−1B．1−5C．5−2D．2−5【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．【解答】解：设C点表示的数为x，则r52=1，解得x＝2−5．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【变式2-6】（2023•市南区一模）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．1＜|a|＜b B．1＜﹣a＜b C．|a|＜1＜|b|D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根据相反数的意义，绝对值的性质，有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：由题意，得1＜|a|＜b，1＜﹣a＜b，﹣b＜a＜﹣1，故C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数的意义，绝对值的性质，数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键．【变式2-7】（2023春•岳池县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径，即圆的半径为5，所以E点表示的数为OE的长度，即1+5．【解答】解：∵正方形的面积为5，∴AB为5；∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE＝AB=5；∵A点表示的数为1，∴OE＝OA+AE＝1+5故答案为：1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系，结合正方形面积以及圆的半径考查．解题关键是求出OE的长度．【变式2-8】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，点C与点D之间的距离为3−5；（2）根据题意可得，a＝|﹣1+5|=5−1，b＝3−5，a﹣b=5−1﹣（3−5）＝25−4．【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．【例题3】实数−3的绝对值是（）A．3B．C．−3D．33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−3的绝对值是：3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-1】−2的相反数是（）A．−2B．2CD．2【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得−2的相反数是：2．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式3-2】（2023春•潮南区期中）5−2的相反数是（）A．﹣0.236B．5+2C．2−5D．﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：5−2的相反数是2−5．故选C．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．【变式3-3】（2023春•京山市期中）下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与(−2)2B．﹣2与3−8C．﹣2与−12D．2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、(−2)2=2，﹣2与(−2)2是互为相反数，故本选项正确；B、3−8=−2，﹣2与3−8相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•秦都区校级月考）下列说法正确的是（）A．2的绝对值是22B．2的倒数是22C．2的相反数是22D．4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：2的绝对值是2，所以A选项不正确；2的倒数是22，所以B选项正确；2的相反数是−2，所以C选项不正确；4的平方根是±2，所以D选项不正确．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识．【变式3-5】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是；（3）若|x|=3，则x＝．【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反数是−5，绝对值是5；（2）3−1的相反数是1−3，绝对值是3−1；（3）∵|x|=3，∴x=±3．故答案为：（1）−5，5；（2）1−3，3−1；（3）±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•余姚市校级期中）a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）求o+p+2−的值．【分析】（1）直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案．【解答】解：（1）∵a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数，∴a＝2，b＝3，c＝5；故答案为：2，3，5；（2）原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式3-7】（2022秋•芗城区校级月考）31−2与33−2互为相反数，求代数式6x﹣9y+5的值．【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2＝0，求得2x﹣3y＝﹣1，再将其代入求解即可．【解答】解：由题意得1﹣2x+3y﹣2＝0，整理，得2x﹣3y＝﹣1，∴6x﹣9y+5＝3（2x﹣3y）+5＝3×（﹣1）+5＝﹣3+5＝2．【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想．【变式3-8】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|=5，∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴当x=5，则y=−11，故x+y=5−11，当x=−5，则y=−11，故x+y=−5−11，综上所述：x+y的值为5−11或−5−11．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．【例题4】（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜2，∴在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是2，故选：D．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是（）A．3B．−3C．0D．2【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是−3．故选：B．【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3的大小顺序是（）A．﹣3＜﹣π＜−3B．﹣π＜﹣3＜−3C．﹣π＜−3＜−3D．﹣3＜−3＜−π【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，−3≈−1.732，因为3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜−3．故选：B．【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．【变式4-3】（2023秋•农安县期中）将数“22，5，−2，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵22=8＞5，−2≈−1.57＞﹣1.6，∴﹣1.6＜−2＜0＜5＜22，故答案为：﹣1.6＜−2＜0＜5＜22．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小．【变式4-4】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，1这四个数中（）A．1＞＞＞2B．2＞＞＞1C．＞＞1＞2D．