解不等式2

解二元二次不等式专题
一、二元二次不等式的定义
二元二次不等式是指包含两个变量的二次不等式，其形式为
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f > 0 (或 < 0)。

其中，a、b、c、d、e、f为实数，且a、b、c不全为零。

二、二元二次不等式的解法
解二元二次不等式的一种常见方法是利用图形解法。

我们可以
将二元二次不等式转化为二次曲线，然后通过观察曲线的特点来确
定不等式的解集。

具体步骤如下：
1. 将二元二次不等式移项，化为标准形式。

2. 通过找出二次项系数的符号，确定二次曲线的类型。

- 若a、c异号，二次曲线为双曲线；
- 若a、c同号，且b^2 - 4ac > 0，二次曲线为椭圆；
- 若a、c同号，且b^2 - 4ac = 0，二次曲线为抛物线。

3. 观察曲线在坐标平面上的位置和形状，确定不等式的解集。

三、应用举例
以下是一个二元二次不等式的应用举例：
解不等式组：
x^2 + 2xy + 2y^2 - 4x - 4y + 8 > 0
x + y > 2
根据步骤2，我们可以知道二次曲线为椭圆。

再通过观察曲线的位置和形状，可以确定不等式的解集为椭圆外部，并且满足x + y > 2的条件。

四、总结
解二元二次不等式需要将其转化为二次曲线进行分析，通过观察曲线的形状和位置来确定不等式的解集。

掌握二元二次不等式的解法，可以帮助我们更好地理解和解决问题。

二元二次不等式解法步骤概述及解释说明1. 引言1.1 概述二元二次不等式是数学中常见的一类不等式，其形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f > 0 或者ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f < 0。

解决这类不等式需要运用特定的解法步骤，以得出满足条件的变量取值范围。

本文将介绍二元二次不等式解法步骤，并详细解释其基本原理和概念。

1.2 文章结构本文分为五个部分，每个部分内容各有侧重。

首先在引言部分进行概述，介绍文章的结构和目标。

接下来，在第2部分探讨二元二次不等式的定义、解法步骤的概述以及基本原理说明。

第3部分会详细介绍方法一：因式分解与区间判断法，并提供相关示例演示与实例分析。

在第4部分中，我们将介绍方法二：图像法与辅助函数法，并对比两种方法的优缺点以及适用情况进行讨论。

最后，在第5部分进行总结回顾并展望可能的拓展方向。

1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解和掌握二元二次不等式的解法步骤。

通过对问题背景和基本原理的介绍，读者将能够学会使用因式分解与区间判断法以及图像法与辅助函数法来解决这类不等式问题。

文章也将探讨两种方法的优缺点及其适用情况，以帮助读者选择最合适的解题方法。

通过阅读本文，读者将能够提升对二元二次不等式解法步骤的理解和运用能力，并在实际问题中更加灵活地应用所学知识。

2. 二元二次不等式解法步骤的基本原理和概念2.1 二元二次不等式的定义二元二次不等式是具有一般形式Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F > 0（或< 0）的不等式，其中A、B、C、D、E 和F 是实数系数，而x 和y 是变量。

