【数学】4.3.2 简单几何体的体积 课件(北师大版选修2-2)(2)

4.3定积分的简单应用定积分在物理中应用及简单几何体的体积同步练习1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 4．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．5．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰ba dx x F )(．6．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J7．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()()Mnh GMm k G k h k k h -+=⋅++． 8．直线2y x =，1x =，2x =与x 轴围成的平面图形绕旋x 轴转一周得到一个圆台，则求该圆台的体积。

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课时素养评价二十一简单几何体的体积(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.直线y=x，x=1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是( )A.πB.C.D.1【解析】选B.V=πx2dx=x3=.2.由抛物线y=x2，x=0，x=2与x轴所围图形，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.πB.πC.πD.π【解析】选D.V=π(x2)2dx=x5=π.3.定积分π(16-x2)dx等于( )A.半径为4的球的体积B.半径为4的四分之一球的体积C.半径为4的半球的体积D.半径为4的球面积【解析】选C.因为π(16-x2)dx==64π-=π，而半径为4的球的体积=π×43=，半径为4的半球的体积=π.4.将由曲线y=-2，x=，x=2，y=0围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A.(21-6ln 2)πB.πC.πD.(21-12ln 2)π【解析】选B.所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所求体积为V=πdx+πdx=πdx=πdx=π=π=π.二、填空题(每小题5分，共10分)5.将曲线y=sin x(x∈(0，π))及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_________ .【解析】所求体积V=πsin2xdx=πdx=ππ0=π=.答案：6.曲线y2=10x(y≥0)，y2=16x(y≥0)与直线x=5围成的平面图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为_________.【解题指南】解决本题之前作图形，确定图形的组合关系后，再确定被积函数.【解析】曲线方程可化为y=，y=4，所求旋转体体积为V=π(4)2dx-π()2dx=16π·-10π·=75π. 答案：75π三、解答题(每小题10分，共20分)7.连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积.【解析】圆锥体体积V=πdx==.8.设两抛物线y=-x2+2x，y=x2所围成的图形为M，求：(1)M的面积；(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解析】如图，M为图中阴影部分.(1)由-x2+2x=x2得x=0或1，所以图中M的面积为[(-x2+2x)-x2]dx=(-2x2+2x)dx==.(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为π[(-x2+2x)2-(x2)2]dx=π(-4x3+4x2)dx=π·=.(15分钟·30分)1.(5分)由y=，y=x围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积可表示为( )A.π(x-x2)dxB.π(x2-x)dxC.π(y2-y4)dyD.π(y-y2)dy【解析】选C.由得由y=得x=y2，故V=π(y2-y4)dy.2.(5分)四条曲线x2=2y，x=2，x=-2，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足的平面区域绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则( )A.V1>V2B.V1<V2C.V1=V2D.无法确定【解析】选A.第一个旋转体的体积为V1=π×22×2-πx2dy=8π-2πydy=4π，第二个旋转体的体积为半径为1的球，体积V2=π，所以V1>V2.3.(5分)曲线y=与直线x=0，x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)=_________. 【解析】V(t)=πdx=(e2x+e-2x+2)dx===(e2t+4t-e-2t).答案：(e2t+4t-e-2t)4.(5分)由曲线y=，直线x=0，x=1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成的几何体的体积是_________.【解析】体积V=πe x dx=π(e-1).答案：π(e-1)5.(10分)古尔金第二定理：面积S绕不与它相交的轴旋转而成的旋转体，其体积等于面积S与这面积的重心所划出的圆周之长的相乘积.即面积S绕x轴旋转而成旋转体的体积，等于面积S与重心(ξ，η)所划出的圆周之长的相乘积，也即V=2πη·S=πy2dx.求抛物线x=y2，y=x2所围成面积S的重心坐标.【解析】联立x=y2，y=x2解得x=0，1.所以面积S=(-x2)dx=，S绕x轴旋转而成旋转体体积为V=π(x-x4)dx=，所以2πη·=，所以η=，由x，y的对称性知ξ=η=，所以所求重心为.1.一个半径为1的球可以看成是由曲线y=与x轴所围成区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的，则球的体积为_________.【解析】V=π(1-x2)dx=2π(1-x2)dx=2π=π=π.答案：π2.过点P(1，0)作抛物线y=的切线，求该切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积.【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0=.又y=，则y′=. 则切线方程为y-y0=(x-x0).且切线过点P(1，0).所以代入上面方程，解得x0=3，则切点坐标为(3，1).所以切线方程为y=(x-1).切线与抛物线y=及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为V=πdx-π()2dx=-π=.关闭Word文档返回原板块。

