小学奥数几何五大模型
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小学奥数几何五大模型
一、五大模型简介
（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比， 如图1所示，::ABDACDSSBDCD△△； 3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比， 如图2所示，::ACDBCDSSAEBF△△； 4、在一组平行线之间的等积变形， 如图3所示，ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则直线ABCD∥。
例、如图，ABC△的面积是24，DEF、、分别是BCACAD、、的中点，求DEF△的面积。
解析：根据等积变换知，11241222ADCABCSS△△, 1112622ADEADCSS△△，116322DEFADESS△△。 图3图2图1FEB
DCAB
CDA
DCBA
FE
DCBA（2）鸟头模型（共角定理） 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。 如下图ABC△中，DE、分别是ABAC、上或ABAC、延长线上的点。
则有：ADEABCSADAESABAC△△。
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
证明：如图，连接BE，根据等积变换模型知， ::ADEABESSADAB△△、::ABECBESSAECE△△，
所以:::ABEABCABEABECBESSSSSAEAC△△△△△。
因此ADEADEABEABCABEABCSSSADAEADAESSSABACABAC△△△△△△。
例、如图，在ABC△中，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且:ABAD 5:2，:3:2AEEC，ADE△的面积为12平方厘米，求ABC△的面积。
ED
CBAED
CBA
ED
CBA
ED
CBA解析：根据鸟头模型可知：ABCADESABACSADAE△△，
所以55125023ABCADEABACSSADAE△△（平方厘米）。 （3）蝴蝶模型
1、梯形中的比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
①24SS（因为ABCDBCSS△△，所以ABCOBCDBCOBCSSSS△△△△），2213::SSab；
②221234::::::SSSSababab；
③梯形S的对应份数为2ab。 例、如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，对角线ACBD、交于点O，已知AOBBOC△、△的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
解析：由梯形蝴蝶模型的性质知，2::25:35AOBBOCSSABABCD△△，
所以:5:7ABCD；所以2222::5:725:49AOBDOCSSABCD△△， 即49DOCS△平方厘米，而35AODBOCSS△△平方厘米， 所以梯形ABCD的面积为：25+35+35+49=144平方厘米。 baS4S3S2S1OD
CBA
3525OD
CBA2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①1243::SSSS或者1324SSSS；
②1234SSAOCOSS，2314SSBODOSS。
例、如图，四边形ABCD的对角线ACBD、交于点O，如果ABD△的面积等于BCD△面积的13，且2AO，3DO，求CO的长度是DO长度的几倍。
解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知，::1:3ABDBCDAOCOSS△△，所以3326COAO，所以:6:32:1CODO，即CO是DO的2倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 （4）相似模型 1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 S4S3S2S1O
CBDA
O
CBDA相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DEBC∥。 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DEBC∥，所以ADEABC△∽△，则 ①ADAEDEABACBC；②22::ADEABCSSADAB△△。 例、如图，已知在平行四边形ABCD中，16AB、10AD、4BE，那么FC的长度是多少？
解析：根据平行四边形的性质知，ABCD∥，所以由沙漏模型知：::16:44:1FCFBCDBE，所以44108415FCBC。 （5）燕尾模型
由于两种颜色阴影部分的形状合在一起像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质： ①::ABOACOSSBDDC△△；
②::ABOBCOSSAEEC△△； ED
CBAED
CBA
FEDC
BA
OFE
DCBA③::ACOBCOSSAFFB△△。 例、如图，DE、分别在BCAC、上，且:2:3AEEC，:1:2BDDC，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。
解析：如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知： 12ABFACFSBDSDC△△，23ABFCBFSAESEC△△。
现设1BDFS△份，则2CDFS△份、4ACFS△份、241.623AEFS△份、342.423CEFS△份。 所以22.44.4DFECS四边形份、2349ABCS△份。
224.4945ABCS△（平方厘米）。 二、五大模型经典例题详解
（1）等积变换模型 例1、图中的EFG、、分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
FE
DCBA
21.62.421FE
DCBA
G
FED
CBA65
4321G
FED
CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边ABBCCD、、就被分成了相等的三段。把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。 根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。 例2、如图所示，QEPM、、、分别为直角梯形ABCD两边ABCD、上的点，
且DQCPME、、彼此平行，已知5753ADBCAEEB、、、，求阴影部
分三角形PQM的面积。
解析：如图所示，连接CEDE、， 由于DQME、平行，根据同底等高知，QMEDMESS△△；
同理根据BCME、平行，有PMECMESS△△；所以PQMCDESS△△。 由于四边形ABCD为直角梯形， 所以1115753553725222CDEADEBCEABCDSSSS△△△梯形，
即阴影三角形PQM的面积为25。 （2）鸟头（共角）定理模型 例1、如图所示，平行四边形ABCD，BEAB、2CFCB、3GDDC、4HAAD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
PQMED
CBAA
BCD
EMQ
P 解析：如图所示，连接ACBD、，由于在ABCEBF△、△中，ABC∠与EBF∠互补，根据鸟头定理有111133ABCEBFSABBCSBEBF△△； 因为112ABCABCDSS△平行四边形，所以3EBFS△； 同理可得：428AEHS△、428GCFS△、5315DHGS△。 所以2218815323618ABCDEBFSS平行四边形四边形。
例2、如图所示，ABC△的面积为1，54BCBDACECDGGSSE、、、AFFG，求FGS△的面积。
解析：首先根据等积变换模型知，FGSFESEAFEGFSSSS△△△△、，
所以4AGEFGSSS△△。
根据鸟头模型有32213AGECDESAEGESCEDE△△，所以2CDEFGSSS△△；
21211AGDFGSSAGDGSFGSG△△，所以2AGDFGSSS△△；所以8ACDFGSSS△△；
CH
FEDGB
ACH
FEDGBA
SGF
E
DCBA111144ADBACDSADBDSADDC△△，所以2ADBFGSSS△△；所以10ABCFGSSS△△， 即110FGSS△。 （3）蝴蝶模型 例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？
解析：如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。设AOBS△的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，2BCAD，再根据梯形蝴蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了18份，阴影部分占其中的8份，即阴影部分面积为841189。 例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。
解析：如图所示，连接DECF、。在梯形EDCF中，根据梯形蝴蝶定理知，EODFOCSS△△，2816EODFOCEOFDOCSSSS△△△△， 即4EODFOCSS△△，所以8412ECDS△，12224ABCDS长方形，
245289OFBCS四边形。
12
244
221O
DCBA
285OFE
DCBA285OFE
DCBA