2.2 解法步骤概述解决二元二次不等式的一般步骤可以总结如下：(a) 将不等式表达式整理为标准形式，即将项排列顺序调整，并保持主项为正（负）。

(b) 将一元项进行配方，使问题转化为一元二次不等式。

解不等式小练习（二）姓名___________班级__________学号__________分数___________一、选择题1．（8192－点津）若53x x ->，则( )A ．x ＞0；B ．x ＜0；C ．x ≥0；D ．x ≤0；2．（14370－2011湖南益阳）不等式312->+x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）0 -2 0A ．B ．C ．D ．3．（14962－2011辽宁抚顺）不等式2x －6≥0的解集在数轴上表示正确的是( )0 3A ．； -3 0B ．； 0 3C ．； 0 3D ．；4．（14261－2011湖南张家界）不等式x x +<-353的解集是（ ）A ．4x ≤B ．4x ≥C ．4<xD ．4>x5．（12862－2011广东清远）不等式x －1＞2的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＞3D ．x ＜36．（13407－2011江苏淮安）不等式322x x +<的解集是( ) A ．x ＜－2 B ．x ＜－1 C ．x ＜0 D ．x ＞2二、填空题7．（10099）不等式3 +2x ≤－1的解集是____________．8．（13382－2011江苏泰州）不等式215x +>-的解集是 ．9．（14315－2011湖南株洲）不等式10x ->的解集是____________．10．（15020－2011辽宁沈阳）不等式2－x ≤1的解集为____________．三、计算题11．（8197－点津）根据不等式的性质，把下列不等式化为x ＞a 或x ＜a 的形式． ⑴3x ＋2＞5； ⑵13x ＞223x --； ⑶3223x x -+<+； ⑷11(6)22x x -≤；12．（13478－2011江苏苏州）解不等式：()3211x --<．13．（13825－2011浙江衢州）解不等式113x x +-≤，并把解在数轴上表示出来．4 0 -1 -2 3 1 2 -3 -414．（14482－2011湖南长沙）解不等式2(2)63x x --≤，并写出它的正整数解．15．（15078－2011重庆）解不等式2x －3＜13x +，并把解集在数轴上表示出来．4 0 -1 -2 3 1 2 -3 -4。

初中数学二元一次不等式(组)精选试题一.选择题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3.则m的取值范围是（）A．m＞4 B．m≥4C．m＜4 D．m≤4【分析】先求出每个不等式的解集.再根据不等式组的解集和已知得出关于m的不等式.再求出解集即可．【解答】解：.∵解不等式①得：x＞3.解不等式②得：x＞m﹣1.又∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3.∴m﹣1≤3.解得：m≤4.故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组.能根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解此题的关键．2. （2018·湖北襄阳·3分）不等式组的解集为（）A．x＞B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集【分析】首先解每个不等式.两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞1﹣x.得：x＞.解不等式x+2＜4x﹣1.得：x＞1.则不等式组的解集为x＞1.故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组.熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3.（2018•江苏宿迁•3分）若a＜b.则下列结论不一定成立的是（）A. a-1＜b-1B. 2a＜2bC.D.【答案】D【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A.∵a＜b.∴ a-1＜b-1.正确.故A不符合题意；B.∵a＜b.∴ 2a＜2b.正确.故B不符合题意；C.∵a＜b.∴ .正确.故C不符合题意；D.当a＜b＜0时.a2>b2.故D选项错误.符合题意.故选D.【点睛】本题考查了不等式的基本性质.熟练掌握不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数.不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数.不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数.不等号方向改变.4.（2018•江苏苏州•3分）若在实数范围内有意义.则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式.解不等式.把解集在数轴上表示即可．【解答】解：由题意得x+2≥0.解得x≥﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件.掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．一.选择题5.（2018•山东聊城市•3分）已知不等式≤＜.其解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【分析】把已知双向不等式变形为不等式组.求出各不等式的解集.找出解集的方法部分即可．【解答】解：根据题意得：.由①得：x≥2.由②得：x＜5.∴2≤x＜5.表示在数轴上.如图所示.故选：A．【点评】此题考查了解一元一次不等式组.以及在数轴上表示不等式的解集.熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.（2018•山东东营市•3分）在平面直角坐标系中.若点P（m﹣2.m+1）在第二象限.则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数.纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（m﹣2.m+1）在第二象限.∴.解得﹣1＜m＜2．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式.记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.四个象限的符号特点分别是：第一象限（+.+）；第二象限（﹣.+）；第三象限（﹣.﹣）；第四象限（+.﹣）．7. （2018•嘉兴•3分）不等式的解在数轴上表示正确的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：因为1－x≥2.3≥x.所以不等式的解为x≤3.故答案为A。

