陕西省宝鸡市渭滨区2016_2017学年高二数学上学期期末联考试题理(扫描版)

A ． π5．已知双曲线 - = 1的离心率为 , 则 m =2016—2017 学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页，共 150分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．三个点D ．一个三角形2．直线 x - y - 1 = 0 的倾斜角是6B ．π4C ．π3D ．π23. 若椭圆x 2 y 2+ = 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一焦点的距离为 25 16A ． 7B ． 5C ． 3D ． 24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行x 2 y 2 516 m 4A ． 7B ． 6C ． 9D ． 86．已知 A (-2,0) ， B (2,0) ，动点 P ( x , y ) 满足 P A ⋅ PB = x 2，则动点 P 的轨迹为A ．椭圆C ．抛物线B ．双曲线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A．[-1,1]B．[-11A．82B．162 C．10 D．62主视图左视图44俯视图8．设点M(x,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45，则x的取值范围是0022,]C．[-2,2]D．[-,]2222第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．原点到直线4x+3y-1=0的距离为___________．10．抛物线y2=2x的准线方程是___________．11．已知a=(1,2,3)，b=(-1,3,0)，则a⋅b+b=___________．12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________．13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.16．（本题满分13分）已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x-2y-1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线l的方程．1 1C如图，正方体ABCDA BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点．（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值．A1D1B1EC1ABFD18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) ．（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程．平面 BCP 所成角的大小为 ？ 若存在，求出如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ ． F 为 P A 中点， PD = 2 ，1AB = AD = CD = 1 ． 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N ．2（Ⅰ）求证： AC // 平面 DEF ；（Ⅱ）求二面角 A - BC - P 的大小；PE（Ⅲ）在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与Nπ6FDCQ 点所在的位置；若不存在，请说明理由．A B20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号答案1D2B3A4D5C6D7B8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.151；10.x=-；11.23+1；212.x-2y-1=0；13.16π；14.22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD.又AD PD=D,所以C D⊥平面PAD.而P A⊂平面P AD,所以CD⊥P A.-------------------------------------6分（Ⅱ）取PC的中点M，连结DM,FM,所以FM∥BC，FM=12 BC，因为GD∥BC，GD=12BC，所以四边形FMDG为平行四边形，所以GF∥DM.又易证BC⊥平面PDC，所以DM⊥BC,又PD=DC,M为PC的中点，所以DM⊥PC.则GF⊥BC且GF⊥PC.又BC⋂PC=C,所以GF⊥平面PCB---------------------------------------------13分（Ⅱ）设 G (1,0,0) 则 FG = (0, -1, -1) ， CB = (2,0,0) ， PC = (0,2, -2) .⎧得 ⎨2 x + y + 2 = 0， 1 1 BF解法二：（Ⅰ）证明：以 D 为原点建立如图空间直角坐标系则 A (2,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)P (0,0,2)F (1,1,1)所以 P A = (2,0, -2) , DC = (0,2,0) .则 P A ⋅ DC = 0 ，所以 P A ⊥ CD . --------------------------6 分⎧⎪ FG ⋅ C B = 0, 又 ⎨⎪⎩ FG ⋅ PC = 0,故 GF ⊥平面 PCB . ------------------------------------------------13 分16.（本题满分 13 分）已知直线 l 经过直线 3x + 4 y - 2 = 0 与直线 2 x + y + 2 = 0 的交点 P ，并且垂直于直线 x - 2 y - 1 = 0 .（Ⅰ）求交点 P 的坐标；（Ⅱ）求直线 l 的方程.解：（Ⅰ）由 ⎨3x + 4 y - 2 = 0， ⎧ x = -2，⎩ ⎩ y = 2，所以 P ( - 2 ， 2 ).--------------------------------------------------5 分（Ⅱ）因为直线 l 与直线 x - 2 y - 1 = 0 垂直，所以 k = -2 ，l所以直线 l 的方程为 2 x + y + 2 = 0 .---------------------------------------13 分17.（本小题满分 13 分）如图，正方体 ABCD - A BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点.（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系 A-xyz,则 A(0，0，0)，A1 D1B1 C1E1E （1，0， ），2A 1（0，0，1） F （ 1，1，0）2ACD.-------------------------------------13 分 5 ,可得 tan α =1AE =(1，0， ),2A1zD11A F =( ，1，-1) 1 2AE ⋅ A F =01B1EC1所以 AE ⊥ A F1所 以 AE 与 A 1F 所 成 角 为 90 °BACFDy-------------------------------------6 分x（Ⅱ）解法 1：∵ ABCD - A BC D 是正方体，1 1 1 1∴BB 1⊥平面 ABCD∴∠EAB 就是 AE 与平面 ABCD 所成角，又 E 是 BB 1 中点，1 在直角三角形 EBA 中，tan ∠EAB = 2解法 2：设 AE 与平面 ABCD 所成角为 α平面 ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1)则sin α =cos< AE , n >= AE ⋅ nAE ⨯ n = 112∴ AE 与平面 ABCD 所成角的正切等于 1 2. ----------------------------------13 分18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) .（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程.解：（Ⅰ）由已知，直线 l 的斜率 k = 3 - 1 = 1，4 - 2所以，直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 .