约数与倍数问题
一、要点简介
a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0)所得的商正好是整数c而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b与c的倍数，b与c称为a的约数。
两个或多个整数公有的约数叫作它们的公约数。两个或多个整数的公约数里最大的那一个叫作它们的最大公约数。
两个或多个整数公有的倍数叫作它们的公倍数。两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫作它们的最小公倍数。
二、经典例题
【例1】
某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔2天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。则甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日（）
A．5 B．2
C．6 D．3 【解析】
甲部门每隔2天相当于每3天发布一次，乙部门每隔3天相当于每4天发布一次，3和4的最小公倍数是12，则甲、乙12天就会同时发布一次。一个自然月最多有31天，假设甲、乙两部门1号同时发布一次，该自然月最多还有30天，30÷12=2……6，还可以同时发布两次。那么一个自然月最多有3天是同时发布消息的。因此D项当选。
【一本通点睛】
1.知识点：每隔+1=每；“同时……”一般涉及求最小公倍数。但是该题目除了掌握好以上两个知识点外，还需要在选择上注意“1号两个部门同时发布一次”。
2.最小公倍数在工程问题、经济问题中的应用更为广泛，必须熟练掌握。
【例2】
企业某次培训的员工中有369名来自A部门，412名来自B部门。现分批对所有人进行
培训，要求每批人数相同且批次尽可能少。如果有且仅有一批培训对象同时包含来自A和B 部门的员工，那么该批中有多少人来自B部门（）
A．14 B．32 C．57
D．65
【解析】
培训的员工总数为369+412=781，因为要求每批人数相同，所以将781因数分解：781=71×11，又要求批次尽可能少，所以11为批次数。已知有且仅有一批培训对象同时包含来自A和B部门的员工，所以只有一批71人由两个部门组合而成，其余每批71人均来自同一部门。B部门的员工可分为：412÷71=5（批）……57（人），所以同时包含来自A和B部门的那批员工中有57人来自B部门。因此C项当选。
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最 小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表 示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以 (12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用知识点拨 教学目标 5-4-3.约数与倍数（三）
后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=； 315285130÷=；28530915÷=；301520÷=； 所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a 即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=； ②短除法求最小公倍数； 例如：21812 39632 ，所以[]18,12233236=???=； ③[,](,) a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公
五年级数学约数和倍数意义说课稿五年级数学约数和倍数意义说课稿 一、说教材 1、教学内容：人教版六年制数学第十册p50 3、教学目标： ⑴知识与技能：能结合具体情景探索掌握整除的意义，理解约数和倍数的含义，学会正确判断一个数是不是另一个数的约数和倍数。 ⑵过程与方法：通过直观分析，让学生充分经历知识的形成过程，体验成功的乐趣。 ⑶情感、态度与价值观：培养学生分析、比较、抽象、概括和判断的能力。渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证关系。 4、重点：理解整除、约数和倍数的意义。 难点：理解整除的意义。 关键：通过分析、讨论，得出整除的特征。相互依存的理解。 二、说教法 1、通过直观分析让学生充分感知，然后经过比较归纳，最后概 括整除的意义，从而使学生从形象思维逐步过渡到抽象思维，进而 达到感知新知、概括新知、应用新知、巩固和深化新知的目的。 2、采用快乐教学法，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极发言，参与学习过程和敢于质疑，引导学生自己动口、动脑，以及采用判断、游戏等多种形式的巩固练习，使学生的学习不成为一种负担， 而是一种快乐，把数学课上得有趣、有益、有效。 三、说学法：
