2011高数2章习题课

2011级高数(上)试题及答案D（B ）)(x f 在0x 点有定义；（C ）)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =4．若314lim 1x x ax b x →-++=+，则（ ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b = （C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =- 5．设xe2为)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ ）（A ）C e x +221 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-2221 （D ）C e xe x x +-222 三、计算题（每小题 6分，共30分）1．求极限22sin lim2sin x x x x x x →-+2．求极限cot 0lim(cos )xx x →3．计算⎰dx x sin4．计算 22(1)x xx edx ++⎰5．计算dx x x ⎰-3 022四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-220cos y axtdt t dt e确定，求dx dy 和22d ydx2．设232,sin 10y x t t dydx e t y ⎧=+⎨-+=⎩求五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1．求曲线53(1)y x x=-的凹凸区间及拐点2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．六、证明题（本题满分8分）设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，使得：dx x f g dx x g f ab⎰⎰=ξξξξ)()()()(．南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设2()xf x e =，则[()]f f x =22x ee2. 若⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,1sin 0,)(2x x x x a x x f 在0=x 处连续，则a =0。

2０XX 年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学(必修+选修ＩＩ)一、选择题:(每小题５分,共60分）１．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ）A.2i - Ｂ．i - C ．i Ｄ．2i2．函数y =0x ≥）的反函数为（ ）A ．24x y =(x R ∈） Ｂ．24x y =（0x ≥） C ．24y x =(x R ∈) D ．24y x =（0x ≥)3．下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要条件是( )A.1a b >+ Ｂ.1a b >- C ．22a b >D ．33a b >４.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =,公差2d =，224k k S S +-=,则k =（ ）Ａ．8 Ｂ.7 C.6D.55.设函数()cos f x x ω=(0ω>),将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13Ｂ.3 C.6 D.9６．已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足，若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于（ )Ａ．3B ． C. D ．1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给４位朋友，每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )A.4种 B ．１0种 Ｃ．18种D ．20种8.曲线21x y e -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A.13 Ｂ．12 C ．23 Ｄ．19．设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()()21f x x x =-,则5()2f -=（ )Ａ.12- B.14- Ｃ.14 D ．1210.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线24y x =-与C 交于,A B 两点,则cos AFB ∠=（ ）A ．45 B ．35 C ．35- D.45- １1．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为（ ）A ．7πB ．9π C.11πD.13π12．设向量,,a b c 满足011,,,602a b a b a c b c ==⋅=---=,则c 的最大值等于( )A ．2B ．C ．。

【最新整理，下载后即可编辑】课程习题 第一章 函数与极限1．填空题 （1）设421)1(x x x x f +=+ )0(≠x ，则=)(x f 。

（2）设xxx f πsin ln )(=，则)(x f 的一个可去间断点为=x 。

（3）若x x →时，)(x α与)(x β是等价无穷小，则=++→)](1ln[)](1ln[lim0x x x x βα 。

2．单项选择题：（1）xxe x y cos sin =在（+∞∞-,）内为（ ）（A ）周期函数。

(B) 偶函数。

(C ) 有界函数。

(D) 单调函数。

（2）当1→x 时,函数11211---x ex x 的极限( )(A) 等于2。

(B) 等于0。

(C) 为无穷大。

(D) 不存在但也不为无穷大。

（3）设)(x f 是定义在[b a ,]上的单调增加函数，),(0b a x ∈，则（ ）（A ）)0(0-x f 存在但)0(0+x f 不一定存在。

（B ）)0(0+x f 存在但)0(0-x f 不一定存在。

（C ）)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在但)(lim 0x f x x →不一定存在。

(D) )(lim 0x f x x →一定存在。

（4）当0→x 时，6（x x sin +）是3x 的（ ）（A ）高阶无穷小。

（B ）同阶但非等价无穷小。

（C ）低阶无穷小。

（D ）等价无穷小。

3．设⎩⎨⎧-+=21)(x x x f3111≤<<≤-x x ，b a x f x ++=)()(ϕ，试确定ba ,之值，使)(x ϕ为奇函数。

4．利用数列极限的N -ε定义231223lim=-+∞→n n n 。

5．求下列极限：（1）)111)(110()110()13()12()1(lim2222--++++++++∞→x x x x x x x（2）xx x x x 23151lim20+--+→ （3）xx x x 3)1212(lim -+∞→（4）x x x 2cot )2(lim 2ππ-→（5）3442lim2+++-∞→x x x x（6）]ln sin )1ln([sin lim n n n -+∞→ （7）)332211(lim 2222n n n nn n n n n n n ++++++++++++∞→6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x ax x x x f 1)1(2sin )(00><x x ，求常数a ，使)(lim 0x f x →存在 7．讨论函数极限：xxx cos 1lim0-→。

