第1次中微作业Word版

第六单元《碳和碳的化合物》科学探究题1、实验是进行科学探究的重要方式，请根据如图所示回答问题：（1）如图A，在做木炭在氧气中燃烧的实验时，可观察到的实验现象是。

（2）某兴趣小组的一位同学在工作展示会上给全班同学表演了一个魔术节目（如图B）。

该节目中可观察到的现象是，由此实验可以得出分子具有的性质。

（3）如图C为测定空气中氧气含量的实验装置图。

下列有关说法正确的是。

a．选用红磷是因为反应在消耗O2的同时，生成固态的P2O5b．燃烧匙中的红磷可以换成蜡烛或木炭c．燃烧完成后瓶子内的主要气体是稀有气体d．冷却后松开止水夹，待瓶内水位不再上升后，水大约占集气瓶体积的五分之一。

（4）小彭同学设计了如图D实验装置来验证二氧化碳的性质，当通入二氧化碳一段时间后，观察到F中的现象是；G中澄清石灰水变浑浊的原因是（用化学方程式解释）。

答案：解：（1）碳和氧气在点燃的条件下生成二氧化碳，所以在做木炭在氧气中燃烧的实验时，可观察到的实验现象是：发出明亮的白光，发出大量的热；（2）浓氨水具有挥发性，酚酞遇碱变红色，所以可观察到的现象是脱脂棉团由白色变成红色，由此实验可以得出分子具有不断运动的性质；（3）a、选用红磷是因为反应在消耗O2的同时，生成固态的P2O5，集气瓶内的气压减小，可以验证氧气的含量，故正确；b、木炭和蜡烛生成二氧化碳气体，装置内的气压不能减小，所以燃烧匙中的红磷不能换成蜡烛或木炭，故错误；c、燃烧完成后瓶子内的主要气体是氮气，故错误；d、冷却后松开止水夹，待瓶内水位不再上升后，水大约占集气瓶体积的1/5，故正确。

故选：ad；（4）二氧化碳和水反应生成碳酸，碳酸能使紫色石蕊变红色，观察到F中的现象是：紫色石蕊试液变红色，二氧化碳和氢氧化钙反应生成碳酸钙沉淀和水，化学方程式为：Ca（OH）2+CO2=CaCO3↓+H2O。

故答案为：（1）发出明亮的白光，发出大量的热；（2）脱脂棉团由白色变成红色，不断运动的性质；（3）ad；=CaCO3↓+H2O。

第一学期期末考试试卷一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. =→xx x 1sinlim 0___0_____. 2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____. 3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______. 5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________.A.)2lg ,0(B. ]2lg ,0[C. )100,10(D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则 lim ()x f x →∞______. A.存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在.3. 极限=-→x x x x e 21lim 0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim 0________. A.0 B. 1 C. 2 D. 5.5. 曲线221x y x =-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3.三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求20sin 1lim sin x x e x x→--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求210lim (cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax bx -⎧>=⎨+≤⎩处处可导. 六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点. 九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第一学期期末考试参考答案与评分标准一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -⋅+ 5、3x =二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e x xe x →→→→----=-=+==分分分四、（8×1=8）()200ln cos 1lim 01sin cos lim 112lim(cos )268x x x x x x x xx e ee +→++→→-⋅--===分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。

第一单元古代中国的政治制度（人教新课标）第1课夏、商、西周的政治制度【思维导图】]]]【微试题】1、2018上海高考]．据《史记》记载，周公旦灭古唐国，成王得到消息后用刀削下一片桐叶，与弟弟叔虞开玩笑说：“用此桐叶作为珪（象征爵位的玉器）赏你”。

史官因此请成王择日行封赏礼。

遂封叔虞于唐。

此则故事反映出A．成王分封时授予爵位B．成王分封时以桐叶为封国之名C．成王分封时要举行仪式 D．成王分封时是整国授予的答案：D2、西周宗法制度的精神，可以用王国维的“任天者定，任人者争；定之以天，争乃不生”来说明，此处他所谓的“天”是指( )]A.决定嫡庶身份的天命B．确定继统人选的天子C．辨别是非善恶的天理D．表现自然主义的天道答案：A3、《诗经》是中国历史上第一部诗歌总集，分风、雅、颂三部分，其中“颂”为贵族在宗庙祭祀的颂歌，有周颂、鲁颂和商颂，据此判断商颂属于以下哪国贵族祭祀先祖的颂歌( )A．商朝 B．齐国 C．楚国 D．宋国答案：D ]4、阅读下列材料：材料自殷以前，天子诸侯君臣之分未定也。