通过本节教学使学生学会运用观察、分析、讨论的教学手段理解掌握新知识，学会有目的地观察、思考、对比分析问题、概括知识的方法。 四、说教学程序 （一）揭示课题与学习目标 今天这一堂课我们学习的内容是“约数和倍数的意义”，通过学习要求大家做到：①掌握整除的意义，在此基础上理解约数和倍数的意义。②学会正确判断一个数是不是另一个数的约数或倍数。 [开门见山将具体清晰的学习目标，呈现给学生，发挥目标的导向和激励功能，使学生明确学习任务，产生积极的学习心向，从而主动地参与学习过程。] [数的整除的生长点是在整数的基础上，所以学生必须理清数的概念。] （三）学习新知 A、初步感知整除 1、口算（小黑板出示）15÷5=1.5÷5=24÷4=3.6÷0.9= 16÷3=80÷20=6÷5=23÷7= [将课本中的题组适作改变，为紧接着的概括整除概念提供更丰富的感性材料。] 2、学习整除的意义 ①学生分组自由讨论，汇报各组的分组依据，引导得出：按商的情况：除尽、除不尽可以分成两组。 15÷5=31.5÷5=0.316÷3=5……180÷20=4 24÷4=63.6÷0.9=423÷7=3……26÷5=1.2
理解记忆理论部分－☆星级 ☆约数和倍数；若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 ☆公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数 的最大公约数。 ☆ 1 2 3 4 18 那么 那么 ＝6 ☆ 1 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除， 能够整除的那个余数，就是所求的最大公 约数。 思维方法巩固训练部分－☆星级 ■经验规律总结：通过举例观察两个数的最大公约数与它们的和、差、积之间的关系。1．求（26，78）、（196，165）、（55，84，141） 2．两个自然数的和是88，最大公约数是8，求这两个数。 3．两个自然数的积是384，最大公约数是8，求这两个数。 4．已知两数的和是104055，这两个数的最大公约数是6937，求这两个数。 ，至 厘米的木 ，求这四 级 数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个 数的最小公倍数。 例如：12的倍数有：12、24、36、48…… 18的倍数有：18、36、54、72…… 12和18的公倍数有：36、72、108…… 12和18最小的公倍数是36，记作[12,18]=36 1
☆最小公倍数的性质： 1、几个数的任意公倍数都是它们最小公倍数 的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等 于这两个数的乘积。 ☆基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法 思 ■ 11． 12． 13． 14． 15． 16． 这两个两位数是多少？ 17．两个两位数的最小公倍数是84，这两个数相加的和是26，这两个数分别是多少？ 18．两个两位数相乘的积是2016，它们的最大公约数是6，这两个两位数各是多少？ 19．两个两位数的最小公倍数是252，它们的最大公约数是6，这两个两位数各是多少？20．某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序，第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件，现在有1332名工人，每道工序各安排多少人才合理？ 21．两个两位数的和是70，它们的最大公约数是7，这两个两位数的最小公倍数是多少？ 思维方法拓展训练部分－☆☆星级 天，如果 78 ，求这个 12 28．100以内约数个数最多有几个？约数个数最多的数有哪些？ 29．三个连续自然数的最小公倍数是168，这三个数的和是多少？ 30．四个连续自然数的和是54，那么这四个数最小公倍数的十分之一是多少？ 31．有一个数在700到800之间，用15、18、24去除，都不能整除，如果在这个数上加1， 2
《约数和倍数的意义》教案|约数和倍数教案 教学目的1、知识与能力：使学生进一步理解整除的意义。使学生知道约数、倍数的含义，以及它们之间的相互依存关系。使学生知道研究约数和倍数时所说的数，一般指自然数2．过程与方法：通过加强操作、直观沟通概念间的联系和区别，增加练习来突破难点。 3、情感与态度：培养学生有条理，有根据的思考能力，发展抽象思维。 教学重点： 理解整数、约数和倍数的概念。 教学难点： 整数、约数和倍数的联系。 教学过程： 一、复习 1、师：谁能说说整数的含义？ 出示：23÷7=3...26÷5=1.15÷3=524÷2=1 2 教师：这4个算式中，哪个算式中第一个数能被第二个数整除？为什么前两个算式中的第一个数不能被第二个数整除？让学生观察算式，说说式中被除数、除数和商各有什么特点？
教师：如果用a、b表示两个整数，谁能说说在什么情况下才可以说“a能被b整除”？ 教师：a的约数还可以叫做什么？ 让学生用两种说法说说：15÷3＝5和24÷2=1 2 教师：我们在说一个数能被另一个数整除时，必须具备哪几个条？ （1）被除数和除数必须是整数，而且除数不等于0。 （2）商必须是整数。 （3）商的后面没有余数。 师：以上三个条，缺一不可。 2、区别“除尽”与“整除” 师：像6÷5=1.2这样的除法，一般说6能被5除尽。 被除数和除数 商 整除 都是整数，除数不等于0 商是整数，而且没有余数 除尽 不一定是整数，除数不等于0 商是有限小数，没有余数 二、新课 1、教学约数和倍数的意义。
