2018年高考数学二轮专题复习训练： 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式

专题验收评估（一） 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 2．已知a ＝0.20.3，b ＝log 0.23，c ＝log 0.24，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．c >b >a解析：选A 由指数函数和对数函数的图象和性质知a >0，b <0，c <0，又对数函数f (x )＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是单调递减的，所以log 0.23>log 0.24，所以a >b >c .3．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.4．(2017·南昌模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y ≥6.5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，y ≥2，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．4解析：选 A 线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，y ≥2所构成的可行域如图所示是顶点为A (2,5)，B (1,2)，C (3，2)的三角形的边界及其内部．故当目标函数z ＝2x －y 经过点A 时，取到最小值z min ＝2×2－5＝－1.6．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．7．若函数 f (x )＝log m (x －a )＋c －1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(2,1)，且函数g (x )＝2a ln x ＋b x－c 在[1，e]上为单调函数，则实数b 的取值范围是( )A.(]－∞，2B ．(－∞，2)∪(2e ，＋∞) C.(]－∞，2∪[)2e ，＋∞D.[)2e ，＋∞解析：选C 由函数f (x )的图象过定点(2,1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝1，c －1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则g (x )＝2lnx ＋b x －2，求导得g ′(x )＝2x －b x 2＝1x2(2x －b )，易知函数y ＝2x ，x ∈[1，e]为增函数，其值域为[2,2e]，所以当b ≤2或b ≥2e 时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，即此时函数g (x )在[1，e]上为单调函数．故选C.8．(2017·静安区模拟)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．－12或－14B ．0C ．0或－12D ．0或－14解析：选D 因为函数f (x )是定义在实数集R 上的以2为周期的偶函数，所以当－1≤x ≤0时，f (x )＝f (－x )＝x 2，作出函数f (x )在[0,2]上的图象如图所示，当直线经过点A (1，1)时，满足条件，此时1＝1＋a ，解得a ＝0；当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2相切时，也满足条件，此时x 2＝x ＋a ，即x 2－x －a ＝0，则判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14，故a ＝0或a ＝－14.9．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，54D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－54 解析：选B 因为f ′(x )＝1x －34×1x 2－14＝－x 2＋4x －34x 2＝－x －x －4x2，易知，当x∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下，所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即12≥g (1)或12≥g (2)，所以12≥－1－2a ＋4或12≥－4－4a ＋4，解得a ≥－18.10．若平面直角坐标系内的A ，B 两点满足：①点A ，B 都在f (x )的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”(点对(A ，B )与(B ，A )可看作同一个“姊妹点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“姊妹点对”的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设P (x ，y )(x <0)，则点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，由2e－x ＝－(x 2＋2x )，化简整理得2e x ＋x 2＋2x ＝0.由x 2＋2x <0，解得－2<x <0，而2e x >0(x ≥0)，所以只需考虑x∈(－2,0)即可．令φ(x )＝2e x ＋x 2＋2x ，求导得，φ′(x )＝2e x ＋2x ＋2，令g (x )＝2e x＋2x ＋2，则g ′(x )＝2e x ＋2>0，所以φ′(x )在区间(－2,0)上单调递增，而φ′(－2)＝2e －2－4＋2＝2(e－2－1)<0，φ′(－1)＝2e －1>0，所以φ(x )在区间(－2,0)上只存在一个极值点x 0(x 0∈(－2，－1))，而φ(－2)＝2e －2>0，φ(－1)＝2e －1－1<0，φ(0)＝2>0，所以函数φ(x )在区间(－2，－1)，(－1,0)上各有一个零点，即函数f (x )有2个“姊妹点对”．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝________；A ∪B ＝________；∁R A ＝________.解析：因为A ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＜0或x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，A ∩B ＝(2,3)，A ∪B ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，∁R A ＝[0,2]．答案：(2,3) (－∞，0)∪(1，＋∞) [0,2]12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3 x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，f (1)＝________，f (f (3))＝________.解析：依题意，f (1)＝－log 31＝0，f (3)＝－log 33＝－1，故f (f (3))＝f (－1)＝3. 答案：0 313．(2017·嘉兴模拟)若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________，这时a ＝________.