2005年山东高考理科数学(word版)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）第I 卷（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）()()221111iii i -++=+- （ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- （2）函数()10xy x-=≠的反函数图像大致是（ ） （（3）已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） （A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭（B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭（D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭（4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+（5）如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-（6）函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(10()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ ）（A ）1 （B） （C）1, （D） （7）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+ ，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）（ A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D（8）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（ ）（A（B ）6R π（C ）56R π （D ）23R π（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ ）（A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件（11）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ）（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第II 卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）2222lim __________(1)n n nn C C n -→∞+=+. (14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.(15)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是________.(16)已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题： ①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,m n m αβ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ④,m n 是两条异面直线，若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和)()sin ,cos ,,2n θθθππ=∈，且5m n += 求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.(18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数. （I ）求袋中所有的白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率.（19）（本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.(20)(本小题满分12分)如图，已知长方体1111,ABCD A BC D -12,1,AB AA == 直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于 E ，F 为11A B 的中点.（I ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离. （21）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.(22)(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.A1A BD1B F1C 1D E2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（试题参考答案）理科数学（必修+选修II ）一．选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D BBDCCADDAAB二．填空题 13．3214.e = 15. ()2,3 16. ③④ 三.解答题17.考查知识点：（三角和向量相结合）解:()cos sin sin m n θθθθ+=-+m n +=由已知5m n += ,得7cos 425πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭216cos ()2825θπ+=∴(),2θππ∈ ∴ 598288πθππ<+< ∴ cos 028θπ⎛⎫+< ⎪⎝⎭∴ 4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭18.