在一个数能被另一个数整除时，这两个数还有另一种关系（板书：约数和倍数） 让学生看50页关于约数和倍数。 教师：两个数在什么情况下才能说有约数和倍数关系？（整除） 能单独说一个数是约数或一个数是倍数吗？ “倍数和约数是相互依存的”是什么意思？ 小结：在说倍数（或约数0时，必须说某数是某数的倍数（或约数），不能单独说某数是倍数（或约数）。 2、教学例 1 （1）教师说明：根据倍数和约数的意义，说出15和3中，哪个是哪个数的倍数，哪个是哪个数的约数。 教师：15能被3整除吗？ 15是3的什么数？ 3是15的什么数？ 教师指出：这里所说的数一般是指自然数，不包括0。 （2）“倍数”与“倍”的区别 1、基本练习P51做一做 三、巩固练习 1、独立完成练习十一的1、 2、3题。 2、第四题
约数与倍数 基础知识： 1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数. 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示. 例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3. 2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质. 3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数. 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示. 例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90. 4.约数个数公式、约数和公式. 例1.360有多少个约数？ [答疑编号5721260101] 1
【答案】24 【解答】，所以360共有24个约数. 例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是. [答疑编号5721260102] 【答案】36 【解答】这个数可以表示成，与6互质， 所以x≥2，y≥2， 故最小数为 . 基础知识 5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法： （1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数， ①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数. （2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）. 2
因数与倍数的意义 教学目标： 知识与技能：使学生结合具体情境初步理解因数和倍数的含义，初步理解因数和倍数相互依存的关系。 过程与方法：使学生依据因数和倍数的含义以及已有乘除法知识，通过尝试、交流等活动，探索并掌握找一个数的因数和倍数的方法。 情感与态度：使学生在认识因数和倍数以及找一个数的因数和倍数的过程中进一步感受数学知识的内在联系，提高数学思考的水平。 教学重点： 理解因数和倍数的含义。 教学难点： 探索并掌握找一个数的因数和倍数的方法。 教学过程： 认识因数、倍数 观察情景图，提出问题。 操作：可以怎样排队？每排摆几个，摆了几排，摆完后在练习本上写出乘法算式。 汇报：你是怎么摆？算式是什么？ 指名说，师板书：1×12＝12 2×6＝12 3×4＝12 学习“因数、倍数”的概念 师：刚才通过摆不同的队形，我们得到了3个不同的乘法算式，别小看这3个算式，其实在这里面有许多数学奥秘。今天我们就来研究数学的新奥秘。 师指3×4＝12 说：因为3×4＝12，所以我们就说3是12的因数（板书：因数），4是12的因数；12是3的倍数（板书：倍数）；12是4的倍数。 学生说一说。 问：根据2×6＝12，说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？（指名说） 问：根据1×12＝12呢？ 指名，师：12既是12的因数，又是12的倍数。 问：根据48÷6＝8（板书：48÷6＝8）说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？你是怎么想的？指名说