解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1，又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15，因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值是27.答案：27 214．若关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则a ＝________，b ＝________. 解析：由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.答案：－3 115．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：对函数f (x )求导得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6，要使函数f (x )既存在极大值又存在极小值，则f ′(x )＝0有两个不同的根，所以判别式Δ>0，即Δ＝4m 2－12(m ＋6)>0，所以m 2－3m －18>0，解得m >6或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)16．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________．解析：根据题意作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．令y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 的纵截距，故欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大即可．因为a >1，所以直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点⎝⎛⎭⎪⎫71＋3a ，211＋3a 时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.答案：217．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f(x)的导函数y＝f下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．其中真命题的序号是________．解析：由导数图象可知，当－1<x<0或2<x<4时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x<2或4<x<5时，f′(x)<0，函数单调递减，当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5.又f(－1)＝f(5)＝1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确．②正确．因为当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时函数f(x)的最大值是2，则t的最大值为5，所以③不正确．由f(x)＝a，因为极小值f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2，所以当1<a<2时，y＝f(x)－a最多有4个零点，所以④正确．故真命题的序号为①②④.答案：①②④三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． 解：(1)因为f (x )是二次函数，且f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， 所以可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.因为a ＞0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ，所以f (x )min ＝－4a ＝－4，解得a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝f x x －4ln x ＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x ＞0)，所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝x －x －x2.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：当又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2＞25－1－22＝9＞0，所以函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)． 19．(本小题满分15分)设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R. (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立．解：(1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋x －a2x＝(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫2ln x ＋1－a x .因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以f ′(e)＝(e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a e ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e ，经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0<x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0<4e 2成立． ②当1<x ≤3e 时，由题意，知f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得3e －2e≤a ≤3e＋2e.由(1)知f ′(x )＝(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫2ln x ＋1－a x，令h (x )＝2ln x ＋1－a x，则h (1)＝1－a <0，h (a )＝2ln a >0，且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e≥2ln(3e)＋1－3e ＋2eln 3e 3e ＝2⎝⎛⎭⎪⎫ln 3e －13ln 3e >0.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1<x 0<3e,1<x 0<a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．所以要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧fx 0＝x 0－a2ln x 0≤4e 2，ⅰf ＝－a22ⅱ成立．由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0. (ⅲ)将(ⅲ)代入(ⅰ)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0>1，注意到函数x 2ln 3x 在[1，＋∞)内单调递增，故1<x 0≤e，再由(ⅲ)以及函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1<a ≤3e.