……盖诸侯之于天子，犹后世诸侯之于盟主，未有君臣之分也。

……逮克殷践奄，灭国数十，而新建之国皆其功臣、昆弟、甥舅，本周之臣子；而鲁、卫、晋、齐四国，又以王室至亲为东方大藩……由是天子之尊，非复诸侯之长而为诸侯之君……盖天子诸侯君臣之分始定于此。

此周初大一统之规模，实与其大居正之制度相待而成者也。

——王国维《殷周制度论》，《观堂集林》卷十二依据材料一，概括西周制度相比于以前的变化。

结合所学知识分析这种变化的影响。

(10分）答案：(1)变化：①分封的主体是王族和功臣②天子由诸侯之长变为诸侯之君(或君臣之名分确定)。

影响：①加强了对地方控制，巩固了周王室统治②有利于统治集团内部的稳定和团结，维护了西周较长时间的强盛。

【解析】本题要求学生有较强的归纳概括能力，对课本知识要熟悉，答案要简明扼要分层。

5.1 新提升·课后作业一、选择题1.赖氨酸的密码子有如下几种：UUA、UUG、CUU、CUA、CUG，当某基因片段中模板链的GAC突变为AAC时，这种突变的结果对该生物的影响是( )A．一定是有害的B．一定是有利的C．有害的概率大于有利的概率D．既无利也无害【解析】当某基因片段中模板链的GAC突变为AAC时，转录所形成的mRNA相应位置上的碱基序列由CUG 变为UUG，CUG和UUG决定的都是赖氨酸，这种突变的结果没有导致该基因控制合成的蛋白质的结构发生改变，因此对该生物既无利也无害，A、B、C三项均错误，D项正确。

【答案】 D2.太空育种是指利用太空综合因素如强辐射、微重力等，诱导由宇宙飞船携带的种子发生变异，然后进行培育的一种育种方法。

下列说法正确的是( )A．太空育种与其他诱变方法在本质上是一样的B．太空育种产生的突变总是有益的C．太空育种产生的性状是定向的D．太空育种培育的植物是地球上原本不存在的【解析】太空育种与其他诱变方法在本质上是一样的，都是引起基因突变，产生新的性状，A正确；基因突变具有多害少利性，B错误；基因突变具有不定向性，C错误；基因突变只是改变某个基因产生新的等位基因，不能产生新的植物，D错误。

【答案】 A3．一种果蝇的突变体在21℃的气温下，生存能力很差，当气温上升到25.5 ℃时，突变体的生存能力大大提高。

这个现象可以说明( )A. 基因突变是不定向的B. 突变的有害和有利取决于环境条件C. 基因突变与温度有关D．基因突变是随机发生的【解析】基因突变是不定向的，但本题没有涉及多种变异，不符合题意，A项错误；果蝇突变体在21℃的气温下，生活能力很差，当气温高过25.5℃时，突变体生存能力大大提高，说明突变的有害和有利取决于环境条件， B项正确；在改变温度之前，果蝇已经发生了突变，所以题目中没有体现基因突变与温度有关，C 项错误；题目内容不能说明基因突变是随机发生的，D项错误。

学习word心得体会总结范文（精选5篇）学习word总结范文篇1不知不觉的学习word已经有一个多月了，从一开始的不怎么会，到现在的比较精通，我学到了很多的内容，Word既是字处理软件，同时也是很好的表格处理软件。

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word第一道文字处理题请在【答题】菜单下选择【进入考生文件夹】命令，并按照题目要求完成下面的操作。

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某高校为了使学生更好地进行职场定位和职业准备，提高就业能力，该校学工处将于2013年4月29日（星期五）19:30-21:30在校国际会议中心举办题为“领慧讲堂——大学生人生规划”就业讲座，特别邀请资深媒体人、著名艺术评论家赵蕈先生担任演讲嘉宾。

请根据上述活动的描述，利用Microsoft Word制作一份宣传海报（宣传海报的参考样式请参考“Word-海报参考样式.docx”文件），要求如下：1. 调整文档版面，要求页面高度35厘米，页面宽度27厘米，页边距（上、下）为5厘米，页边距（左、右）为3厘米，并将考生文件夹下的图片“Word-海报背景图片.jpg”设置为海报背景。

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第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。

