平抛运动模型

高中物理24个经典模型高中物理中有许多经典的模型，这些模型帮助我们理解物理世界的运作原理。

本文将介绍高中物理中的24个经典模型，让我们一起来了解它们吧！1.单摆模型：单摆模型用来研究摆动的物体的运动规律。

它包括一个质点和一个细线，可以通过改变细线长度或质点的质量来研究摆动的周期和频率。

2.平抛运动模型：平抛运动模型用来研究水平投掷物体的运动轨迹和速度。

它假设没有空气阻力，只有重力作用。

可以通过改变初速度和仰角来研究物体的落点和飞行距离。

3.牛顿第一定律模型：牛顿第一定律模型认为在没有外力作用下物体将保持匀速直线运动或静止。

这个模型帮助我们理解惯性的概念和物体运动状态的变化。

4.牛顿第二定律模型：牛顿第二定律模型描述了物体受力和加速度之间的关系。

它的数学表达式为F=ma，其中F表示物体受力，m表示物体质量，a表示物体加速度。

5.牛顿第三定律模型：牛顿第三定律模型表明对于每个作用力都存在一个等大反向的相互作用力。

这个模型帮助我们理解力的概念和物体之间的相互作用。

6.阻力模型：阻力模型用来研究运动物体与介质之间的相互作用。

它的大小与速度和物体形状有关，在物体运动时会减小其速度。

7.功率模型：功率模型描述了物体转化能量的速度和效率。

它等于功的大小除以时间，可以帮助我们理解物体能量的转变和利用。

8.热传导模型：热传导模型描述了热量在物体间传递的过程。

它通过研究热导率和温度差来解释热量传递的速率和方向。

9.摩擦力模型：摩擦力模型用来描述物体在接触面上滑动或滚动时的相互作用。

它的大小与物体之间的粗糙程度和压力有关，可以通过摩擦力模型来研究物体的运动和停止。

10.力矩模型：力矩模型用来研究物体旋转的平衡和加速度。

它的数学表达式为M=rF，其中M表示力矩，r表示力臂，F表示作用力。

11.浮力模型：浮力模型用来研究物体在液体或气体中的浮力。

它的大小等于液体或气体对物体的推力，可以帮助我们理解物体在液体中的浮沉和船只的浮力原理。

平抛运动与斜面模型平抛运动是一种古老的物理模型，它描述了当一个物体以一定的初速度被投掷出去时，沿着水平方向运动，并受到重力的作用而沿着竖直方向下落的运动状态。

这种运动状态被称为平抛运动，是物理学中比较简单的一种运动状态，也是一些很有用的实际问题中的基础。

平抛运动的数学模型是基于牛顿的力学定律和基本运动学公式建立的。

当一个物体以初速度v0在地面上被投掷出去时，它会以固定的速度沿水平方向移动，其水平速度不变，可以用以下方程表示：x = v0t其中，x为物体沿水平方向移动的距离，t为运动的时间。

如果物体受到重力的作用，它将沿竖直方向运动，竖直方向的速度将会发生改变。

物体的竖直运动可以由以下公式描述：y = v0t - 1/2gt^2其中，y为物体沿竖直方向下落的距离，g为重力加速度，t为运动的时间。

在这个运动状态中，物体沿着抛出角度的曲线运动，其运动轨迹可以表示为：y = xtanθ-1/2gx²/(v0cosθ)²其中，θ为抛出角度，在这个运动状态中，这个抛出角度是重要的参数之一，它会影响物体的运动轨迹。

