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小学的奥数之几何五大模型

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标准实用

文案大全

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::SSab

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCDSS=△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

五大模型

1S2S

2

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如图2)，则:():()ABCADESSABACADAE△△

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①2213::SSab

②221324::::::SSSSababab；

③梯形S的对应份数为2ab。

标准实用

文案大全

四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型 沙漏模型

①ADAEDEAFABACBCAG；

②22::ADEABCSSAFAG△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S△ABG:S△AGCS△BGE:S△EGCBE:EC

S△BGA:S△BGCS△AGF:S△FGCAF:FC

S△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB

典型例题精讲

例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

例1图

4

例2 如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是__________。

例2图

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？

举一反三图

【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？

拓展图

标准实用

文案大全

例3 如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是__________。

例3图

例4 如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，若△AOM、△ABO和△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积是__________。

例4图

6

例5 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD的面积。

例5图

例6 如右图长方形ABCD中，EF＝16，F＝9，求AG的长。

例6图

【铺垫】图中四边形 ABCD是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点C、D 连成一个三角形，已知这个三角形在 AB上截得的 EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

铺垫图

标准实用

文案大全 例7 如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH＝5cm，HF＝3cm，求AG。

例7图

例8 如右图，三角形ABC中，BD∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。

例8图

例9 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

例9图

例10 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1：S2＝______。

8

例10图

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小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享

小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 12::SSab

baS2S1 DCBA ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；

三角形等高模型与鸟头模型 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。

【解析】 ⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：

CEDBA FCDBA GDCBA ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

⑸⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

小学奥数平面几何五种面积模型[等积,鸟头,蝶形,相似,共边]

小学奥数平面几何五种面积模型[等积,鸟头,蝶形,相似,共边]

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专业.资料.整理 小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图12::SSab

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则:():()ABCADESSABACADAE△△

EDCBA EDCBA 图⑴ 图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA 完美.格式.编辑

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.

如果三角形的底不变，高越大 （小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大 （小），三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时

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发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的 3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来

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的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积， 而不仅仅取决于高或底的变化. 同

时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

① 等底等高的两个三角形面积相等；

② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 Si :S2 a:b

③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 SA ACD SA BCD ；

反之，如果SAACD SABCD，则可知直线 AB平行于CD •

④ 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）；

⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比. 你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶

6个面积相等的三角形。

⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：

⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:

如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形 ABD面积的多少倍？

⑵求三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍?

小学的奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学的奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

实用标准文案

精彩文档 小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图12::SSab

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则:():()ABCADESSABACADAE△△

EDCBA EDCBA

图⑴ 图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA实用标准文案

精彩文档 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

①2213::SSab

②221324::::::SSSSababab；