--------------------6 分（Ⅱ）因为圆 C 的圆心在直线 l 上，可设圆心坐标为 (a , a - 1) ，因为圆 C 与 y 轴相切于 (0,3) 点，所以圆心在直线 y = 3 上.所以 a = 4 .所以圆心坐标为 (4,3) ，半径为 4.所以，圆 C 的方程为 ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = 16 .---------------------------13 分AB = AD = CD = 1. 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N .⎩ z = 2⎪ ⎧ ⎩ ⎩19.（本小题满分 14 分）如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ . F 为 P A 中点， PD = 2 ，12(I) 求证： AC // 平面 DEF ； PE(II) 求二面角 A - BC - P 的大小；N(III)在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与F平面 BCP 所成角的大小为 π 6？ 若存在，求 Q 点DC所在的位置；若不存在，请说明理由.AB解：(Ⅰ)连接 FN , 在 ∆PAC 中， F , N 分别为 P A , PC 中点，所以 FN / / AC ,因为 FN ⊂ 平面DEF , AC ⊄ 平面DEF ,所以 AC / / 平面 D EF ----------------------------------5 分(Ⅱ)如图以 D 为原点，分别以 DA , DC , DP 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 D - xyz .zPENFxACD yB则 P (0,0, 2), B (1,1,0), C (0,2,0), 所以 PB = (1,1, - 2), BC = (-1,1,0).⎧m ⋅ PB = ( x , y , z ) ⋅(1,1,- 2) = 0 设平面 PBC 的法向量为 m = ( x , y , z ), 则 ⎨⎪⎩m ⋅ BC = ( x , y , z ) ⋅ (-1,1,0) = 0⎧⎪ x + y - 2 z = 0 ⎪ x = x即 ⎨, 解得 ⎨ , ⎪- x + y = 0 ⎪ z = 2 x⎧ x = 1⎪令 x = 1 ，得 ⎨ y = 1 , 所以 m = (1,1, 2).⎪因为平 面ABC 的法向量 n = (0,0,1),n ⋅ m 2所以 cos n , m = = ，n ⋅ m2由图可知二面角 A - BC - P 为锐二面角，,因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 ，所以 e = c ．所以椭圆 C 的离心率为 ． -----------------------------------5 分k 2 + 1 = 1 ，即 k 2 + 1 = m 2 ．⎧ 3k 2 + 1 3k 2 + 1所以二面角 A - BC - P 的大小为 π.4-----------------------------10 分(Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件，且 Q 点与 E 点重合.1 2由 F ( ,0, ), E (0,2, 2). 设 FQ = λ F E (0 ≤ λ ≤ 1) ，2 21 - λ 2(1 + λ) 整理得 Q ( ,2 λ, ) ， BQ = (-2 21 + λ 2(1 + λ),2 λ - 1, ), 2 2π6π BQ ⋅ m | 5λ - 1| 1所以 sin =| cos BQ , m |=| |== ， 6 BQ ⋅ m 2 19λ 2 - 10λ + 7 2则 λ 2 = 1,由0 ≤ λ ≤ 1知 λ = 1 ，即 Q 点与 E 点重合. -------------------14 分20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知 a 2 = 4 ， b 2 =4 8，所以 c 2 = a 2 - b 2 = ． 3 36 6= a 3 3（Ⅱ）若切线 l 的斜率不存在，则 l : x = ±1．在x 2 3 y 2+ = 1 中令 x = 1 得 y = ±1 ． 4 4不妨设 A (1,1), B (1, -1) ，则 OA ⋅ O B = 1 -1 = 0 ．所以 O A ⊥ OB ．同理，当 l : x = -1时，也有 OA ⊥ OB ．若切线 l 的斜率存在，设 l : y = kx + m ，依题意m由 ⎨ y = kx + m ⎩ x 2 + 3 y 2 = 4，得 (3k 2 + 1)x 2 + 6kmx + 3m 2 - 4 = 0 ．显然 ∆ > 0 ．设 A ( x , y ) ， B ( x , y ) ,则 x + x = - 1 1 2 2 1 2 6km 3m 2 - 4， x x = ．1 2)[( x + x ) - 4 x x ] = 1 + k 1所以 y y = (kx + m )(kx + m ) = k 2 x x + km ( x + x ) + m 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2所以 OA ⋅ O B = x x + y y = (k 2 + 1)x x + km ( x + x ) + m 2 1 21 2 1 2 1 2= (k 2 + 1) 3m 2 - 4 6km - km 3k 2 + 1 3k 2 + 1 + m 2== (k 2 + 1)(3m 2 - 4) - 6k 2m 2 + (3k 2 + 1)m 2 3k 2 + 14m 2 - 4k 2 - 4 3k 2 + 14(k 2 + 1) - 4k 2 - 4 = = 0 ． 3k 2 + 1所以 OA ⊥ OB ．综上所述，总有 O A ⊥ OB 成立． ----------------------------------------------10 分（Ⅲ）因为直线 AB 与圆 O 相切，则圆 O 半径即为 ∆OAB 的高，当 l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 AB = 2 ．则 S∆OAB = 1 .当 l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB = (1+ k 2 2 2 ⋅ ( 1 2 1 2 6km 3m 2 - 4 )2 - 4 ⋅ 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 = ⋅ 9k 2m 2 - (3m 2 - 4)(3k 2 + 1) 3k 2 + 12 1 + k 2 2 1 + k 2 = ⋅ 12k 2 - 3m 2 + 4 = ⋅ 12k 2 - 3(k 2 + 1) + 4 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 =⋅ 9k 2 + 1 ．3k 2 + 1 所以 AB 2 = 4(1+ k 2 )(9k 2 + 1) 4(9k 4 + 10k 2 + 1) 4k 2 = = 4(1+ ) (3k 2 + 1)2 9k 4 + 6k 2 + 1 9k 4 + 6k 2 + 1= 4 + 16 ⋅ k 2 16 4 16 3 = 4 + ≤ 4 + = （ 当 且 仅当 k = ± 9k 4 + 6k 2 + 1 3 3 3 9k 2 + + 6 k 2时，等号成立）．所以AB≤43∆OAB max=.综上所述，当且仅当k=±3时，∆OAB面积的最大值为．-------------------14分23．此时,(S)332333。