§3 定积分的简单应用3．1 平面图形的面积3．2 简单几何体的体积 课时目标 进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用．1．平面图形的面积表示一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则________________________．2．旋转体的体积旋转体可以看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积为V ＝ʃb a π[f (x )]2d x .一、选择题1．将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( )A ．ʃπ0cos x d xB ．ʃπ20cos x d x ＋|ʃππ2cos x d x | C ．ʃπ02sin x d x D ．ʃπ02|cos x |d x2．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( ) A.154 B.174 C.12ln2 D ．2ln2 3．由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ2－2x 3d xB ．|ʃ2－2x 3d x |C ．ʃ2－2|x 3|d xD ．ʃ20x 3d x ＋ʃ0－2x 3d x4．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A ．ʃ20(x 2－1)d xB ．|ʃ20(x 2－1)d x |C ．ʃ20|x 2－1|d xD ．ʃ10(x 2－1)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x5．由y ＝x 2，x ＝0和y ＝1所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积可以表示为( )A ．V ＝πʃ10(y )2d y ＝π2B ．V ＝πʃ10[12－(x 2)2]d x ＝45π C ．V ＝πʃ10(x 2)2d y ＝π5D ．V ＝πʃ10(12－x 2)d x ＝45π 6．由y ＝e －x ，x ＝0，x ＝1围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.π2(1－e －2)B.π2C.π2(1－e)D.π2e －2 二、填空题7．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．8．直线x ＝k 平分由y ＝x 2，y ＝0，x ＝1所围图形的面积，则k 的值为________．9．曲线y ＝2x，直线x ＝2，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积是________．三、解答题10．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积．11.求由曲线y ＝4x －x 2和直线y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．能力提升12．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.71213．在曲线y ＝x 2 (x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x 轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．对求体积的有关问题，要结合函数的形式写清对应的定积分，然后求出所对应的体积．答 案知识梳理1．S ＝ʃb a f (x )d x －ʃb a g (x )d x作业设计1．B [定积分可正，可负，但不论图形在x 轴上方还是在x 轴下方面积都是正数，故选B.]2．D [所求面积ʃ2121x d x ＝ln x |212＝ln 2－ln 12＝2ln 2.] 3．C 4.C 5.B6．A [V ＝πʃ10(e－x )2d x ＝πʃ10e－2x d x ＝－π2e －2x |10＝π2(1－e －2)．] 7.193解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4y ＝5x ，得x ＝1或x ＝4.所求面积为S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x |41＝193. 8. 342解析 作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃk 0x 2d x ＝12ʃ10x 2d x 即13x 3|k 0＝16x 3|10. ∴13k 3＝16，k ＝342. 9.23π解析 V ＝ʃ32π·(2x )2d x ＝－4πx |32＝23π. 10. 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3， 解得x ＝0或x ＝3.∴S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. ∴所围成的图形的面积为92. 11．解 由y ＝4x －x 2得顶点P (2,4)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －x 2y ＝x ，得交点Q (3,3)，O (0,0)． 如图所示又由上图知V ＝π·ʃ30y 2d y ＋πʃ43(2＋4－y )2d y －πʃ40(2－4－y )2d y ＝π·13y 3|30＋π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y －834－y 32＋4y －12y 2|43－π⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ＋834－y 32＋4y －12y 2|40 ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫273＋4＋283＋4－72－16＋162＝272π. 12．A [由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为ʃ10(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10 ＝13－14＝112.] 13．解 由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示． 故S ＝S 1＋S 2＝ʃx 020x 2d x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0x 02x 2d x －x 0x 022x 0x －x 20d x ＝13x 3|x 020＋13x 3|x 0x 02－(x 0x 2－x 20x )|x 0x 02＝x 3012＝112， 解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)，所求切线方程为y ＝2x －1.。