师：看来，根据乘法算式和除法算式，都能判断出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 师：你也像老师这样说一道乘法算式或除法算式，让你的同桌说一说它们之间的因数和倍数的关系。同位互相说。 师：有同学说8÷2＝4时，说8是倍数，4是因数。这样行吗？为什么？ 小结：是呀，我们不能直接说谁是因数，谁是倍数，而要清楚地表达出来谁是谁的因数，谁是谁的倍数。看来，因数和倍数是相互依存的（板书：和）。为了方便，在研究因数和倍数时，一般不讨论0。 二、探索找一个数的因数的方法 师：看黑板上的3个算式，你能找到12的所有的因数吗？（学生齐说。） 问：如果没有算式，你能找出24所有的因数吗？先想想怎样找？然后写在练习本上。 学生写一写，师巡视。 汇报展示：（2人） 问：你是怎么找的？（学生说方法） 评价：他找的怎么样？（学生评一评） 师讲解：想知道老师是怎么找的吗？（师边讲解边一对一对的板书24的因数）24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 小结：其实老师就是按从小到大的顺序一对一对找的，这样就能做到既不重复又不遗漏了。看来，有序的思考问题对我们的帮助确实很大。 练习 师：用这种方法写出18的因数。 汇报：你找的18的因数都有哪些？（指名说，师板书） 发现规律 问：仔细观察这几个数的因数，你能发现什么规律？ 小结：一个数的因数最小的是1，最大的是它本身。 三、探索找一个数的倍数的方法 方法 学生找4的倍数，写在练习本上。 汇报：指名说，师写在黑板上。（4的倍数有：4，8，12，16，20……） 问：你能说的完吗？写不完怎么办？（用省略号）
约数和倍数的意义 教学目标 1、掌握整除、约数、倍数的概念． 2、知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系．教学重点 1、建立整除、约数、倍数的概念． 2、理解约数、倍数相互依存的关系． 3、应用概念正确作出判断． 教学难点 理解约数、倍数相互依存的关系． 教学步骤 一、铺垫孕伏（课件演示：数的整除下载） 1、口算 6÷515÷323÷7 1.2÷0.324÷231÷3
2、观察算式和结果并将算式分类． 除尽除不尽 3、引导学生回忆：研究整数除法时，一个数除以另一个不为零的数，商是整数而没有余数，我们就说第一个数能被第二个数整除． 4、寻找具有整除关系的算式． 板书：15÷3＝5 15能被3整除 5、分类 除尽除不尽不能整除整除 二、探究新知 （一）进一步理解“整除”的意义． 1、整除所需的条件． （1）分析：24能被2整除，15能被3整除； 23不能被7整除，31不能被3整除；（商有余数） 6不能被5整除；（商是小数） 1.2不能被0.3整除；（被除数和除数都是小数） （2）引导学生明确：第一个数能被第二个数整除必须满足三个条件：
a、被除数和除数（0除外）都是整数； b、商是整数； c、商后没有余数． 板书：整数整数整数（没有余数） 15÷3＝5 2、用字母表示相除的两个数，理解整除的意义． （1）讨论：如果用字母a和b表示两个数相除，那么必须满足几个条件才能说a能被b整除？ （板书：a÷b） 学生明确：a和b都是整数，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除． （板书：a能被b整除） （2）继续讨论：在什么情况下才能说a能被b整除？（板书：b≠0） 3）讨论：如果用字母a和b表示两个整数，在什么情况下才可以说a是b的倍数，b是a的约数？（在数a能被数b整除的条件下） （4）小结：如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）． 2、进一步理解约数、倍数的意义． （1）整除是约数、倍数的前提．学生明确：约数和倍数必须以整除为前提，
5-4-1.约数与倍数（一） 教学目标 1.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 知识点拨 一、约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外 1．求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷= ；6003151285÷= ；315285130÷= ；28530915÷= ；301520÷= ；所以1515和600的最大公约数是15． 2．最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3．求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最 大公约数b ；b a 即为所求．4．约数、公约数最大公约数的关系
最新五年级数学下册《约数和倍数的意义》教案 约数和倍数的意义是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的,这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识,下面就是小编给大家带来的五年级数学下册《约数和倍数的意义》教案,希望能帮助到大家! 五年级数学教案1 教学目标 1、掌握整除、约数、倍数的概念. 2、知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系. 教学重点 1、建立整除、约数、倍数的概念. 2、理解约数、倍数相互依存的关系. 3、应用概念正确作出判断. 教学难点 理解约数、倍数相互依存的关系. 教学步骤 一、铺垫孕伏(课件演示:数的整除下载) 1、口算 6 515 323 7 1.2 0.324 231 3 2、观察算式和结果并将算式分类. 除尽 除不尽 6 5=1.215 3=15 1.2 0.3=424 2=12 23 7=3 (2) 31 3=10 (1) 3、引导学生回忆:研究整数除法时,一个数除以另一个不为零的数,商是整数而没有余数,我们就说第一个数能被第二个数整除.