2021年高考数学选择题专题练习〔二〕1、如果复数miim ++12是纯虚数，那么实数m 等于 ( ) A.-1 B.0 C.0或-1 D.0或12、等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，假设3213+-=n n T S n n ，那么=1010b a [来源:学科网] (A)23 (B)1314 (C)2329 (D)41563、直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为( )A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.3或134、定义在R 上的函数，满足)2()()(+=x f x f x f ]5,3[∈x 当时，|4|2)(--=x x f ，那么以下不等式一定成立的是 〔 〕A ．)6(cos )6(sinππf f <B ．)1(cos )1(sin f f >C ．)32(sin )32(cos ππf f >D ．)2(sin )2(cos f f >5、“22<-<b a 且〞是“函数[)+∞-∈-+=,1,)(x ax bx x f 是增函数〞的 〔 〕A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆M 与抛物线的准线l 的位置关系为〔 〕A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定7、奇函数)(,)(2121x x x x x f ≠对任意的正实数恒有0))()()((2121>--x f x f x x ，那么一定正确的选项是〔 〕[来源:学科网]A ．)6()4(->f fB ．)6()4(-<-f fC ．)6()4(->-f fD ．)6()4(-<f f8、动圆过点〔1，0〕，且与直线1-=x 相切，那么动圆圆心的轨迹方程为〔 〕A ．122=+y x B ．122=-y x C ．x y 42=D ．0=x9、设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，以下命题中真命题的是〔 〕A ．c b c b ////⇒⎭⎬⎫⊂αα B ．αα////c c b b ⇒⎭⎬⎫⊂ C ．αβα////c c c ⇒⎭⎬⎫⊥D ．ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c //10、符号[x]表示不超过x 的最大整数，如].[}{,2]08.1[,3][x x x -=-=-=定义函数π给出以下四个命题：①函数}{x 的定义域是R ，值域为[0，1]；②方程21}{=x 有无数个解；③函数}{x 是周期函数；④函数}{x 是增函数，其中正确命题的序号有 〔 〕A ．②③B ．①④C ．③④D ．②④参考答案CDACA BCCCA。

2011年专生本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题1．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．已知函数f(x)的导函数f’(x)=3x2-x-1，则曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率是A．3B．5C．9D．11正确答案：C3．A．B．C．D．正确答案：B4．已知函数f(x)在区间(-∞，+∞)单调增加，则使f(x)＞f(2)成立的x的取值范围是A．(2，+∞)B．(-∞，0)C．(-∞，2)D．(0，2)正确答案：A5．设函数y=cosx+1，则dy= A．(sin x+1)dxB．(cos x+1)dxC．-sin xdxD．sin xdx正确答案：C6．∫(x-sinx)dx=A．x2+cos x+CB．x2/2+cos+CC．x2-sin x+CD．(x2/2)-sin x+C正确答案：B7．A．0B．1C．2D．π正确答案：A8．A．3x2B．3x2+3y2C．y4/4D．3y2正确答案：D9．A．2y3B．6xy2C．6y2D．12xy正确答案：A10．随机事件A与B为互不相容事件，则P(AB)=A．P(A)十P(B)B．P(A)P(B)C．1D．0正确答案：D填空题11．正确答案：012．正确答案：113．曲线y=2x2在点(1，2)处的切线方程为y=____________。

正确答案：4x-214．设函数y=sinx，则y”‘____________。

正确答案：-cos x15．函数y=(x2/2)-x的单调增加区间是_____________。

正确答案：(1，+∞)16．∫x5dx=____________。

正确答案：17．正确答案：x+arctan x18．正确答案：2/319．设函数z=ex+y，则dz=__________。

正确答案：exdx+dy20．正确答案：0。

2011数二真题及解析题目一题目描述已知函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，且f(1)=2，f(2)=1，求函数f(f)的解析式。