（考查知识点：概率及分布列）解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227(1)1(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯ 可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球.(II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,53(1);7P ξ==()4322;767P ξ⨯===⨯4326(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯432131(5);7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:ξ1 2 3 4 5P37 27635 335 135(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A ,则()()()22()13535P A P P P ξξξ==+=+== 19.（考查知识点：函数结合导数）解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211m>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： x2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭21m+ 21,1m ⎛⎫+⎪⎝⎭ 1()1,+∞()f x '0<0 0>0 0<()f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m +单调递增，在(1,)+∞上单调递减.（III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭20．(考查知识点：立体几何)解：在长方体1111ABCD A BC D -中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ，(1,0,1)F 又AD ⊥平面11AAB B ，从而BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒，又2AB =，AE BD ⊥，1,3AE AD ==从而易得1,2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（I）因为()1,,1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭所以()cos ,AE BF AE BF AE BF ⋅=1-= 易知异面直线AE BF 、所成的角为（II ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m = 设(,,)n x y z =是平面BDF的一个法向量，(BD =- 由00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒=即()n =所以cos ,m n m n m n⋅==即平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角的大小（锐角）为 （III ）点A 到平面BDF 的距离，即AB在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值，所以距离cos ,d AB AB n =⋅=AB n n⋅=A 到平面BDF的距离为5 21．（考查知识点:数列）解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)nn ⨯-+⨯-++⨯-=()232222nn +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --= ()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nn n nn n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+ 所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -22．（考查知识点:圆锥曲线） 解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220k y p y p b -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k =所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