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2017-2018学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．i为虚数单位，复平面内表示复数z=（﹣2﹣i）（3+i）的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．3～9岁小孩的身高与年龄的回归模型y=7.2x+74，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是146cm B．身高在146cm以上C．身高在146cm以下D．身高在146cm左右3．已知随机变量X服从二项分布X～B（6，），则EX的值为（）A．3 B．C．D．14．把一枚硬币任意抛掷两次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．5．曲线y=lnx﹣x2在M（x0，y0）处的切线斜率为﹣1，则此切线方程是（）A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣1 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x6．从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有（）A．18个B．27个C．36个D．60个7．（+）4展开式中所有项的系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．818．若f（x）=（x﹣2）2+mlnx在（1，2）上单调递减，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）9．若f（x）=e x，则的值为（）A．3e B．﹣3e C．2e D．﹣2e10．已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|=3（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆二、填空题（每小题4分，共20分.）11．∫04|x﹣2|dx=．12．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．13．函数f（x）=e x+x在[﹣1，1]上的最大值是．14．函数f（x）=ax3﹣5x2+3x﹣2在x=3处有极值，则函数的递减区间为．15．马路上哟编号1，2，3，…，10共10盏灯，现要关掉其中的四盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有种．三、解答题（共40分）.16．求证：﹣＜﹣（a≥3）．17．已知函数f（x）=x3﹣3x；（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．18．甲乙丙三人在进行一项投掷骰子游戏中规定：若掷出1点，甲得1分，若掷出2点或3点，乙得1分；若掷出4点或5点或6点，丙得1分，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙三人的得分．（1）求x=0，y=1，z=2的概率；（2）记ξ=x+z，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．19．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+1，（a∈R）．（1）若f（x）图象上横坐标为1的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；（2）若f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点，求a取值范围；（3）当a=1时，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象于函数f（x）的图象恰有三个不同的交点，若存在，试求出实数m的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．i为虚数单位，复平面内表示复数z=（﹣2﹣i）（3+i）的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：z=（﹣2﹣i）（3+i）=﹣5﹣5i，对应的点的坐标为（﹣5，﹣5），位于第三象限，故选：C2．3～9岁小孩的身高与年龄的回归模型y=7.2x+74，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是146cm B．身高在146cm以上C．身高在146cm以下D．身高在146cm左右【考点】线性回归方程．【分析】根据回归模型为y=7.2x+74，将x=10代入即可得到预测值．【解答】解：根据回归模型为y=7.2x+74，可得当x=10时，y=146cm故可预测10岁时的身高在146cm左右故选：D．3．已知随机变量X服从二项分布X～B（6，），则EX的值为（）A．3 B．C．D．1【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据随机变量X服从二项分布X～B（n，p），EX=np，计算即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布X～B（6，），所以EX=np=6×=．故选：B．4．把一枚硬币任意抛掷两次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】由题意，先计算P（AB），P（A），再利用条件概率公式，即可求得结论．【解答】解：事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，则P（A）=，∴P（AB）=，∴P（B|A）===，故选：C5．曲线y=lnx﹣x2在M（x0，y0）处的切线斜率为﹣1，则此切线方程是（）A．y=﹣x﹣2 B．y=﹣x﹣1 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：y=lnx﹣x2的导数为y′=﹣2x，（x＞0），可得在M（x0，y0）处的切线斜率为﹣2x0=﹣1，解得x0=1（﹣舍去），可得切点为（1，﹣1），即有切线的方程为y+1=﹣（x﹣1），即为y=﹣x．故选：D．6．从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有（）A．18个B．27个C．36个D．60个【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个（不包含0）取1个为百位，再从剩下3个（包含0）取一个为十位，根据分步计数原理可得．【解答】解：先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个（不包含0）取1个为百位，再从剩下3个（包含0）取一个为十位，故有2×3×3=18个，故答案为：18．7．（+）4展开式中所有项的系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．81【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1，即可得出（+）4展开式中所有项的系数和．【解答】解：令x=1，则（+）4展开式中所有项的系数和=（1+2）4=81．故选：D．8．若f（x）=（x﹣2）2+mlnx在（1，2）上单调递减，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】可求导数得到，根据条件便知f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，利用参数分离法转化为求函数的最值即可．【解答】解：据题意，在x∈（1，2）上恒成立；∴x2﹣2x+m≤0恒成立；∴m≤﹣x2+2x恒成立；即m≤﹣（x﹣1）2+1在x∈（1，2）上恒成立；而x∈（1，2）时，0＜﹣（x﹣1）2+1＜1；∴m≤0．故选A．9．若f（x）=e x，则的值为（）A．3e B．﹣3e C．2e D．﹣2e【考点】极限及其运算．【分析】由f′（x）=e x，=﹣3′f（1），能求出结果．【解答】解：∵f（x）=e x，∴f′（x）=e x，∴==﹣3=﹣3′f（1）=﹣3e．故选：B．10．已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|=3（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆【考点】轨迹方程；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义进行判断即可．【解答】解：设Z（x，y），A（0，1），B（0，﹣1），则|z﹣i|+|z+i|=3的几何意义为|ZA|+|ZB|=3＞|AB|，即Z的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故选：D二、填空题（每小题4分，共20分.）11．∫04|x﹣2|dx=4．【考点】定积分．【分析】将：∫04|x﹣2|dx转化成∫02（2﹣x）dx+∫24（x﹣2）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．【解答】解：∫04|x﹣2|dx=∫02（2﹣x）dx+∫24（x﹣2）dx=（2x﹣x2）|02+（x2﹣2x）|24=4故答案为：412．