中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.3．教学内容：§1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足(ⅰ)在[]ba,上连续;(ⅱ)在)a内可导;(b,(ⅲ))af=f)((b则),(b a ∈∃ξ使0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.如: 1º ⎩⎨⎧=<≤=1 010x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,结论不成立.2º x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.3º x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立.(ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件.如:[]1,1)(22-∈⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f .(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根.证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式nnn n n dxx d n x P )1(!21)(2-⋅= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点.将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广泛的Lagrange 中值定理.定理6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设f 满足 (ⅰ)在[]b a ,上连续; (ⅱ)在),(b a 内可导 则),(b a ∈∃ξ使ab a f b f f --=')()()(ξ (2)[分析]（图见上册教材121页图6-3） 割线AB 的方程为)()()()(a x ab a f b f a f y ---+=问题是证明),(b a ∈∃ξ,使)(ξf '与割线在ξ处导数ξ='x y 相等 即证0])()()()()([='-----ξa x ab a f b f a f x f 证 作辅助函数],[),()()()()()(b a x a x ab a f b f a f x f x F ∈-----=注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.(ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形式(5)10,) ()()((4) 10),))((()()((3) ),)(()()(<<+'=-+<<--+'=-<<-'=-θθθθξξh h a f a f h a f a b a b a f a f b f b a a b f a f b f 另外,无论b a >,还是b a <, Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange 中值定理应用更为广泛的原因之一.(ⅲ) Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数],[),()()()()()(b a x a x ab a f b f a f x f x F ∈-----=然后验证)(x F 在[],b a 上满足Rolle 定理的三个条件,从而由Rolle 定理推出)(x F '存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange 中值定理的几何意义出发构造辅助函数)(x F .我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.1º 注意到(2)式成立),(b a ∈∃⇔ξ使得0)()()(=---'ab a f b f f ξ⇔a b a f b f x f ---')()()(在),(b a 内存在零点])()()(['---⇔x ab a f b f x f 在),(b a 内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数x ab a f b f x f x G ---=)()()()((注意这种构造辅助函数的方法是常见的).2º 辅助函数)()()()()()()(111)(a f x f a f b f ax a b x f b f a f x b ax H ----==例3 证明对,0,1≠->∀h h 有h h hh<+<+)1ln(1 证 [法一]令),1ln()(x x f +=在],0[h 或]0,[h 上利用Lagrange 中值定理可证之.[法二]令,ln )(x x f =在]1,1[h +或]1,1[h +上利用Lagrange 中值定理可证之.推论1 若f 在区间I 上可导, I x x f ∈≡',0)(,则f 在I 上为常数. 推论2 若f ,g 都在区间I 上可导, 且)()(,x g x f I x '='∈∀,则在I 上,f 与g 仅相差一个常数,即存在常数C ,使对I x ∈∀有C x g x f +=)()(推论 3 (导数极限定理) 设f 在0x 的某邻域)(0x U 内连续,在)(00x U 内可导,且)(lim 0x f x x '→存在,则)(0x f '存在,且)()(lim 0x f x f x x o ''=→注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间),(b a 上导函数)(x f '不会有第一类间断点.(ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.例4 证明恒等式2cot arctan ,2arccos arcsin ππ=+=+x arc x x x例5 求⎩⎨⎧>+≤+=0),ln(10,sin )(2x x x x x x f 的导数解 (ⅰ)先求0),(≠'x x f ;(ⅱ)利用推论3(先验证f 在0=x 处连续)求)0(f '. 二 单调函数函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.定理6.3 设f 在区间I 上可导,则f 在区间I 上单调递增(减))0(0)(,≤≥'∈∀⇔x f I x定理 6.4 设f 在区间),(b a 内可导,则f 在区间),(b a 内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ) )0(0)(),,(≤≥'∈∀x f b a x(ⅱ)在),(b a 的任何子区间上,)(x f ' 不恒等于0推论 设f 在区间I 上可导,若)0(0)(,<>'∈∀x f I x ,f 在区间I 上严格单调递增(减).注 (ⅰ)若 f 在区间),(b a 内(严格)单调递增(减),且在点a 右连续,则f 在区间),[b a 内(严格)单调递增(减).对],(b a 上的函数有类似结论.(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出)(x f ',再判定其符号.为此,需求出使得f '取得正负值区间的分界点.当f '连续时,这些分界点必须满足0)(='x f .例6 求31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 例7 证明0 ,1≠+>x x e x .证 令,1)(x e x f x --=考察函数)(x f 的严格单调性.§2 柯西中值定理与不定式极限本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的L ＇Hospital 法则.