二元一次不等式解法步骤
二元一次不等式是形如ax + by ≥ c的不等式，其中a、b、c
为已知实数且a、b不同时为0。

解一元不等式步骤如下：
1. 将不等式化为标准形式：将不等式的两边移项，使得不等号
的一边为0，得到ax + by - c ≥ 0。

2. 计算直线斜率：求出不等式左侧直线的斜率，通过将不等式
转换为等式，得到y = -(a/b)x + c/b的形式。

斜率为-(a/b)。

若
a/b > 0，则直线下降；若a/b < 0，则直线上升。

3. 确定直线方向：根据斜率的正负确定不等式的区域方向，例
如当a/b > 0时，直线下降，则该直线以下的区域满足不等式。

4. 绘制直线：找到y截距，绘制直线。

可以取两个点，计算x
和y的值，然后在坐标系中连接这两个点。

5. 判断解集：根据不等式的符号关系确定解集。

若不等式为≥或>，则解集为直线以下（或不包括直线）的区域，并包括直线上的点；若不等式为≤或<，则解集为直线以上（或不包括直线）的区域，并包
括直线上的点。

6. 检验解集：将解集中的某个点代入原不等式进行检验，若不
等式成立，则该点是解集的一部分；若不等式不成立，则该点不是解
集的一部分。

注：解二元一次不等式与解一元不等式的步骤类似，但需要特别
注意解集的表示形式，通常为平面中的区域表示。

二元一次方程不等式的解法
一、图像法
图像法是通过画图来确定方程不等式的解集。

我们可以将方程中的不
等号看做等号，画出等号对应的直线，并通过对直线的位置和区域的判断，确定方程不等式的解集。

具体步骤如下：
1.将方程化为标准式，使得等号左边等于零。

2.画出等号对应的直线。

3.根据不等号的方向，确定区域。

4.区域内的点即为方程不等式的解集。

二、代入法
代入法是将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并代入
到方程中，得到只含有一个未知数的方程，然后解这个方程得到一个未知
数的解，再代回原方程求出另一个未知数的值。

具体步骤如下：
1.将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数。

2.将这个函数代入到方程中，得到只含有一个未知数的方程。

3.解这个方程得到一个未知数的解。

4.将这个解代回原方程，求出另一个未知数的值。

三、消元法
消元法是将方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入到方
程中，得到只含有一个未知数的方程，进而解这个方程得到一个未知数的解，再代回原方程求出另一个未知数的值。

