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小学奥数-几何五大模型(相似模型)

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页眉内容

模型四 相似三角形模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

①ADAEDEAFABACBCAG；

②22:ADEABCSSAFAG△△：。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD中，16AB，10AD，4BE，那么FC的长度是多少？

【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以::4:161:4BFFCBECD，所以410814FC．

【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？

【解析】 有一个金字塔模型，所以::DEABDCAC，:1540:60DE，所以10DE厘米。

【例 3】 如图，DE平行BC，若:2:3ADDB，那么:ADEECBSS△△________。

【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5ADABAEACDEBC，22:2:54:25ADEABCSS△△，

设4ADES△份，则25ABCS△份，255315BECS△份，所以:4:15ADEECBSS△△。

【例 4】 如图， ABC△中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，

则::ADEDEGFFGCBSSS△四边形四边形 。

【解析】 设1ADES△份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4ADEAFGSSADAF△△，22::1:9ADEABCSSADAB△△，因此4AFGS△份，9ABCS△份，

进而有3DEGFS四边形份，5FGCBS四边形份，所以::1:3:5ADEDEGFFGCBSSS△四边形四边形

【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长。

【解析】 由金字塔模型得:::2:5ADABAEACDEBC，所以42510AC

【巩固】如图， ABC△中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，ADDFFMMPPB，

则::::ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS△四边形四边形四边形四边形 。

【解析】 设1ADES△份，22::1:4ADEAFGSSADAF△△，因此4AFGS△份，进而有3DEGFS四边形份，同理有5FGNMS四边形份，7MNQPS四边形份，9PQCBS四边形份． 任意四边形、梯形与相似模型 页眉内容

所以有::::1:3:5:7:9ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS△四边形四边形四边形四边形

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例 5】 已知ABC△中，DE平行BC，若:2:3ADDB，且DBCES梯形比ADES△大28.5cm，求ABCS△。

【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5ADABDEBC，22:2:54:25ADEABCSS△△，设4ADES△份，则25ABCS△份，25421DBCES梯形份，DBCES梯形比ADES△大17份，恰好是28.5cm，所以212.5cmABCS△

【例 6】 如图：MN平行BC， :4:9MPNBCPSS△△，4cmAM，求BM的长度

【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPNBCPSS△△，所以:2:3MNBC，在金字塔模型中有：

::2:3AMABMNBC，因为4cmAM，4236ABcm，所以642cmBM

【巩固】如图，已知DE平行BC，:3:2BOEO，那么:ADAB________。

【解析】 由沙漏模型得::3:2BOEOBCDE，再由金字塔模型得::2:3ADABDEBC．

【例 7】 如图，ABC中，14AEAB，14ADAC，ED与BC平行，EOD的面积是1平方厘米。那么AED的面积是 平方厘米。

【解析】 因为14AEAB，14ADAC，ED与BC平行，

根据相似模型可知:1:4EDBC，:1:4EOOC，44CODEODSS平方厘米，

则415CDES平方厘米，

又因为::1:3AEDCDESSADDC，所以15533AEDS(平方厘米)．

【例 8】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDOV的面积是ABOV面积的几倍？

【解析】 连接BC，易知OA∥EF，根据相似三角形性质，可知::OBODAEAD，且::1:2OABEDADE，所以CDOV的面积等于CBOV的面积；由1124OABEAC可得3COOA，所以3CDOCBOABOSSSVVV，即CDOV的面积是ABOV面积的3倍。

【例 9】 如图，线段AB与BC垂直，已知4ADEC，6BDBE，那么图中阴影部分面积是多少？

【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．

作辅助线BO，则图形关于BO对称，有ADOCEOSSVV，DBOEBOSSVV，且:4:62:3ADODBOSSVV．

设ADOV的面积为2份，则DBOV的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．

因为610230ABESV，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415．

解法二：连接DE、AC．由于4ADEC，6BDBE，所以DE∥AC，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DEACBDBA，

根据梯形蝴蝶定理，22:::3:35:35:59:15:15:25DOEDOACOECOASSSSVVVV，

所以:1515:915152515:32ADECSS阴影梯形，即1532ADECSS阴影梯形； 页眉内容

又11101066=3222ADECS梯形，所以151532ADECSS阴影梯形．

【例 10】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，:3:1BGGC，则四边形EFGH的面积________．

【解析】 因为FGHE为平行四边形，所以//ECAG，所以AGCE为平行四边形．

:3:1BGGC，那么:1:4GCBC，所以1116444AGCEABCDSSYY．

又AEGC，所以::1:3AEBGGCBG，根据沙漏模型，

::3:1FGAFBGAE，所以334344FGHEAGCESSYY．

【例 11】 已知三角形ABC的面积为a，:2:1AFFC，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．

【解析】 已知:2:1AFFC，且EF∥BC，利用相似三角形性质可知::2:3EFBCAFAC，所以23EFBC，且:4:9AEFABCSSVV．

又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么12EGBC，12::3:423EGEF，所以:1:4GFEF，可得:1:8CFGAFESSVV，所以:1:18CFGABCSSVV，那么18CFGaSV．

【例 12】 已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且10cmAE，15cmAF，求正方形ABCD的边长．

【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有::BCAFCEEF，::DCAECFEF，设正方形的边长为cmx，所以有1BCDCCECFAFAEEFEF，即11510xx，解得6x，所以正方形的边长为6cm．

方法二：或根据一个金字塔列方程即151015xx，解得6x

【例 13】 如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边120BC毫米，高80AD毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAPBCAB，PHBPADAB，设正方形的边长为x毫米，PNPHBCAD1APBPABAB，即112080xx，解得48x，即正方形的边长为48毫米．

