小学奥数第9讲 约数与倍数(含解题思路)

小学数学认识和运用倍数和约数的知识点总结数学是一门非常重要的学科，对于小学生的学习和成长起着至关重要的作用。

倍数和约数是数学中的基本概念，掌握了倍数和约数的知识，可以帮助小学生更好地理解和应用数学。

一、倍数的认识和运用倍数是指一个数可以被另一个数整除，换句话说，如果一个数能够整除另一个数，那么这个数就是另一个数的倍数。

例如，4是2的倍数，因为4能够被2整除。

1.寻找倍数寻找一个数的倍数时，我们可以不断地将这个数与其他数相乘，直到得到我们想要的倍数为止。

例如，要找到10的倍数，我们可以不断将10与其他数相乘，如10、20、30、40等。

2.判断倍数判断一个数是否为另一个数的倍数时，我们需要判断这个数能否被另一个数整除。

如果可以整除，那么这个数就是另一个数的倍数，否则就不是。

例如，要判断15是否是3的倍数，我们可以计算15÷3，如果结果是一个整数，那么15就是3的倍数。

3.应用场景倍数在日常生活中有许多应用场景，比如计算时间、计算距离等。

例如，我们可以通过计算时间的倍数来确定某个事件发生的具体时刻，比如3倍于12点就是3点，2倍于30分钟就是1小时。

二、约数的认识和运用约数是指能够整除一个数的所有因数，换句话说，如果一个数能够被其他数整除，那么这个数就是这些数的约数。

例如，数8的约数有1、2、4、8。

1.寻找约数寻找一个数的约数时，我们可以将这个数与其他数相除，如果余数为0，那么这个数就是被除数的约数。

例如，要寻找20的约数，我们可以将20与1、2、3、4等数相除，如果除法运算的余数为0，那么这些数就是20的约数。

2.判断约数判断一个数是否为另一个数的约数时，我们需要判断这个数能否整除另一个数。

如果可以整除，那么这个数就是另一个数的约数，否则就不是。

例如，要判断6是否是12的约数，我们可以计算12÷6，如果结果是一个整数，那么6就是12的约数。

3.应用场景约数在数学问题求解中起着重要的作用。

小学奥数约数与倍数本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为...☆☆☆△△△的结构”一、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外 1．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=?=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a 即为所求．二、倍数的概念与最小公倍数知识点拨教学目标5-3约数与倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772==；②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236==；③[,](,)a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3??== 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

小学数学认识和运用倍数和约数的知识点总结在小学数学的学习中，倍数和约数是一个重要的概念。

理解和掌握倍数和约数的相关知识，对于同学们解决数学问题、提高数学思维能力有着很大的帮助。

接下来，让我们一起深入学习一下这部分的内容。

一、倍数和约数的定义倍数：如果整数 a 除以整数 b（b≠0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 是 b 的倍数，b 是 a 的约数。

约数：又称因数，如果整数 a 能被整数 b 整除（b≠0），那么 a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。

例如，12÷3 ＝ 4，我们就说 12 是 3 的倍数，3 是 12 的约数。

二、倍数和约数的特点1、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

比如 6 的倍数有 6、12、18、24、30……，可以一直写下去，无穷无尽。

2、一个数的约数的个数是有限的，最小的约数是 1，最大的约数是它本身。

以 18 为例，它的约数有 1、2、3、6、9、18，一共 6 个。

3、倍数和约数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或约数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的约数。

比如不能单独说 6 是倍数，而应该说 6 是 3 的倍数。

三、找倍数和约数的方法1、找一个数的倍数可以用这个数分别乘以 1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。