§3 定积分的简单应用3．1平面图形的面积3．2简单几何体的体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现并归纳曲边图形面积的求法以及发现并归纳简单旋转几何体体积的求法；(2)简单运用定积分解决某些与面积、体积有关的问题．2．过程与方法通过举例引导学生解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积、旋转体体积的过程中，体会积分思想在生活中的应用．3．情感、态度与价值观(1)通过对定积分的应用的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节的运用实践，体会“分割——近似代替——求和——求极限”这一积分思想在实际生活中的应用，体会化归转化思想的运用以及用数学的思维方式解决问题，认识世界，进而领会数学的价值．●重点难点重点：应用定积分解决平面图形的面积、简单旋转几何体的体积等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题以及这一过程体现的思想方法．教学时从学生最近发展区切入，让学生思考不规则图形的面积、体积可通过分割的方法化为规则或近似规则图形来求解．结合具体问题深入剖析，并详细写出过程，让学生深刻体验积分过程，从而化解难点．引导学生在具体问题的求解过程中，发现方法，形成规律，尤其平面图形面积的求法及步骤，让学生在应用定积分的过程中更深入地理解定积分及其作用，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求简单旋转几何体的体积．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题，前者主要是分割，而后者则要经历一个积分过程，需要学生通过思考、分析、归纳后结合定积分的定义求解．故本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在具体问题的导引下，学生通过独立探究、合作交流，揭示规律，形成方法．●教学流程创设情境，提出问题：如何求平面图形的面积？如何求旋转体的体积？⇒引导学生通过分割，将问题转化为定积分来解决.⇒通过引导学生回答问题，弄清平面图形面积、旋转体体积求解的一般思路.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形面积求解的方法和步骤.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握旋转体体积的求法和步骤.⇒通过例3及其变式训练，提高学生综合运用知识解决问题的能力.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.会用定积分求平面图形的面积．(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积．(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(难点)平面图形的面积S ，则S ＝⎠⎛abf (x )d x －⎠⎛a bg (x )d x .简单旋转几何体的体积 x 轴旋转而成，设在区间[a，b ]上点x 处垂直x 轴的截面面积为A (x )＝πf 2(x )，则体积为V ＝⎠⎛ab πf 2(x )d x .求平面图形的面积求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．【思路探究】 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．【自主解答】 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛01[x －(－13x )]d x ＋⎠⎛13[(2－x )－(－13x )]d x＝⎠⎛01(x ＋13x )d x ＋⎠⎛13(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.1．正确画出图形，合理分割图形是解决本题的关键．2．求所围成的图形的面积时，先画出草图，确定所求面积是哪部分；其次是求解方程组得到交点的横坐标，从而确定积分上、下限．其中，有些所求面积可以分成两部分面积的差(和)的形式，要视情况而定．将本例条件中的“y ＝－13x ”换成“x 轴”，其他不变．【解】 画出草图如图解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点为(1,1)，∴S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝23x 32|10＋(2x －12x 2)|21 ＝23＋(2×2－12×22－2×1＋12×1) ＝76.求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【思路探究】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可．【自主解答】 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x )2d x ＝2π⎠⎛02x d x ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π(12x 2)2d x ＝π4⎠⎛02x 4d x ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即：V ＝π⎠⎛abf 2(x )d x －π⎠⎛a b g 2(x )d x，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2d x .2．求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )d x求解．设平面图形由[0，π2]上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【解】 先画草图．设f (x )＝sin x ，x ∈[0，π2]，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为(π6，12)．V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π[sin 2x －(12)2]d x ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(1－cos 2x 2－14)d x＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(14－12cos 2x )d x ＝π(14x －14sin 2x )⎪⎪⎪π2π6＝π212＋3π.积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．【思路探究】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程．【自主解答】 设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得x＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x02x 2d x ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30. ∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝∫x 00⎠⎛0x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x .错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题．已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．【解】 如图所示，设l 的方程为y ＝kx ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－x 2a ＋2x ， 得交点O ，P 的坐标分别为(0,0)，(2a －ak,2ak －ak 2)．由题意得⎰2a －ak0(－x 2a ＋2x －kx )d x ＝12⎰2a 0(－x 2a＋2x )d x ，解得k ＝2－34，故所求l 的方程为y ＝(2－34)x .不能合理分割致误由y 轴，直线x ＝2和曲线y ＝2－x 2及y ＝x 围成的图形的面积为( ) A.23 B ．－23C ．3D ．－3。

3.2 简单几何体的体积-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.了解简单几何体的概念和特点；2.掌握计算简单几何体的体积的方法；3.能够在实际问题中运用简单几何体的体积计算。

二、教学内容1.简单几何体的概念；2.简单几何体的特点；3.简单几何体的体积计算方法；4.实际问题中的应用。

三、教学重点和难点1.教学重点：简单几何体的体积计算方法；2.教学难点：实际问题中简单几何体的应用。

四、教学方法1.讲授教法；2.演示教法；3.实践教法。

五、教学过程1. 导入通过举例线报家门口篮球场地的面积，并让学生估算一下需要多少篮球才能填满这个场地，引入几何体的概念。

2. 讲解简单几何体的概念和特点1.定义简单几何体的概念；2.指出简单几何体的特点：表面全部由直线或曲线构成，且任意两点之间的线段全部在几何体内。

3. 讲解简单几何体的体积计算方法1.点、线、面的概念；2.计算体积的公式；3.在不同情况下的体积计算方法。

4. 实践演习教师出示几个实际问题，让学生尝试用前面学过的方法计算出相应的体积。

5. 拓展延伸教师引导学生认识到这些简单几何体具体的应用。

六、课堂小结1.简单几何体的概念和特点；2.简单几何体的体积计算方法；3.实际问题中简单几何体的应用。

七、作业1.写出常见简单几何体的名字；2.计算实际问题中所涉及的简单几何体的体积。

八、教学反思通过本节课的教学，学生对简单几何体的概念、特点以及计算方法有了更深刻的理解，能够利用所学方法计算实际问题中的简单几何体的体积。

在接下来的教学中，可以针对学生的实际水平和兴趣爱好，进一步拓展应用领域，提高教学质量。

简单几何体的体积一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。

二、 学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。

三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。

四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。

2[()]ba V f x dx π=⎰ 典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。

求它的体积。

学生阅读课本P89页分析，教师引导。

解：圆锥体的体积为 12310033V x dx x πππ===⎰变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =，12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