2005年全国高考数学试题全集（3）(10套)目录2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） (2)2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (15)2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷） (25)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷） (34)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（重庆卷） (46)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（浙江卷） (57)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（浙江卷） (68)2005年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷） (77)2005年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷） (86)2005年上海市普通高等学校春季招生考试 (94)2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2xx e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范 围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．nxx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长. 18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2005年全国高考数学（山东卷）试卷分析田明泉一．试卷的整体评价2005年山东省高考数学自主命题继承了2004年全国高考数学试卷的命题思路和框架，遵循《考试说明》的要求，力求平稳过渡．试卷结构和长度保持不变；重点考查中学数学通性通法；试卷难度设计基本恰当；注意了文理科对应试题难度的搭配；加强了对运算能力的考查；应用性题目仍然占有适当的比例；继续坚持对新增数学内容的倾斜．整张试卷以常规题为主，中规中矩，具有一定的效度、区分度和信度．有利于稳定中学数学教学，同时也有利于为高校选拔优秀学生．1．试卷结构和长度保持不变，注重“双基”的考查1．1试卷长度、题型比例配置保持不变，与《考试说明》的规定一致．全卷共22题，其中选择题12个，共60分；填空题4个，共16分；解答题6个，共74分，全卷合计150分．1．2重点考查中学数学主干知识(见表1) ，题目不偏不怪．侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查；侧重于初等数学和高等数学衔接内容和方法的考查．表1：考查知识点分布表命题坚持以中学数学的主体内容为考查的重点，以测试考生基本数学素质为目的．如有关函数、三角、立体几何、解析几何、数列、向量、导数、概率等内容在卷面上占有相当大的比例，数形结合、函数与方程、分类讨论以及递推、猜想、转化与化归的思想方法等均蕴含在各试题中，可以看出我省高考数学命题仍然坚持对中学数学主流知识和方法的考查．2．继续加强新增课程内容的考查从表1不难发现，新增数学内容：导数、概率统计、平面向量等在试卷中约占46分，约占整个卷面分数的三分之一，远远高出其在教学大纲中的课时分配所占比例（见表2，还未考虑空间向量在立体几何中的应用所占有的分值）．同时对新增数学内容的考查具有一定的广度和深度，在一些常见的数学问题中取代传统的数学方法．如用导数求函数的单调区间和极值点；利用概率考查学生应用数学的意识；用向量的方法表示长度、角度和距离等问题．借此让学生体会这部分内容在解决传统数学问题过程中的优越性，同时体现“高考支持课程改革”的命题思路．命题注意到文理科学生在数学学习上的差异，对文理科学生提出不同的考查要求．与04年全国题相比，在相同题占有比例基本不变的情况下（见表3），增加了姊妹题、减少了不同题的个数和分数．如文理第（16）题都是关于判断空间线面位置关系的问题，但文科较理科要求有所降低；再如文理（22）题都是解析几何题，但是文科是以具体的数字给出的条件，而理科相应地是以字母为条件，两者化简和运算的难度拉开了档次；又如文理姊妹题（21），理科多了比较大小一问；再如文科(18)题是古典概型的应用题，对应理科的姊妹题(18)题增加了有关离散型随机变量分布列的问题，体现了文理科学生的不同要求；还有文理第（19）题，理科增加了第3问“求解有关一元二次不等式在某个区间上恒成立的问题”，提高了对理科学生数学能力的考查．由此可以看出命题者有意识的降低文科试题难度，这样处理符合当前中学数学教学以及学生的实际状况．4．适当地增加了应用题的比例今年高考题文理科各出现三小一大4个应用题和两小一大3个应用题（见表4）．应用题的数量和分值与去年相比有所增加，难度变化不大．应该说这和当前课改的教学要求、中学应用题教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的．通过设置应用题来考查学生应用数学的意识，创设实际问题情景使考生在新的情景中实现知识迁移，应用数学知识解决实际问题，可以体现考生的数学素质和能力，更好地实现高考的选拔功能，真正考查出考生的学习潜力．今年试卷中理（9）和文（10）各是一个概率应用问题．文理（18）分别是用概率统计的方法分析袋中取球的问题．这些应用题涉及到的实际问题，背景公平，学生熟悉，难度适中．由此可以让学生去关心周围的社会和生活的世界．同时可以更好的实现 “新课标”中倡导的学生创新意识和实践能力的培养，无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用．5．对思维能力考查的同时，对运算能力提出较高的要求 本次数学试卷的运算量明显增大．在文理科客观试题中，虽然只有少数题目运算量较大．但是，主观题的运算量却明显地加大，运算能力稍差的考生很难顺利完成试题的解答．如：理（5）文（6）、文理（12）（14）（15）（17）（18）（19）题均侧重于基本计算；文理（21）题侧重于代数式整理化简、变形的能力和技巧等．多数试题的难点大多在运算上，而不在解法上．因此，对考生的运算能力提出了较高地要求．在当前现代信息技术与中学数学整合的趋势下，特别作为数学学科，保持考查基本的运算能力还是有必要的．二．