例如，找 7 的倍数，就可以计算 7×1 ＝ 7，7×2 ＝ 14，7×3 ＝21……所以 7、14、21 等都是 7 的倍数。

2、找一个数的约数可以从 1 开始，一对一对地找。

比如找 16 的约数，从 1 开始，1×16 ＝ 16，2×8 ＝ 16，4×4 ＝ 16，所以 16 的约数有 1、2、4、8、16。

四、常见数的倍数特征1、 2 的倍数特征个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。

例如 10、12、14 等都是 2 的倍数。

小学数学点知识归纳约数与倍数的计算在小学数学学习中，约数和倍数是非常重要的概念。

掌握了约数和倍数的计算方法，可以帮助我们解决很多数学问题。

本文将对约数和倍数的计算进行归纳总结，帮助大家更好地理解和应用。

一、约数的计算约数是指能够整除某个数的所有正整数。

比如，数值12的约数有1、2、3、4、6和12。

那么，如何计算一个数的约数呢？1、首先，我们需要列举数值的所有正整数。

2、然后，逐一尝试能否整除该数值，如果可以整除，则是该数值的约数。

3、最后，将所有能够整除该数值的正整数列举出来即可。

举个例子，我们来计算数值36的约数：36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷5不整除，36÷6=6，36÷7不整除……以此类推。

最终得到36的所有约数为1、2、3、4、6、9、12、18和36。

值得注意的是，每个数值都有两个特殊的约数，即1和它本身。

这是因为所有的数值都能够被1整除，同时每个数值都能够被其本身整除。

二、倍数的计算倍数是指某个数值的整数倍数。

比如，数值5的倍数有5、10、15、20等等。

那么，如何计算一个数的倍数呢？1、首先，我们需要确定一个基数，即要计算倍数的数值。

2、然后，将基数乘以1、2、3、4……依此类推，得到的结果就是基数的倍数。

举个例子，我们来计算数值7的倍数：7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28，7×5=35……以此类推。

可以看出，7的倍数就是7的基数乘以各个正整数。

三、约数和倍数的关系约数与倍数之间有着密切的关系。

一个数的倍数可以看作是这个数的约数乘以某个整数。

比如，数值6的约数有1、2、3和6，可以发现，6的倍数就是6的约数乘以某个整数。

比如，6的倍数有6、12、18等，其中6×1=6，2×6=12，3×6=18。

倍数和约数的计算倍数和约数是数学中基本的概念，用来描述数与数之间的关系。

倍数是指一个数可以被另一个数整除，而约数是指能够整除某个数的所有正整数。

在日常生活和数学问题中，计算倍数和约数都是非常常见的操作。

下面将详细介绍倍数和约数的计算方法。

一、倍数的计算倍数是指一个数可以被另一个数整除，也就是说这个数是另一个数的整数倍。

计算倍数的方法非常简单，只需要用一个数除以另一个数，如果结果是整数，则说明该数是另一个数的倍数。

例如，计算10的倍数可以采用以下方法：10 ÷ 5 = 2，得到结果是整数，说明10是5的倍数。

10 ÷ 3 = 3.33，得到结果不是整数，说明10不是3的倍数。

通过这种简单的除法运算，就可以得到一个数是否是另一个数的倍数。

需要注意的是，任何一个数都是其本身的倍数，即任何数除以自身都等于1。

例如，5 ÷5 = 1，说明5是5的倍数。

因此，在计算倍数时，除数为自身的数一定是其倍数。

除此之外，如果一个数可以同时被两个以上的数整除，那么这个数就是这些数的公倍数。

求两个数的公倍数可以采用以下方法：首先计算两个数的倍数，在倍数集合中找到相同的数，这个数就是它们的公倍数。

例如，求12和15的公倍数可以得到：倍数集合：12, 24, 36, 48, ...倍数集合：15, 30, 45, 60, ...公倍数：60因此，12和15的公倍数是60。

二、约数的计算约数是指能够整除某个数的所有正整数。

计算约数的方法也很简单，只需要找出能够整除该数的所有正整数。

例如，计算12的约数可以采用以下方法：12 ÷ 1 = 12，得到结果是整数，因此1是12的约数。

12 ÷ 2 = 6，得到结果是整数，因此2是12的约数。

12 ÷ 3 = 4，得到结果是整数，因此3是12的约数。

12 ÷ 4 = 3，得到结果是整数，因此4是12的约数。

12 ÷ 6 = 2，得到结果是整数，因此6是12的约数。

9、约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析:不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。