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8．【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．13．函数f（x）=e x+x在[﹣1，1]上的最大值是e+1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求导数，判断导数的符号，从而得出f（x）在[﹣1，1]上单调递增，从而便可求出f（x）的最大值．【解答】解：f′（x）=e x+1＞0；∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增；∴x=1时，f（x）取最大值e+1．故答案为：e+1．14．函数f（x）=ax3﹣5x2+3x﹣2在x=3处有极值，则函数的递减区间为[，3]．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】可求导数f′（x）=3ax2﹣10x+3，从而根据题意f′（3）=0，这样即可求出a=1，从而求出f′（x），并解f′（x）≤0即可求出函数的递减区间．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣10x+3；根据题意，f′（3）=0；∴27a﹣30+3=0；∴a=1；∴f′（x）=3x2﹣10x+3；解f′（x）≤0得，；∴f（x）的递减区间为．故答案为：[，3]．15．马路上哟编号1，2，3，…，10共10盏灯，现要关掉其中的四盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有20种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先将亮的7盏灯排成一排，所以有6个符合条件的空位，即可得到结论．【解答】解：因为关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，所以我使用插空法解决问题，即先将亮的7盏灯排成一排，因为两端的灯不能熄灭，所以有6个符合条件的空位，所以在6个空位中选取3个位置插入熄灭的3盏灯，即有C63=20种．故答案为：20三、解答题（共40分）.16．求证：﹣＜﹣（a≥3）．【考点】不等式的证明．【分析】使用分析法逐步找出使不等式成立的条件即可．【解答】证明：欲证﹣＜﹣，只需证：（）2＜（）2，即2a﹣2﹣2＜2a﹣4﹣2．只需证：＞1+，只需证：a2﹣2a＞a2﹣4a+4+2，即a﹣2＞，只需证：a2﹣4a+4＞a2﹣4a+3，只需证：4＞3．显然，4＞3恒成立，∴﹣＜﹣（a≥3）．17．已知函数f（x）=x3﹣3x；（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）=x3﹣3x的导函数f′（x），分别令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）分别求出两个短点f（﹣3）和f（2）的值以及极值f（﹣1）和f（1）的值，比较一下便可求出f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，若x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数；（II）∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，∴当x=﹣3时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最小值为﹣18．∴当x=﹣1或2时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最大值为2．18．甲乙丙三人在进行一项投掷骰子游戏中规定：若掷出1点，甲得1分，若掷出2点或3点，乙得1分；若掷出4点或5点或6点，丙得1分，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙三人的得分．（1）求x=0，y=1，z=2的概率；（2）记ξ=x+z，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设事件A表示“投掷一次骰子甲得一分”，事件B表示“投掷一次骰子乙得一分”，事件C表示“投掷一次骰子丙得一分”，由已知得P（A）=，P（B）=，P（C）=，从而能求出x=0，y=1，z=2的概率．（2）X=0，1，2，3；Y=0，1，2，3；Z=0，1，2，3．但是只得3次分，因而必须满足X+Y+Z=3，随机变量ξ的样本空间为{0，1，2，3}，事实上ξ=3﹣Y，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设事件A表示“投掷一次骰子甲得一分”，事件B表示“投掷一次骰子乙得一分”，事件C表示“投掷一次骰子丙得一分”，则P（A）=，P（B）=，P（C）=，∴x=0，y=1，z=2的概率p=（）3C（）（）2=．（2）X=0，1，2，3；Y=0，1，2，3；Z=0，1，2，3．但是只得3次分，因而必须满足X+Y+Z=3，随机变量ξ的样本空间为{0，1，2，3}事实上ξ=3﹣Y，∴P（ξ=0）=P（Y=3）=（）3=，P（ξ=1）=P（Y=2）==，P（ξ=2）=P（Y=1）==，P（ξ=3）=P（Y=0）=（）3=，ξE（ξ）==2．19．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+1，（a∈R）．（1）若f（x）图象上横坐标为1的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；（2）若f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点，求a取值范围；（3）当a=1时，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象于函数f（x）的图象恰有三个不同的交点，若存在，试求出实数m的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求出函数的导数，再由f′（1）=0求解a．（2）将“f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点”转化为“方程f′（x）=0在区间（﹣1，2）内有两个不同的实根”，用△＞0求解．（3）a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2（x2﹣4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x2﹣4x+1﹣m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．【解答】解：（1）依题意，f′（1）=0∵f′（x）=﹣3x2+2ax﹣3（1）2+2•a•1=0，∴a=；（2）若f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点，则方程f′（x）=﹣3x2+2ax=0在区间（﹣1，2）内有两个不同的实根，∴△＞0，f′（﹣1）＜0，f′（2）＜0，﹣1＜＜2，解得：﹣＜a＜3且a≠0但a=0时，f（x）=﹣x3+1无极值点，∴a的取值范围为（﹣，0）∪（0，3）；（3）a=1时，f（x）=﹣x3+x2+1，要使函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点，等价于方程﹣x3+x2+1=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1，即方程x2（x2﹣4x+1﹣m）=0恰有三个不同的实根．∵x=0是一个根，∴应使方程x2﹣4x+1﹣m=0有两个非零的不等实根，由△=16﹣4（1﹣m）＞0，1﹣m≠0，解得m＞﹣3，m≠1，∴存在m∈（﹣3，1）∪（1，+∞），使用函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点．2018年8月1日。