4、寻找具有整除关系的算式. 板书:15 3=515能被3整除 5、分类除尽 除不尽 不能整除 整除 6 5=1.2 1.2 0.3=4 15 3=15 24 2=12 23 7=3 (2) 31 3=10 (1) 二、探究新知 (一)进一步理解整除的意义. 1、整除所需的条件. (1)分析:24能被2整除,15能被3整除; 23不能被7整除,31不能被3整除;(商有余数) 6不能被5整除;(商是小数) 1.2不能被0.3整除;(被除数和除数都是小数) (2)引导学生明确:第一个数能被第二个数整除必须满足三个条件: a、被除数和除数(0除外)都是整数; b、商是整数; c、商后没有余数. 板书:整数整数整数(没有余数) 15 3=5 2、用字母表示相除的两个数,理解整除的意义. (1)讨论:如果用字母a和b表示两个数相除,那么必须满足几个条件才能说a 能被b整除? (板书:a b)
9、约数与倍数 【约数问题】 例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。 1155的约数共有16个。 16÷2=8（对）。 所以，有8种不同的拼法。 例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：将360分解质因数，得 360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。 所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个） 这24个约数的和是： 例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。 把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解： 99=3×3×11； 98=2×7×7； 97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。 所以，两位数的约数中，最大的是96。 例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数N，当分解质因数为： 因为8=1×8=2×4=2×2×2， 所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或23×3，或2×3×5，…… 不难得出，最小的一个是24。 【倍数问题】 例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。 6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。 因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有： 1×36+2×30+5×25=221（分）。 4元4角2分=442（分），442÷221=2。 所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。
小学五年级数学教案：约数和倍数的意义 这篇关于小学五年级数学教案：约数和倍数的意义，是网络特地为大家整理的，希望让您以后工作、学习能更上一个新的台阶，对大家有所帮助！ “约数和倍数的意义”是数的整除这部分知识的第一课时，这部分知识的概念非常多，如“整除”、“约数”、“倍数”、“质数”、“互质数”、“公约数”、“公倍数”、“公约数”……而且后面的每一个概念的含义都是以前三个概念为前提的，所以前三个概念（特别是“整除”）非常重要，学生是否真正理解和掌握，这关系到对后面整个单元知识的学习和运用，而且还直接影响到六年级时学习分数的约分和通分。那么上好“约数和倍数的意义”这一节课必将是学好数的整除这部分知识的首要一关。 教学建议 教材分析 是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，所以是本单元中最基本的概念．教材在复习“整除”的基础上概括出“整除”这个概念，然后引出约数和倍数的概念．在整数范围内，除法算式可以分为整除和不能整除两大类．引入了小数以后，除法算式又可以分除尽和除不尽两大
类．这里的除尽，不但包含了整除的情况，还包含了被除数、除数或商是有限小数的情况，所以在教学中要列举各种有代表性的实例，让学生通过对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系． 学生学过后往往把“倍数”和“几倍”混同起来，所以教学时应通过对比练习，使学生悟出两者的区别（可以说8是4的倍数，也可以说8是4的2倍；但是不可以说0.8是0.4的倍数，只能说0.8是0.2的2倍），从而进一步理解和掌握约数和倍数的本质． 教法建议 是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，是本单元中最基本的概念．复习引入时，教师要通过新旧知识的联系，抓住生长点，对已掌握的“整除”的意义进行复习，通过观察算式的特征和结果，首先将算式分为除尽和除不尽两大类，然后再对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系． 约数和倍数是建立在整除的基础上的，所以教学求一个数的约数和倍数的时候，首先要利用整除式帮助学生理解除数和商是被除数的一对约数，进而发现约数可以一对一对的找，在学生学会找约数的基础上，教师可以给学生创设一个研讨，发现约数特点的情景．学生掌