如果初始速度v0和抛出角度θ已经确定，我们就可以使用这些公式来计算出物体在任意时间和任意位置的运动状态。

平抛运动模型有许多实际运用，其中之一是对于物体的落点的预测。

在一些体育比赛中，比如说击球运动、投掷项目等，通过预测体育器材的抛出速度和角度，运动员可以估算出它们的运动轨迹和落点。

此外，平抛运动模型也被广泛应用于医院等领域，在判断怪物或人的跳跃速度、分析运动员的动作时我们需要用到平抛运动模型。

斜面模型是一种质点受到斜面力作用而在斜面上滑动的物理模型。

当一个物体放置在斜面上后，受到位置和重力的相互作用，它在斜面上沿着向下的方向开始滑动，这种滑动称为斜面运动。

斜面运动的模型包含了许多因素，比如物体的重量、斜面的夹角、摩擦系数等，这些因素都会影响物体在斜面上的滑动状态。

基于运动学和力学原理，可以把这些因素纳入斜面运动的数学模型中。

平抛运动和斜抛运动的理论模型运动是物质的基本属性之一，而平抛运动和斜抛运动则是我们在日常生活中经常遇到的两种运动形式。

平抛运动是指物体在水平方向上以一定的初速度进行运动，而斜抛运动则是指物体在同时具有水平和竖直初速度的情况下进行运动。

这两种运动都可以通过理论模型进行描述和分析。

首先，让我们来看看平抛运动的理论模型。

在平抛运动中，物体的运动轨迹是一个抛物线。

根据牛顿第一定律，物体在水平方向上不受外力作用，因此它的水平速度保持不变。

而在竖直方向上，物体受到重力的作用，因此它的竖直速度会逐渐减小，直至最终下落到地面。

根据牛顿第二定律，我们可以得到物体在竖直方向上的运动方程：\[y = v_0t - \frac{1}{2}gt^2\]其中，y代表物体的竖直位移，v0代表物体的竖直初速度，t代表时间，g代表重力加速度。

这个方程描述了物体在竖直方向上的运动轨迹。

接下来，让我们来探讨斜抛运动的理论模型。

在斜抛运动中，物体的运动轨迹同样是一个抛物线，但它的初速度不仅具有水平分量，还具有竖直分量。

根据牛顿第一定律，在水平方向上物体的速度保持不变，而在竖直方向上物体受到重力的作用，速度逐渐减小。

因此，我们可以将物体在水平方向上的运动和竖直方向上的运动分开来分析。

首先，我们来看物体在水平方向上的运动。

根据牛顿第一定律，物体在水平方向上不受外力作用，因此它的水平速度保持不变。

假设物体的水平初速度为v0x，那么物体在水平方向上的运动可以用以下方程描述：\[x = v_0xt\]其中，x代表物体的水平位移。

接下来，我们来看物体在竖直方向上的运动。

根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上受到重力的作用，因此它的竖直速度会逐渐减小。

假设物体的竖直初速度为v0y，那么物体在竖直方向上的运动可以用以下方程描述：\[y = v_0yt - \frac{1}{2}gt^2\]其中，y代表物体的竖直位移。

通过将水平方向上的运动和竖直方向上的运动结合起来，我们可以得到物体的整体运动轨迹。

第15讲多体平抛运动模型1．（2021·江苏）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（）A．A比B先落入篮筐B．A、B运动的最大高度相同C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同【解答】解：AB、将A、B篮球的运动过程逆向看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同一高度上的两点，因A水平位移较大，可知A的抛射速度较大，竖直初速度较大，最大高度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误；C、因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误；D、由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。

故选：D。

一.知识总结1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4. 平抛运动基本规律如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．图1(1)位移关系(2)速度关系（3）飞行时间 由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关． （4）水平射程 x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． （5）落地速度v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2ghv 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关． （6）速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．图4（7）两个重要推论①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即x B ＝x A 2.图5推导：⎭⎬⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y AxA→x B＝x A2②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导：⎭⎬⎫tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v→tan θ＝2tan α5.多体平抛模型（1）模型特点：涉及到两个或两个以上物体做平抛运动的模型 （2）模型运动规律①若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

方法26 高中物理模型盘点（十六）类平抛运动模型物理模型盘点——类平抛运动模型［模型概述］带电粒子在电场中的偏转是中学物理的重点知识之一，在每年的高考中一般都与磁场综合，分值高，涉及面广，同时相关知识在技术上有典型的应用如示波器等，所以为高考的热点内容。

［模型要点］1、类平抛运动模型：初速度不为零，加速度恒定且垂直于初速度方向的运动，我们称之为类平抛运动．在解决这类运动时，方法完全等同于平抛运动的解法，即将类平抛运动分解为两个互相垂直、互相独立的运动，然后按运动的合成与分解的方法解题．即将平抛运动的解题方法推广到类平抛运动中去．2、类平抛运动与平抛运动的区别平抛运动的初速度水平，只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a ＝g ；类平抛运动的初速度不一定水平，但合外力与初速度方向垂直且为恒力，a ＝F 合m。

