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近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
近世代数(抽象代数)
“近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程（组）是否可解，如何求出代数方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
【大学数学】重新理解系列之三：抽象代数我学过一学期的抽象代数，但感觉啥都没学到，对那些定义、定理没啥理解，完全就是考验记忆能力，但是下面的几篇文章居然勾起了哥学习抽象代数的欲望，对现代数学三大支柱一直的抽象代数感兴趣的同学可以慢慢看看，其实学习一门数学课时先读读这方面的科普文章，对整体把握和学习效果有非常大的提升。
文章列表：1. 初学者应该如何学习抽象代数2. 漫谈抽象代数（非常好）3. 抽象代数不抽象4. 抽象代数的人间烟火5. 抽象代数学习方法6. 近世代数概论前言7. 近世代数学习方法（之后的几篇文章还没来得及看）8. 群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结）9. 近世代数基础课件（感觉很不错）10. 近世代数发展简史11. 近世代数的应用12. 抽象代数学习报告初学者应该如何学习抽象代数曾经看到一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。
【为什么学抽象代数？多么实际而迫切的问题，但学了也没能回答这个问题。
既然抽象代数研究的是结构，那么就对应数学物理工程医学中的实际的结构，如化学中物质结构、网络结构等等，我觉得都是可以用上去的，这都是一下想到的，没有详细去考证。
】为什么要研究群呢？提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。
记得我第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。
直到后来发现几个x可以抵消，我才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。
如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。
比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。
抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。
抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。
关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。
我问她哪门课程学得最好。
答曰“抽象代数”。
不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。
我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。
让她举一个非交换群。
举不出来。
举一个有限域，举不出来。
我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。
如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。
问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。
这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。
现有的抽象代数教材，不是没有例子。
这些例子本来就很精彩。
三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。
但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。
要讲清楚，课时也不够。
只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。
考试也不考用知识解决问题，只考背定义。
抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。
金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。
近世代数北大版详解
近世代数，也被称为抽象代数，是一门研究数学结构和空间性质的学科。
它作为数学的一门分支，在数学的其他领域，如几何学、代数学、逻辑学等中有着广泛的应用。
而在中国，近世代数课程在大部分综合性大学和师范类院校的数学专业中都被列为必修课。
当我们提及近世代数北大版，这指的是由北京大学数学系编写的《近世代数》教材。
这本教材自1985年首次出版以来，经过多次修订和再版，已经成为中国数学教育领域的一部经典著作。
该教材从最基本的集合论概念开始，逐渐引入群、环、域等抽象代数的基本结构。
通过丰富的例子和详细的证明，北大版《近世代数》深入浅出地讲解了代数的核心概念，如同态、同构、群作用等。
同时，书中还有大量的习题，这些习题对于帮助学生深入理解抽象代数有极大的帮助。
值得一提的是，北大版《近世代数》不仅在中国国内有着广泛的影响，而且还被翻译成多种语言，成为国际上许多大学和研究机构采用的教材。
这不仅体现了中国数学研究的国际影响力，也表明了该教材在代数教育领域的卓越品质。
总体来说，北大版的《近世代数》是一部系统全面、深入浅出的教材。
无论是对于数学专业的学生还是对数学有兴趣的读者来说，这本书都是一个极好的学习资源。
通过学习这本书，读者可以深入了解代数的核心概念和方法，提高自己的数学素养和逻辑思维能力。
同时，它也是对中国数学教育成果的一次全面展示，彰显了中国在数学研究和教育领域的实力和影响力。
近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。
本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。
如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。
教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。
教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。
3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。
抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。
关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。
我问她哪门课程学得最好。
答曰“抽象代数”。
不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。
我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。
让她举一个非交换群。
举不出来。
举一个有限域，举不出来。
我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。
如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。
问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。
这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。
现有的抽象代数教材，不是没有例子。
这些例子本来就很精彩。
三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。
但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。
要讲清楚，课时也不够。
只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。
考试也不考用知识解决问题，只考背定义。
抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。
金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。
”只要认识字，小学生也可以化功夫死记硬背下来，但是根本不懂它的意思，更不可能照着去练习，难道就因为背熟了这些句子就成了武功高手吗？显然不是。