一 柯西中值定理定理6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设f ,g 满足 (ⅰ)在[]b a ,上都连续; (ⅱ)在),(b a 内都可导; (ⅲ) )(x f '与)(x g '不同时为零; (ⅳ) )()(b g a g ≠ 则),(b a ∈∃ξ,使)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ (1) [分析] 欲证(1),只须证0])()()()()()([='---ξx f x g a g b g a f b f 且0)(≠'ξg . 令),()()()()()()(x f x g a g b g a f b f x F ---=由Rolle 定理证之.注 (ⅰ) Cauchy 中值定理是Lagrange 中值定理的推广(当x x g =)(情形).(ⅱ) Cauchy 中值定理的几何意义（图见上册教材126页图6-5）:令],[ )()(b a x x g v x f u ∈⎩⎨⎧== 它表示uov 平面上的一段曲线AB.弦AB 的斜率即为(1)式右边,而(1)式左边ξξξ==''x dvdug f )()(表示与ξ=x 相对应的点))(),((ξξf g 处的切线斜率,因此(1)式表示上述切线与弦AB 平行.(ⅲ)研究下列函数可否作为证明Cauchy 中值定理的辅助函数 1)))]()(()()()()()([)()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ---+-=;2))]()()][()([)]()()][()([)(a g b g a f x f a g x g a f b f x F -----=; 3))]()()[()()]()([)(a g b g x f x g a f b f x F ---=; 4)1)()(1)()(1)()(21)(x f x g b f b g a f a g x F ±= 例1设f 在[]b a ,()0>>a b 上都连续, 在),(b a 内都可导,则),(b a ∈∃ξ,使ab f a f b f ln)()()(ξξ'=- 证 取x x g ln )(=,对f ,g 利用Cauchy 中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 00型不定式极限定理6.6(L ＇Hospital 法则Ⅰ)设 (ⅰ)0)()(lim lim 0==→→x g x f x x x x ;(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U 内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''→)()(lim(或∞∞±,).则 )()(lim 0x g x f x x →存在且) ,或()()(lim 0∞∞±=→A x g x f x x注 (ⅰ)定理 6.6中0x x →可换为∞→±∞→→±x x x x ,,0,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.(ⅱ)若)()(x g x f ''当0x x →时仍属0型,且)(),(x g x f ''分别满足定理中)(x f ，)(x g 的条件,则可继续施用L ＇Hospital 法则Ⅰ,从而确定)()(limx g x f x x →,即 )()()()()()(lim lim lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ''''=''=→→→ 且可以依次类推.(ⅲ)“一花独秀不是春”，L ＇Hospital 法则虽是计算极限的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果.例2 求)0,0(lim 0>>-→b a x b a xx x 例3 求xe e xxx 1sin11lim-∞→-(提示:先令xt 1=)例 4 求)1ln()21(2210limx x e xx ++-→(利用)1ln(2x +等价于2x )0(→x 原式转化为2210)21(lim x x e x x +-→) 例5 求xx ex -→1lim(提示:先令x t =)2. ∞∞型不定式极限定理6.7(L ＇Hospital 法则Ⅱ)设(ⅰ)∞==++→→)()(lim lim 00x g x f x x x x ;(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U +内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''+→)()(lim0(或∞∞±,).则 )()(lim 0x g x f x x +→存在且) ,或()()(lim 0∞∞±=+→A x g x f x x 注 定理6.7中+→0x x 可换为,,,00±∞→→→-x x x x x ∞→x 等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.例6 求)0(ln lim>∂∂∞→x xx 例7 求xxx 3tan tan lim2π→例8 求3lim xe xx --∞→例9 求)0(lim >∂∂∞→n n e n (提示:先证0)0(lim =>∂∂∞→x x ex )注 (ⅰ)当)()(lim 0x g x f x x ''→或)()()()(lim 0x gx f n n x x →不存在时, L ＇Hospital 法则不能用.如:1º x x x x x e e e e --∞→+-lim 不能用L ＇Hospital 法则(x x xx e e e e --+-=11122→+---xxe e ) 2º x x x x sin lim+∞→不能用L ＇Hospital 法则(xxx sin += 1sin 1→+xx) (ⅱ)只有不定式极限且满足L ＇Hospital 法则条件才能使用L ＇Hospital 法则求极限.3.其他类型不定式极限还有五种类型不定式极限,其形式转化方法为∞∞⋅∞=⋅∞=∞=∞=∞⋅⋅∞∞- );01ln (1 ;011001ln e (通分或提取公因式转化);).0);00ln 0(0ln 000ln 00∞⋅==∞∞⋅=⋅=∞⋅⋅e e例10 求x x x ln lim 0+→例11 求)11ln 1lim(1--→x x x 例12 求x x x )arctan 2(lim π+∞→例13 求x x x )(sin lim 0+→例14 求x x x ln 10)(cot lim +→例15 求数列极限n n n n )111(2lim ++∞→ (注意此题先求极限x x x x)111(2lim +++∞→) 例16 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠= 00 0 )()(x x x x g x f ,,3)0(,0)0()0(=''=='g g g 求)0(f '. 注 23)0(212)(2)()()0(lim lim lim 0020=''=''='=='→→→g x g x x g x x g f x x x ,对否? §3 泰勒公式本节包含两个泰勒(Taylor)公式,即分别带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式,统称为泰勒定理.它们分别是上一章的有限增量公式和本章中的Lagrange 中值定理的推广.两个公式所要解决的问题是用多项式函数(各类函数中最简单的函数)去逼近一个函数,而这种逼近思想在近似计算和理论分析中有着重要意义.一 带有皮亚诺型余项的泰勒公式设f 在点0x 存在n 阶导数,称n 次多项式nn n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+=(1)为f 在点0x 处的泰勒多项式,)(x T n 的各项系数),2,1(!)(0)(n k k x f k ⋅⋅⋅=称为f 的泰勒系数. 定理6.8(Taylor) 设f 在点0x 存在直到n 阶的导数,则))(()(!)