3、求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。

(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a 分解为ax 、ay ，初速度v0分解为vx 、vy ，然后分别在x 、y 方向上列方程求解。

4、求解类平抛运动问题的关键(1)对研究对象受力分析，找到合外力的大小、方向，正确求出加速度。

例题中，物体受重力、支持力作用，合外力沿斜面向下。

(2)确定是研究速度，还是研究位移。

(3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t 联系起来。

5、带电粒子的类平抛运动模型其总体思路为运动的分解（1）电加速：带电粒子质量为m ，带电量为q ，在静电场中静止开始仅在电场力作用下做加速运动，经过电势差U 后所获得的速度v0可由动能定理来求得。

即2012qU mv =。

（2）电偏转：垂直电场线方向粒子做匀速00x v v x v t ==，，沿电场线方向粒子做匀加速，有：220tan 2y y x v qU qUL v t y dm v dmv θ===，， (要求自行作图推导) 在交变电场中带电粒子的运动：常见的产生及变电场的电压波形有方行波，锯齿波和正弦波，对方行波我们可以采用上述方法分段处理，对于后两者一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中运动时电场为恒定电场”。

平抛与斜面模型▲考纲说明：抛体运动II▲复习指导：掌握平抛运动的研究方法及规律——运动的合成与分解解决相关平抛运动的实际问题课前复习基本规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x＝，位移x＝。

(2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y＝，位移y＝。

1．模型特点平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛到落回斜面的运动过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。

求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件。

2．特殊状态该模型最重要的状态是物体落回斜面和速度与斜面平行两个时刻的状态，这两个状态典型的运动特征如下：(1)从斜面开始平抛并落回斜面的时刻：①全过程位移的方向沿斜面方向，即竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切。

②竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角正切的两倍。

(2)速度与斜面平行的时刻：①竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角的正切。

②该时刻是全运动过程的中间时刻。

③该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为1∶3。

④该时刻之前与该时刻之后斜面方向上的位移之比不是1∶3。

3．特殊类型该模型的另一类问题是平抛后垂直撞击斜面。

在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角互余。

[例1] 如图4－2－10所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，一小球以两种方式释放：第一种方式是在A点以速度v0平抛落至B点；第二种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑至B 点，求：(1)AB 的长度多大？(2)两种方式到达B 点，平抛的运动时间为t 1，下滑的时间为t 2，t 1t 2等于多少？ 练习1(2013·江西盟校二联)如图4－2－11所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同初速度水平抛出，小球均落到斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α1，当抛出的速度为v 2时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α2，则( )A ．当v 1>v 2时，α1>α2B ．当v 1>v 2时，α1<α2C ．无论v 1、v 2大小如何，均有α1＝α2D ．2 tan θ＝tan(α1＋θ) [模型构建] 物体从斜面上某一点水平抛出又落在斜面上，即满足平抛运动规律。