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而 且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 知识点拨 教学目标 5-4-1.约数与倍数（一）
小学五年级数学：约数和倍数的意义 ★这篇《小学五年级数学：约数和倍数的意义》，是###特地为大 家整理的，希望对大家有所协助！ “约数和倍数的意义”是数的整除这部分知识的第一课时，这部分知识的概念非常多，如“整除”、“约数”、“倍数”、“质数”、 “互质数”、“公约数”、“公倍数”、“公约数”……而且后面的 每一个概念的含义都是以前三个概念为前提的，所以前三个概念（特别是“整除”）非常重要，学生是否真正理解和掌握，这关系到对后面整个单元知识的学习和使用，而且还直接影响到六年级时学习分数的约分和通分。那么上好“约数和倍数的意义”这个节课必将是学好数的整除这部分知识的首要一关。 教学建议 教材分析 是在学生已经学过整除知识的基础上实行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，所以是本单元中最基本的概念． 教材在复习“整除”的基础上概括出“整除”这个概念，然后引出约数和倍数的概念．在整数范围内，除法算式能够分为整除和不能整除两大类．引入了小数以后，除法算式又能够分除尽和除不尽两大类．这里的除尽，不但包含了整除的情况，还包含了被除数、除数或商是有限小数的情况，所以在教学中要列举各种有代表性的实例，让学生通过对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系． 学生学过后往往把“倍数”和“几倍”混同起来，所以教学时应通过对比练习，使学生悟出两者的区别（能够说8是4的倍数，也能 够说8 是 4 的 2 倍；但是不能够说0.8 是0.4 的倍数，只能说0.8 是
小学五年级数学教案：约数和倍数的意义 教学建议 教材分析 是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，所以是本单元中最基本的概念． 教材在复习“整除”的基础上概括出“整除”这个概念，然后引出约数和倍数的概念．在整数范围内，除法算式可以分为整除和不能整除两大类．引入了小数以后，除法算式又可以分除尽和除不尽两大类．这里的除尽，不但包含了整除的情况，还包含了被除数、除数或商是有限小数的情况，所以在教学中要列举各种有代表性的实例，让学生通过对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系． 学生学过后往往把“倍数”和“几倍”混同起来，所以教学时应通过对比练习，使学生悟出两者的区别（可以说8是4的倍数，也可以说8是4的2倍；但是不可以说0.8是0.4的倍数，只能说0.8是0.2的2倍），从而进一步理解和掌握约数和倍数的本质． 教法建议 是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，是本单元中最基本的概念．
复习引入时，教师要通过新旧知识的联系，抓住生长点，对已掌握的“整除”的意义进行复习，通过观察算式的特征和结果，首先将算式分为除尽和除不尽两大类，然后再对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系． 约数和倍数是建立在整除的基础上的，所以教学求一个数的约数和倍数的时候，首先要利用整除式帮助学生理解除数和商是被除数的一对约数，进而发现约数可以一对一对的找，在学生学会找约数的基础上，教师可以给学生创设一个研讨，发现约数特点的情景．学生掌握了约数的特点，更能提高找约数的能力．找倍数的方法学生很容易理解，难点是对一个数的倍数是无限的这个特点的认识，教师可以在练习中设计集合圈中加省略号和不加省略号两种题目，让学生通过对比讨论加深认识． 教学设计示例 教学目标 1、掌握整除、约数、倍数的概念． 2、知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系． 教学重点 1、建立整除、约数、倍数的概念． 2、理解约数、倍数相互依存的关系． 3、应用概念正确作出判断． 教学难点
《约数和倍数的意义》小学数学说课稿 《约数和倍数的意义》小学数学说课稿 教学内容：九年义务教育六年制小学数学第十册第49页 教学目的： 1、进一步理解和掌握整除的意义。 2、理解、掌握约数和倍数的意义，知道约数、倍数的相互依存关系，渗透辨证唯物主义思想教育。 3、让学生通过小组合作、交流，尝试解决问题；培养学生的数学交流能力和合作能力。 4、激发学生的学习兴趣，通过自学、讨论等方式的学习，培养学生自主学习能力。 教学准备： 1、两张卡片、 2、多媒体演示课件 〔评析〕为了体现当今新的教育观，即在课堂教学中，不仅要使儿童掌握一定的数学基础知识和基本技能，同时还要有目的去培养学生的数学能力。所以制定的目标体系全面、恰当。 教学过程： 一、复习整理、进一步理解和掌握整除的意义 1、整除的含义 ①让学生在小卡片上写一道除法算式 ②黑板上展示学生的除法算式