())(()()(0000)(0n k n k k nn x x o x x k x f x x o x T x f -+-=-+=∑= (2) 注 (ⅰ) (2)式称为f 在点0x 处的Taylor 公式, )()()(x T x f x R n n -= 称为Taylor 公式的余项,形如))((0n x x o -的余项称为Peano 型余项,于是(2)式也称为带有Peano 型余项的Taylor 公式.(ⅱ) 若f 在点0x 附近满足+=)()(x P x f n ))((0n x x o - (3) 其中)(x P n 为形如n n x x a x x a x x a a )()()(0202010-+⋅⋅⋅+-+-+n 次多项式,这时并不意味着)(x P n 就是f 的Taylor 多项式)(x T n例如⋅⋅⋅==+2,1),()(1n x D x x f n其中)(x D 为Dirichlet 函数.易知f 仅在点00=x 处连续,可导且0)0(='f ,从而对)0(,,1)(k f N k k +∈>∀皆不存在.故f 在点00=x 处的Taylor 多项式)(x T n )1(>n 是不存在的.然而0)()(lim lim 00==→→x xD x x f x n x 即)()(n x o x f =,从而若取)(x P n =000002≡⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+n x x x ,则(3)式对+∈N n 皆成立.(ⅲ)满足(3)式要求(带有Peano 型误差)的n 次逼近多项式)(x P n 是唯一的,从而若f 满足定理6.8的条件,则满足(3)式要求的逼近多项式)(x P n 只能是f 的Taylor 多项式)(x T n .当00=x 时, Taylor 公式(2)成为 )(!)0()(0)(n k n k k x o x k f x f +=∑= (4) (4)式称为(带有皮亚诺型余项的)马克劳林(Maclaurin)公式.例1 验证下列函数的马克劳林公式(ⅰ) )(!1!2112n n x x o x n x x e ++⋅⋅⋅+++=; (ⅱ) )()!12(1)1(!51!31sin 212153m m m x o x m x x x x +--+⋅⋅⋅+-=--; (ⅲ) )()!2(1)1(!41!211cos 12242++-+⋅⋅⋅++-=m m m x o x m x x x ; (ⅳ) )(1)1(3121)1ln(132n n n x o x nx x x x +-+⋅⋅⋅+-=+-; (ⅴ) )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++-∂⋅⋅⋅-∂∂+⋅⋅⋅+-∂∂+∂+=+∂; (ⅵ) )(1112n n x o x x x x ++⋅⋅⋅+++=-. 上述几个简单函数的马克劳林公式是通过直接求出f 在点0=x 处的各阶导数)0()(k f ,代入公式(4)得到的.这种方法叫做马克劳林(或泰勒)公式的直接求法.利用这些公式,可以间接求得一些函数的马克劳林(或泰勒)公式,还可用来求某些类型的极限.例2 求22)(x e x f -=的马克劳林公式,并求)0()98(f 与)0()99(f .例3 求x ln 在2=x 处的Taylor 公式.例4 求下列极限(ⅰ)30)1(sin lim x x x x e x x +-→; (ⅱ)x x e x x sin )1(lim 0∂+-→ [提示] )(!21122x o x x e x +++=;)(!31sin 43x o x x x +-=. 定理6.8告诉我们, 若f 在点0x 处具有直到n 阶导数,我们可用一个n 次多项式)(x T n 去逼近)(x f 而且这样产生的误差)()(x T x f n -当0x x →时是比n x x )(0→更高阶的无穷小量.但这只是定性的估计,并不能提供误差的定量估计.下面给出的第二个Taylor 公式余项有确定的表达式(尽管出现了不确定的“中值”)从而给误差估计提供了理论依据.二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理6.9 若f 在],[b a 上有直到n 阶的连续导函数,在),(b a内存在1+n 阶导函数,则对),(],,[,0b a b a x x ∈∃∈∀ξ,使10)1(00)(200000)()!1()( )(!)()(!2)()(!1)()()(++-++-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ(5) 注 (ⅰ)(5)式也称为Taylor 公式,其余项为10),(,)()!1()()()()(0010)1(<<-+=-+=-=++θθξξx x x x x n f x T x f x R n n n n 称其为拉格朗日型余项,(5)式也称为带Lagrange 型余项的Taylor 公式.(ⅱ)若0=n ,则(5)式即Lagrange 中值公式))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ故定理6.9是Lagrange 中值定理的推广.当00=x 时, Taylor 公式(5)成为10,)!1() (!)0()(1)1(0)(<<++=++=∑θθn n k n k k x n x f x k f x f (6) 称(6)式为带Lagrange 型余项的马克劳林公式.例5 把例1中六个马克劳林公式改写为带Lagrange 型余项的形式.Taylor 公式是一元微分学的顶峰,它可以解决很多数学问题.本节最后一部分介绍其在近似计算上的应用,后面几节将会介绍在其它方面上的应用.三 在近似计算上的应用例6 (1)计算e 的值,使其误差不超过610-(2)证明e 是无理数[提示] (1)由例5(1)的结果有 )10()!1(!1!2111<<+++⋅⋅⋅+++=θθn e n e (7) (2)由(7)式得1)143!!(!+=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++-n e n n n n e n θ,用反证法证之. 例7 用Taylor 多项式逼近正弦函数x sin ,要求误差不超过310-.试以1=m 和2=m 两种情形分别讨论x 的取值范围.§4 函数的极值与最大(小)值函数在一区间上的极值是函数局部性态的重要特征.利用极值确定函数的整体性态－最大值和最小值在实际问题中有着广泛的应用.一 极值判别费马定理(定理5.3)已经告诉我们极值的必要条件－函数在点0x 可导且0x 为f 的极值点则必有0)(0='x f .下面给出极值的三个充分条件.定理 6.10(极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续,在0x 某邻域);(00δx U 内可导.(ⅰ)若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则f 在0x 取得极小值;(ⅱ) 若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ,则f 在0x 取得极大值.若f 是二阶可导函数,则有如下判别极值定理.定理6.11(极值的第二充分条件) 设f 在0x 某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f .(ⅰ)若0)(0<''x f ,则f 在0x 取得极大值;(ⅱ)若0)(0>''x f ,则f 在0x 取得极小值.例1 求32)52()(x x x f -=的极值点与极值.例2 求xx x f 432)(2+=的极值点与极值. 对于应用二阶导数无法判别的问题,可借助更高阶的导数来判别.定理 6.12(极值的第三充分条件) 设f 在0x 某邻域内直到1-n 阶导函数, 在0x 处n 阶可导, 且0)(0)(=x f k ),1,,2,1(-⋅⋅⋅=n k 0)(0)(≠x f n ,则(ⅰ)当n 为偶数时, f 在0x 取得极值,且当0)(0)(<x f n 时取得极大值, 当0)(0)(>x f n 时取得极小值;(ⅱ)当n 为奇数时, f 在0x 不取得极值.