物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型模型一 水平地面上空h 处的平抛运动 由h ＝12gt 2知t ＝2hg，即t 由高度h 决定．甲模型二 半圆内的平抛运动(如图甲) 由半径和几何关系制约时间t ： h ＝12gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t .模型三 斜面上的平抛运动乙1．顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移 x ＝v 0t y ＝12gt 2 tan θ＝yx 可求得t ＝2v 0tan θg丙2．对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度 v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt v 0可求得t ＝v 0tan θg模型四 对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)丁水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同． t ＝d v 0例1 如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )A ．1 m/sB ．2 m/s C.3 m/sD ．4 m/s【解析】 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如图所示．第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确． 【答案】 AD例2 如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点【解析】 如图所示，过b 点做水平线be ，由题意知小球第一次落在b 点，第二次速度变为原来的2倍后，轨迹为Oc ′，c ′在c 的正下方be 线上，故轨迹与斜面的交点应在bc 之间．据运动规律作图越直观，对解决问题越有利．【答案】 A[高考真题]1. (2015·课标卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h ＜v ＜L 1g6hB.L 14gh ＜v ＜ (4L 21＋L 22)g6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g6h D.L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h【解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动． 当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 212①L 12＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝L 14g h当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有124L 21＋L 22＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22④联立③④得v 2＝12(4L 21＋L 22)g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14g h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g6h，选项D 正确．【答案】 D2.(2016·上海卷，23)如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC 是位于竖直平面内以O 为圆心的一段圆弧，OA 与竖直方向的夹角为α.一小球以速度v 0从桌面边缘P 水平抛出，恰好从A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽．小球从P 到A 的运动时间为 ________ ；直线P A 与竖直方向的夹角β＝ ________ .【解析】 据题意，小球从P 点抛出后做平抛运动，小球运动到A 点时将速度分解，有tan α＝v y v x ＝gt v 0，则小球运动到A 点的时间为：t ＝v 0tan αg ；从P 点到A 点的位移关系有：tan β＝v 0t 12gt 2＝2v 0gt ＝2tan α＝2cot α，所以P A 与竖直方向的夹角为：β＝arctan(2cot α)．【答案】v 0tan αgarctan(2cot α) 3.(2014·江苏卷，6)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A 球水平抛出，同时B 球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有( )A ．两球的质量应相等B ．两球应同时落地C ．应改变装置的高度，多次实验D ．实验也能说明A 球在水平方向上做匀速直线运动【解析】 小锤打击弹性金属片后，A 球做平抛运动，B 球做自由落体运动．A 球在竖直方向上的运动情况与B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A 、B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A 球在水平方向上的运动性质，故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．【答案】 BC[名校模拟]4．(2018·山东师大附中高三模拟)如图所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )A ．A 、B 的运动时间相同 B ．A 、B 沿x 轴方向的位移相同C ．A 、B 运动过程中的加速度大小相同D ．A 、B 落地时速度大小相同【解析】 设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝12g sin θ·t 22可得：t 1＝2hg，t 2＝2hg sin 2θ，故t 1＜t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1＜x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C 错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋(gt 1)2＝v 20＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋(a 2·t 2)2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确．