解析由题目已知，函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，即在该区间上f′(f)<0。

又根据函数的导数的性质，有f′(f)=2f+f。

因此，要使f(f)在区间[1,2]上为减函数，必须满足f′(f)< 0，即2f+f<0。

又知道f(1)=2，即将f=1代入f(f)的解析式，得到1+ f+f=2，即f+f=1。

再将f(2)=1，即将f=2代入f(f)的解析式，得到4+2f+f=1，即2f+f=−3。

将f+f=1和2f+f=−3联立，可以求解得到f=−2和f=3。

因此，函数f(f)的解析式为f(f)=f2−2f+3。

题目二题目描述设随机变量f的概率密度函数为$ f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{0<x<1} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $求常数f的值。

解析根据随机变量的概率密度函数的性质，概率密度函数f(f)需要满足以下两个条件：1.$f(x) \\geq 0$，即在定义区间内，概率密度函数的取值不能为负。

2.$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = 1$，即概率密度函数的积分等于1。

由题目已知条件可知，在定义区间0<f<1内，$f(x)\\geq 0$，因此可以得到$kx^2 \\geq 0$，即$k \\geq 0$。

又根据第二个条件，计算概率密度函数的积分：$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = \\int_{0}^{1} kx^2 dx = \\frac{k}{3}x^3 \\Bigg|_{0}^{1} = \\frac{k}{3}$根据第二个条件可知$\\frac{k}{3}=1$，因此f=3。

2011年春季学期高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（本大题共20分，共 10 小题，每小题 2 分）1. 设fxx (x,y)=A,fxy(x,y)=B,fyy(x,y)=C，那么在f(x,y)的驻点处（x，y）取得极大值的条件是( ).A.B.C.D.2. 设，则以下结果正确的是：（）A.B.C.D.3. 设，u=cos x , v=sin x ,则=（）A. 0B. -1C. 1D. 24. 设f(x,y)=xy+x2+y3，则=( )A. 1B. 2C. 12D. -25. 给定函数与z2=x-y则有（）A. z1和 z2是相同的函数B. 当x≥y时，两者相同C. 当x≤y时，两者相同D. 所有情况下两者都是完全不同的函数6. 设u=ln(x+y2+z3)，则=（）A.B.C.D.7. 如果函数z=f(x,y)的偏导数y在点（x，y）连续，则函数在该点( )A. 不一定可微B. 一定可微C. 不一定连续D. 不能确定情况8. 设函数，则等于（） A. B. C.D.9. 函数在x=-2,y=3的全微分为( )A.B.C. 0D.10. 设，则f(x,y)=（）A.B.C.D.二、判断题（本大题共2分，共 1 小题，每小题 2 分）曲面Ax2+By2+Cz2=D上任一点（x0,y,z)处的切平面方程为Axx+Byy+Czz=D三、填空题（本大题共18分，共 9 小题，每小题 2 分）1. 设，则u在点(1,0)处的全微分= ______2. 已知二元函数，则 g(12,250) = ______3. f(x,y)=xy+x3则= ______4. 若 u=xy+y3，则= ______5. 设函数z=x y，则= ______6. z=x2+y2-1 在点 (2,1,4) 处的法线方程为 ______7. 设，则= ______8. 已知函数f(x,y)=arctanx y，则fx' (3,1)= ______9. 二元函数的定义域为： ______四、计算题（本大题共60分，共 10 小题，每小题 6 分）1. 设z=(1+xy)x ,求dz 。

《2011年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-1第一章 常用逻辑用语******特别注意：本章历来不做重点，只需知道“且”“或”“非”的特点即可 一、基础知识【理解去记】1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若B A ⊆，则∈x A 是∈x B 的充分条件；若B A ⊇，则∈x A 是∈x B 的必要条件；若B A ⊆且B A ⊇即B A =，则∈x A 是∈x B 的充要条件.2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”，是两种不同形式的问题.3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.4. 会用集合的子集的方法判断充要条件：①A 是B 的充分条件（或B 是A 的必要条件）即A B A B ⊆⇔⇒ ②A 是B 的充分不必要条件B A B A ⊂⇔⇒ ≠ ③A 是B 的充要条件B A B A =⇔⇒ ⇐二、基础例题【必会】注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。