例3求34)1()(-=x x x f 的极值.注 定理6.12仅是判定极值的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-000)(21x x e x f x 显然它在0=x 处取得极小值,但此时)(0)0()(+∈=N n f n .二 最大值与最小值极值是局部性概念,而最值是全局概念.极值是函数在极值点的某邻域内的最大值或最小值.最值是函数在所考察的区间上全部函数值中的最大值或最小值.若最值在区间内部取得则最值必是极值.在第四章中我们知道,闭区间],[b a 上连续函数一定存在最大值与最小值.下面我们给出求闭区间上连续函数且不可导点和驻点个数为有限个的函数的最大值和最小值的方法:(1)求出导函数)(x f ';(2)求)(x f 在),(b a 内的驻点和不可导点;(3)计算)(a f 、)(b f 及函数在所有驻点和不可导点处的函数值;(4)比较上述各值大小从而确定最大值和最小值.例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间]25,41[-上的最大值与最小值.在实际问题中,求函数的最大值或最小值往往碰到如下两种特殊情形,此时最值的求法可不必按照上述四个步骤.情形 1 函数)(x f 在一个区间上可导且只有一个极值点,则此极值点即为最值点.例5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h),燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1 km 所消耗的费用最小?情形 2 如果由实际问题的性质可判定可导函数)(x f 确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得,这时若)(x f 在定义区间内部只有一个驻点0x ,那么不必讨论)(0x f 是不是极值就可以断定)(0x f 是最大值或最小值.例6 一张1.4米高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8米,问观察者应站在距墙多远处看图最清楚?(即视角最大)下面我们再看两个“最值应用”的例题.例7 用最值方法证明不等式1 ,1)1(211>≤-+≤-p x x p p p[提示] 令1],1,0[,)1()(>∈-+=p x x x x f p p ,可求出)(x f 在]1,0[上的最大值为1,最小值为121-p ,从而得所证不等式.例8 求数列{}n n 的最大项.[提示] 令),0()(1>=x x x f x可求出)(x f 在点e x =取得最大值,进一步地分析可知数列的最大项应是第三项.§5 函数的凸性与拐点凸函数是有着广泛应用的一类函数.本节将介绍凸函数的基本性质并以凸函数为工具来证明一些不等式.一 函数的凸性定义1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对∈∀∈∀λ,,21I x x )1,0(总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (1) 则称f 为I 上的凸函数.反之,若总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2) 则称f 为I 上的凹函数.若(1),(2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.不难证明:若f -为I 上的凸函数, 则f 为I 上的凹函数.故今后只需讨论凸函数及其性质.引理1 f 为I 上的凸函数⇔对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈∀总有 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- (3) 引理2 f 为I 上的凸函数⇔对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈∀总有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- (4) (仿引理1可证)对于可导函数,有定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: (ⅰ) f 为I 上的凸函数;(ⅱ) f '为I 上的增函数;(ⅲ) I x x ∈∀21,,有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥ (5) 注 论断(ⅲ)的几何意义是:曲线)(x f y =总是在它的任一条切线的上方.这是可导凸函数的几何特征.定理 6.14 设f 为区间I 上的二阶可导函数,则f 为I 上的凸(凹)函数的充要条件是I x x f ∈∀≤≥''),0(0)( .证 由定理6.3和定理6.13得. 例1 讨论2)(x e x f -=的凸性. 例 2 若f 为定义在开区间),(b a 内的可导凸(凹)函数,则),(0b a x ∈为f 的极大(小)值的充要条件是0x 为f 的稳定点,即0)(0='x f .下面的例子是定义1的一般情况.例 3 (詹森(Jensen)不等式)若f 为],[b a 上的凸函数,则对1),,,2,1(0],,[1=⋅⋅⋅=>∈∀∑=n i i i i n i b a x λλ,有)()(11i ni i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ (6)证 应用数学归纳法并结合凸函数的性质证之.注 以Jensen 不等式为工具可以证明H Ölder 不等式、Minkowski 不等式等经典不等式.例4 证明0,, ,)(3>≤++c b a c b a abc c b a cb a证明 令)0(ln )(>=x x x x f 应用Jensen 不等式证之.例 5 设f 为开区间I 内的凸(凹)函数,则f 在I 内任一点都存在左、右导数.二 拐点定义 2 设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 有穿过曲线的切线,且在切点附近,曲线在切线的两侧分别是严格凸的和严格凹的,则称点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.注 (ⅰ)拐点是曲线凸凹性的分界点.(ⅱ)拐点是曲线上的点.例6 正弦曲线x y sin =,其拐点为Z k k ∈),0,(π.定理 6.15 若f 在点0x 二阶可导,则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0)(0=''x f .定理6.16 设f 在点0x 可导, 在)(00x U 内二阶可导,若在)(00x U + 和)(00x U -上f ''的符号相反,则))(,(00x f x 为)(x f y =的拐点.注 拐点的的可疑点为两类:一类是0)(0=''x f 相应的点))(,(00x f x ,另一类是二阶导数不存在的点))(,(00x f x .例7 求2x e y -=的拐点例8.函数3x y =上点(0,0)是其拐点,但)0(f '不存在(在点(0,0)处有垂直切线).由此可见,若点))(,(00x f x 为)(x f y =的拐点, f 在点0x的导数未必存在.§6 函数图像的讨论在中学里,我们主要依赖描点作图法画出一些简单函数的图像.一般来说,这样得到的图像比较粗糙,无法确切反映函数的性态(如单调区间,极值点,凸性区间,拐点等).这一节里,我们将综合应用在本章前几节学过的方法,再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识,较完善地作出函数地图像.作出函数图像的一般程序是:1.求函数地定义域;2.考察函数的奇偶性、周期性;3.求函数的某些特殊点,如与两个坐标轴的交点,不连续点,不可导点等;4.确定函数的单调区间,极值点,凸性区间以及拐点;5.考察渐近线;6.综合以上讨论结果画出函数的图像.例 作出函数23)1(2-=x x y 的图像。