试题分析1加强“双基”落实，侧重考查通性通法今年数学试卷的一个突出特点就是大多数题目学生感到面熟，特别是选择题和填空题整体难度不大．重点考查中学数学的“双基”和通性通法．例1：（理（1））=-+++-22)1(1)1(1i ii i （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-解析：此题主要考查学生复数的基本概念和运算．实际答题时只需解出这个复数的实部或虚部即可．原式=iii i 2121-++-，观察可知，这个复数的实部为1-．故答案为（D ）．例2：（文（1））{a n }是首项a 1=1，公差d =3的等差数列，如果a n =2005，则序号n 等于（A ）667 （B ） 668 （C ）669 （D ）670解析：此题主要考查等差数列的通项公式．由11-=-n da a n ，得669=n ．例3：（文（2））下列大小关系正确的是（A ）3.0log 34.044.03<< （B ）4.04333.0log 4.0<< （C ）4.03434.03.0log << （D ）34.044.033.0log <<解析：此题主要考查指数与对数的基本性质．4.034314.003.0log <<<<．故答案为（C ）．例4：（理（2）、文（3））函数)0(1≠-=x xxy 的反函数的图象大致是 （A ） （B ） （C ） （D ）解析：此题主要考查函数与其反函数图象的基本性质．实际解题时取几个特殊点坐标带入即可．特殊值法：利用函数与其反函数的对应关系并注意到)0,1()1,0(-↔-以及)1,0()0,1(↔即可．故答案为（B ）．例5：（理（3）、文（4））已知函数)12cos()12sin(ππ--=x x y ，则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π解析：此题主要考查三角函数的倍角公式、三角函数的图象与性质．因为，)62sin(21π-=x y ，所以其周期为π；又当12π=x 时，0=y ，所以函数的图象的一个对称中心是)0,12(π．故答案为（B ）．例6：（理（4）文（5））下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（A ）x x f sin )(= （B ）1)(+-=x x f（C ）)(21)(x x a a x f -+=（D ）xx x f +-=22ln )( 解析：此题主要考查函数的奇偶性与单调性．先由奇函数，可排除（B ）、（C ），再由函数是区间[-1，1]上的减函数，可排除（A ），故答案为（D ）．例7：（理（5）文（6））如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-解析：此题主要考查二项展开式的通项公式和基本的运算能力，考查赋值法的应用．令1=x ，得1282=n ，所以，7=n ．由r r r r rr r r xC x x C T 35777327713)1()()3(----+-=-=，令3357-=-r ，得6=r ．故第7项的系数为213)(677==C T ．例8：（理（6）文（7））函数⎩⎨⎧≥<<-=-,0,,01),sin()(12x e x x x f x π若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为(A)1 (B) 22-(C) 1，22- (D) 1，22解析：此题考查分段函数的概念．实际解题时，取选择支中的几个特殊值代入验证即可．显然，1=a 是一个解，观察选择支可知，22-是另一个解． 例9：（理（7）、文（8））已知向量,，且,65,2+-=+=27-=，则一定共线的三点是（A ）D B A 、、 (B )C B A 、、 (C )D C B 、、 (D ) D C A 、、 解析：此题主要考查向量的加法和向量共线的概念．由42+=+=2=．故答案为（A ）． 例10：（理（8）、文（9））设地球半径为R ，若甲地位于北纬︒45东经︒120，乙地位于南纬︒75东经︒120，则甲、乙两地的球面距离为（A ）R 3 (B)R 6π(C)R 65π (D) R 32π解析：此题主要考查经纬度和球面距离的概念．甲、乙两地在同一经度线上，且所对的球心角是︒120，所以甲、乙两地的球面距离为R 32π．故答案为（D ）． 例11：（理（9）文（10））10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人一张，至少有一人中奖的概率是（A ）103 （B ）121 （C ）21 （D ） 1211解析：此题主要考查简单的古典概型．间接法：都没有中奖的概率是12151057=C C ，故答案为（D ）． 例12：（理（13））=++-∞→222)1(2l i m n C C n nn n ． 解析：此题主要考查组合数公式及基本性质和数列极限的四则运算．原式23122)1(3lim 2=++-=∞→n n n n n ．例13：（文（13））某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人．为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 ．解析：此题主要考查分层抽样的方法，应抽取的人数=5049035070=⨯． 例14：（文理（14））设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e = ．解析：此题主要考查双曲线的准线、渐近线、焦点以及直角三角形的有关概念和性质，设l 交x 轴于点R ，则c ab c a a b PR =⨯=2，又FR PR =，则ca c c ab 2-=，解得b a =，故e =2．2渗透数学思想方法，体现选拔功能为了保证试卷具有一定的区分度，试卷中设置了部分综合性、灵活性较强、具有适当难度的试题，侧重于考查学生运用数学思想方法，分析问题和解决问题的数学能力．