而长方形的面积等于长乘以宽.所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。

一般来说，约数都是成对地出现。

1155的约数共有16个。

16÷2=8（对）。

所以，有8种不同的拼法。

例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题)讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。

所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。

这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几?(全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。

把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。

发现，96是上面数的约数.所以,两位数的约数中,最大的是96.例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。

（北京市第一届“迎春杯"小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为:因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以,所求自然数分解质因数，可能为：27,或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。

解决简单的约数与倍数问题在数学中，约数与倍数问题是我们经常遇到的一类基础题目，它们不仅对于数学知识的掌握有重要意义，还对我们的逻辑思维和解决问题的能力起到了锻炼作用。

本文将介绍一些解决简单的约数与倍数问题的方法和技巧。

一、约数问题解决方法约数问题指的是寻找一个数的所有约数或特定的约数。

首先我们需要明确什么是约数，约数即能够整除目标数的数。

比如对于数10而言，它的约数包括1、2、5和10。

那么如何找到一个数的约数呢？1. 列举法列举法是最常见的一种找约数的方法。

我们可以从小到大，依次尝试每个数是否可以整除目标数。

比如对于数12而言，我们可以从1开始，依次尝试1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，最后得到12的约数为1、2、3、4、6、12。

2. 因数分解法因数分解法是另一种常用的找约数的方法。

我们首先对目标数进行因式分解，然后根据分解的结果确定约数。

比如对于数20而言，它可以因式分解为2 * 2 * 5，那么它的约数包括1、2、4、5、10和20。

二、倍数问题解决方法倍数问题指的是寻找一个数的所有倍数或特定的倍数。

我们首先需要明确什么是倍数，倍数即目标数的整数倍。

比如对于数6而言，它的倍数包括6、12、18、24等等。

那么如何找到一个数的倍数呢？1. 乘法法乘法法是最直观的一种找倍数的方法。

我们可以将目标数乘以一个自然数，从而得到它的倍数。

比如对于数8而言，它的倍数可以依次得到8、16、24、32等等。

2. 公倍数法公倍数法是用来寻找两个及以上数的公倍数的方法。

我们首先需要找到这些数的倍数，然后找到它们的共同倍数。

比如对于数3和4而言，它们的倍数分别是3、6、9和4、8、12，那么它们的公倍数即为6和12。

三、解决问题的技巧解决约数与倍数问题的关键在于灵活运用数学知识和逻辑思维。

以下是一些常见的解决问题的技巧：1. 利用数的性质比如对于偶数而言，它必定是2的倍数，而奇数则不是；对于任意一个数而言，它必定是1的倍数和自身的倍数。

倍数与约数 教学目的 1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。

2，掌握做题方法教学内容知识点一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

即若11(,),(,),a a a b b b a b =⨯=⨯则11(,)1a b =(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=二、约数个数与所有约数的和(1)求任一合数约数的个数：一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(31)(21)(11)43224+⨯+⨯+=⨯⨯=个。

(包括1和1400本身)(2)求任一合数的所有约数的和：一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数(1)求几个分数的最小公倍数求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分练习：设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？题型二：约数的和例1：有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?练习：10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？例2：两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差等于多少？练习：有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?题型三：最小公倍数和最大公约数例1：甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.练习：甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？例2：已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？练习：已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。

小学奥数数论问题解析：约数与倍数小学奥数数论问题解析：约数与倍数奥数注重学生分析、解决问题能力的培养，有它独特的解题思路和方法，快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的奥数数论问题解析约数与倍数，供大家参考。