例1.（2009全国高考卷）已知函数()3231f x ax x x =+-+是减函数，求a 的取值范围。

【分析】()()()0,f x x a b '<∈是()f x 在(),a b 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如()3f x x =-在R 上递减，但()230f x x '=-≤。

【解析】：求函数的导数()2361f x ax x '=+-（1）当()0f x '<时，()f x 是减函数，则()()23610f x ax x x R '=+-<∈故00a <⎧⎨∆<⎩解得3a <-。

2011级本科高等数学（二）期末试题及解答A（理工类多学时、经管类多学时）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.z x y x (,)000=和z x y y (,)000=是可微函数z z x y =(,)在点(,)x y 00处取得极值的（ A ）.(A) 必要条件但非充分条件； (B) 充分条件但非必要条件； (C) 充要条件； (D) 既非必要条件也非充分条件. [经180]二阶常系数线性差分方程2120x x x y y y ++++=的通解为（ A ）.(A)*12()(1)x x y A A x =+-； (B) *12()(2)xx y A A x =+-；(C) *12()2x x y A A x =+； (D) *12()1x x y A A x =+.2. 设u xy =，则22(1,1)u x∂=∂（ B ）.(A)12； (B) 14-； (C)1； (D)0.3. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=,则该方程有特解（ B ）. (A) y x =； (B) x y e =； (C) x y e -=； (D) sin y x =.4. 设21()DI x y dxdy =+⎰⎰，32()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中22:(2)(2)2D x y -+-≤，则1I ，2I 的大小关系是 ( C ).(A)12I I >； (B) 12I I =； (C) 12I I ≤； (D) 12I I ≥.5. 设222222()d ,:4I f x y z V x y z z Ω=++Ω++≤⎰⎰⎰，f 为连续函数，则I =（ D ）.(A) ()4cos 2220d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰； (B) ()24cos 22202d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰； (C) ()24cos 220d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰； (D) ()24cos 2220d d sin d f r r r ππϕθϕϕ⎰⎰⎰.[经180] 曲线cos (0)2y x x π=≤≤与2x π=及0y =所围的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积为（D ）.(A) 2π； (B)π； (C) (2)ππ+； (D)(2)ππ-.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6. 幂级数12n nn x n ∞=∑的收敛半径R = 1/2 .7. 若2(,)sin()f x y y x x x y =++-，则(,)x f x x '= 3x . 8. 设函数()f u 可微，且1(0)4f '=，则22(4)z f x y =-在点（1，2）处的全微分 (1,2)dz= 2dx dy - .9. 交换二次积分的次序()()2224111211d ,d d ,d x x x x f x y y x f x y y -+----+⎰⎰⎰⎰222204d (,)d y y y y f x y x ---=⎰⎰.10. 设曲线2224:1x y z L z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分22221d 23Lz s x y z π+=++⎰. [经180] 二重积分2221()d d 2x y x y x y π+≤+=⎰⎰.三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求极限00ln(1sin())lim1xy x y xy e →→+-． 解：00ln(1sin())lim1xy x y xy e →→--00sin()lim x y xy xy →→-= （4分） 00lim1x y xyxy →→-==-． （8分）12．设2(,)sin()x y f x y xy e -=-，求(0,1)x f ，(0,1)y f ．解：22cos()x y x f y xy e -=- （3分） 22cos()x y y f xy xy e -=+ （6分） 1(0,1)1x f e -=-，1(0,1)y f e -=． （8分）13.设2322(,,)u x y z x y y z xz =++，求)1,1,1(du ．解：322x u xy z =+，2232y u x y yz =+，22z u y xz =+ （3分） (1,1,1)3x u =，(1,1,1)5y u =，(1,1,1)3z u = （5分） (1,1,1)353du dx dy dz =++． （8分）14. 设,e x x z f y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：121x z f ye f x y∂=+∂ （4分） 221112221232e 1(1)e e x x x z x f x f y f f f x y y y y∂=-+-+-+∂∂. （8分） 15.计算曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰ , 其中L 是取圆周229x y +=的正向闭曲线.解: ,,Q P x x x y∂∂=-=-∂∂2422.Q P x y∂∂-=-∂∂2 （4分） 由格林公式,有 原式().Dd σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318 （8分） [经180] 计算二重积分{}222d d ,(,)02Dx y x y D x y x y y +=≤≤-⎰⎰.解 2sin 22220d d d d Dx y x y πϕϕρρ+=⎰⎰⎰⎰（4分）320816sin d 39πϕϕ==⎰. （8分）16．设曲线段2:(01)L y x x =≤≤上任意一点(,)x y 处的线密度函数12x μ=，求该曲线段的质量.