【答案】 D5．(2018·山东烟台高三上学期期中)如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P 点以v 0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g ，若小球落到斜面上，则此过程中( )A ．小球飞行时间为2v 0tan θgB ．小球的水平位移为2v 20tan θgC ．小球下落的高度为2v 20sin θgD ．小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x 三式得t ＝2v 0tan θg ，水平位移x ＝2v 20tan θg，小球下落高度y ＝12gt 2＝2v 20tan 2θg.小球落在斜面上，速度方向斜向右下方，不可能与斜面垂直．A 、B 正确．【答案】 AB6．(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，位于同一高度的小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为45°的斜面上的C 点，小球B 恰好垂直打到斜面上，则A 、B 到达C 点的速度之比为( )A ．2∶1B ．1∶1 C.2∶ 5D ．5∶22【解析】 对于A 球：x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，x ＝y ，t ＝2v 1g ，v A ＝v 21＋v 2y ＝5v 1；对于B 球：v 2＝v y ＝g ·t ＝2v 1，v B ＝22v 1，所以v 1∶v 2＝5∶2 2.【答案】 D课时作业(十一) [基础小题练]1.(2018·山东临沂高三上学期期中)在一次投球游戏中，某同学调整好力度，将球水平抛向放在地面的小桶中，结果球飞到小桶的右方(如图所示)，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为( )A ．减小初速度，抛出点高度不变B ．增大初速度，抛出点高度不变C ．初速度大小不变，提高抛出点高度D ．初速度大小不变，降低抛出点高度 【解析】 由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，得x ＝v 02yg，球飞到小桶右方，说明水平位移偏大，可使高度不变，减小v 0，或v 0不变，降低高度，A 、D 正确．【答案】 AD2．从同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A 和B ，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两球在空中相遇，则必须( )A ．两球的初速度一样大B ．B 球初速度比A 大C ．同时抛出两球D ．先抛出A 球【解析】 小球在竖直方向上做自由落体运动，由h ＝12gt 2，两小球从同一高度抛出在空中某处相遇，则两小球下落时间相同，故说明两小球从同一时刻抛出，C 正确，D 错误；由x ＝v 0t ，A 球的水平位移大，说明A 的初速度大，A 、B 错误．【答案】 C3.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s 2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )A. 6 m/s<v ≤2 2 m/s B ．2 2 m/s<v ≤3.5 m/s C. 2 m/s<v < 6 m/s D ．2 2 m/s<v < 6 m/s【解析】 根据平抛运动规律有：x ＝v t ，y ＝12gt 2，若打在第3台阶与第4台阶边沿，则根据几何关系有：v t ＝12gt 2，得v ＝12gt ，如果落到第四台阶上，有：3×0.4<12gt 2≤4×0.4，代入v ＝12gt ，得 6 m/s<v ≤2 2 m/s ，A 正确．【答案】 A4．一带有乒乓球发射机的乒乓球台水平台面的长是宽的2倍，中间球网高h ，发射机安装于台面左侧边缘的中点，发射点的高度可调，发射机能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，不计空气阻力，当发射点距台面高度为3h 且发射机正对右侧台面的外边角以速度v 1发射时，乒乓球恰好击中边角，如图所示；当发射点距台面高度调为H 且发射机正对右侧台面以速度v 2发射时，乒乓球恰好能过球网且击中右侧台面边缘，则( )A.H h ＝43，v 1v 2＝176 B ．H h ＝21，v 1v 2＝176C.H h ＝43，v 1v 2＝23D ．H h ＝21，v 1v 2＝23【解析】 设乒乓球台宽为L ，乒乓球的运动是平抛运动，当以速度v 1发射时，由平抛规律知3h ＝12gt 21，(2L )2＋⎝⎛⎭⎫L 22＝v 1t 1，联立解得v 1＝L217g6 h；同理，当以速度v 2发射时，H ＝12gt 22，2L ＝v 2t 2，H －h ＝12gt 23，L ＝v 2t 3，联立解得H ＝43 h ，v 2＝L 3g 2h ，所以H h ＝43，v 1v 2＝176，A 正确． 【答案】 A5．(2018·山东师大附中高三上学期二模)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )A. 3gR2 B ． 33gR2 C.3gR2D ．3gR3【解析】 画出小球在B 点速度的分解矢量图．由图可知，tan 60°＝v 0gt ，R (1＋cos 60°)＝v 0t ，联立解得：v 0＝33gR2，选项B 正确． 【答案】 B6.如图所示，在距地面高为H ＝45 m 处，有一小球A 以初速度v 0＝10 m/s 水平抛出，与此同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度同方向滑出，B 与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.4，A 、B 均可视为质点，空气阻力不计(取g ＝10 m/s 2)．下列说法正确的是( )A ．小球A 落地时间为3 sB ．物块B 运动时间为3 sC ．物块B 运动12.5 m 后停止D ．A 球落地时，A 、B 相距17.5 m 【解析】 根据H ＝12gt 2得，t ＝2H g＝ 2×4510s ＝3 s ，故A 正确；物块B 匀减速直线运动的加速度大小a ＝μg ＝0.4×10 m/s 2＝4 m/s 2，则B 速度减为零的时间t 0＝v 0a ＝104 s＝2.5 s ，滑行的距离x ＝v 02t 0＝102×2.5 m ＝12.5 m ，故B 错误，C 正确；A 落地时，A 的水平位移x A ＝v 0t ＝10×3 m ＝30 m ，B 的位移x B ＝x ＝12.5 m ，则A 、B 相距Δx ＝(30－12.5)m ＝17.5 m ，故D 正确．