2．1数形结合的思想方法 例15：（理（10），文（11））设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则B A ⊂是U B A C U =⋃)(的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件解析：此题主要考查真子集和补集、全集的概念．实际解题中充分性可以利用文氏图直接进行验证；必要性的验证，只要取B A =，可知答案为（A ）．例16：（文理（12））设直线l ：022=++y x 关于原点对称的直线为l ’，若l ’与椭圆1422=+y x 的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为21的点P 的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解析：此题主要考查中心对称的概念和基本的运算能力．如果此题直接用代数的方法来解，运算较繁且容易出错．实际解题中可以通过画简图，采用数形结合的方法．不难知l ’的方程为022=-+y x ，可知在l ’的下方肯定有两个满足题设的点，设在l ’上方且与椭圆相切于P 点的直线l 1的方程为02=-+c y x ，与椭圆方程联立消去y 得044822=-+-c cx x ，令0)4(84)4(22=-⨯-=∆c c ，得82=c ，取2=c 2．计算 l 1与l ’的距离为5222-=d ，则21125)12(252121<-=-==∆d AB S PAB ．故答案为（B ）． 例17：（理（15）文（15））设x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.40,30,1223,5y x y x y x 则使得目标函数y x z 56+=的值最大的点),(y x 是 ．解析：此题是典型的线性规划问题，结合图形不难解出答案是)3,2(． 2．2方程的思想例18：（文理（17））已知向量)sin ,(cos θθ=和)cos ,sin 2(θθ-=，)2,(ππθ∈528=+，求)82cos(πθ+的值．解析：∵ )sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+∴22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-=+ =)sin (cos 224θθ-+=)4cos(12πθ++由已知528=+，得257)4cos(=+πθ．又 1)82(cos 2)4cos(2-+=+πθπθ，所以2516)82(cos 2=+πθ． ∵ πθπ2<<，∴ 898285ππθπ<+<． ∴ 54)82cos(-=+πθ．本小题主要考查向量运算，三角函数基本公式和简单的变形．关键是通过向量的模构造方程解出257)4cos(=+πθ，然后再利用倍角公式求出54)82cos(-=+πθ，其中方程的思想得到充分的体现．易出错的地方是根据角的范围判断三角函数值的符号．例19：（理（22））已知动圆过定点)0,2(p ，且与直线2px -=相切，其中0>p ．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且βα+为定值)0(πθθ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．解析：（Ⅰ）设动圆圆心),(y x M ，定点)0,2(pF ，则动点M 到定点F 和定直线l ：2px -=距离相等，且定点不在定直线上．法一：由抛物线定义知，动圆圆心的轨迹C 是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线．其方程为：)0(22>=p px y ．法二：由2)2(22px y p x +=+-，解得动圆圆心的轨迹C 的方程为：)0(22>=p px y ．（Ⅱ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，由题意得21x x ≠（否则)πβα=+且021≠⋅x x ，2221212,2px y px y ==．所以直线AB 的斜率存在，设其方程为b kx y +=．由⎩⎨⎧+==.,22b kx y px y 得0222=+-pb py ky ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+.2,22121k pby y k p y y …………………① （1）2πθ≠时，βαβαβαθtan tan 1tan tan )tan(tan ⋅-+=+==.4)(222122122121212122112211p y y y y p y p y p y p y p x y x y x y x y -+=-+=-+ …………………②由①②得，,22tan pkb p-=θ∴pk p b 2tan 2+=θ． 所以直线AB 的方程为θθtan 2)2(2tan 2p p x k pk p kx y ++=++=， 故直线AB 恒过定点)tan 2,2(θpp -． （2）2πθ=时，2πβα=+，∴1tan tan =⋅βα，∴12211=x y x y ，得2214p y y =， …………………③ 由①③得，pk b 2=，所以直线AB 的方程为)2(2p x k pk kx y +=+=， 故直线AB 恒过定点)0,2(p -． 由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点)0,2(p -；当2πθ≠时，直线AB 恒过定点)tan 2,2(θpp -． 