又3e －2e≤a ≤3e＋2e，所以3e －2e ln3e≤a ≤3e.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3e －2e，3e .20．(本小题满分15分)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x－x ，5－12xx，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4)解：(1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－x ，20－2x x则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0， 所以此时0≤x ≤4；当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8， 所以此时4<x ≤8.综上，可得0≤x ≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天． (2)当6≤x ≤10时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －－1＝10－x ＋16a14－x－a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4， 因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4， 所以a 的最小值为24－162≈1.6.21．(本小题满分15分)函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈Z ，b ，c ∈R)．(1)若n ＝－1，函数f (x )在区间[2，＋∞)上是单调递增函数，求实数b 的取值范围； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤4恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)n ＝－1时，f (x )＝1x＋bx ＋c .设x 1>x 2≥2，f (x 1)－f (x 2)＝1x 1＋bx 1＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋bx 2＋c＝x 1－x 2bx 1x 2－x 1x 2.∵x 1>x 2≥2，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，因为函数f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数，故恒有f (x 1)>f (x 2)，从而恒有bx 1x 2－1>0，即恒有b >1x 1x 2，当x 1>x 2≥2时，x 1x 2>4，∴1x 1x 2<14，∴b ≥14. 故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.(2)当n ＝2时f (x )＝x 2＋bx ＋c ，对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4恒成立等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.当－b2<－1，即b >2时，f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝1－b ＋c ，f (x )max ＝f (1)＝1＋b ＋c ，所以M ＝2b >4，与题设矛盾；当－1≤－b2≤0，即0≤b ≤2时，f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－b 2上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b2，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－b 24＋c ，f (x )max ＝f (1)＝1＋b ＋c ，所以M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2＋12≤4恒成立，所以0≤b ≤2；当0<－b2≤1，即－2≤b <0时，f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－b 2上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b2，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－b 24＋c ，f (x )max ＝f (－1)＝1－b ＋c ，所以M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立，所以－2≤b <0；当－b2>1，即b <－2时，f (x )在x ∈[－1,1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝1＋b ＋c ，f (x )max ＝f (－1)＝1－b ＋c ，所以M ＝－2b >4，与题设矛盾．综上所述，实数b 的取值范围是[－2,2]．22．(本小题满分15分)已知a >0，b ∈R ，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当0≤x ≤1时，①函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ； ②f (x )＋|2a －b |＋a ≥0.(2)若－1≤f (x )≤1对x ∈[0,1]恒成立，求a ＋b 的取值范围． 解：(1)证明：①f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－b 6a ，当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 当b >0时，f ′(x )＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 6a ，此时f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，b 6a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 6a ，＋∞上单调递增，所以当0≤x ≤1时， f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ，b ≤2a ，－a ＋b ，b >2a ＝|2a －b |＋a .②由于0≤x ≤1，故当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)，当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a >4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)；设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1， 则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如表所示：所以，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎪⎫33＝1－439>0， 所以，当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1>0， 故f (x )＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥0.