4.4.2 第2课时对数函数【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件

(4)对数的真数仅有自变量.
同学们，再见
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物
体内碳14含量看成1个单位，那么
问题情境
设生物死亡年数为 x ，死亡生物体内碳 14 含量为 y
死亡 1 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p ) ；
1
死亡 2 年后，生物体内碳 14 含量为 (1 p ) ；
y (1 p)
物价
年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
解:(2)根据函数 = 1.05 , ∈ [1, +∞)，利用计算工具，可得下表：
物价
��
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加
1所需要的年数在逐渐缩小.
行线，与 =
1
( )5730 (
2
≥ 0)的图象有且只有一个交点(0 , 0 ).
概念构建
同样地，根据指数与对数的关系，由 = ( > 0, 且 ≠ 1)可以得到
= ( > 0, 且 ≠ 1),也是的函数.通常，我们用表示自变量，表示函数.为
此，将 = ( > 0, 且 ≠ 1)中的字母和对调，写出 = ( > 0, 且 ≠ 1).


反过来，已知死亡生物体内碳 14 的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？
问：死亡时间 x 是碳 14 的含量 y 的函数吗？
问题探究

质应如何研究？
新知探索
探究新知——“思”
上节课的学习中我们以y = log 2 x、 = 1 两个对数函
2
数为例，认识了什么叫做对数函数，那么同学们思考一下对
数函数的定义域、值域是什么？有没有定点呢？单调性呢？
新知探索
活动一：（小组合作完成对数函数的图像，观察两个函数图像有什么特点）
完成, 的对应值表，并用描点法画出函数 = 、 = 的图象.
底数越小，图象越靠近x 轴
底
大
图
低
题型一：对数函数的图象问题
例1.如图，若1 ，2 分别为函数 = 和 = 的图象，则(
A. 0 < < < 1
B. 0 < < < 1
C. > > 1
D. > > 1
).
解：由图知，对数函数在定义域内单调递减，所以0 < < 1,0 < < 1.
函数
a＞1
底数
0＜a＜1
y
y
图象
1
o
定义域
1
x
(0,+∞)
o
x
(0,+∞)
值域
R
R
定点
(1,0)
(1,0)
值分布
当 x＞1 时，y＞0
当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0
当 0＜x＜1 时，y＞0
单调性
趋势
在( 0 , + ∞ ) 上是增函数
底数越大,图象越靠近x轴
在( 0 , + ∞ )上是减函数
对数函数的性质也可以分为0 <

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是：减函数
函数y=logax的图象特征 函数y=logax的性质
这些函数图象都在y轴 右侧
函数的定义域为(0,＋∞)
这些图象向上向下无限 函数的值域为R 延伸
函数图象都过定点(1,0) 当x=1时，y=0
自左向右看， a>1时图象逐渐上升， 0<a<1时图象逐渐下降
y
y log 2 x
2
1 11 42
0 1 23 4 -1
-2
y log 3 x
x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象
随着a的取值变化图象如何变化？有规律吗？
底变大的方向 y 2
1 11 42
0 1 23 4
y log 2 x y log 3 x
想 为什么函数的
一 想
定义域是(0,＋∞)？
？
新课讲解
对数函数的概念
函数 y loga x (a 0且a 1)
叫做对数函数，其中x是自变量。 函数定义域是（0，+∞）． 真数>0
注意：对数函数的定义与指数函数类似， 都是形式定义，对数函数的特征：
①底数：大于0且不等于1的常数；
②真数：自变量x；
R
性
过定点 (1 ,0) 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数
质
当x>1时， y>0
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0
当x=1时， y=0
当0<x<1时，y<0

> 2,
解析:AC 由题意可知, − 2 ≠ 1, 即 ≠ 3, 因此2＜a＜5且a≠3.故选A、C.
5 − > 0,
< 5,
目录
7.函数f(x)＝(m-1)logax(a＞0,且a≠1)是对数函数,且过点(4,2),则f(m)
＝
.
解析:由题意m＝2.又2＝log a 4,故a＝2,因此f(x)＝log 2 x.所以f(m)＝f(2)＝
.
解析:因为y＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R,所以x2＋2x＋a＞0恒成立,所以Δ＝44a＜0,所以a＞1.故实数a的取值范围是(1,＋∞).
答案:(1,＋∞)
目录
14.设函数f(x)＝lg
8 ＋4 ＋·2
,a∈R,若当x∈(-∞,1)时,f(x)都有意义,求实数a
2
的取值范围.
解:f(x)＝lg
− 2 ≠ 1,
≠ 3,
函数的定义域为(2,3)∪(3,5).
答案:(2,3)∪(3,5)
目录
题型三
对数型函数的实际应用
【例3】 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万
元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超
出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万
4
＝ .故选D.
3
目录
3.若f(x)＝logax＋(a2-4a-5)是对数函数,则a＝
.
2 − 4 − 5 = 0,
解析:由对数函数的定义可知, > 0,
≠ 1,
解得a＝5.
答案:5
目录
4.求下列函数的定义域:

对数函数的概念【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册课 件2 对数函数的概念【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册课 件2
对数函数的概念【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册课 件2 对数函数的概念【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册课 件2
对数函数的概念【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册课 件2 对数函数的概念【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册课 件2
第四章 4.4.1对数函数的概念-【新教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共50 张PPT) 第四章 4.4.1对数函数的概念-【新教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共50 张PPT)
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表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢
离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[ + ] = 10−7 摩尔/升，计算纯净水的.
解(1)：根据对数的运算性质，有
=
−[ + ]
=
[ + ]−1
实例 概念 表示 图象 性质 应用
1.画对数函数的图象
情景一：
与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其质．
由浅入深，我们先最简单的开始。
问题1 请同学们用描点法画出 = log2的图像！
x
y = log2x
0.5
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
16
4
描点
列表
连线
情景二：
（1）利用描点法画出函数 = 1 的图象,
定义域是(, +∞)（真数大于0）。
课本P131 练习
1．求下列函数的定义域：
1
(1) y ln 1 x ；(2) y
；
lg x
1
(3) y log 7
；(4) y loga x a 0, a 1 ．
1 3x
【详解】
（1）解：对于函数 y ln 1 x ，有 1 x 0 ，解得 x 1 ，
借助计算工具画出具体对数函数的图像，探索并了解对数
函数的单调性与特殊点.
2.知道对数函数与指数函数互为反函数
3.能够应用对数函数的图像及性质解决问题.
素养目标
数学抽象
数学运算
逻辑推理

4.3.2 对数的运算
作者编号：32101
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．
2.掌握换底公式及其推论．
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
作者编号：32101
情境引入
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对
数运算性质呢？
指数幂运算
(1) = + ( > 0, , ∈ );
(2)( ) = ( > 0, , ∈ );
(3)() = ( > 0, > 0, ∈ ).
作者编号：32101
新课讲授
设 = , =
∵ = + ,
∴ = + .
根据对数与指数间的关系可得：
= , = , () = + = + .
作者编号：32101
对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝ 1
logNa
(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1).
(2) log n b m m log a b (a>0，且a≠1，b>0).
a
n
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
∴xlg 6=lg a,ylg 5=lg a.
1
lg6
1
∴ = lg=loga6，
1
1
=
lg5
=loga5.
lg
∴ + =loga6+loga5=loga30=1.∴a=30.
2 lg 2 5lg 3 3lg 2 5

5730
2
2
， ∈ (0, +∞)可得
到对数函数 = 5730 1 ， ∈ (0,1].
2
这个对数函数 = 5730 1 (0 < ≤ 1)的定义域(0,1]、值域[0, +∞)分别是指数函
数 =
1
( )
2

5730
1
2

5730
数 = ( )
2
， ∈ (0, +∞)的值域和定义域.这时就说函数 = 5730 1 ， ∈ (0,1]是函
对数函数图象的其它特征：
在直线 = 1的右侧， > 1 时， 越大，
图象越低，简称“底大图低”；
0 < < 1时，越大，图象越低，简称
“底大图低”.
例析
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)2 3.4，2 8.5；(2)0.3 1.8，0.3 2.7；(3) 5.1， 5.9.
2
1
1
1 = ，解得 > .此时， <
2
2
< < 1}.
< 1.
练习
例3.解下列不等式：
(3) (2 − 5) > ( − 1).
2 − 5 > 0
解：(3)当 > 1时，
，解得 > 4.即不等式的解集为{| > 4}.
−1>0
2 − 5 > − 1
互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.且图象关于直线 = 对称.
练习
题型一：对数函数的图象问题
例1.(1)在同一直角坐标系中，函数 =
可能是(
1