法二：由⎩⎨⎧+==.,22b kx y px y 得 0)22(222=+-+b x p kb x k ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,222221221k b x x k kb p x x 及⎩⎨⎧+=+=.,2211b kx y b kx y=+=)tan(tan βαθ.22112211221122112211pk b px b kx x b kx x b kx x b kx x y x y x y x y -=+⋅+-+++=-+（2πθ≠）以下同法一．法三：设OA 的方程为：,1x k y = OB 的方程为：x k y 2=． 则 ,tan ,tan 21βα==k k由⎩⎨⎧==.2,21px y x k y 得 )2,2(121k p k p A ；同理可得 )2,2(222k pk p B ，∴直线AB 的斜率是 21212122122222k k k k k p k p k pk p k AB+=--=，（若,021=+k k 则πβα=+） ∴直线AB 的方程为 )2(22121211k px k k k k k p y -+=-，∴ ,2212121k k p x k k k k y +++= 又 =+=)tan(tan βαθ21211k k k k -+， （2πθ≠）．∴直线AB 的方程为,)1(2)2(21212121k k k k p p x k k k k y +-+++=即 ,tan 2)2(2121θpp x k k k k y +++=以下略． 法四：设直线AB 的方程为b my x +=，与抛物线方程联立消去x ，可避免分式出现，同时可不必讨论斜率不存在的情况．以下略．本小题主要考查直线和抛物线的概念和性质、三角函数公式，考查分类讨论思想、解析几何的基本方法及综合解题能力．在整个解题过程中，突出方程的思想，这就是解析几何的基本方法，用代数（方程）的方法解决几何问题．本小题为试卷的压轴题，由于第（Ⅰ）问两种解法思路清楚，学生熟悉，且计算量不大，一般学生都能得到分数；第（Ⅱ）问涉及到的字符较多且运算量较大，时间又紧，只有数学能力较高的学生才能取得高分．2．3分类讨论的思想 例20：（理（18））袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数； （Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布； （Ⅲ）求甲取到白球的概率．解析：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，则71272=C C n ，解得，3=n ．即袋中原有3个白球．（Ⅱ）由题设，随机变量ξ的取值为1、2、3、4、5．73)1(==ξP ； 726734)2(=⨯⨯==ξP ； 356567334)3(=⨯⨯⨯⨯==ξP ；35345673234)4(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ξP ；3513456731234)5(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ξP ．所以，随机变量ξ的分布列为且这三个事件两两互斥，故甲取到白球的概率为)3()2()1(=+=+==ξξξP P P P =73+356+351=3522．本小题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力．本题的第（Ⅱ）、（Ⅲ）小题根据取到白球的次数不同，进行分类讨论．2．4转化的方法 例21：（理（11））10<<a ，下列不等式一定成立的是（A ）2)1(log )1(log )1()1(>++--+a a a a （B ）)1(log )1(log )1()1(a a a a +<--+（C ）)1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(a a a a a a a a ++-<++--+-+ （D ）)1(log )1(log )1(log )1(log )1()1()1()1(a a a a a a a a +-->+---+-+ 解析：本题主要考查对数运算的基本性质和均值不等式的应用．注意观察题目中出现的两个对数恰好互为倒数，且不相等，故选（A ）．例22：（理（19））已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，其中R n m ∈,，0<m ．（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上的任意点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．解析：（Ⅰ）∵ 0)1(63)1('=++-=n m m f ， ∴ 63+=m n ．（Ⅱ）∵63)1(63)1(63)('22+++-=++-=m x m mx n x m mx x f =3)2)(1(---m mx x令0)('=x f ，得 mx x 21,121+==． ∵0<m ，∴12x x <．)(x f 与)('x f 的变化如下表：因此，)(x f 的单调递减区间是)1,(m+-∞和),1(+∞；)(x f 的单调递增区间是)1,21(m+． （Ⅲ）由（Ⅱ）63)1(63)1(63)('22+++-=++-=m x m mx n x m mx x f m 3>，（]1,1[-∈x ）．即02)1(22>++-x m mx ，（]1,1[-∈x ）．令2)1(2)(2++-=x m mx x g ，)0(<m ，]1,1[-∈x ，∵]1,1[,02)1(2)(2-∈>++-=x x m mx x g 且0<m ，∴⎩⎨⎧>-=>++=-.02)1(,042)1(m m g m m g ⇒.034<<-m即m 的取值范围是.034<<-m 本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想．