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第2课时 线性规划的实际应用学习目标：理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]应用线性规划解决实际问题的类型思考：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元．那么x 和y 应满足哪些不等关系？[提示]分析题意，我们可得到以下式子⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25 000 000，12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.[基础自测]1．思考辨析(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．( ) (2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．( ) [答案] (1)√ (2)√2．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y <25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值D [画出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 在平移过程中的纵截距z 既无最大值也无最小值．]3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天2 000元，设请木工x 人，请瓦工y 人，则请工人的约束条件是________．⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *50x ＋40y ≤2 0004．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元.【导学号：91432334】36 800 [设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点(5,12)处取得最小值z min ＝36 800元．][合 作 探 究·攻 重 难]线性规划的实际应用问题[探究问题]1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x 、y万元，那么x 、y 应满足什么条件？提示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z 万元，那么z 与x ，y 有何关系？提示：根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z 与x ，y 的关系为z ＝0.4x ＋0.6y .3．x ，y 应在什么条件下取值，x ，y 取值对利润z 有无影响？提示：x ，y 必须在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5下取值．x ，y 取不同的值，直接影响z 的取值．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 怎样安排生产可使所获利润最大.【导学号：91432335】思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解． [解] 设生产书桌x 张，生产书橱y 个，利润为z 元，则目标函数为z ＝80x ＋120y ，根据题意知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，画出可行域如图所示，作直线l ：80x ＋120y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线l 过点C 时，z 取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，得C (100,400)，所以z max ＝80×100＋120×400＝56 000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．母题探究：(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？[解] (1)若只生产书桌，则y ＝0，此时目标函数z ＝80x ，由图可知z max ＝80×300＝24 000，即只生产书桌，可获利润24 000元．(2)若只生产书橱，则x ＝0，此时目标函数z ＝120y ，由图可知z max ＝120×450＝54 000，即只生产书橱，可获利润54 000元．线性规划中的最优整数解问题某运输公司有7辆载重量为6吨的A 型卡车，4辆载重量为10吨的B 型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车往返一次的成本费为：A 型车160元，B 型车280元．每天派出A 型车与B 型车各多少辆时，公司花的成本费最低？思路探究：①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？[解] 设公司每天所花成本费为z 元，每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，则z ＝160x ＋280y,x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤7，y ≤4，x ＋y ≤9，48x ＋60y ≥360，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出不等式组的可行域，如图．作直线l ：160x ＋280y ＝0，即l ：4x ＋7y ＝0.将l 向右上方移至l 1位置时，直线l 1经过可行域上的M 点，且此时直线与原点的距离最近，z 取得最小值．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧48x ＋60y ＝360x ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝0.4.但y ＝0.4不是整数，故取x ＝7，y ＝1，此时z 取得最小值． 所以，当每天派出A 型车7辆、B 型车1辆时，公司所花费用最低．某厂有一批长为18 m 的条形钢板，可以割成1.8 m 和1.5 m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润.【导学号：91432336】[解] 设割成的1.8 m 和1.5 m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元，则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y )即z ＝19x ＋14.4y 且⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ≤18，x ＋0.6y ≤8，x ，y ∈N ，作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ＝18，x ＋0.6y ＝8，解出x ＝207，y ＝607，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607，因为x ，y 为自然数，在可行域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．又可行域的另一顶点是(0,12)，z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)： 过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．M ⎝⎛⎭⎪⎫207，607附近的点(1,10)，(2,9)， 直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6. 所以当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值． 答：只截1.5 m 长的零件12个，可获得最大利润．[当 堂 达 标·固 双 基]1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1，a 2千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为b 1，b 2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d 1，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 分别为c 1，c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲，乙两种产品分别为x ，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为________．⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0[由题设和本题的限制条件可得，另外容易遗漏的限制条件是x ≥0，y ≥0.]2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元.【导学号：91432337】1 50 [设该农民种x 亩水稻，y 亩花生时能获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，z ＝960x ＋420y ，作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数变形为y ＝－167x ＋z 420，作出直线y ＝－167x ，在可行域内平移直线y ＝－167x ，可知当直线过点B 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，故当x ＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝1 650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1 650元．]3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A ，B ，C ，D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元 ，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．4,2 [设在计划期内生产甲产品x 件，乙产品y 件，则由题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x ＋2y ≤8，x ≤4，y ≤3，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z ＝2x ＋3y ，由图可知当直线z ＝2x ＋3y 经过点A时，z 有最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]4．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)【导学号：91432338】[解] 设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢铁总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域，如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．。
3.3.2 简单线性规划问题（第2课时）一、教学目标1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
2．能力目标: 1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；4、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。
3．情感目标： 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二、教学重点与难点:重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2、在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。
使用多媒体辅助教学。
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计：引导学生通过主动参与、合作探讨学习知。