(2)由①知，当0≤x ≤1时，f (x )max ＝|2a －b |＋a ，所以|2a －b |＋a ≤1，若|2a －b |＋a ≤1，则由②知f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1，所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|2a －b |＋a ≤1，a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥0，3a －b ≤1，a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b <0，b －a ≤1，a >0.在直角坐标系aOb 中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC .作一组平行直线a ＋b ＝t (t ∈R)，得－1<a ＋b ≤3，所以a ＋b 的取值范围是(－1,3]．。

2018高考数学集合、不等式、复数等二轮专题复习题（有
答案）
5 专题升级训练集合与常用逻辑用语
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )
A{x|x≥1}B{x|1≤x 2}
c{x|0 x≤1}D{x|x≤1}
3(1
D对任意x∈,使sin x x
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
7已知集合A={3,2}, B={-1,3,2-1}若A B,则实数的值为
8若命题“ x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则a的取值范围是
9已知下列命题
①命题“ x∈R,x2+1 3x”的否定是“ x∈R,x2+1
②已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(&#1051729;p)∧(&#1051729;q)”为真命题;
③ “a 2”是“a 5”的充分不必要条;
④“若x=0,则x=0且=0”的逆否命题为真命题
其中所有真命题的序号是
三、解答题(本大题共3小题,共46分解答应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤)
10(本小题满分15分)已知集合A={x|3≤x 7},B={x|2 x 10},c={x|x a},全集为实数集R
(1)求A∪B;
(2)( RA)∩B;
(3)如果A∩c≠ ,求a的取值范围。

专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲 集合、常用逻辑用语[考情分析]1．本部分作为高考必考内容，仍会以选择题的形式在前几题的位置考查，难度较低；2.命题的热点依然会考查集合的运算，集合的基本关系的相关命题要注意；3.常用逻辑用语考查的频率不多，且命题点分散，其中充要条件的判断及含有量词的命题的否定交汇综合命题.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32D ．A ∪B ＝R解析：因为A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A. 答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：A ，B 两集合中有两个公共元素2,4，故选B. 答案：B3．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{3,5}C．{5,7} D．{1,7}解析：因为集合A与集合B的公共元素有3,5，由题意A∩B＝{3,5}，故选B.答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁A B＝{0,2,6,10}．答案：C5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)．答案：A集合[方法结论]1．子集个数：含有n个元素的集合，其子集的个数为2n；真子集的个数为(2n－1)(除集合本身)．2．给出集合之间的关系，求解参数，要善于运用集合的性质进行灵活转化：如A∪B＝A⇔B⊆A 和A∩B＝A⇔A⊆B.3．高考中通常结合简单的绝对值不等式、一元一次不等式和分式不等式等考查，常用数形结合——数轴法．其步骤是：(1)化简集合；(2)将集合在数轴上表示出来；(3)进行集合运算求范围．[题组突破]1．(2017·洛阳模拟)设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：依题意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q⊆P，选B.答案：B2．(2017·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}．若A∩B≠∅，则a的值为( )A．1 B．2C．3 D．1或2解析：当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2.选B.答案：B3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：依题意得A∪B＝{1,2,3,4}，选A.答案：A4．(2017·武汉模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}解析：A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|2<x<5}，∴A－B＝{0,1,2,5}．选D.答案：D[误区警示]求解集合问题时易忽视的三个问题1．集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等；2．进行集合的基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍，不能遗漏；3．求解集合的补集运算时，要先求出条件中的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致出错．命题及复合命题真假的判断[方法结论]判断含有逻辑联结词命题的真假的方法方法一(直接法)：①确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；②判断每个简单命题的真假；③根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．[题组突破]1．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是( )A．若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数B．若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数C．若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数D．