高中数学精讲教案-不等式的解法

高中数学-不等式的解法

若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法

如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1

(―巴 X 1)、(X 1，

X 2)、…、(X n ，+X )，a o >0时，由于f(x) = a o (x — X 1)(X — X 2)…(X — X n )的值的符号在上述区间自右至 左依次为+、一、+、一、…，所以正值区间为

f(x)>0的解集.

4分式不等式的解法

f x (1)

g T>0(<0) ? f(x) g(x)>0(<0)； y x f x

f x

g x > 0 < 0， (2严> 0( < 0)?

g x

g x 工 0.

总基础点重难点

1 不等式ax>b

若a>0，解集为x | x>-;若a<0，解集为 x | xv-;若a = 0，当b > 0时，解集为，当b<0 a a —

时，解集为R.

2 一元二次不等式

“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式 集，可归纳为：

ax 2 + bx + c>0 与 ax 2 + bx + c<0 的解

判别式 △= b 2

— 4ac

二次函数 y = ax 2 + bx + c (a>0)的图象

元二次方程 ax 2

+ bx + c = 0 有两相异实根 有两相同实根 无实根

二次 不等 式的 解集

(a ^ 0)的根

ax 2

+ bx

+ c>0(a>0) ax 2+ bx + c<0(a>0)

X = X 1 或 X = X 2

X = X 1= X 2 {xxX 2}

{X|X 1VX

考点不等式的解法

A= 0

&0

b 2a

{

x € R 1

x 工

B • (- 3,1) C. (一oo, 2 -

3) U (2+ ,3 , + o )

D. (— 3,1) U (2 + <』3,+o ) 答案 D

解析 画岀函数f(x)的图象如图所示,

(1)若 3— x 2 < 0 且 2x < 0 ,即卩 x < — 3,则 2 — (3 — x 2)<2 — 2x ,二一3

--—3

⑵若—,3

⑶若0

⑷若 x> 3，则 3 — x 2<0,2x>0，要求 2 — (3 — x 2)<(2x)2— 6 X 2x +2,解得 x>2 + 3.

综上，得关于x 的不等式f(3 — x 2)

9若不等式x 2 — (2 + m)x + m — 1>0对任意m G ［ — 1,1］恒成立，则x 的取值范围是 _______ . 答案( — o,— 1)U (3 ,+o )

解析 把不等式化为(1 — x)m + x 2— 2x — 1>0.

设f(m) = (1 — x)m + x 2— 2x — 1,则问题转化为关于 m 的一次函数.f(m)在区间［—1,1］上大于0 恒成立，只需

f — 1 >0 , x 2— x — 2>0, x< — 1 或x>2 ,

即2 ? f 1 >0

x 2— 3x>0 x<0 或 x>3,

解得x< — 1或x>3，故x 的取值范围是(一o,— 1) U (3 ,+o ).

10._______ 若关于x 的不等式ax — b>0的解集为(—o, 1),则关于x 的不等式(ax + b)(x — 2)>0的 解集为 ___________ .

答案 (—1,2)

解析 由题意可得 a = b<0，故(ax + b)(x — 2)>0等价于(x + 1)(x — 2)<0，解得—1

11. 二次函数f(x)满足f(2) = — 1, f(— 1) = — 1，且f(x)的最大值为8,试解不等式f(x)> — 1. 2+ — 1 1

解 由于f(2) = f(— 1)=— 1,根据二次函数的对称性，则对称轴为

x =

2

= 2，又知最

可知函数f(x)在(— o 情

形：

3— x 2< 3,故分以下几种

(2)由不等式的解集为

1 k<0，- 6 x x € R，X K-可知

2 解得k=

—=.

k A= 4—24k2= 0，6

k<0，再小6

(3)依题意知

A= 4—24k2<0，解得k< —-6

k>0，

(4)依题意知A= 4—24k2<

0，

解得心二6

6