〔评析〕学生的学习材料是自己寻找的，而不是教师或书本给定的材料，它们来源于学生自己，这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于继续学习下去，而无须教师强迫学生学习。 ③教师提出问题：A、哪一道除法算式的被除数能被除数整除 B、在什么情况下，才可以说“一个数能被另一个数整除” ④让学生分小组合作、交流，解决以上两个问题 ⑤学生交流完毕，每小组派代表汇报本小组研究成果 〔评析〕让学生合作、交流，尝试解决问题，这样的'教学即给了学生一个人人参与、自主探索的机会，使学生理解和掌握了知识；又使学生在平等、自由、真诚悦纳的情意关系中学会了与人共处。 2、抽象概括整除的概念 ①师：如果用字母a表示被除数，用字母b表示除数，在什么情况下，a能被b整除？ ②生：略 ③师：让学生完整地概括整除的意义 〔评析〕由于学生对整除的含义有了进一步的理解。所以通过学生讨论，师生对话，抽象概括出整除的概念，这样的教学，符合学生的认知规律，同时可培养学生的抽象概括能力。 3、巩固练习 ①下面哪一组的第一个数能被第二个数整除 17和549和73.6和1.210和10
约数与倍数 知识点拨： a、b是两个任意整数，其中b≠0，如果存在整数q，使得a＝bq成立（或者说，如果a 除以b能得到整数商q），我们就说a能被b整除，或者b整除a，记作b∣a．当a能被b 整除时，我们就说a是b的倍数，或者说b是a的约数（也叫因数）．如果满足条件a＝bq 的整数q不存在，我们就说b不能整除a，或者a不能被b整除，记作b a． 整除的概念是在整数范围内讨论的，即只有当被除数、除数和商都是整数（除数不能是零）时，才能叫做整除．因为自然数a的约数不会大于a，a的约数的个数也就不会多于a，所以自然数a的约数的个数是有限的．因为自然数集是无限的，所以一个自然数的倍数的个数是无限的． 零可以被任何自然数整除，所以零是任何自然数的倍数，任何自然数都是零的约数． 任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数． 约数和倍数表达的是两个数之间的关系，所以它们只具有相对的意义．15＝3×5，只能 说“15是3的倍数”，“3是15的约数“，不能说“15是倍数”或“3是约数”． 将自然数N分解质因数后， N= （a1、a2、a3、a4、…a n为不相同的质因数；r1、r2、r3、r4、…r m为a1…a n的指数）； N所有约数个数： =（r1＋1）×（r2＋1）×（r3＋1）×（r4＋1）×…×（r m＋1） N所有约数个数的和： 约数与倍数中的一个结论：完全平方数的约数个数是奇数。 【约数问题】 例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题） 【分析】不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。 1155的约数共有16个。 16÷2=8（对）。 所以，有8种不同的拼法。
“约数和倍数的意义”教学设计_ 教学内容：人教版数学第8册。 教学目标： 1．通过让学生自主探究、合作交流使学生进一步理解整除的意义，知道约数、倍数的含义以及它们之间的相互依存的关系。 2．通过多种形式的探究学习，渗透辩证唯物主义思想，培养学生分类、归纳、概括及语言表达能力。在学习中，增强学生合作意识，培养学生学习数学的兴趣及努力钻研的精神。 教学重、难点：理解约数、倍数的含义，及约数和倍数相互依存的关系。 教学准备：幻灯片、数字卡若干张。 教学流程： 一、复习旧知，导入新课 师：同学们，春天来了，我们又该换衣服了。不知道大家有没有注意，妈妈是怎样收放衣服的？ 生：棉衣和棉衣放在一起，单衣和单衣放在一起。 生：上衣和上衣放在一起。 生：每个人的衣服放在一起。 师：这叫做分类摆放，既整洁又方便找。在学习数学时，为了便于研究，我们对一些数或算式也进行分类整理。下面我们就一起整理一些算式。(用幻灯出示。) 23÷7=3……215÷3=5 24÷2=12 2÷0.4=56÷5=1.2 17÷8=2 (1) 学生分组讨论，请代表发言汇报是如何分类的，为什么？ 学生汇报： 生1：分两类：有余数除法，没有余数除法。 生2：分两类：整数除法，小数除法。 生3：分三类：整数除法，小数除法和有余数的除法。 师：各组同学分得都有道理，现在我们选择分三类的这种方法来研究，好吗？(板书：24÷2=1215÷3=5) 1．给24÷2=1215÷3=5这一类起个名。(整除。) 2．用两种读法读出这类算式。 3．讨论：整除与除尽有什么区别？ 师：24能被2整除，2能整除24，这说明24和2存在着整除的关系，这类除法还存在另外一种关系，是什么呢？这节课我们就来研究一下。(板书课题。) 二、合作学习，探究新知 (一)小组合作学习，探究约数、倍数的意义。
__五_年级第_7_讲_约数与倍数（1） 班级_________ 姓名___________ 评价_____ 例1．三个连续自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 . 例2．某数除193余4,除1087余7,求这个数的最大一个 . 例3．有一些长方形，它们的长和宽为互质数，而这些长方形的面积都是1992平方 厘米，这样的长方形有多少个？ 例4．111 1993 +=
例5．两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是105，求这两个数 . 例6．已知两数之和为60，它们的最大公约数与最小公倍数之和为84，求这两个数 . 例7．N是1，2，3，…，1995，1996，1997的最小公倍数，请回答N等于多少个2与一个奇数的积 . 例8．动物园的饲养员给三群猴子分花生 .如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒 .那么平均分给三群猴子，每只可得粒 .