具体步骤如下：
1.将方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数。

2.将这个函数代入到方程中，得到只含有一个未知数的方程。

3.解这个方程得到一个未知数的解。

4.将这个解代回原方程，求出另一个未知数的值。

以上就是解二元一次方程不等式的几种常用方法。

根据实际问题的不同，可以选择合适的方法进行求解。

需要注意的是，在代入法和消元法中，得到的解需要验证是否满足原方程，以免得到错误结果。

3.5 绝对值不等式（二）学习目标：1．会利用绝对值的几何意义来证明不等式．2．掌握|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的求解及证明． 基础知识：1．(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为________、________及不等式的性质． (2)绝对值不等式的解法(同解性)①|x |＜a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ②|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ＝，a【做一做1】解下列绝对值不等式：(1)|x |＜3； (2)|x |＞4．2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c ＞0)型不等式的解法：先化为_______________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．(2)|ax ＋b |≥c (c ＞0)的解法：先化为________________________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．【做一做2－1】不等式|x ＋4|＞9的解集是__________．3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 解法一：可以利用绝对值的________．(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“____”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的____，进而去掉__________．(简称零点区间法)解法三：可以通过________，利用________，得到不等式的解集．(简称图像法)由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉__________，把它转化为一个或几个普通______或________(即不含绝对值符号)．答案：1．(1)绝对值的定义 几何意义 (2)①－a ＜x ＜a 无解 ②x ＜－a 或x ＞a x ≠0 x ∈R 【做一做1】解：(1)∵3＞0，∴－3＜x ＜3． (2)∵4＞0，∴x ＞4或x ＜－4．2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c ax ＋b ≤－c【做一做2－1】{x |x ＜－13或x ＞5} 由原不等式，得x ＋4＞9或x ＋4＜－9， 解得x ＞5或x ＜－13．3．几何意义 零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数图像 绝对值符号 不等式 不等式组典型例题题型一|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 【例1】解不等式2＜|2x －5|≤7．解：解法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －5|>2，|2x －5|≤7，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>2或2x －5<－2，－7≤2x －5≤7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >72或x <32，－1≤x ≤6.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6．解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集．原不等式可化为(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5≥0，2<2x －5≤7，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －5<0，2<5－2x ≤7. 解不等式组(1)，得72＜x ≤6．解不等式组(2)，得－1≤x ＜32．∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6．【做一做2－2】不等式|2x ＋1|＞x ＋1的解集为__________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23或x >0题型二 |x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法 【例2】解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5．解：解法一：(几何法)如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，那么A ，B 两点的距离是3，因此区间[－2,1]上的数都不是原不等式的解．为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点A ，B 的距离之和为5的点．将点A 向左移动1个单位到点A 1，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝5；同理，将点B 向右移动1个单位到点B 1，这时也有|B 1A |＋|B 1B |＝5．从数轴上可以看到，点A 1与B 1之间的任何点到点A ，B 的距离之和都小于5；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到点A ，B 的距离之和都大于5．所以，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 解法二：(零点分区间法)(1)当x ≤－2时，原不等式可以化为－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是(－∞，－3]．(2)当－2＜x ＜1时，原不等式可以化为－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，矛盾．所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为．(3)当x ≥1时，原不等式可以化为(x －1)＋(x ＋2)≥5，解得x ≥2，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是[2，＋∞)．综上所述，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法三：(图像法)将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．构造函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|－5，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2<x <1，2x －4，x ≥1.作出函数的图像(如图)，它是分段线性函数，函数的零点是－3,2．从图像可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，有y ≥0，即|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．所以原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 【做一做3】解不等式|2x －5|－|x ＋1|＜2．解：令2x －5＝0，得x ＝52．令x ＋1＝0，得x ＝－1．(1)当x ≤－1时，原不等式等价于－(2x －5)＋(x ＋1)＜2，即－x ＋6＜2，即x ＞4，无解．(2)当－1＜x ＜52时，原不等式等价于－(2x －5)－(x ＋1)＜2，即－3x ＋4＜2，即x ＞23．∴23＜x ＜52．(3)当x ≥52时，原不等式等价于(2x －5)－(x ＋1)＜2，即x －6＜2，即x ＜8．∴52≤x ＜8．综上，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <8．题型三 |x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法【例3】求关于x 的不等式|x ＋4|＋|x －2|≤6的解集． 答案：原不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}．随堂练习：1下列不等式中，解集为R 的是( )． A ．|x ＋2|＞1 B ．|x ＋2|＋1＞1C ．(x －78)2＞－1D ．(x ＋78)2－1＞0 2不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x ＞x 2－x的解集是( )．A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞2} 3不等式|x ＋3|＜4的解集是( )．A ．(－7,1)B ．(1,7)C ．(－4,1)D ．(－3,1) 4不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集是__________． 答案：1．C 根据a 2≥0，知(x －78)2＞－1在R 内恒成立． 2．B 由已知，得x2－x＜0，解得x ＜0或x ＞2．故选B ．3．A |x ＋3|＜4⇔－4＜x ＋3＜4⇔－7＜x ＜1．4．{x |x ≥1} |x ＋3|－|x －2|≥3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3.∴x ∈或1≤x ＜2或x ≥2．∴不等式的解集为{x |x ≥1}．3.5 绝对值不等式（二）课后作业 姓名1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x |x <－4或x >2} B ．{x |－4<x <2} C ．{x |x <－4或x ≥2}D ．{x |－4≤x <2}解析：|x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x <－4或x >2. 答案：A2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－12且x ≠－3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜32 解析：原不等式⇒⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2x ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2x ≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x ≠－3.答案：C3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3) C ．(－4,1)D.⎝⎛⎭⎫－32，72 解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．答案：C4．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜0或1≤x ≤32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12＜x ≤0或1≤x ≤32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x ≤0且1≤x ≤32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x ≤0或1≤x <32 解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.答案：D5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2.即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔ －x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解． 法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]8．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解：(1)当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝1－x ＋2－3x ＝3－4x ，由3－4x ＞3得x ＜0.(2)当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3得x ＞2，∴x ∈∅.(3)当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3得x ＞32，∴x ＞32.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜0或x ＞32. 9．已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅，分别求出m 的范围． [解] 法一：因|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差．即|x ＋2|－|x ＋3|＝|P A |－|PB |. 由图像知(|P A |－|PB |)max ＝1， (|P A |－|PB |)min ＝－1. 即－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m <1，m 的范围为(－∞，1)． (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m ＜－1，m 的范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1，m 的范围为[1，＋∞)．法二：由|x ＋2|－|x ＋3|≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1，|x ＋3|－|x ＋2|≤|(x ＋3)－(x ＋2)|＝1， 可得－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m ∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为R ，则m ∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m ∈[1，＋∞)．10．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.综上可得，解集为{x|x≤1或x≥3}．(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍)，∴a的取值范围是[5，＋∞)．。