若a，b不都是偶数，则a＋b是偶数解析：因为“都是”的否定是“不都是”，所以“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”．故选B. 答案：B2．(2017·湖北百所重点学校联考)已知命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ，命题q ：∃x ∈R ，使得tan x ＝1－3x，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q解析：对于命题p ：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ＝0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：当x ＝0时，tan x ＝1－3x＝0，所以命题q 是真命题．由于綈p 是真命题，所以(綈p )∧q 是真命题，故选D. 答案：D [误区警示]已知p ∨q 为真，p ∧q 为假．判断p ，q 真假时要注意分类思想应用，它有两种可能：p 真q 假，p 假q 真．全称命题与特称命题[方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x ∈M ，p (x )⇔互否∃x 0∈M ，綈p (x 0)．简记：改量词，否结论． 2．“或”“且”联结词的否定形式“p 或q ”的否定形式是“非p 且非q ”，“p 且q ”的否定形式是“非p 或非q ”．[题组突破]1．(2017·沈阳模拟)命题p ：“∀x ∈N *，(12)x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，(12)x >12B ．∀x ∉N *，(12)x >12C ．∃x ∉N *，(12)x >12D ．∃x ∈N *，(12)x >12解析：命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“(12)x ≤12”改为“(12)x >12”即可，故选D.答案：D2．若命题“∃x ∈R ，使得sin x cos x >m ”是真命题，则m 的值可以是( ) A ．－13B ．1 C.32D.23解析：∵sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，∴m <12.故选A. 答案：A [误区警示]全称命题与特称命题的否定时易犯的错误是一些词语否定不当，注意以下常见的一些词语及否定形式：充要条件的判断充分必要条件的判断：考生多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．[典例] (1)(2017·惠州模拟)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C.答案：C(2)(2017·贵阳模拟)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A. 答案：A(3)(2017·洛阳模拟)已知x 1，x 2∈R ，则“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 1>1且x 2>1可得x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，即“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分条件；反过来，由x 1＋x 2>2且x 1x 2>1不能推出x 1>1且x 2>1，如取x 1＝4，x 2＝12，此时x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，但x 2＝12<1，因此“x 1>1且x 2>1”不是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的必要条件．故“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分不必要条件，选A. 答案：A[类题通法]1．充分必要条件的判断常用到等价转化思想，常见的有：(1)綈q 是綈p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件；(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件；(3)綈q 是綈p 的充分必要条件⇔p 是q 的充分必要条件；(4)綈q 是綈p 的既不充分条件也不必要条件⇔p 是q 的既不充分也不必要条件．2．对于与函数性质、平面向量的加减法运算等交汇考查充分必要条件的判断问题，多用到数形结合思想．3．在判断充分必要条件时，由p ⇒q 或q ⇒p 也可取特殊值(特殊点，特殊函数)等，快速作出判断．4．判断充分必要条件题常利用“以小推大”，即小范围推得大范围，便可轻松获解．[演练冲关]1．若p 是綈q 的充分不必要条件，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵p 是綈q 的充分不必要条件，∴綈q 是p 的必要不充分条件．而“若綈p ，则q ”是“若綈q ，则p ”的逆否命题，∴綈p 是q 的必要不充分条件，故选B. 答案：B2．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 答案：D3．(2016·高考浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x ＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A. 答案：A4．(2017·永州模拟)“m ＝0”是“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切”的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ＝0，则圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的圆心(1,1)到直线x ＋y ＝0的距离为2，等于半径，此时直线与圆相切，即“m ＝0”⇒“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切”；若直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，则圆心到直线的距离为|1＋1－m |2＝2，解得m ＝0或m ＝4，即“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切”⇒/ “m ＝0”．所以“m ＝0”是“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切”的充分不必要条件．故选B. 答案：B5．(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cosB ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)．解析：由角A ，B ，C 成等差数列，得B ＝π3.由sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ，得sin(A ＋B )＝(3cos A ＋sin A )cos B ，化简得cos A sin(B －π3)＝0，所以A ＝π2或B ＝π3，所以在△ABC中，“角A ，B ，C 成等差数列”⇒“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”，但“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”⇒/ “角A ，B ，C 成等差数列”，所以“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”的充分不必要条件． 答案：充分不必要。