答案：)(12-e π；例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。

分析：解此题的关键是如何建立数学模型。

将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。

则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。

解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。

则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：2-=q∴直线AB 的方程为：621+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎰⎰ 变式练习2如图一，是火力发电厂烟囱示意图。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 4.3.3 第1、2课时 平面图形的面积 简单几何体的体积课后知能检测 北师大版选修2-2一、选择题1．(2013·安阳高二检测)曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为( )A.154 B.174 C.12ln 2 D.32－ln 2 【解析】 如图所示，所围成图形的面积为S ＝⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )|21＝2－ln x －12＝32－ln 2.【答案】 D2．曲线y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( )A.⎠⎛a b f(x )d xB.⎠⎛a b |f (x )|d xC.⎠⎛ab π|f(x )|d x D.⎠⎛ab πf 2(x )d x【解析】 由定积分的概念，结合旋转体体积公式知选D. 【答案】 D3．曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的图形的面积为( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得交点为(－2,4)和(1,1)．则所求图形的面积为S ＝⎠⎛1-2 (2－x )d x －⎠⎛1-2x 2d x＝(2x －12x 2)⎪⎪⎪1－2－13x 3⎪⎪⎪1－2＝32＋6－3＝92. 【答案】 C图4－3－24．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图4－3－2)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x【解析】 由绝对值的意义知，该封闭图形的面积为⎠⎛02|x 2－1|d x . 【答案】 C5．如图4－3－3所示阴影部分的面积为( )图4－3－3A ．2 2B ．9－2 3C.323D.353【解析】 S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.【答案】 C 二、填空题6．由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________．【解析】 体积V ＝π⎠⎛01e xd x ＝π(e－1)．【答案】 π(e－1)7．如图4－3－4所示，图中阴影部分的面积为________．图4－3－4【解析】 由定积分的几何意义知面积为⎠⎛a c [f (x )－y (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－y (x )]d x .【答案】 ⎠⎛a c [f (x )－y (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－y (x )]d x8．如图4－3－5所示，若阴影部分的面积为4，则⎠⎛03f (x )d x ＝________.图4－3－5【解析】 ⎠⎛03f (x )d x ＝S 矩形－S 阴影＝2×3－4＝2.【答案】 2 三、解答题9．求由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2以及x 轴所围成的平面图形的面积．【解】 作出直线y ＝x －2，曲线y ＝x 的草图， 所求平面图形的面积为如图中阴影部分的面积．可求得直线y ＝x －2与曲线y ＝x 的交点为(4,2)．直线y ＝x －2与x 轴的交点为(2,0)．阴影部分的面积(记为S )，由两部分组成：一部分是直线x ＝2左边的图形的面积(记为S 1)；另一部分是直线x ＝2右边的图形的面积(记为S 2)．则S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛02x d x ＋[⎠⎛24x d x －⎠⎛24(x －2)d x ]＝23x 32|20＋23x 32|42－(12x 2－2x )|42＝103.10．求由抛物线y ＝x ，直线x ＋y ＝2及x 轴所围成的x 轴上方的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积V .【解】 解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.从而求得曲线y ＝x 与直线x ＋y ＝2的交点为P (1,1)(如图)，因此有V ＝π⎠⎛01(x )2d x ＋π⎠⎛12(2－x )2d x＝π⎠⎛01x d x ＋π⎠⎛12(4－4x ＋x 2)d x＝π·(12x 2)|10＋π(4x －2x 2＋13x 3)|21＝π(12－0)＋π[(4·2－2·22＋13·23)－(4－2＋13)]＝5π6.11．如图4－3－6所示，求由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2以及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积．图4－3－6【解】 所围成的平面图形的面积(记为S )由两部分组成：一部分是y 轴右边的图形的面积(记为S 1)；另一部分是y 轴左边的图形的面积(记为S 2)．S 1＝－⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛01(－x 24)d x ＋[－⎠⎛12(－1)d x ＋⎠⎛12(－x 24)d x ]＝x 33|10－x 312|10＋x |21－x 312|21＝23. 因为y 轴左、右两边图形关于y 轴对称，所以S 1＝S 2. 所以，所求平面图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝43.。