工程测量规范总则第2章平面控制测量2.1一般规定2.2设计、选点、造标与埋石2.3水平角观测2.4距离测量2.5 内业计算第3章高程控制测量3.1一般规定3.2水准测量3.3电磁波测距三角高程第4章地形测量4.1一般规定4.2图根控制测量4.3一般地区地形测图4.4城镇居住区地形测图第四节城镇居住区地形测图4.5工矿区现状图测量4.6水域地形测量4.7地形图的修测第5章线路测量5.1一般规定5.2铁路、公路测量5.3架空索道测量5.4自流和压力管线测量5.5架空送电线路测量第6章绘图与复制6.1一般规定6.2绘图6.3编绘6.4晒蓝图、静电复印与复照6.5翻版、晒印刷版与修版6.6打样与胶印第7章施工测量7.1一般规定7.2施工控制测量7.3工业与民用建筑施工放样7.4灌注桩、界桩与红线测量7.5水工建筑物施工测量第8章竣工总图的编绘与实测8.1一般规定8.2竣工总图的编绘8.3竣工总图的实测第9章变形测量9.1一般规定9.2水平位移监测网9.3垂直位移监测网9.4水平位移测量9.5垂直位移测量9.6内业计算及成果整理附录一本规范名词解释附录二平面控制点标志及标石的埋设规格附录三方向观测法度盘和测微器附录四高程控制点标志及标石的埋设规格附录五建筑物、构筑物主体倾斜率和按差异沉降推算主体倾斜值的计算公式附录六基础相对倾斜值和基础挠度计算公式附录七本规范用词说明第1章总则第1.0.1 条为了统一工程测量的技术要求，及时、准确地为工程建设提供正确的测绘资料，保证其成果、成图的质量符合各个测绘阶段的要求，适应工程建设发展的需要，制订本规范。