1＞＞＞2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，1＞1，∴1＞＞a＞a2．故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．【变式4-5】比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．37＜2＜5【分析】把2转化为4，38，即可比较大小．【解答】解：∵2=4，∴5＞2，∵2=38，∴2＞37，∴5＞2＞37，即37＜2＜5，故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为4，38．【变式4-6】比较大小：− 1.5．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：(−3)2=3，（﹣1.5）2＝2.25，∵3＞2.25，∴−3＜−1.5．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．【例题5】已知：x＜21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝4C．x＝4，y＝5D．x＝5，y＝6【分析】根据16＜21＜25，即可得出x、y的值．【解答】解：∵16＜21＜25，∴x＝4，y＝5；故选：C．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，解题的关键是用有理数逼近算术平方根．【变式5-1】（2023秋•郁南县期中）估算57的值应在（）A．6～7之间B．7～8之间C．8～9之间D．不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案．【解答】解：∵49＜57＜64，∴7＜57＜8，即57的值在7～8之间，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．【变式5-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：18，∵16＜18＜ 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．【变式5-3】（2022春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜39＜y，则x+y＝．【分析】通过36＜39＜49求解．【解答】解：∵36＜39＜49，∴6＜39＜7，∴x＝6，y＝7，∴x+y＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-4】（2023秋•青龙县期中）估算2+14的值在（）A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间【分析】先估算出14的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14＜4，∴5＜2+14＜6．故选：B．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式5-5】（2023秋•秦都区期中）估计23−2的值在（）A．2到3之间B．1到2之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先估算出23的大小，进而估算23−2的范围．【解答】解：∵16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴2＜23−2＜3，∴23−2的值在2和3之间．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式5-6】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜20＜y，则5x+y的值为．【分析】先求出20的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．【解答】解：∵4＜20＜5，∴x＝4，y＝5，∴5x+y＝5×4+5＝25，∴5x+y的平方根是±5，故答案为：±5．【点评】本题考查了算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-7】（2023秋•二七区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是，小数部分是；（2）如果7+1的小数部分为，9−17的整数部分为b，求+−7的平方根；（3）已知10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数23的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数7+1，9−17的大小即可确定a、b的值，再代入计算即可；（3）根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x，小数部分是y，再求出x﹣y的相反数即可．【解答】解：（1）42＝16，52＝25，而16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴23的整数部分是4，小数部分为23−4，故答案为：4，23−4；（2）∵22＝4，32＝9，而4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，∴7+1的整数部分是3，小数部分为7+1﹣3=7−2，即a=7−2；∵4＜17＜5，∴﹣5＜−17＜−4，∴4＜9−17＜5，∴9−17的整数部分是4，即b＝4，∴a+b−7=7−2+4−7=2，∴+−7的平方根是±2；（3）∵2＜7＜3，∴12＜10+7＜13，∴10+7的整数部分是12，小数部分是10+7−12=7−2，又∵10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝12，y=7−2，∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提．【例题6】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）6（2（3）5−121；（4）3+12112．【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答；（2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答；（3）先估算出5的值的范围，再估算出5−1的值的范围，进行计算即可解答；（4）先估算出3的值的范围，再估算出3+1的值的范围，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵62＝36，（35）2＝35，∴36＞35，∴6＞35，故答案为：＞；（2）∵8＜10，∴8＜10，故答案为：＜；（3）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，故答案为：＜；（4）∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴2＜3+1＜3，∴132，故答案为：＜．【点评】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键．【变式6-1】（2023春•西城区校级期中）比较大小：（1；（2）5−11．【分析】（1）先把4写成算术平方根的形式，然后根据算术平方根的被开方数越大，那个数就越大进行解答；（2）先估算5的大小，然后进行判断即可．【解答】解：（1）∵4=16，17＞16，∴17＞4；（2）∵2＜5＜3，∴5−1＞1，故答案为：（1）＞；（2）＞．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是能够正确的估算无理数的大小．【变式6-2】（2022秋•新津县校级月考）比较大小：3−1212，23．【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．【解答】解：（1）∵3−12−12=32−1＜0，∴3−12＜12．（2）(32)2=18，(23)2=12，∵18＞12，∴32＞23．故答案为：＜、＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．【变式6-3】（2023春•前进区月考）比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．37＜2＜5D．37＜5＜2【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．