___五_年级第_8_讲_约数与倍数（2） 班级_________ 姓名___________ 评价_____ 1．有一种电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯 .中午12点整时既响铃又亮灯 .问：下一次既响铃又亮灯是几点？ 2．96朵红花和72朵白花，用它们扎成花束，每个花束红花的朵数相同，白花的朵数也相同 .问：每个花束里最少有几朵花？ 3．已知长方体的各边长均为自然数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米 . 求表面积最小的长方体的体积 . 4．有一个个四位数，它与9的差能被9整除，它与8的差能被8整除，它与7 的差能被7整除，它与6的差能被6整除 .这样的数有多少个？ 5．100个不同的自然数之和为101101，则它们最大公约数的最大可能值是多少？
约数和倍数的意义 教学内容： 教材第49页例1及“做一做”，练习十一1—4题。 素质教育目标： (一)知识教学点： 1．掌握整除、约数、倍数的概念。 2．知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系。 (二)能力训练点： 1．会判断一个数能否被第二个数整除。 2．会用倍数、约数描述两个数之间的关系。 (三)德育渗透点： 引导学生探索约数和倍数之间的相互依存关系，渗透辩证唯物主义思想。教学重点： 1．建立整除、约数、倍数的概念。 2．理解约数、倍数相互依存的关系。 3．应用概念正确作出判断。 教学难点：理解约数、倍数相互依存的关系。 教具学具准备：投影仪一台、投影片若干。 教学步骤： 一、铺垫孕伏： (一)填空并回答问题：(出示投影)
()。 明确：自然数和0都是整数，但0是整数而不是自然数。 (二)复习整除的意义： 1．出示投影： 6÷5 15÷3 23÷7 1.2÷0.3 24÷2 31÷3 2．指名口算。师将结果填在等式后面，并引导学生观察算式和结果。然后将算式分成两大类。 用投影显示： 3．引导学生回忆：研究整数除法时，一个数除以另一个不为零的数商是整数而没有余数，我们就说第一个数能被第二个数整除。 4．指名找出上表中哪个算式的第一个数能被第二个数整除。 板书：15÷3=5 15能被3整除 5．教师引导学生将“除尽”一栏又分为两个部分，一部分是不能整除另一部分是整除。使前面的表投影复合成：
二、探究新知： (一)进一步理解“整除”的意义： 1．整除所需的条件。 (1)使学生知道，24能被2整除，15能被3整除。23不能被7整除31不能被3整除，是因为商有余数；6不能被5整除，是因为商是小数1.2不能被0.3整除，是因为被除数和除数都是小数。 (2)引导学生明确：第一个数能被第二个数整除必须满足三个条件： a．被除数和除数(0除外)都是整数； b．商是整数； c．商后没有余数。 2．用字母表示相除的两个数，理解整除的意义。 (1)讨论：如果用字母a和b表示两个数相除，那么必须满足几个条件才能说a能被b整除？ 板书：a÷b 启发学生明确：a和b都是整数，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。 板书：a能被b整除 (2)继续讨论：在什么情况下才能说a能被b整除？板书：b≠0 使学生明确：整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。