第2小题要根据)(x f '的符号，分类讨论)(x f 的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题．用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想．2．5空间想象能力例23：（1）（文（16））已知m 、n 是不同的直线，βα,是不重合的平面，给出下列命题：①若α//m ，则m 平行于平面α内的任意一条直线；②若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //； ③若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//； ④若αβα⊂m ,//，则β//m ．上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）． （2）（理（16））已知m 、n 是不同的直线，βα,是不重合的平面，给出下列命题：①若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //； ②若,//,//,,ββαn m n m ⊂则βα//； ③若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//；④m 、n 是两条异面直线，若βαβα//,//,//,//n n m m ，则βα//． 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）． 解析：以上2个小题主要通过判断空间线面平行与垂直的位置关系，考查学生的空间想象能力．答案是③④．例24：（文理（20））如图，已知长方体1111D C B A ABCD -，,1,21==AA AB 直线BD 与平面B B AA 11所成的角为︒30，BD AE ⊥于E ，F 为11B A 的中点． （Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角； （Ⅱ）求平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离． 解析：（Ⅰ）法一：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，由于AB =2，AA 1=1，所以B 1 AA 1BCDE F D 1C 1)1,0,1(),0,0,2(),0,0,0(F B A ，又⊥AD 面B B AA 11，所以DBA ∠就是直线BD 与平面B B AA 11所成的角，即DBA ∠=︒30．由此可得，AD 332=.故)0,332,0(),0,23,21(D E ． ∵)1,0,1(),0,23,21(-==，∴,42,cos -=>=< 即异面直线AE 与BF 所成的角为42arccos． 法二：21)(11-=+⋅=⋅B BB ，以下略．法三：设AE 与BF 所成的角为θ，则BAE ABF ∠⋅∠=cos cos cos θ42=，以下略．（Ⅱ）法一：平面AA 1B 的一个法向量)0,1,0(=m ，设),,(z y x n =是平面BDF 的一个法向量，由⊥⊥,，且)0,332,2(-=，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.03322,0y x z x ⎩⎨⎧==⇒.3,y x z x 取1=x ，得)1,3,1(=，∴515,cos =>=<． 即平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角（锐角）为515arccos． 法二：射影法．设平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角（锐角）为θ，则DFBAFBS S ∆∆=θcos ．以下略． 法三：连接AF ，可证AFD ∠就是平面BDF 与平面AA 1B 所成的二面角的平面角．以下略．（Ⅲ）法一：点A 到平面BDF 的距离d 等于AB 在平面BDF 的法向量)1,3,1(=上投影的绝对值．∴d552cos ===><⋅AB ， 所以点A 到平面BDF 的距离为552． 法二：等积法．设点A 到平面BDF 的距离为d ，则根据ABF D BDF A V V --=，得ABF BD F S AD S d ∆∆⋅=⋅．以下略．法三：由（Ⅱ）的法三知，面AFD ⊥面BFD ，所以，作DF AH ⊥于H ，则AH 的长就是点A 到平面BDF 的距离．以下略．本小题主要考查棱柱、空间角、距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．由于题目给出的几何载体是长方体，故本题用建系和传统的方法都比较容易解出．其中“射影法”和“等积法”避免了大量的几何论证，把逻辑推理的问题转化为代数计算问题．2．6运算能力例25：（理（21））已知数列}{n a 的首项51=a ，前n 项和为n S ，)(52*1N n n S S n n ∈++=+．（Ⅰ）证明数列}1{+n a 是等比数列；（Ⅱ）令n n x a x a x a x f +++= 221)(，求函数)(x f 在1=x 处的导数)1('f ，并比较)1('2f 与n n 13232-的大小．解析：（Ⅰ）法一：由题设521++=+n S S n n ，得 )1(,421>++=-n n S S n n ，两式相减，得121+=+n n a a ，即)1(211+=++n n a a ， 当n =1时，51212++=S S ，又51=a ，得112=a ， ∴)1(2112+=+a a ．因此，)(),1(21*1N n a a n n ∈+=++，即数列}1{+n a 是以6为首项，2为公比的等比数列．法二：经计算可得:12351-⨯==a ；1231122-⨯==a ；1232333-⨯==a ； 猜想：123-⨯=n n a ．数学归纳法证明，略．