约数与倍数已知x、y为正整数，且满足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )考点：约数与倍数.分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b 互质，则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).则由原方程，得kyy-(ky+y)=2y+ky，∵y≠0，∴ky-(k+1)=2+k，∴k(y-2)=3，当k=1时，x=5，y=5;当k=3时，x=9，y=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件;当p>1时，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)此时，abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件;综上所述，满足条件的数对有点评：本题主要考查的`是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数.。

华杯赛数论专题：约数与倍数基础知识：1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示.例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3.2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质.3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示.例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90.4.约数个数公式、约数和公式.5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法：（1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数，①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数.（2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a ＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）.（3）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积：（a，b）×[a，b] ＝a×b.例题：例1.360有多少个约数？【答案】24【解答】，所以360共有24个约数.例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是.【答案】36【解答】这个数可以表示成，与6互质，所以x≥2，y≥2，故最小数为.例3.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数有几组？【答案】6组【解答】，由此得a和a－b的值为1988的互补因子.1988有（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝12个约数，所以答案为6组.例4.已知将自然数84的全部约数的乘积分解质因数为，那么△＋◇＋□等于.【答案】24【解答】，它有3×2×2＝12个约数.这些约数可以分成两两一组，使得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就是 .所以△＋◇＋□＝12＋6＋6＝24.例5.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1.那么这两个数分别是 .【答案】175和16【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个数必为一奇一偶.而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能是1、、、、、，经试验只有这个平方数取，另一个数为时，分别有5、6个约数.所以这两个数分别为175和16.例6.三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？【答案】900【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数，所以B是完全平方数，又403＜21×21，所以B只可能是、……可得B＝225. 那么A最大是225×4＝900.例7.一个正整数是2004的倍数，且恰有24个约数是偶数，那么这个数最多有个约数是奇数.【答案】12【解答】2004是4的倍数，所以偶约数至少是奇约数的2倍，所以为12个.例8.小文买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？【答案】红笔每支13元，蓝笔每支4元【解答】35＝5×7，两种笔的单价不能是5元和7元（否则35元可全部用完）；由于不是5元和7元，那么也不是17－5＝12（元）和17－7＝10（元）；17元可用完，而35元不能用完，那么笔价不会是35－17＝18（元）的约数：1、2、3、6、9、18，当然也不会是17－1＝16、17－2＝15、17－3＝14、17－6＝11、17－9＝8，故笔价又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.综上所述，只有4和13未被排除，而4＋13＝17，所以红笔每支13元，蓝笔每支4元.例9.求15708和6468的最大公约数、最小公倍数.【答案】924,109956【解析】方法一：方法二：15708＝6468×2＋2772 6468＝2772×2＋9242772＝924×3例10.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公约数是 .【答案】53【解析】因为1007×10－10017＝53，所以最大公约数肯定是53或1.因为1007＝53×19，而且数列中每个数都是前一个数的10倍减去53，所以只要前一个数是53的倍数那么后一个数就也是53的倍数，因此数列中每个数都是53的倍数.例11.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【答案】147或105【解析】要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b.因为这两个数的最大公约数是21，故设a＝21m，b＝21n，且（m，n）＝1.因为这两个数的最小公倍数是126，所以126＝21×m×n，于是m×n＝6，因此，这两个数的和为21＋126＝147，或42＋63＝105.所以这两个数的和为147或105.例12.已知自然数A、B满足以下两个性质：（1）A、B不互素；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35.那么A+B的最小值是多少？【答案】25【解析】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数.因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数.它们的最大公约数可能是5或7.如果A、B的最大公约数是5，则A、B的最小公倍数是30，此时有A＝5、B＝30或A＝10、B＝15；如果A、B的最大公约数是7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A＝7，B＝28.所以A＋B的最小值为10＋15＝25.例13.两个数的最小公倍数比它们的最大公约数的3倍多15，请写出这两个数的所有可能值.【答案】1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60【解析】设两个数a、b，则[a,b]＝3×（a,b）＋15，且15是（a,b）的倍数，故a和b可以为1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60.例14. 三位数☆◇☆与四位数☆☆◇◇的最大公约数是22，那么☆＋◇＝.【答案】6【解析】两个数的最大公约数是22，☆☆◇◇是11的倍数，所以◇是偶数，22是☆◇☆的约数，☆是偶数，◇＝2☆，所以◇＝4，☆＝2，所以◇＋☆＝6.例15.试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？【答案】324、756【解析】因为，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为，再进行试验，108×2＝216，216中1不是已知数字，108×3＝324，还剩5，6，7三个数字，而108×7＝756，于是问题得到解决.例16.定义表示a和b的最大公约数，那么使得和同时成立的三位数a= .【答案】237【解析】根据题意：是21的倍数，所以a是3的倍数，a除以7余6，a＋63是60的倍数，a除以4余1，a除以5余2，所以a＝60×4－3=237.例18.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。