1.1 集合与常用逻辑用语【课时作业】1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析： ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{}x |－1≤x ≤2. 故选B. 答案： B2．(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析： ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． 答案： C3．(2018·安徽皖南八校3月联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B的真子集个数为22－1＝3.故选B.答案： B4．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 解析： 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0.答案： C5．(2018·北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B. 答案： B6．(2018·洛阳市第一统考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,1]B ．(－2,2]C ．(0,1)D ．[－2,2]解析： 不等式log 2x ≤1即log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A ＝(0,2]．由x 2＋x －2≥0，得(x ＋2)(x －1)≥0，得B ＝{x |x ≤－2或x ≥1}，所以∁U B ＝(－2,1)，从而A ∩∁U B ＝(0,1)．故选C.答案： C7．设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2>9，x ∈N }，B ＝{0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x >2，x ∈N }B ．{x |x ≤2，x ∈N }C ．{0,2}D ．{1,2}解析： 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤9，x ∈N }＝{x |－3≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，因为B ＝{0,2,4}，所以B ∩(∁U A )＝{0,2}．答案： C8．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．命题“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析： C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.答案： C9．(2018·陕西省质量检测(一))已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析： 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题，故选D.答案： D10．(2018·辽宁省五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析： 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.答案： D11．(2018·山东泰安3月联考)下列命题正确的是( )A ．命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析： 对于选项A ，命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1<0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题，q 为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a·b >0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确．因此选D.答案： D12．(2018·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x－a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析： 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.∀x >0,2x－a >0等价于a <2x在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C.答案： C13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：____________________. 解析： 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案： ∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 017＋b 2 017的值为________．解析： 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a2 017＋b2 017＝－1.答案： －115．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析： 集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案： {(2,3)}16．a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．解析： 显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A 可知，当b 不是最大时，则a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b 的年龄是最大”为真，即b >a >c .同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．答案： c ，a ，b。