【解答】解：∵26＝64，(5)6=[(5)2]3=125，(37)6=[(37)3]2=49，而49＜64＜125，∴(37)6＜(5)6＜26，∴37＜2＜5．故选：C．【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．【变式6-4】比较下列各组数的大小：（1）120与11．（2）5+12与2．【分析】（1）根据11=121，即可进行比较；（2）先通分，可得2=42，再比较分子5+1与4的大小即可求解．【解答】解：（1）∵11=121，120＜121，∴120＜11．（2）∵2=42，5+1＜4，∴5+12＜2．【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力，两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．【变式6-5】比较下列各组数的大小（1）8与10；（2）65与8；（3）5−12与0.5；（4）5−12与1．【分析】（1）根据8＜10，即可解答；（2）根据8=64，即可进行比较；（3）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可；（4）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可．【解答】解：（1）∵8＜10，∴8＜10；（2）∵64=8，64＜65，∴65＞64，∴65＞8；（3）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＞12．（4）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＜1．【点评】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．【例题7】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−2的结果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．故选：C．【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意2=|a|．【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|3−b|+|a+3|+2的值．【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜−3，0＜b＜3，故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣（a+3）﹣a=3−b﹣a−3−a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．【变式7-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(−p2−|−U+3(−p3．【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(−p2−|−U+3(−p3＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式7-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B 表示3，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，m=3−2；故答案为：3−2；（2）m+1=3−2+1=3−1，∵1＜3＜2，∴0＜3−1＜1，（m+2）2+|m+1|＝（3−2+2）2+|3−1|＝（3）2+3−1＝3+3−1＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】（2022秋•青龙县月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示−2，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+1）（1﹣m）的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|c+3|与−5互为相反数，求c+3d的平方根．【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值；（2）根据（1）的结果求值即可；（3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，∴m=−2+2，故答案为：−2+2；（2）（m+1）（1﹣m）＝1﹣m2＝1﹣（−2+2）2＝1+42−6＝42−5；（3）∵|c+3|与−5互为相反数，∴|c+3|+−5=0，∵|c+3|≥0，−5≥0，∴c+3＝0，d﹣5＝0，∴c＝﹣3，d＝5，∴c+3d＝（﹣3）+3×5＝﹣3+15。

考点01实数实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，数学中考中，有关实数的部分，通常以选择题、计算题题型考察，所考考点一般有：实数的相关概念，如相反数、绝对值、数轴、倒数、科学计算法等；实数的比较大小；实数的运算则多与二次根式、三角函数、负指数幂、绝对值等结合，以解答题形式考察；少数以填空题的形式出题。

对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点。

考向一、实数的相关概念；考向二、实数的分类；考向三、实数的比较大小；考向四、实数的运算；考向一：实数的相关概念注意事项与拓展1．（2022•淮安）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（）A ．0.11×108B ．1.1×107C ．11×106D ．1.1×1062．（2022•黄石）的绝对值是（）A ．1﹣B ．﹣1C ．1+D ．±（﹣1）3．（2022•攀枝花）2的平方根是（）A ．2B ．±2C ．D ．4．（2022•淄博）若实数a 的相反数是﹣1，则a +1等于（）A ．2B ．﹣2C ．0D ．5．（2022•资阳）如图，M 、N 、P 、Q 是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q考向二：实数的分类☆按定义分类：}}⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0☆按正负分类：⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0【易错警示】实数中的无理数常见的有4种形式：①含π的数，如-2π、4-π等；②开方开不尽的数的方根，如3-22、等；③某些三角函数，如sin45°、tan60°；④具有特定结构的数，如0.1010010001……（每两个1之间依次多加一个0）；1．（2022•铜仁市）在实数，，，中，有理数是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022秋•漳州期中）下列实数是无理数的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2022•巴中）下列各数是负数的是（）A ．（﹣1）2B ．|﹣3|C ．﹣（﹣5）D ．4．（2022•福建）如图，数轴上的点P 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A ．B ．C ．D ．π考向三：实数的大小比较注意事项与拓展1．（2022•安顺）下列实数中，比﹣5小的数是（）A．﹣6B．﹣C．0D．2．（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b3．（2022•泰州）下列判断正确的是（）A．0＜＜1B．1＜＜2C．2＜＜3D．3＜＜44．（2022•台州）无理数的大小在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间5．（2022•绵阳）正整数a、b分别满足＜a＜、＜b＜，则b a＝（）A．4B．8C．9D．16考向四：实数的运算一、实数的运算种类：包括加、减、乘、除、乘方、开方，其中，减法转化为加法运算；除法、乘方都转化为乘法运算；二、零指数幂和负整数指数幂公式：）0(10≠=a a ；）0(1-≠=a a aPP；特别地：）0(11-≠=a aa ；三、实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算。