约数与倍数知识点总结一、约数的定义与性质1. 定义：如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。

2. 性质：（1）1是任何整数的约数；（2）任何整数都是其本身的约数；（3）如果a是b的约数，那么-b也是b的约数，即约数是成对出现的；（4）如果a是b的约数，b是c的约数，那么a也是c的约数；（5）如果a是b的约数，b是c的约数，那么a也是c的倍数。

二、约数与倍数的应用1. 约数的应用：（1）判断一个数是否是质数：一个数的约数只有1和本身，那么这个数就是质数；（2）求一个数的所有约数：可以利用因式分解的方法来求一个数的所有约数；（3）求两个数的最大公约数：可以利用约数的性质来求两个数的最大公约数。

2. 倍数的应用：（1）求两个数的最小公倍数：可以利用倍数的性质来求两个数的最小公倍数；（2）判断一个数与另一个数的关系：如果一个数是另一个数的倍数，就说明这两个数之间存在一定的倍数关系。

三、整数的因数分解1. 定义：将一个整数用几个素数的乘积表示出来，这样的运算叫做分解因数。

2. 方法：（1）分解质因数：一个合数可以分解为几个素数的积；（2）分解因数的方法：首先写成质因数，然后列成积。

3. 应用：（1）求一个数的所有约数；（2）求两个数的最大公约数；（3）求两个数的最小公倍数。

四、素数与合数1. 定义：（1）素数：一个大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他正整数整除的数；（2）合数：大于1的自然数，除了1和它本身之外还有其他约数的数。

2. 性质：（1）1不是素数也不是合数；（2）任何一个大于1的自然数都可以表示为质数的积；（3）质数的特性：一个合数可以分解为几个素数的积。

3. 应用：判断一个数是否是素数；对一个合数进行因数分解。

五、相关的习题和例题例1：求出自然数24的所有约数。

解：首先找出24的所有因数，再对因数进行两两配对，最后对配对的结果进行相乘，就可以得到24的所有约数。

奥数技巧倍数与约数在数学学科中，奥数（奥林匹克数学）是指一种高难度的数学竞赛，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

奥数涉及的内容广泛，其中的技巧和方法对于提高数学水平和解决实际问题非常有帮助。

本文将重点介绍奥数技巧中与倍数与约数相关的知识和方法。

1.倍数倍数是数学中的一个重要概念，指的是某个数可以被另一个数整除的情况。

具体来说，如果一个数可以被另一个数除尽，那么前者就是后者的倍数。

在奥数中，寻找和计算倍数有一些常用的技巧。

1.1 规律法对于某个给定的数，通过观察它的倍数列表，可以发现其中的规律。

例如，我们想找到50的倍数，可以列出50的倍数表：50，100，150，200，250...我们可以发现，这些数每次增加50。

因此，50的倍数可以用递推公式表示为：50n（n为正整数）这样，我们就可以快速计算任意的50的倍数。

1.2 分解法有时候，我们需要找到一个数的所有倍数。

这时可以通过分解的方法来寻找。

以10为例，我们可以将10分解为2和5的乘积。

因此，10的倍数可以由2和5的倍数相乘得到。

例如：2的倍数：2，4，6，8，10，...5的倍数：5，10，15，20，...因此，10的倍数可以由2和5的倍数相乘得到：10的倍数：10，20，30，40，...2.约数与倍数相反，约数指的是可以整除某个数的因数。