解 12d Lm x s =⎰ （4分）1201214d 551x x x =+=-⎰. （8分）[经180] 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +.解: 依题意: ',().y x y y =+⎧⎨=⎩200 （3分）则： x y x Ce =--+22. （6分）把 ()y =00 代入上式, 得C =2.故().x y e x =--21 （8分）四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 17．利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ ,其中∑是长方体：{}(,,)0,0,0x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤整个表面的外侧. 解: ,,.Px Q y R z === （2分）,,PQRxy z∂∂∂===∂∂∂111 （3分） 则由高斯公式有原式().dv abc Ω=++=⎰⎰⎰1113 （6分）[经180]已知曲线22:4z x y C x y z ⎧=+⎨++=⎩，求C 上距离原点最远的点和最近的点，并求最远距离和最近距离.解 22222()(4)L x y z x y z x y z λμ=++++-+++-， （2分）220x L x x λμ=++=，220y L y y λμ=++=,20z L z λμ=-+=,220x y z +-=,40x y z ++-=解得12(2,2,8),(1,1,2)M M --， （4分） 由问题的实际意义知，1M 为最远点，2M 为最近点max min 62,6d d ==. （6分）18．求级数20(1)!nn n x n ∞=+∑的收敛区间及和函数.解：222(1)1!lim lim(1)(2)2(1)!n n n n n R n n n n →∞→∞++⎛⎫==+=+∞ ⎪++⎝⎭+ 所以收敛区间为(,)-∞+∞. （2分）令20(1)()!nn n S x x n ∞=+=∑，则211000(1)11()()!!!xxn n nn n n n n n S x dx x dx x x x xS x n n n ∞∞∞+===+++====∑∑∑⎰⎰（4分） ()1100001()(1)!!!n n x n x x n n n n x x S x x dx x xe x e n n n +∞∞∞==='''⎛⎫⎛⎫+⎛⎫'=====+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰ ()2()(1)(31)x x S x x x e x x e '=+=++ （6分） [经180] 求级数01!nn n x n ∞=+∑的收敛区间及和函数. 解：222(1)1!lim lim(1)(2)2(1)!n n n n n R n n n n →∞→∞++⎛⎫==+=+∞ ⎪++⎝⎭+ 所以收敛区间为(,)-∞+∞. （3分） 令01()!nn n S x x n ∞=+=∑，则 ()100001()(1)!!!n n x n x x n n n n x x S x x dx x xe x e n n n +∞∞∞==='''⎛⎫⎛⎫+⎛⎫'=====+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰ （6分）五、解答题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19. 将函数()ln(3)f x x =+展开成幂级数.解：()1001111(1)ln(3)()333331()3n n n n n n x x x x x ∞∞+==-'+==⋅=-=+--∑∑，3x <（3分）11100(1)(1)ln(3)ln 333(1)n n xn n n n n n x x dx x n ∞∞+++==--+-==+∑∑⎰. 110(1)ln(3)ln 33(1)nn n n x x n ∞++=-+=++∑ （5分）20. 设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数，且满足方程：2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂，作变换23u x yv x y=-⎧⎨=+⎩，求在新变量(,)u v 下，方程2222260z z z x x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂的形式. 解：,23z z z z z z x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂ （2分） 22222222z z z zx u u v v ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂，22222223z z z zx y u u v v∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂ 22222224129z z z zy u u v v ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ （4分） 所以，222226z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂225zu v∂∂∂，原方程可化为2z u v∂∂∂＝0 （5分）。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1） 1zz z --=复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则A.-2iB.-iC.iD.2i（2） 函数0)y x =≥的反函数为A.2()4x y x =∈RB.2(0)4x y x =≥ C.24()y x x =∈RD.()240y x x =≥（3） 下面四个条件中，使得a b >成立的充分不必要条件是A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >（4） 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，2?–24k k S S +=，则k =A.8B.7C.6D.5（5） 设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得到的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A.13 B.3 C.6 D.9 （6） 已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥，C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足。