专题能力训练2 不等式、线性规划能力突破训练1.已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A. B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin yD.x3>y32.已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则f(2-x)>0的解集为()A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}3.不等式组的解集为()A.(0,)B.(,2)C.(,4)D.(2,4)4.(2017北京,理4)若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.95.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),若不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.6.(2017天津,理2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为()A. B.1 C. D.37.(2017陕西咸阳二模)已知实数x,y满足的取值范围是()A. B.[3,11]C. D.[1,11]8.已知变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.29.已知变量x,y满足约束条件若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1]D.[-1,1)10.(2017全国Ⅲ,理13)若x,y满足约束条件则z=3x-4y的最小值为.11.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.12.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.思维提升训练13.(2017广东湛江调研)已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.或-1B.或2C.1或2D.-1或214.设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为()A.B.C.D.15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为.16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=,则的最小值为.17.若函数f(x)=·lg x的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.18.已知存在实数x,y满足约束条件则R的最小值是.参考答案专题能力训练2不等式、线性规划能力突破训练1.D解析由a x<a y(0<a<1)知,x>y,故x3>y3,选D.2.C解析∵f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴b-2a=0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.∴f'(x)=2ax.又f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴a>0.由f(2-x)>0,得a(x-2)2-4a>0,∵a>0,∴|x-2|>2,解得x>4或x<0.3.C解析由|x-2|<2,得0<x<4;由x2-1>2,得x>或x<-,取交集得<x<4,故选C.4.D解析由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值z max=3+2×3=9.故选D.5.A解析由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0.∵其解集是(-1,3),∴a<0,且解得a=-1或a=(舍去),∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,∴f(-2x)=-4x2-4x+3,由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,解得x>或x<-,故选A.6.D解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.7.C解析=1+其中表示两点(x,y)与(-1,-1)所确定直线的斜率,由图知,k min=k PB=,k max=k PA==5,所以的取值范围是的取值范围是故选C.8.C解析画出约束条件的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.9.C解析设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小,即x+2y=-5,由解得即A(-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y≥-5恒成立,则-1≤a≤1,故选C.10.-1解析画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=3×1-4×1=-1.11.216 000解析设生产产品A x件,生产产品B y件,由题意得即目标函数z=2100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由解得所以z max=2100×60+900×100=216000.12.1<a≤3解析作出平面区域D如图阴影部分所示,联系指数函数y=a x的图象,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,则a的取值范围是1<a≤3.思维提升训练13.D解析在平面直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的△ABC,目标函数z=y-ax可变形为y=ax+z,z的几何意义为直线y=ax+z在y轴上的截距.因为z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,所以直线y=ax+z与区域三角形的某一边平行,当直线y=ax+z与边线x+y-2=0平行时,a=-1符合题意;当直线y=ax+z与边线x-2y-2=0平行时,a=不符合题意;当直线y=ax+z与边线2x-y-2=0平行时,a=2符合题意,综上所述,实数a 的值为-1或2.故选D.14.A解析原不等式可化为(a-1)x-+2ay≥0,两边同除以y,得(a-1)+2a≥0,令t=,则(a-1)t2-t+2a≥0,由不等式恒成立知,a-1>0,Δ=1-4(a-1)·2a≤0,解得a,a min=,故选A.15.2解析画出可行域如图阴影部分所示,目标函数变形为y=-x+,由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,因为a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.16.3解析由2x-3=,得x+y=3,故(x+y)(5+4)=3,当且仅当(x,y∈(0,+∞))时等号成立.17.-2解析函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由>0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x-在定义域内恒成立,而-x-<-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.18.2解析根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.。