寻找和计算约数也是奥数中的常见问题。

2.1 列举法对于某个数，我们可以逐个列举出所有小于等于它的正整数，看是否可以整除该数。

这种方法适用于小数。

以12为例，我们可以列举出12的所有约数：1，2，3，4，6，12可以看到，1和12都是12的约数，2和6也都是12的约数。

其中的规律是，12的约数可以用两个数相乘得到。

因此，我们可以通过分解12来找到它的约数。

2.2 分解法分解法是寻找约数的一种常用方法。

对于一个数，我们可以将它分解为质数的乘积，然后找到所有可能的组合。

以24为例，我们将24分解为2、2、2和3的乘积：24 = 2 * 2 * 2 * 3根据分解的结果，我们可以得到24的所有约数：1，2，3，4，6，8，12，24通过分解法，我们可以更快地找到一个数的所有约数。

小学生必学简单方法解决倍数和约数问题解决倍数和约数问题的简单方法简介：在数学学习中，倍数和约数是基础性的概念。

掌握倍数和约数的概念以及解决相关问题的方法，对于小学生来说至关重要。

本文将介绍一些简单而有效的方法，帮助小学生解决倍数和约数的问题。

一、什么是倍数和约数1. 倍数：倍数是指一个数可以被另一个数整除，即后者是前者的整数倍。

例如，6是2的倍数，因为6可以被2整除。

2. 约数：约数是指可以整除一个给定数的数。

例如，12的约数有1、2、3、4、6和12。

二、求解倍数的方法1. 列举法：列举法是一种简单直观的方法，可以通过列举某个数的整数倍来找到它的倍数。

例如，要找到5的倍数，可以列举5的倍数序列：5、10、15、20...2. 空间跳跃法：对于某个数n，空间跳跃法可以通过不断加上n来找到它的倍数。

例如，要找到7的倍数，可以从7开始，每次加7，得到的数就是7的倍数：7、14、21、28...3. 公式法：对于某个数n，公式法可以通过直接将n乘以倍数的个数来得到它的倍数。

例如，要找到8的倍数，可以使用公式n×倍数个数，得到8的倍数：8、16、24、32...三、求解约数的方法1. 因数分解法：因数分解法可以将一个数分解成若干个质数的乘积，从而得到它的所有约数。

例如，将36因数分解为2² × 3²，根据质因数的幂的组合，可以得到36的所有约数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。