同样，死记硬背抽象代数教材中的定义而根本不懂它的意思，举不出一个例子，不会用来解决任何一个问题，这样学习的抽象代数就是假冒的，通通都应当给零分！这些年来，我们在抽象代数课程建设中所做的全部努力，就是要破除这种“就是没有例子”的假抽象代数。
我们取得的主要成绩，就是积累了一批既能体现数学本质、又为学生喜欢的案例。
下面是其中的一部分案例。
1. 幻方一变八----正方形的对称群我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。
这不是考小学奥数。
而是考正方形的对称群：旋转90o,180o,270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。
为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。
将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共2×4=8 个。
这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。
这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。
其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。
非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。
这些概念和知识都自然而然引入了。
类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。
特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S3。
2．0与1的算术----二元域许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。
其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。
我的抽象代数考试每次必考有限域。
小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶×整数=偶，奇×奇=奇。
将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0×a=0 (a=0或1),1×1=1。
按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。
我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。
貌似概率题，其实是代数题。
将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。
归结为二元域上的线性代数题。
另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。
二元域在信息与计算机科学中至关重要。
会算1+1=0，就懂了一点真正的抽象代数。
为什么两个整数a,b的和、差、积的奇偶性只与a,b的奇偶性有关而与奇数与偶数的不同取值无关？将a,b分别用它们除以2的余数r,s代表（r,s取值为0或1），写成a=r+偶，b=s+偶的形式，则a±b=(r+偶)±(s+偶)=(r±s)+(偶±偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r×偶+偶×s+偶×偶。
不论其中的“偶”取什么偶数值，总有：偶±偶=偶，偶×整数=偶，就好象0±0=0, 0×数=0一样。
可以将算式中的“偶”看作0来运算，得到a±b = (r±s)+偶，ab = rs+偶。
也就是说：将a,b 替换成与它们奇偶性相同的0或1进行运算，得到的和、差、积的奇偶性不变。
这件事可以推广：a,b取值的整数集合Z替换成对合法的加法与乘法封闭的任意集合D，称为环; 偶数集合替换成D中具有类似于0的运算性质O±O=O，D×O=O的子集O，称为理想。
D中两个元素a,b的差如果在O中，就将a,b“看成”同一类，得到的同余类组成的集合可以定义加、减、乘运算，这就是商环D/O。
特别，当D=Z，O=nZ时，商环D/O 就是整数模n的同余类环Z。
另一个重要例子：D是在某点c连续的全体全体实函数f(x)组成的环，记∆x=x n－c，O(∆x)与o(∆x)分别是当Dx→0时的无穷小量和高阶无穷小量组成的集合，则O(∆x)与o(∆x)都是D的理想，同余式f(x)≡a (mod O(∆x))表示当x→c时f(x)的极限是a，而f(x)≡a+b∆x (mod o(∆x)) 表示b是f(x)在c的导数。
3．从凯撒密码谈起-----整数的同余类。
密码的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。
最早的一种简单密码是凯撒设计的，加密方案是将每个英文字母用它后面第3个字母代替。
将26个字母依次用整数模26的各个同余类表示，凯撒密码的加密就可以用最简单的加法函数y =x+3 表示，解密函数为x = y－3。
更进一步，可以用Z26上的一次函数y=ax+b 加密，其中a可逆，称为仿射密码。
例如3×9 =1就说明9=3-1，加密函数y=3x+5的解密函数就是x=9(y-5)。
Z26中的乘法可逆元组成乘法群Z26*，由与26互素的整数所在的同余类组成。
更进一步，可以将若干个字母对应的同余类组成列向量X，用矩阵运算Y=AX+B来加密，其中A的行列式在Z26*中。
也可以将信息写成二元域Z2上的列向量，用Z2上的矩阵运算Y=AX+B加密。
更一般地，讨论Z n的乘法群Z n*。
特别，当n为素数p时，Z p中的p-1个非零元都可逆，组成乘法群Z p*。
Z p是有限域，Z p*中的元素都可以写成一个元素的幂，Z p*是循环群。
在另一种情形，n = pq是两个素数p,q的乘积，为了讨论Z n及其乘法群Z n*的构造，将每个整数a除以p,q各得到一个余数r,s，将a对应到“坐标”(r,s)，就建立了环同态Z→Z p×Z q，进而得到环同构Z n→Z p×Z q，这就引出了中国剩余定理，环同态基本定理，环的直积。
进而可以讨论Z n上的幂函数y=x m 是可逆变换的条件，得到RSA公钥密码。
4．复数的几何模型--- 同构、同态与单位根群中学数学强行定义i2=–1，不解释这种定义的合理性。
其实，很容易给出i2 =–1的一个几何解释：–1乘向量是向后转180度; 用i表示向左转90度, 则i2就是向后转180度，就是–1。
这其实是将虚数单位i用“左转90度”的线性变求逆运算，是复数域C与它的几何版本(由线性变换组成)和矩阵版本(由矩阵组成)之间的环同构、域同构。
在这个同构下，复数cos♋ + i sin♋对应的变换是旋转角♋ 其 n次幂就是旋转nα 由此立即得到 ☎cosα + i sinα ✆n cos nα + i sin nα (棣美弗公式)及其矩阵版本。
由旋转角α到复数cosα+isinα 的对应关系f具有性质f(α+β) = f(α)f(β)，将实数的加法对应到复数的乘法，这说明加法与乘法本质上是一回事（都满足结合律与交换律，加法的0对应于乘法的1，加法的负元对应于乘法的逆元），对加减法封闭的与对乘除法封闭的集合同样都称为群。
以上对应关系f是实数加法群R到表示旋转的(模为1)的复数乘法群P的同态，同态核为2π的全体整倍数2πZ。
将相差2π 的整倍数的角α对应于同一个复数f(α)。
将相差2π 的整倍数的角α看成相等，组成一个同余类，得到同余类集合R/2πZ到P的1-1对应σ 并且保持运算(将加法变到乘法)，σ 是群同构R/2πZ→P。
这就是群同态基本定理。
既然群同态f将2π 的整数倍2kπ对应到1，求1的n次方根也就相当于将2kπ 除以n，得到的方根为f(2kπ/n) = cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)= ωk，让k取遍n个值0,1,2,…,n-1就得到n个不同的方根，称为n次单位根，它们都可以写成其中一个根 ω = cos(2π/n)+isin(2π/n) 的整数次幂，其几何意义就是旋转2kπ 的n分之一。
对应关系φ ：k → ωk 是整数加群到单位根乘法群的同态，同态核由n的全体整数倍组成。
让相差n的整倍数的整数组成一个同余类，得到同余类 Z n的加法群到单位根乘法群的同构，这是群同态基本定理又一个例子。
5. x15-1在有理数范围内的因式分解x15－1在复数范围内分解为一次因子的乘积(x－1)(x－ω)…(x－ω n-1 )，每个一次因子x－ωk对应于一个15次单位根ωk，每个ωk的在乘法群中的阶d都是15的因子，共有4个不同的值1,3,5,15。