【答案】 ACD[创新导向练]7．休闲运动——通过“扔飞镖”考查平抛运动知识飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动．一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小．现有一靶的第10环的半径为1 cm ，第9环的半径为2 cm ……以此类推，若靶的半径为10 cm ，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5 m ，将飞镖对准第10环中心以水平速度v 投出，g ＝10 m/s 2.则下列说法中正确的是( )A ．当v ≥50 m/s 时，飞镖将射中第8环线以内B ．当v ＝50 m/s 时，飞镖将射中第6环线C ．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v 至少为50 2 m/sD ．若要击中靶子，飞镖的速度v 至少为25 2 m/s【解析】 根据平抛运动规律可得，飞镖在空中飞行有：x ＝v t ，h ＝12gt 2，将第8环半径为3 cm 、第6环半径为5 cm 、第10环半径为1 cm 、靶的半径为10 cm 代入两式可知正确选项为B 、D.【答案】 BD8．科技前沿——轰炸机上的投弹学问我国自主研制的“歼十五”轰炸机完成在航母上的起降．如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此不能算出( )A ．轰炸机的飞行速度B ．炸弹的飞行时间C ．轰炸机的飞行高度D ．炸弹投出时的动能【解析】 由图可得炸弹的水平位移为x ＝htan θ.设轰炸机的飞行高度为H ，炸弹的飞行时间为t ，初速度为v 0.炸弹垂直击中山坡上的目标A ，则根据速度的分解有tan θ＝v 0v y ＝v 0gt ，又H －h x ＝12gt2v 0t ＝gt 2v 0，联立以上三式得H ＝h ＋h 2tan 2θ，可知能求出轰炸机的飞行高度H ，炸弹的飞行时间t ＝2(H －h )g ，轰炸机的飞行速度等于炸弹平抛运动的初速度，为v 0＝xt，故A 、B 、C 均能算出；由于炸弹的质量未知，则无法求出炸弹投出时的动能，故D 不能算出．【答案】 D9．体育运动——乒乓球赛中的平抛运动知识在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示．不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )A ．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B ．球1的速度变化率小于球2的速度变化率C ．球1的飞行时间大于球2的飞行时间D ．过网时球1的速度大于球2的速度【解析】 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动．重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v 2＝2gh 得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B 错误；由h ＝12gt 2可得两球飞行时间相同，C 错误；由x ＝v t 可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确．【答案】 AD10．体育运动——足球运动中的平抛运动规律(2015·浙江卷，17)如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )A ．足球位移的大小x ＝ L 24＋s 2 B ．足球初速度的大小v 0＝ g 2h (L 24＋s 2) C ．足球末速度的大小v ＝g 2h (L 24＋s 2)＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s【解析】 足球位移大小为x ＝(L2)2＋s 2＋h 2＝L 24＋s 2＋h 2，A 错误；根据平抛运动规律有：h ＝12gt 2,L 24＋s 2＝v 0t ，解得v 0＝g 2h (L 24＋s 2)，B 正确；根据动能定理mgh ＝12m v 2－12m v 20可得v ＝v 20＋2gh ＝g 2h (L 24＋s 2)＋2gh ，C 错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tan θ＝s L 2＝2sL ，D 错误．【答案】 B[综合提升练]11．(2016·浙江卷，23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示，P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系． 【解析】 (1)打在中点的微粒32h ＝12gt 2①t ＝3h g② (2)打在B 点的微粒v 1＝L t 1，2h ＝12gt 21③v 1＝Lg 4h④ 同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h⑤ 微粒初速度范围Lg4h≤v ≤L g 2h⑥ (3)由能量关系12m v 22＋mgh ＝12m v 21＋2mgh ⑦ 代入④、⑤式L ＝22h ⑧ 【答案】 (1)3hg(2)L g4h≤v ≤L g 2h(3)L ＝22h12.如图所示，倾角为37°的斜面长l ＝1.9 m ，在斜面底端正上方的O 点将一小球以v 0＝3 m/s 的速度水平抛出，与此同时静止释放顶端的滑块，经过一段时间后小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块．(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：(1)抛出点O 离斜面底端的高度； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ.【解析】 (1)设小球击中滑块时的竖直速度为v y ，由几何关系得v 0v y ＝tan 37°设小球下落的时间为t ，竖直位移为y ，水平位移为x ，由运动学规律得 v y ＝gt ，y ＝12gt 2，x ＝v 0t设抛出点到斜面最低点的距离为h ，由几何关系得 h ＝y ＋x tan 37° 由以上各式得h ＝1.7 m.(2)在时间t 内，滑块的位移为x ′，由几何关系得 x ′＝l －xcos 37°， 设滑块的加速度为a ，由运动学公式得x ′＝12at 2，对滑块由牛顿第二定律得 mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma ， 由以上各式得μ＝0.125. 【答案】 (1)1.7 m (2)0.125。