2. 试除法：试除法是一种常用的求解约数的方法。

通过依次除以各个数，判断是否能整除，可以找到一个数的所有约数。

例如，对于12，通过试除法可以得到它的约数：1、2、3、4、6、12。

四、解决倍数和约数问题的综合方法1. 通过观察和归纳：在解决倍数和约数问题时，可以观察数的特征和规律，并进行归纳总结。

例如，当某个数能同时被2和3整除时，它必然是6的倍数。

通过观察并归纳这样的规律，可以更加简便地解决倍数和约数问题。

小学数学技巧简单的倍数与约数问题小学数学技巧：简单的倍数与约数问题数学作为一门基础学科，对于小学生来说，掌握基本的数学技巧非常重要。

在小学阶段，倍数与约数是数学中常见的概念，它们在日常生活和数学问题中都有广泛的应用。

本文将介绍小学生可使用的一些简单的倍数与约数问题技巧，帮助他们更好地理解和应用这两个概念。

一、倍数问题倍数是指一个数能够被另一个数整除，即后者是前者的倍数。

在解决倍数问题时，我们可以使用以下技巧：1. 找规律法观察给定的数列或数字，寻找相同的特征规律。

例如，找出24的前5个倍数，我们可以观察到24、48、72、96、120符合规律，每个数都是24的整数倍。

因此，24的前5个倍数为24、48、72、96、120。

2. 分解法对于较大的数，我们可以将其分解为更小的数的乘积。

例如，找出36的前3个倍数，我们可以将36分解为3 × 12，即36 = 3 × 2 × 2 × 3。

因此，36的前3个倍数为36、72、108。

3. 倒序法在解决逆向倍数问题时，我们可以从较大的数开始倒序寻找满足条件的倍数。

例如，找出最大的两个两位数倍数，我们可以从99开始倒序寻找，可以得到198和99。

二、约数问题约数是指能够整除一个数的所有正整数，也可以说是能够被一个数整除的所有正整数。

在解决约数问题时，我们可以使用以下技巧：1. 因数分解法将给定的数分解为其素数因数的乘积，然后列出所有可能的因数组合。

例如，将36分解为2 × 2 × 3 × 3，因此，36的所有约数为1、2、3、4、6、9、12、18、36。

2. 分组法对于较大的数，我们可以将其约数分为两组，每一组的乘积等于这个数。

例如，找出20的所有约数，我们可以分为两组：第一组为1、2、4、5，第二组为20、10、5、1。

可以发现，每组数的乘积分别等于20。

3. 逆向法在解决逆向约数问题时，我们可以从较大的数开始逆向寻找满足条件的约数。

小学奥数数论问题知识总结：约数和倍数小学奥数数论问题知识总结：约数和倍数导语：“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。

学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的。

以下是小编为大家精心整理的小学奥数数论问题知识总结：约数和倍数，欢迎大家参考！约数和倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的.最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12、24、36、48……；18的倍数有：18、36、54、72……；那么12和18的公倍数有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法。

【分析】 要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，(135,105)15=，长方形纸块的面积为135********⨯=(平方厘米)，正方形纸块的面积为1515225⨯=(平方厘米)，共可裁成正方形纸块1417522563÷=(张)．【分析】 此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．【分析】 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因4约数与倍数231为111111101=⨯，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．【分析】 设这两个自然数为：55a b 、，其中a 与b 互质，5550a b +=，10a b +=，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．【分析】 由题意“参加的学生中有17得优，13得良，12得中”，可知参加考试的学生人数是7，3，2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为42，4228450⨯=>，所以参加的学生总数为42人．那么得差的学生有：11142(1)1732⨯---=人．倍数与最小公倍数456【分析】 依题意得: 花生总粒数12=⨯第一群猴子只数15=⨯第二群猴子只数20=⨯第三群猴子只数,由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花生总粒数是60，120，180，…,那么：第一群猴子只数是5，10，15，… ；第二群猴子只数是4，8，12，… ；第三群猴子只数是3，6，9，… ；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒．【分析】 因为157除以5的余数是2，可得下图，由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A 点12米处．因为[3，5]15=，157121514515910-÷=÷= （），所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有9110+=(个)．B A单位：米老鼠鼹鼠15712976320我每隔3 米挖一个洞我每隔5 米挖一个洞78【分析】 必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为[]54,72216=厘米．在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：216544÷=(个)，216723÷=(个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4316+-=(个)脚印．60610÷=，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216102160⨯=(厘米).⨯240604÷=，设这两个数分别为4a 、4b ，那么(,)1a b =，且60415a b ⨯=÷=，所以a 和b 可以取1和15 或 3和5 ，所以这两个数是4和60 或12和20．魔幻数学智斗黄牛精（四）“不错，你们竟然连续解出我出的三道题目了，还有最后一个问题，如果你们能答对，我就把你们的师傅放了。