四、教学过程：数学教学是数学活动的教学。
因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境，提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法；4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结；6、布置作业，巩固提高.五、教学过程设计比较分析，深化认识播放片甲播放片乙节目要求片集时间（min）3.5 1≤16广告时间（min）0.5 1≥3.5收视观众（万）60 20先请学生回答提出的问题，然后总结再根据所求设出未知参数，得到目标函数。
的线性规划问题第2课时线性规划的概念课时作业新人教A版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第3章不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第2课时线性规划的概念课时作业新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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规划问题第2课时线性规划的概念课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．若x≥0,y≥0，且x＋y≤1,则z＝x－y的最大值为错误!( B )A．－1 B．1C．2 D．－2［解析］可行域为图中△AOB,当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴z max ＝1.2．已知x、y满足约束条件错误!,则z＝2x＋4y的最小值为错误!( B ）A．5 B．－6C．10 D．－10［解析]可行域为图中△ABC及其内部的平面区域,当直线y＝－错误!＋错误!经过点B(3，－3）时，z最小，z min＝－6。
3．（2015·唐山市一模)设x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋2y的最大值为错误!（ D ）A．8 B．9C．28 D．29［解析]约束条件满足的区域如图阴影部分所示，目标函数z＝3x＋2y在点A(5，7)处取得最大值29.4．若x、y∈R，且错误!，则z＝x＋2y的最小值等于错误!( B ）A．2 B．3C．5 D．9［解析］不等式组表示的可行域如图所示：画出直线l0:x＋2y＝0,平行移动l0到l的位置，当l通过点M时，z取到最小值．此时M(1，1)，即z min＝3.5．(2015·南昌市一模）设x、y满足约束条件错误!,则目标函数z＝x＋y错误!( A ) A．有最小值2,无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2,最大值3D．既无最小值，也无最大值[解析］画出不等式组错误!表示的平面区域，如下图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z,令z ＝0，画出y＝－x的图象．当它的平行线经过点A（2，0）时，z取得最小值,最小值为2；无最大值．故选A．6．（2015·洛阳市期末)实数x，y满足错误!则z＝x＋2y的最小值是错误!（ A )A．－1 B．1 2C．5 D．1［解析]不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线x＋2y＝0知，当z＝x＋2y经过点A（1，－1）时，取得最小值，∴z min＝1－2＝－1。
2016-2017学年高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 简单线性规划的应用高效测评 新人教A 版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元解析：设需甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ∈N *，y ≤8，y ∈N *，20x ＋10y ≥100.作出其可行域如图．可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取得最小值，z min ＝400×4＋300×2＝2 200(元)．答案： B2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元和70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买三片，磁盘至少买两盒，则不同的购买方式共有( )A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种解析： 设买x 片软件，y 盒磁盘，则 ⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≤50，x ≥3，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *.当x ＝3时，y 可取2,3,4；当x ＝4时，y 可取2,3；当x ＝5时，y 可取2；当x ＝6时，y 取2.答案： C3．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元解析： 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)．答案： C4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析： 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，根据题意，得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N ，画出可行域如图．目标函数z ＝280x ＋200y ， 即y ＝－75x ＋z 200，作直线y ＝－75x 平移，得最优解A (15,55)．所以当x ＝15，y ＝55时，z 取最大值． 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析： 设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为z 元，则z ＝200x ＋300y .甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为下表所示.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ≥10，x ＋2y ≥14，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如右图． 当z ＝200x ＋300y 对应的直线过两直线 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14，的交点(4,5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值，为2 300(元)． 答案： 2 3006．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析： 设购买铁矿石A 为x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，则z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.答案： 15三、解答题(每小题10分，共20分)7．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定，通过调查，有关数据如表：解析： 设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计总收益z ＝80x ＋60y . 则⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图，作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．即搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．8．某公司的仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨，8吨和5吨把货物分别调动给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元，6元，9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元，4元，5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析： 将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表，单位：元)(12－x －y )吨；从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7－x )吨，(8－y )吨，[5－(12－x －y )]吨，即(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126(单位：元)．则问题转化为求总运费z ＝x －2y ＋126在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥0，7－x ≥0，8－y ≥0，x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，0≤y ≤8，x ＋y ≥7，x ＋y ≤12下的最小值．作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 作平行移动，显然当直线l 移动到过点A (0,8)时，在可行域内，z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110(元)．即x ＝0，y ＝8时，总运费最少．所以仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨，8吨，4吨；仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨，0吨，1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．尖子生题库☆☆☆9.(10分)某运输公司有7辆载重量为6吨的A 型卡车与4辆载重量为10吨的B 型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车为8次，B 型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况：A 型卡车160元，B 型卡车252元．试问，A 型卡车与B 型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？解析： 设每天出动的A 型卡车数为x ，则0≤x ≤7；每天出动的B 型卡车数为y ，则0≤y ≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x ＋y ≤9，每天要完成的搬运任务为48x ＋60y ≥360，每天公司所花成本费用为z ＝160x ＋252y.本题即求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，0≤y ≤4，x ＋y ≤9，48x ＋60y ≥360，且使z ＝160x ＋252y 取得最小值的非负整数x 与y 的值．不等式组表示的平面区域即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD 区域(含边界线段)，它的顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，25，C (7,2)，D (5,4)．结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P 1(3,4)，P 2(4,4)，P 3(4,3)，P 4(5,2)，P 5(5,3)，D (5,4)，P 6(6,2)，P 7(6,3)，P 8(7,1)，C (7,2)10个点．作直线l ：160x ＋252y ＝0.把l 向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P 4(5,2)，所以在点P 4(5,2)上，得到的z 的值最小，z min ＝160×5＋252×2＝1 304.即当公司每天出动A 型卡车5辆，B 型卡车2辆时，公司的成本费用最低．。