若2AB =，1AC BD ==，则D 到平面ABC 的距离为A.3B.3C.3D.1（7） 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有 A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 （8） 曲线2e 1x y -=+，在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为A.13B.12C.23D.1（9） 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.12-B.14-C.14D.12（10） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交与A ，B 两点，则cos AFB ∠=A.45B.3 5C.35-D.45-（11） 已知平面α截球面得圆M ，过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面的半径为4，圆M 面积为4π，则圆N 的面积为 A.7π B.9πC.11πD.13 π （12） 设向量,,?a b c 满足()11,,,602a b a b a c b c ===---=︒，则||c 的最大值为A.2B. D.1二、 填空题（13）(201-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为__________。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i （2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ （3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 （5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1 (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于(A)2 (B)32 第Ⅱ卷（第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

同济大学版高等数学课后习题答案第2章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 tt t t t-?+=??=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ?-?+=??)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量.xx f x x f ?-?+)()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=?+-=??+?-=→?→?x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0xxx x x +-=→?2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =?-?-→?)()(lim 000;解xx f x x f A x ?-?-=→?)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=?--?--=→?-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1?(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知?<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=?≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=?≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ?-?-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2?-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3ex .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ?tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ?cos x)'=(sin x)'?cos x +sin x ?(cos x)' =cos x ?cos x +sin x ?(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ?ln x +x 2?x 1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ?cos x +3e x ?(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-?='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=?-?='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ?ln x cos x +x 2?x1?cos x +x 2 lnx ?(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=?+?=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解(1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1?(2x +5)'=4(2x +5)3?2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x)?(4-3x)'=-sin(4-3x)?(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-?='-?='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=?+='+?+='. (5) y '=2sin x ?(sin x)'=2sin x ?cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-?-='-='-x a x a x a y2122)2()(21x a x x x a --=-?-=-.(7) y '=sec 2(x 2)?(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='?+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='?=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='?='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2 221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-?--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-?--='-='---x x x y 2321)1()2()1(21x x x x x --=-?--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=?-??='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=?-='?-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++?++='++?++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++?++=.(9)x x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12 =++='+?+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12 =-+-='-?-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'?=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'?-?=x x x21)2(11(arcsin 22-?=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'??='?='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=??=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+?+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'??+=x x x x x x 1ln 2ln 1212??+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '?='x e y x)()(112arctan'?+?=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=?+?=.(5) y '=n sin n -1x ?(sin x)'?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?(nx)' =n sin n -1x ?cos x ?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?n =n sin n -1x ?(cosx ?cos nx -sin x ?sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--?-++='-+?-++= '.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +?-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'??='?='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ?=??=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-?+--='+-?+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+?+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'?+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)?(x 2)'= f '(x 2)?2x =2x ?f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)?(sin 2x)'+f '(cos 2x)?(cos 2x)'= f '(sin 2x)?2sin x ?cos x +f '(cos 2x)?2cosx ?(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ?e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)?(sh x)'=sh(sh x)?ch x . (2) y '=ch x ?e ch x +sh x ?e ch x ?sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ?='?='.(4) y '=3sh 2x ?ch x +2ch x ?sh x =sh x ?ch x ?(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-?-='. (6)222)1()1(112422++='+?++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='?-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11?+=?+='?+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'?-'?='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4??-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -?=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-?=. (10)'+-?+-?+-='+-?+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-?+=+--+?+-?=x x x x x x x x .12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ?sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n xx y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)xx y +=;(9)242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsint t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ?cos x ?sin(x 2)+sin 2x ?cos(x 2)?2x =sin2x ?sin(x 2)+2x ?sin 2x ?cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=?+?='. (4)121ln 1ln 1+--=?-?='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i （2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ （3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3(B)3(C)3(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于第Ⅱ卷（第Ⅱ卷共l0小题，共90分。