倍数与约数倍数与约数的计算与应用倍数与约数：倍数是指一个数能被另一个数整除，而约数是指能整除另一个数的数。

倍数与约数在数学中有着重要的计算与应用价值。

本文将从倍数与约数的定义、计算方法和应用等方面展开讨论。

一、倍数与约数的定义倍数也称为因子，是指一个数能被另一个数整除。

例如，6是12的倍数，因为12除以6的结果是2，没有余数。

另外，一个数的倍数可以是自己或者是负数。

例如，12是12的倍数，而-12也是12的倍数。

约数是指能整除另一个数的数。

例如，12有1、2、3、4、6和12这六个约数，因为这六个数都能整除12，而且没有余数。

一个数的约数至少包括1和它本身。

例如，12的约数中1和12就是必然存在的。

二、倍数与约数的计算方法1. 倍数的计算方法要判断一个数是否是另一个数的倍数，只需要判断两个数相除是否有余数。

如果没有余数，那么这个数就是另一个数的倍数。

2. 约数的计算方法要找一个数的约数，需要找出能整除这个数的所有正整数。

可以从1开始，逐个尝试，如果能整除，则为其约数。

三、倍数与约数的应用倍数与约数在数学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。

1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数是指两个或多个数公有的约数中最大的一个。

而最小公倍数是指两个或多个数公有的倍数中最小的一个。

计算最大公约数和最小公倍数可以有效地进行因式分解和简化计算。

2. 素数与合数的判断素数是指只有1和其本身两个约数的数，如2、3、5等。

而合数是指有除了1和其本身以外的其他约数的数，如4、6、8等。

通过判断一个数的约数个数，可以快速判断它是素数还是合数。

3. 数的整除性倍数与约数的概念在解决整除性问题时起到关键作用。

通过判断一个数是否为另一个数的倍数或者约数，可以推导出其他数之间的整除关系，进而解决一系列的数论问题。

4. 分数的化简在分数的运算中，化简分数是常见的操作。

化简分数的方法就是找到分子和分母的最大公约数，然后将其约分至最简形式。

如何帮助小学生理解倍数和约数倍数和约数是小学数学中的重要概念，理解这两个概念对于学生建立扎实的数学基础至关重要。

但是，由于倍数和约数的抽象性和抽象性，许多小学生在学习过程中可能会遇到困难。

因此，教师需要采取适当的方法和策略来帮助学生理解倍数和约数。

本文将探讨一些有效的教学方法，以帮助小学生更好地理解倍数和约数。

1. 引入倍数的概念：通过实际生活中的例子来引入倍数的概念，例如，要求学生计算一个篮子里有多少只水果，每个水果篮子中有3个苹果。

通过数的排列和分类，学生可以发现篮子中的水果数是3的倍数。

教师可以与学生进行互动对话，并鼓励学生提出自己的解决方法和策略。

2. 使用故事和游戏：教师可以编写有关倍数和约数的故事，并要求学生在故事中找出相关的倍数和约数。

此外，教师还可以设计各种教学游戏，如倍数猜谜、约数接龙等。

这些故事和游戏可以激发学生的兴趣，同时帮助他们巩固和应用所学的知识。

3. 图形表示法：使用图形表示法来解释倍数和约数的概念可以更直观地帮助学生理解。

例如，可以使用方形格子来表示某个数的倍数，然后让学生计数并找出对应的倍数。

通过这个过程，学生可以更清晰地看到每个倍数之间的关系，并加深他们对倍数的理解。

4. 利用实际问题：将倍数和约数与实际生活问题联系起来，可以帮助学生更好地理解其应用价值。

例如，教师可以提供一些购物问题或分组问题，要求学生根据给定的情境找出倍数或约数。

这样的练习可以帮助学生将抽象的概念与实际问题相结合，提高他们的数学思维能力。

5. 分层次教学：针对不同学生的学习能力和理解程度，教师可以采用分层次的教学方法来教授倍数和约数。

对于学习能力较强的学生，可以提供更复杂和挑战性的问题，以拓展他们的数学思维。

对于学习能力较弱的学生，可以提供更简单和直观的例子，以帮助他们建立对倍数和约数的基本理解。

除了以上几种教学方法，重要的是教师要关注每个学生的学习进度，并及时进行反馈和纠正。

通过鼓励学生提问、解答问题和进行小组合作，可以增加学生的参与度和学习兴趣。