专题限时集训(十七) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第页)[建议、组各用时：分钟][组高考题、模拟题重组练]一、集合．(·浙江高考)已知集合＝{－≥}，＝{<<}，则∩＝( )．[) ．(]．(－) ．(－][＝{－≥}＝{(－)(＋)≥}＝{≥或≤－}，∴∩＝{≥或≤－}∩{<<}＝{≤<}，即∩＝[)．] ．(·浙江高考)已知集合＝{－<<}，＝{<<}，那么∪＝( )．(－) ．()．(－) ．()[∵＝{－<<}，＝{<<}，∴∪＝{－<<}．故选.]．设集合＝{＝，∈}，＝{－<}，则∪＝( )．(－) ．()．(－，＋∞)．(，＋∞)[由已知得＝{>}，＝{－<<}，则∪＝{>－}．故选.]．(·浙江高考)已知集合＝{∈≤≤}，＝{∈≥}，则∪(∁)＝( )．[] ．(－]．[) ．(－∞，－]∪[，＋∞)[∵＝{∈≥}，∴∁＝{∈<}＝{－<<}．∵＝{∈≤≤}，∴∪(∁)＝{－<≤}＝(－]．]．(·浙江高考)已知集合＝{－≥}，＝{<≤}，则(∁)∩＝( ) ．[) ．(]．() ．[][由－≥，得≤或≥，即＝{≤或≥}，所以∁＝{<<}＝()．又＝{<≤}＝(]，所以(∁)∩＝()．] ．(·浙江高考)设全集＝{∈≥)，集合＝{∈≥}，则∁＝( )．∅．{}．{} ．{}[因为＝{∈≤－或≥}，所以∁＝{∈≤<)，故∁＝{}．]二、命题及其关系、充分条件与必要条件．(·浙江高考)设，是实数，则“＋>”是“>”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[特值法：当＝，＝－时，＋>，<，故＋>⇒>；当＝－，＝－时，>，但＋<，所以>⇒＋>.故“＋>”是“>”的既不充分也不必要条件．]．(·湖州市高三第一学期期末调研测试)已知{}是等比数列，则“＜”是“{}是单调递增数列”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[若＝(－)，是等比数列，且＝＜＝，但该数列不具有单调性，所以充分性不成立；若{}是单调递增的等比数列，则必有＜，所以必要性成立，即“＜”是“{}是单调递增数列”的必要不充分条件，故选.]．设：实数，满足(－)＋(－)≤，：实数，满足(\\(≥－，≥－，≤，))则是的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件[表示以点()为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，是的必要不充分条件．故选.]．已知直线，分别在两个不同的平面α，β内，则“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[由题意知⊂α，⊂β，若，相交，则，有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则，的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选.]．设集合＝{＞－}，＝{≥}，则“∈且∉”成立的充要条件是( ) ．－＜≤．≤．＞－．－＜＜[由∈且∉知∈∩(∁)，又∁＝{＜}，则∩(∁)＝{－＜＜}．][组“＋”模拟题提速练]一、选择题．已知集合＝{＝(－)}，集合＝{－＜，＞}，若⊆，则的取值范围为( )．(] ．()．[，＋∞)．(，＋∞)[由题意将两个集合化简得：＝()，＝(，)，因为⊆，所以≥.]．(·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设α，β是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若⊥α，⊂β，则α⊥β；②若∥α，α⊥β，则⊥β，则．①②都是假命题．①是真命题，②是假命题．①是假命题，②是真命题．①②都是真命题[由面面垂直的判定可知⊥α，⊂β，则α⊥β，故命题①为真命题；∥α，α⊥β，与β可能平行，在β内，或与α相交，故②为假命题．]．(·浙江高考)已知是虚数单位，，∈，则“＝＝”是“(＋)＝”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[当＝＝时，(＋)＝(＋)＝；当(＋)＝时，得(\\(－＝，＝，))解得＝＝或＝＝－，所以“＝＝”是“(＋)＝”的充分不必要条件．]．(·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)已知集合＝{∈＜＜}，＝{∈＋－≤}，则( ) ．∈．∈∁．∁⊆．∁⊆∁[由题意得集合＝{＜＜}，＝{－≤≤}，所以∁＝{≤或≥}，∁＝{＜－或＞}，所以∁⊆∁，故选.] ．函数()的定义域为实数集，“()是奇函数”是“()是偶函数”的( ) 【导学号：】．充分不必要条件．必要不充分条件．既不充分也不必要条件．充要条件[()为奇函数，则(－)＝－()，所以(－)＝－()＝()，因此()是偶函数，但当()为奇函数时，()为偶函数，但由()为偶函数不能得出结论()为奇函数，因此本题选.]．“＝”是“函数()＝－＋为奇函数”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[()的定义域为{≠}，关于原点对称，当＝时，()＝－，(－)＝(－)－＝－＋＝－－()))＝－()，故()为奇函数；反之，当()＝－＋为奇函数时，(－)＋()＝，又(－)＋()＝(－)－＋＋－＋＝，故＝，所以“＝”是“函数()＝－＋为奇函数“的充要条件，故选.]．已知集合＝{－＋＝，∈}，＝{＜＜，∈}，则满足条件⊆⊆的集合的个数为( )．．．．[＝{(－)(－)＝，∈}＝{}，＝{＜＜，∈}＝{}．因为⊆⊆，所以可以为{}，{}，{}，{}．]．(·浙江高考)设，是有限集，定义：(，)＝(∪)－(∩)，其中()表示有限集中元素的个数．( ) 命题①：对任意有限集，，“≠”是“(，)>”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，(，)≤(，)＋(，)．．命题①和命题②都成立．命题①和命题②都不成立．命题①成立，命题②不成立．命题①不成立，命题②成立[命题①成立，若≠，则(∪)>(∩)，所以(，)＝(∪)－(∩)>.反之可以把上述过程逆推，故“≠”是“(，)>”的充分必要条件；命题②成立，由图，知(∪)＝()＋()－(∩)，(，)＝()＋()－(∩)，(，)＝()＋()－(∩)，所以(，)＋(，)－(，)＝()＋()－(∩)＋()＋()－(∩)－[()＋()－(∩)]＝()－(∩)－(∩)＋(∩)＝()＋(∩)－[(∩)＋(∩)]≥()＋(∩)－[((∪)∩)＋(∩∩)]＝[()－(\\())＋[(∩)－(∩∩)]≥，所以(，)≤(，)＋(，)得证．]二、填空题．(·浙江省名师原创预测卷(二))已知集合＝，＝{＝＋＋}，则(∁)∩＝.{} [由题意得＝，即＝(－∞，)∪(，＋∞)，＝{≥}，所以(∁)∩＝[]∩[，＋∞)＝{}．]．已知集合＝，＝{∈－＜＜＋}，若∈成立的一个充分不必要的条件是∈，则实数的取值范围是．(，＋∞) [＝＝{－＜＜}，因为∈成立的一个充分不必要条件是∈，所以⊆，所以＋＞，即＞.]．(·浙江省名师原创预测卷(四))已知集合＝{，…，}，若集合的一个非空子集中的奇数的个数不多于偶数的个数，则称该子集为“偏偶集”，那么集合的所有非空子集中，“偏偶集”的个数为．[集合的所有非空子集可分为三类：偶数的个数多于奇数的个数、奇数的个数多于偶数的个数、偶数的个数与奇数的个数相等．其中前两种情况的子集数相等，现考虑第三种情况，即考虑元素个数为的子集，则共有子集数：()＋()＋()＋()＋()＝，从而“偏偶集”的个数为＋(－－)＝.]．设：(－)≤，：(＋)(－)≥，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．(－∞，－]∪[：(－)≤，所以－≤≤＋，：≤－或≥.因为是的充分不必要条件，所以＋≤－或－≥，即≤－或≥.]．(·浙江高考)设集合＝{≥}，＝{≤}，则∩＝.[] [因为＝{≥}，＝{≤}，所以∩＝{≥且≤}＝{≤≤}．]．已知集合＝{}，＝{∈≤}，则∩(∁)＝.{} [因为集合＝{}，＝{∈≤}＝{－}，所以∩(∁)＝{}．]．(·江南十校一模)已知集合＝{－＜＜，∈}，＝{－＜，∈}，若∩≠∅，则的最小值等于．[集合＝{－＜＜，∈}，＝{－＜，∈}＝{}，∩≠∅，可得的最小值为.]。