宝鸡市渭滨中学2016-2017学年第一学期10月月考数学（理科）一、选择题(本大题共10小题，共50分)1.观察此数列1，3，6，10，x，21，28，…，项之间的关系并推测出x的值是（）A.12B.15C.17D.182.已知a n+1-a n-3=0，则数列{a n}是（）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不确定3.等比数列{a n}的前3项的和等于首项的3倍，则它的公比为（）A.-2B.1C.-2或1D.2或-14.等差数列{a n}中，若a2+a8=15-a5，则a5的值为（）A.3B.4C.5D.65.设等差数列前n项和为S n，S10=100，S20=400，则S30等于（）A.800B.900C.1000D.11006.数列1，37，314，321，…，中，328是这个数列的（）A.第13项B.第4项C.第5项D.不在此数列中7.在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定8.设数列{a n}是等差数列，且a2=-8，a15=5，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A.S10=S11B.S10＞S11C.S9=S10D.S9＜S109.正项等比数列{a n}中，a n+1＜a n，a2•a8=6，a4+a6=5，则=（）A. B. C. D.10.等比数列{a n}中，a1=32，公比q=-，则a6的值为（）A.2B.1C.-1D.二、填空题(本大题共5小题，共25分)11.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-3，则数列{a n}的通项公式为______ ．12.数列1+，2+，3+，…，n+，…的前10项和是______ ．13.+1的等比中项是______ ．14.在△ABC中，若AB=，AC=5，且cos C=，则BC= ______ ．15.数列{a n}的前n项和S n=n2-2n+5，则它的通项公式是______ ．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16.已知：等差数列{a n}中，a4=14，前10项和S10=185．求首项a1和a n．17.已知等差数列{a n}满足a3•a7=-12，a4+a6=-4．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）当数列{a n}的公差小于零时，求n取何值时，前n项和S n有最大值，并求出它的最大值．18.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和公式．19.已知{a n}是等差数列，其中a7=-2，a20=-28．（1）求{a n}的通项；（2）求S n的最大值及S n取最大值时n的值．20.已知{a n}是首项为19，公差为-2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（1）求通项a n及S n；（2）设{b n-a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．21.在数列{a n}中，a1=1，；（1）设．证明：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．2016-2017学年第一学期10月月考数学（理科）答案和解析【答案】1.B2.A3.C4.C5.B6.C7.C8.C9.D 10.C11.12.56-13.14.4或515.16.解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=14，前10项和S10=185．∴，解得首项a1=5，d=3．∴a n=5+3（n-1）=3n+2．17.解：（1）∵等差数列{a n}满足a3•a7=-12，a4+a6=a3+a7=-4，∴a3，a7是一元二次方程x2+4x-12=0，解方程x2+4x-12=0，得x1=-6，x2=2，当a3=-6，a7=2时，，解得a1=-10，d=2，a n=-10+（n-1）×2=2n-12；当a3=2，a7=-6时，，解得a1=6，d=-2，a n=6+（n-1）×（-2）=-2n+8．（2）∵数列{a n}的公差小于零，∴a1=6，d=-2，∴=-n2+7n=-（n-）2+，∴当n=3或n=4时，S n有最大值S3=S4=-=12．18.解：（Ⅰ）设公差为d，且d≠0，∵S3=a4+6，且a1，a4，a13成等比数列∴3a1+3d=a1+3d+6，（a1+3d）2=a1（a1+12d）∴a1=3，d=2∴a n=3+2（n-1）=2n+1；（Ⅱ）S n==n（n+2），∴==∴数列{}的前n项和为==．19.解：在等差数列{a n}中，由a7=-2，a20=-28，得．（1）a n=a7+（n-7）×（-2）=-2-2（n-7）=12-2n；（2）a1=12-2=10，=，∴当n=5或6时，（S n）max=30．20.解：（1）因为a n是首项为a1=19，公差d=-2的等差数列，所以a n=19-2（n-1）=-2n+21，．（2）由题意b n-a n=3n-1，所以b n=a n+3n-1，=21-2n+3n-1T n=S n+（1+3+32+…+3n-1）=．21.解：（1）∵，∴．∵，∴b n+1=b n+1，∴数列{b n}是以=1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知：b n=1+（n-1）×1=n．∴，∴．【解析】1. 解：由数列1，3，6，10，x，21，28，…，可得：3-1=2，6-3=3，10-6=4，∴x-10=5，解得x=15．21-15=6，28-21=7，…．因此x=15．故选：B．由数列1，3，6，10，x，21，28，…，可得：3-1=2，6-3=3，10-6=4，可得x-10=5，解得x．本题考查了数列的通项公式之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 解：因为a n+1-a n-3=0，所以数列是等差数列，由于公差是3．所以数列是递增数列．故选A．通过数列的关系式，判断数列是等差数列，通过公差判断数列的增减性．本题考查数列的函数特征，数列的单调性的判断，基本知识的应用．3. 解：设等比数列的首项为a1，公比为q，则a1+a1q+a1q2=3a1，∵a1≠0，∴1+q+q2=3，∴q2+q-2=0∴q=-2或q=1故选C．利用等比数列的通项公式，建立等式，即可求得等比数列的公比．本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于基础题．4. 解：由题意得，a2+a8=15-a5，所以由等差数列的性质得a2+a8=2a5=15-a5，解得a5=5，故选：C．由等差数列的性质化简已知的式子，从而求出a5的值．本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于基础题．5. 解：在等差数列中，S10，S20-S10，S30-S20，也成等差数列，∵S10=100，S20=400，∴100，400-100，S30-400，也成等差数列，即100，300，S30-400成等差数列，∴S30-400+100=600，解得S30=900．故选：B．根据等差数列中S10，S20-S10，S30-S20，也成等差数列建立条件关系即可求出结论．本题主要考查等差数列的性质的应用，要求熟练掌握在等差数列中，S n，S2n-S n，S3n-S2n，也成等差数列的性质．6. 解：数列的指数分别为0，7，14，21，…，则指数构成公差d=7的等差数列，则指数对应的通项公式为a n=0+7（n-1）=7n-7，由7n-7=28，解得n=5∈N，故328在此数列中，是第5项，故选：C．根据数列指数的特点先求出数列的通项公式，即可得到结论．本题主要考查数列的概念和简单表示，根据指数幂的规律是解决本题的关键．7. 解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cos C=∴∴△ABC是钝角三角形故选C由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得C os C=可判断C的取值范围本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题8. 解：∵a2=-8，a15=5，设公差为d，则d=，∴a n=n-10，因此S9=S10是前n项和中的最小值，选择C．根据等差数列的两项的值，求出数列的公差，写出数列的通项，根据通项可以看出第十项的值等于0，得到前十项和前九项的和相等．本题考查等差数列的性质，本题解题的关键是看出第十项等于0，本题也可以根据前n项之和的公式求解．9. 解：因为正项等比数列{a n}中，a n+1＜a n，a2•a8=6，a4+a6=5，所以a4•a6=6，a4+a6=5，解得a4=3，a6=2，=．故选D．通过已知条件，求出a4，a6，通过等比数列的性质推出的值．本题考查等比数列的基本运算，性质的应用，考查计算能力．10. 解：在等比数列{a n}中，由a1=32，公比q=-，得．故选C．直接利用等比数列的通项公式求解．