第1.0.2 条本规范适用于城镇、工矿企业、交通运输和能源等工程建设的勘察、设计、施工以及生产（运营）阶段的通用性测绘工作。

其内容包括控制测量,采用非摄影测量方法的1∶500～1∶5000比例尺测图、线路测量、绘图与复制、施工测量、竣工总图编绘与实测和变形测量。

对于测图面积大于50K㎡的1∶5000比例尺地形图，在满足工程建设对测图精度要求的条件下，宜按国家测绘局颁发的现行有关规范执行。

计算机应用基础41、在第一代计算机时代，编程采用______。

B：机器语言和汇编语言2、个人计算机即PC机，按其规模分类，应该属于______。

A：微型计算机3、下列说法中，关于计算机的主要特点的叙述错误的是______。

D：具有创造能力4、计算机集成制造系统的英文缩写是______。

B：CIMS5、数据是信息的载体。

包括的不同形式有数值、文字、语言、图形和______。

D：图像6、计算机系统中的硬件系统包括主机和外设。

下面关于主机错误的说法是______。

D：主机有时也包括多媒体设备7、计算机的内存容量可能不同，而计算容量的基本单位都是______。

C：字节8、系统软件包括各种语言及其处理程序、系统支持和服务程序、数据库管理系统和______。

C：操作系统9、冯·诺依曼计算机由五大部分组成，控制器是其中之一。

它在计算机中的地位是______。

B：指挥控制中心10、计算机的中央处理器是计算机的核心。

但是它不能完成的功能是______。

C：自主安装运行的程序11、鼠标是快速输入设备，目前使用的有机械式和光电式两种，二者比较______。

C：光电式灵敏度高12、微机的核心部件是______。

B：微处理器13、衡量微型计算机价值的主要依据是____。

B：性能价格比14、下列数据中其数值最小的是。

C：37Q15、已知英文字母m的ASCII码值为109，那么英文字母r的ASCII码值为____。

D：11416、退出Word 2003环境的最快方法是单击窗口按钮____ 。

D：17、在Word 2003中，用全拼输入法输入单个汉字时，字母键的设置______。

B：必须是小写19、在Excel 2003中，日期和时间属于______。

B：数字类型20、在Windows XP中，不能在"任务栏"内进行的操作是______。

D：刷新桌面21、若Windows 的桌面上有"画图"程序的快捷图标，不能启动"画图"的方法是______。