【巩固】如图，在ABC△中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是ABC△ 边BC的高，交DE于M，:1:2DGDE，12BC厘米，8AH厘米，求长方形的长和宽．

【解析】 观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEADBCAB，DGBDAHAB，所以有1DEDGADBDBCAHABAB，设DGx，则2DEx，所以有21128xx，解得247x，4827x，因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米． 页眉内容

【例 14】 图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

【解析】 根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．

做GM垂直DC于M，交AB于N．

因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为:4:121:3EFDC，

所以:1:3GNGM，又因为12MNGMGN，所以18GMcm，

所以三角形GDC的面积为2112181082cm．

【例 15】 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？

【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：31223NF；12312EM，

则59NF，53EM，

【例 16】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．

【解析】 设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米(mn)，则2252mn，所以8m．若5m，则222525052mn，不合题意，所以m只能为6或7．检验可知只有6m、4n满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，::6:43:2BGGFABFE，而6BGGF，得3.6BG(厘米)，所以阴影部分的面积为：163.610.82(平方厘米)．

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小升初奥赛几何五大模型

小升初奥赛几何五大模型

几何五大模型

一、五大模型简介

（1）等积变换

①、等底等高的两个三角形面积相等

②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1

③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2

④、在一组平行线之间的等积变形，如图3

图1 图2 图3

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

解：S△ADC=12S△ABC=12×24=12

S△ADE=12S△ADC=12×12=6；S△DEF=12S△ADE=12×6=3

（2）鸟头（共角）定理模型

①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；

②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点

𝑆△ABC𝑆△ADE=𝐴𝐵×AC𝐴𝐷×AE

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

解：由题意知：S△ABCS△ADE=AB×ACAD×AE=52×53=256

∴S△ABC=256×S△ADE=256×12=50(平方厘米)

（3）蝴蝶模型

1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

① S2=S4(梯形两翼相等)

② S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab

③ 梯形S对应的分数为（a+b)2

例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

解：𝑆△AOB:𝑆△BOC=25:35=5:7

𝑆△AOB:𝑆△DOC=𝐴𝐵2:𝐷𝐶2=52:72=25：49

∴𝑆△DOC=49

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型

1

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

① 等底等高的两个三角形面积相等；

② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1：S a:b

③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 EACD足BCD ；

反之，如果SACD SABCD，则可知直线AB平行于CD .

④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）；

⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在AABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴（或D在BA的延长线上，E在 AC

上）,

贝S SAABC : SAADE （AB AC）： （AD AE）

图⑵

任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：

① S：S2 S4 ：S3 或者 Si S3 S2 S4 ② AO:OC Si & : S4 S3

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造Si S2

a A B

C D

C D 2

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：

① S：S a2：b2

② S1 : S3 : S2: S4 a2: b2: ab: ab ;

③ S的对应份数为a b2 .

四、相似模型

（一）金字塔模型

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边）

目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型与沙漏模型),共边（含燕尾模型与风筝模型), 掌握五大面积模型得各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高得两个三角形面积相等;

②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比;

两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;

如右图

③夹在一组平行线之间得等积变形,如右图;

反之，如果,则可知直线平行于、

④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);

⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半；

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比、

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形、

共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比、

如图在中,分别就就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上),

则

EDCBA

图⑴ 图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中得比例关系(“蝶形定理”):

①或者②

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径、通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应得对角线得比例关系、

梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”): DCBAS4S3S2S1ODCBAABCDObaS3S2S1S4

①

②；

③得对应份数为、

四、相似模型

(一）金字塔模型 (二） 沙漏模型

GFEABCD

ABCDEFG

①;

②、

所谓得相似三角形，就就就是形状相同,大小不同得三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关得常用得性质及定理如下:

2018五年级奥数.几何.相似三角形模型(A级).学生版

2018五年级奥数.几何.相似三角形模型(A级).学生版

相似三角形模型（A级）Page1of

8知识框架相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG（1）ADAEDEAFABACBCAG；（2）22:ADEABCSSAFAG△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；（3）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．例题精讲相似三角形模型相似三角形模型（A级）Page2of8一、沙漏模型【例1】四边形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？【巩固】梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少?【巩固】如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE：EC=1:3，AF与BE相交于点G，求ABGS.【例3】如图ABCD是梯形，BD是对角线，E为BD上一点，EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面积分别为6和10平方厘米，EF：EG=7:4,那么求梯形相似三角形模型（A级）Page3of8ABCD的面积。GEFABCDO【巩固】如图，△ABC中AE=14AB，AD=14AC，ED与BC平行，△EOD的面积是1平方厘米。那么△AED的面积是平方厘米。ODECBA欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例4】如图，平行四边形ABCD的面积是12，ADDE31，AC与BE的交点为F，那么图中阴影部分面积是________；CBFADE【巩固】长方形ABCD的面积是12平方厘米，2AFFD，2CEED，G是BC的中点．阴影部分的面积是________平方厘米；【例5】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积．HGFEDCBA相似三角形模型（A级）Page4of8【巩固】已知：如图，四边形ABCD是直角梯形，∠A=∠B=90º,AD=3,BC=4,S=△AOD=1,求四边形ABCD的面积。二、金字塔模型【例6】如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，则::ADEDEGFFGCBSSS△四边形四边形．EGFADCB【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长．AEDCB【例7】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【巩固】如图，在ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上,D、E分别在AB、AC上，AH是ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2,BC=12厘米，AH=8厘米，求长方形的长和宽。相似三角形模型（A级）Page5of