本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．11. 解：∵数列{a n}的前n项和为S n=2n-3，∴当n≥2时，s n-1=2n-1-3；此时a n=s n-s n-1=（2n-3）-（2n-1-3）=2n-1；当n=1时，a1=s1=2-3=-1，不满足a n；∴数列{a n}的通项公式为：a n=．故答案为：a n=．由数列{a n}的前n项和为S n=2n-3，得n≥2时，s n-1=2n-1-3，得出a n=s n-s n-1；验证n=1时，a1=s1是否满足a n即可．本题考查了由数列{a n}的前n项和公式S n推导通项公式a n的计算问题；解题时，需验证n=1时，a1=s1是否满足a n．12. 解：数列1+，2+，3+，…，n+，…的前10项和=（1+2+…+10）+=+=56-．故答案为：56-．分组利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 解：+1与-1的等比中项为：=．故答案为：．利用等比中项公式：若a，b，c成等比数列，则b2=ac，即可求解．本题考查两个数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意等比中项公式的灵活运用．14. 解：由余弦定理：c2=a2+b2-2abcos Ca=BC，b=AC，c=ABcos C=，∴，∴10a2+200-90a=0，即：a2-9a+20=0，（a-4）（a-5）=0，解得：a=4，a=5，BC=4或5．故答案为：4或5．直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，得到BC的方程，求出BC的值，即可得到结论．本题是基础题，考查三角形中余弦定理的应用，考查计算能力，本题也可以利用正弦定理求出角，然后求解BC．15. 解：由S n=n2-2n+5，当n=1时，a1=S1=4；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-2n+5-[（n-1）2-2（n-1）+5]=3-2n．验证n=1时上式不成立．∴．故答案为：．在数列递推式中取n=1求首项，当n≥2时，得到a n=S n-S n-1=3-2n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，关键是注意验证n=1时的情况，是中档题．16.设等差数列{a n}的公差为d，由于a4=14，前10项和S10=185．可得，解出即可．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（1）由已知得a3，a7是一元二次方程x2+4x-12=0的两个根，解方程x2+4x-12=0，得x1=-6，x2=2，从而得到a3=-6，a7=2或a3=2，a7=-6，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）当数列{a n}的公差小于零时，a1=6，d=-2，由此求出S n，利用配方法能求出n取何值时，前n项和S n有最大值，并能求出它的最大值．本题考查等差数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.（Ⅰ）利用S3=a4+6，且a1，a4，a13成等比数列，建立方程，求得首项与公差，可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）确定数列{}的通项，利用裂项法，可求数列的和．本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19.由已知求出等差数列的公差．（1）直接代入等差数列的通项公式得答案；（2）由通项公式求出首项，代入等差数列的前n项和后利用配方法求解．本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是中档题．20.（1）直接代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求a n及S n（2））利用等比数列的通项公式可求b n-a n，结合（1）中的a n代入可求b n，利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，等比数列的通项公式，分组求和及等比数列的求和公式等知识的简单运用．21.（1）由于，可得．由于，于是得到b n+1=b n+1，因此数列{b n}是等差数列．（2）由（1）利用等差数列的通项公式可得：b n，进而得到a n．本题考查了可化为等差数列的数列的通项公式的求法、等差数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．。

2015-2016学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）i为虚数单位，复平面内表示复数z＝（﹣2﹣i）（3+i）的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）3～9岁小孩的身高与年龄的回归模型y＝7.2x+74，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高一定是146cm B．身高在146cm以上C．身高在146cm以下D．身高在146cm左右3．（4分）已知随机变量X服从二项分布X～B（6，），则EX的值为（）A．3B．C．D．14．（4分）把一枚硬币任意抛掷两次，事件A＝“至少一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．5．（4分）曲线y＝lnx﹣x2在M（x0，y0）处的切线斜率为﹣1，则此切线方程是（）A．y＝﹣x﹣2B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x+1D．y＝﹣x6．（4分）从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有（）A．18个B．27个C．36个D．60个7．（4分）（+）4展开式中所有项的系数和为（）A．16B．32C．64D．818．（4分）若f（x）＝（x﹣2）2+mlnx在（1，2）上单调递减，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）9．（4分）若f（x）＝e x，则的值为（）A．3e B．﹣3e C．2e D．﹣2e10．（4分）已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝3（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆二、填空题（每小题4分，共20分.）11．（4分）∫04|x﹣2|dx＝．12．（4分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．13．（4分）函数f（x）＝e x+x在[﹣1，1]上的最大值是．14．（4分）函数f（x）＝ax3﹣5x2+3x﹣2在x＝3处有极值，则函数的递减区间为．15．（4分）马路上有编号1，2，3，…，10共10盏灯，现要关掉其中的四盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有种．三、解答题（共40分）.16．（8分）求证：﹣＜﹣（a≥3）．17．（8分）已知函数f（x）＝x3﹣3x；（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．18．（12分）甲乙丙三人在进行一项投掷骰子游戏中规定：若掷出1点，甲得1分，若掷出2点或3点，乙得1分；若掷出4点或5点或6点，丙得1分，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙三人的得分．（1）求x＝0，y＝1，z＝2的概率；（2）记ξ＝x+z，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．19．（12分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+1，（a∈R）．（1）若f（x）图象上横坐标为1的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；（2）若f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点，求a取值范围；（3）当a＝1时，是否存在实数m，使得函数g（x）＝x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象于函数f（x）的图象恰有三个不同的交点，若存在，试求出实数m的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．