平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为2．［平抛运动规律的应用］如图所示，ab 为竖直平面内的半圆环acb 的水平直径， c 为环上最低点，环半径为R.将一个小球从a点以初速度v0沿ab 方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则（）A ．当小球的初速度v0＝22gR时，掉到环上时的竖直分速度最大B ．当小球的初速度v0< 22gR时，将撞击到环上的圆弧ac 段C．当v0 取适当值，小球可以垂直撞击圆环D．无论v0 取何值，小球都不可能垂直撞击圆环3.如图所示,两小球a、b 从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率v0 向左、向右水平抛出,分别落在两个斜面上,三角形的两底角分别为30°和60°,则两小球a、b 运动时间之比为（）A.1∶3B.1∶3C. 3∶1D.3∶14.如图所示,M 和N 是两块相互平行的光滑竖直弹性板.两板之间的距离为L,高度为H. 现从M 板的顶端O以垂直板面的水平速度v0抛出一个小球.小球在飞行中与M 板和N板分别在 A 点和B点相碰（假设碰撞时无能量损失）,并最终在两板间的中点C处落地.求: 1）小球抛出的速度v0 与L 和H 之间满足的关系2）OA、AB 、BC 在竖直方向上的距离之比.5. 如图所示，以v0＝10 m/s 的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，按g＝10 m/s2考虑，以下结论中不正确的是（）A．物体飞行时间是 3 s公式以及结论应用球型1.如图所示，一小球从一半圆轨道左端 A 点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水王老师特制模型)B．物体撞击斜面时的速度大小为20 m/sC．物体飞行的时间是 2 sD ．物体下降的距离是10m平抛运动中的临界问题6. 如图所示，水平屋顶高H ＝ 5 m，围墙高h＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2.求：(1) 小球离开屋顶时的速度v 0 的大小范围；(2) 小球落在空地上的最小速度．7．［平抛运动中的临界问题］一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v 飞出，g 取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )A. 6 m/s< v≤ 2 2 m/sB． 2 2 m/s< v≤ 3.5 m/ sC. 2 m/s< v< 6 m/sD． 2 2 m/s<v< 6 m/s8．如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h ＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin 53 ＝°0.8，cos 53 °＝0.6，则：(1) 小球水平抛出的初速度v0 是多大？(2) 斜面顶端与平台边缘的水平距离x 是多少？(3) 若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端？9. 如图16所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P 水平射入，恰好从底端Q 点离开斜面，试求：（1） 物块由 P 运动到 Q 所用的时间 t ；（2） 物块由 P 点水平射入时的初速度 v 0；（3）物块离开 Q 点时速度的大小 v.10. 在光滑的水平面内， 一质量 m ＝ 1 kg 的质点以速度 v0＝10 m/s 沿 x 轴正方向运动， 经过 原点后受一沿竖直向上 （沿 y 轴正向）的恒力 F ＝15 N 作用，直线 OA 与 x 轴成 α＝ 37?，如图 （g 取 10 m/s2， sin 37?＝ 0.6， cos 37?＝ 0.8）．求：（1） 如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点，质点从 O 点到P 点所经历的时间以及 P 点的坐标；（2）质点经过 P 点的速度大小．11. 如图所示为车站使用的水平传送带的模型 ,它的水平传送带的长度为 L=8 m, 传送带的皮带轮的半径均为 R=0.2 m,传送带的上部距地面的高度为 h=0.45 m, 现有一个旅行包（视 为质点）以 v0=10 m/s 的初速度水平地滑上水平传送带 .已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数 为μ =0.6.g 取 10 m/s2.试讨论下列问题 :（1）若传送带静止 ,旅行包滑到 B 端时,人若没有及时取下 ,旅行包将从 B 端滑落 .则包的落地 点距 B 端的水平距离为多少 ?（2）设皮带轮顺时针匀速转动 ,并设水平传送带长度仍为 8 m,旅行包滑上传送带的初速度恒 为 10 m/s. 当皮带轮的角速度ω值在什么范围内 , 旅行包落地点距 B 端的水平距离始终为（ 1） 中所求的水平距离 ?若皮带轮的角速度ω 1=40 rad/s,旅行包落地点距 B 端的水平距离又是多 少? （ 3）设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动 ,在右图所示的坐标系中画出旅行包落地点 距 B 端的水平距离 s 随皮带轮的角速度ω变化的图象 12、斜向上抛出一球，抛射角 a ＝60°，当 t ＝1 s 时，球仍斜向上升，但方向已跟水平成 b ＝45°角。