【解答】解：z＝（﹣2﹣i）（3+i）＝﹣5﹣5i，对应的点的坐标为（﹣5，﹣5），位于第三象限，故选：C．2．【解答】解：根据回归模型为y＝7.2x+74，可得当x＝10时，y＝146cm 故可预测10岁时的身高在146cm左右故选：D．3．【解答】解：随机变量X服从二项分布X～B（6，），所以EX＝np＝6×＝．故选：B．4．【解答】解：事件A＝“至少一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P（A）＝，∴P（AB）＝，∴P（B|A）＝＝＝，故选：C．5．【解答】解：y＝lnx﹣x2的导数为y′＝﹣2x，（x＞0），可得在M（x0，y0）处的切线斜率为﹣2x0＝﹣1，解得x0＝1（﹣舍去），可得切点为（1，﹣1），即有切线的方程为y+1＝﹣（x﹣1），即为y＝﹣x．故选：D．6．【解答】解：先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个（不包含0）取1个为百位，再从剩下3个（包含0）取一个为十位，故有2×3×3＝18个，故选：A．7．【解答】解：令x＝1，则（+）4展开式中所有项的系数和＝（1+2）4＝81．故选：D．8．【解答】解：据题意，在x∈（1，2）上恒成立；∴x2﹣2x+m≤0恒成立；∴m≤﹣x2+2x恒成立；即m≤﹣（x﹣1）2+1在x∈（1，2）上恒成立；而x∈（1，2）时，0＜﹣（x﹣1）2+1＜1；∴m≤0．故选：A．9．【解答】解：∵f（x）＝e x，∴f′（x）＝e x，∴＝＝﹣3＝﹣3f′（1）＝﹣3e．故选：B．10．【解答】解：设Z（x，y），A（0，1），B（0，﹣1），则|z﹣i|+|z+i|＝3的几何意义为|ZA|+|ZB|＝3＞|AB|，即Z的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故选：D．二、填空题（每小题4分，共20分.）11．【解答】解：∫04|x﹣2|dx＝∫02（2﹣x）dx+∫24（x﹣2）dx＝（2x﹣x2）|02+（x2﹣2x）|24＝4故答案为：412．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，正四面体都是等边三角形，两个正四面体高的比为1：2，则它们的体积比为1：8．故答案为：1：8．13．【解答】解：f′（x）＝e x+1＞0；∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增；∴x＝1时，f（x）取最大值e+1．故答案为：e+1．14．【解答】解：f′（x）＝3ax2﹣10x+3；根据题意，f′（3）＝0；∴27a﹣30+3＝0；∴a＝1；∴f′（x）＝3x2﹣10x+3；解f′（x）≤0得，；∴f（x）的递减区间为．故答案为：[，3]．15．【解答】解：因为关掉的四盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，所以使用插空法解决问题，即先将亮的6盏灯排成一排，因为两端的灯不能熄灭，所以有5个符合条件的空位，所以在5个空位中选取4个位置插入熄灭的4盏灯，即有C54＝5种．故答案为：5三、解答题（共40分）.16．【解答】证明：欲证﹣＜﹣，只需证：（）2＜（）2，即2a﹣2﹣2＜2a﹣4﹣2．只需证：＞1+，只需证：a2﹣2a＞a2﹣4a+4+2，即a﹣2＞，只需证：a2﹣4a+4＞a2﹣4a+3，只需证：4＞3．显然，4＞3恒成立，∴﹣＜﹣（a≥3）．17．【解答】解：（I）∵f（x）＝x3﹣3x，∴f'（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）．令f'（x）＝0，得x＝﹣1，x＝1．若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，若x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数；（II）∵f（﹣3）＝﹣18，f（﹣1）＝2，f（1）＝﹣2，f（2）＝2，∴当x＝﹣3时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最小值为﹣18．∴当x＝﹣1或2时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最大值为2．18．【解答】解：（1）设事件A表示“投掷一次骰子甲得一分”，事件B表示“投掷一次骰子乙得一分”，事件C表示“投掷一次骰子丙得一分”，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，∴x＝0，y＝1，z＝2的概率p＝（）3（）（）2＝．（2）X＝0，1，2，3；Y＝0，1，2，3；Z＝0，1，2，3．但是只得3次分，因而必须满足X+Y+Z＝3，随机变量ξ的样本空间为{0，1，2，3}事实上ξ＝3﹣Y，∴P（ξ＝0）＝P（Y＝3）＝（）3＝，P（ξ＝1）＝P（Y＝2）＝＝，P（ξ＝2）＝P（Y＝1）＝＝，P（ξ＝3）＝P（Y＝0）＝（）3＝，∴ξ的分布列：E（ξ）＝＝2．19．【解答】解：（1）依题意，f′（1）＝0∵f′（x）＝﹣3x2+2ax﹣3（1）2+2•a•1＝0，∴a＝；（2）若f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点，则方程f′（x）＝﹣3x2+2ax＝0在区间（﹣1，2）内有两个不同的实根，∴△＞0，f′（﹣1）＜0，f′（2）＜0，﹣1＜＜2，解得：﹣＜a＜3且a≠0但a＝0时，f（x）＝﹣x3+1无极值点，∴a的取值范围为（﹣，0）∪（0，3）；（3）a＝1时，f（x）＝﹣x3+x2+1，要使函数f（x）与g（x）＝x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点，等价于方程﹣x3+x2+1＝x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1，即方程x2（x2﹣4x+1﹣m）＝0恰有三个不同的实根．∵x＝0是一个根，∴应使方程x2﹣4x+1﹣m＝0有两个非零的不等实根，由△＝16﹣4（1﹣m）＞0，1﹣m≠0，解得m＞﹣3，m≠1，∴存在m∈（﹣3，1）∪（1，+∞），使用函数f（x）与g（x）＝x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点．。

2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。

陕西省宝鸡中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为( )A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 2.用反证法证明命题“三角形的内角至多一个钝角”时，假设正确的是 ( ) A ．假设至少一个钝角 B ．假设没有钝角C ．假设至少有两个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 3.在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点，O 为极点，则AOB ∠的大小为 ( ) A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 4.若01b a <<<，则下列不等式成立的是 ( ) A ．21ab b << B ．112211log log b a> C.222b a << D ．21a ab << 5.直线112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于,A B 两点，则线段AB 的中点坐标为 ( )A ．()3,3- B．()C.)3- D．(3,6.ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，那么b 等于 ( ) AB．1D．27. 已知{}{}0,1,2,1,1,3,5a b ∈∈-，则函数()22f x ax bx =-在区间()1,+∞上为增函数的概率是( ) A ．512 B ．13C.14 D ．16 8. 若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是( )A ．()0,1B ．()1,0- C. (),1-∞- D ．()(),10,-∞-⋃+∞ 9.已知下列四个结论：①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④ 若0x >，则sin x x >恒成立 其中正确结论的个数是( )A ．4个B ．3个 C. 2个 D ．1个10.已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．⎡⎢⎣⎦B ．1⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ C.D ．12⎤+⎥⎦11. 已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12zS xyz+=的最小值为( )A ．3B ．)312C. 4 D ．)2112. 已知函数()()331,2x f x x x g x a =--=-，若对任意[]10,2x ∈，存在[]20,2x ∈使得()()122f x g x -≤，则实数a 的取值范围是( )A ．[]1,5B ．[]2,5 C.[]2,2- D ．[]5,9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）13. 若任意x A ∈，则1A x ∈，就称A 是“和谐”集合，则在集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空集合中，“和谐”集合的概率是．14. 已知函数()tan 0y x ωω=>的图像与y m =（m 为常数）的图像相交的相邻两交点间的距离为2π，则=ω．15.若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图像经过点()0,3A 和()3,1B -，则不等式()112f x +-<的解集是． 16.变量,x y满足x y ⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是．17.已知a b c >>，且19m a b b c a c+≥---恒成立，则正数m 的取值范围是． 三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y ϕϕ⎧⎪⎨⎪⎩（ϕ为参数），直线l的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标方程为2π⎫⎪⎭.（1）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，求PA PB +的值. 19.已知函数()22sin 214f x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（1）若存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()01f x =，求0x 的值；（2）设条件5:,66p x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，条件():3q f x m -<-<，若p 是q 的充分条件，求实数m 的范围.20. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择． 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．（1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X （元）的分布列； （2）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 21. 设()()11f x x x x R =-++∈ （1）求证:()2f x ≥； （2）若不等式()211b bf x b+--≥对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围.22.已知函数()xe f x x=（1）求曲线()y f x =在点22,2e P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程；（2）证明:()()2ln f x x x >-.试卷答案一、选择题1-5: CCCCD 6-10:BADBD 11、12：CB 二、填空题 13.117 14.12 15.()1,2- 16.2317.[)4,+∞ 三、解答题18.（1）P 点的坐标为(曲线C 的普通方程为221515x y +=（2）点P 在直线上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得: 2280t t +-=，设其两根为12,t t ，则12122,8t t t t +==-由参数的几何意义知:12126PA PB t t t t +=+=-=19.解：（1）()1cos 221sin 222f x x x x x π⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令()01f x =，则02sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即01sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则02,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以05236x ππ+=，解得04x π=（2）因为p 是q 的充分条件，则当5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()3f x m -<-<即()3m f x m -<恒成立，所以()min 3m f x -<且()max m f x当5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,233x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而sin 23x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()f x =2sin 23x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭. 由32m m -<-⎧⎪⎨⎪⎩01m <<故m 的取值范围是()0,1.20. 解：（1）()141170552525P X ==+⨯⨯=，()412500525P X ==⨯=，()4148100052525P X ==⨯⨯=，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X （元）的分布列为（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值()285001000520525E X =⨯+⨯=，若选择方案乙进行抽奖中奖次数23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～，则()26355E ξ=⨯=，抽奖所获奖金X 的均值()()()400400480E X E E ξξ===， 故选择方案甲较划算．21.证明:()1111112f x x x x x x x =-++=-+-≥-+-= 即()2f x ≥ （2）令()211b bg b b+--=，则()2112113b bb bg b bb+--+-+=≤=∴()3f x ≥，即113x x -++≥ 化简得123x x ≤-⎧⎨-≥⎩或1123x -<≤⎧⎨≥⎩或123x x >⎧⎨≥⎩解得32x ≤-或32x ≥22.解：（1）∵()x e f x x =，∴()()21x e x f x x -'=，()224e f =，又切点为22,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以切线方程为()22224e e y x -=-，即40x e y -=（2）证明:设函数()()()2ln 22ln xe g xf x x x x x x=--=-+，()()()221x e x x g x x --'=， ()0,x ∈+∞设()()2,0,x h x e x x =-∈+∞，则()2x h x e '=-，令()0h x '=，则ln 2x = 所以()()0,ln 2,0x h x '∈<；()()ln 2,,0x h x '∈+∞> 则()()ln 222ln 20h x h ≥=-> 令()0g x '=得1x =所以()()0,1,0x g x '∈<；()()1,,0x g x '∈+∞> 所以()()min 120g x g e ==-> 所以当()()()0,,2ln x f x x x ∈+∞>-。