法三：由题设 )6(26)1(1++=++++n S n S n n ，则{6++n S n }成等比数列，以下略．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，123-⋅=n n a ． ∵n n x a x a x a x f +++= 221)(，∴)1('f =n na a a +++ 212=)123()123(2)123(2-⨯++-⨯+-⨯n n =)21()2222(32n n n +++-⨯++⨯+ =32)1()222(11+-+-⨯++n n n n n =362)1(2)1(1++-⋅-+n n n n ． 因此，)1('f =362)1(2)1(1++-⋅-+n n n n ． ∵)1('2f )1323(2n n --=)]12(2)[1(12+--n n n ，∴当1=n 时，)1('2f 0)1323(2=--n n ，即)1('2f =n n 13232-； 当2=n 时，)1('2f 0)1323(2<--n n ，即)1('2f <n n 13232-；当3≥n 时，1222)11(2110+>+≥++++=+=-n n C C C C nn n n n n n n ，故，)1('2f 0)1323(2>--n n ，即)1('2f >n n 13232-．本小题主要考查数列、等比数列的概念和基本知识，考查多项式求导、数列的错项求和以及比较两个代数式大小的方法，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力．三．抽样分析为了了解山东省考生的答卷情况，我们从全省367351名普通理科考生和174085名普通文科考生的试卷中，分别各抽取了卷一普理60000份、普文69806份，卷二普理72822份、普文44296份，进行了抽样分析．抽样结果如下（表5~表9）：内的实际人数或比例，后一个表示从高分段到本分数段的累计数．表8中13~16题样本数分为：普文1464、普理2322）0.10.20.30.40.50.60.70.80.91123456789101112卷一难度分布表数据分析：1.从表5和表6可以看出，客观题以中低档题为主，理科满分的考生约占15%；文科约占12%．2.从表8可以看出各题的区分度以及试卷的信度指标较好．3.从表9可以看出文科试卷的难度比较符合《考试大纲》的要求，各类题目的难度分布也近似符合3：5：2的要求．4.从表9可以看出理科抽样均分比04年略低0.8分，文科比04年约高11分． 由于时间上的关系，没有统计艺术文、艺术理和体育专业考生的数学成绩．四．对中学数学教学与学习的启示高考竞争愈演愈烈，今年我省高考报名约73万人，比去年净增约17万人，规模年年攀升，又创历史新高，高校扩招的规模跟不上生源增加的速度，升学压力越来越大．高考命题改革的步伐也在加快，高考命题权逐步下放．今年全国包括山东省在内15个省市自主命题．在试卷结构、科目设置、考查内容、分数计算等方面不尽相同．另外，新一轮课程改革已经开始，我省和广东、海南以及宁夏四省率先进入“新课改”试验，使用新教材，2007年高考将面临着重大改革．因此，为了适应当前快速变化和发展的教学与高考的改革要求，反思和促进我们的中学教学，有必要认真研究高考命题以及学生在高考答题中出现的问题．1．考生答卷中出现的主要错误 1．1概念性错误在阅卷中发现，由于考生基础知识、基本概念不落实，造成许多不应该有的失分．如文理（15）题线性规划问题，基本步骤和方法掌握不到位造成失分，且因为没有认真审题错答成最大值的考生也不在少数；再如：文理（17）题由于向量的加法、模的运算、三角公式记忆不熟练、不准确出现了大量错误，如)sin (cos 22θθ-=)4cos(2πθ+、2)4sin(θπ-、4)4sin(πθ-、4)4cos(πθ-等，结果是卷面上书写量很大，却几乎没有得分点．更遗憾的是空白卷也有不少，特别是文科考生．从当前课程、教材改革和近几年高考数学命题改革的趋势来看，三角函数这一部分淡化了三角的恒等变形，强化了三角函数的基本概念、基本变形和三角函数图象的性质和变换．应该注意到三角函数与许多数学分支及应用问题卷二难度分布表0.10.20.30.40.50.60.70.80.913141516171819202122普理普文有着密切关系，三角函数仍是中学数学重要内容之一．再如文理（20）题中有的考生把异面直线所成的角表示为)42arccos(-或42arccos-π；文理（19）题中有的考生直接将两个单调性相同的区间用并集符号连接起来等；文理（22）题的第1小题，许多考生没有把题设条件与抛物线定义联系起来，得到的结论五花八门．因此，平时学习要注意不能把基础知识的掌握与“死记硬背”等同起来，只有抓好“双基”，才有可能提高“能力”．这些问题也反映出当前中学数学学习中普遍存在的“重解题，轻概念；重教辅，轻教材”的倾向．1． 2方法性错误基本方法、基本技能落实不到位．如文理（17）题最后一步要由角的范围来确定三角函数值的符号，许多考生忽略了或不会进行正确的判断，就直接得出结论；又如文理（21）题对于由S n 求a n 的问题，许多考生没有验证n =1的情况，同时许多考生不会或不能正确的使用错位相减求和的方法，还有的考生求)1('f 时，先求)1(f ，再求导数；另外根据某些考生（21）题的解答可以看出，部分考生对数学归纳法掌握的不好．再如文理（20）题中涉及到立体几何的计算问题是历年高考的重点．由于今年给出的几何载体是长方体，因此既可以用传统的解法，也可以用坐标的方法求解．大量的考生选取了坐标法，但是其中点的坐标、向量和法向量的计算出错是考生丢分的主要原因．分类讨论的方法理解掌握的不到位．如文理（19）题利用导数解函数的单调性问题．许多理科考生不认真审题，没有注意其中m <0这个条件，把问题复杂化，最终导致解答失误，而许多文科考生没有或不会根据m 的符号进行分类讨论；再如理（22）题中，多数考生没有对2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；理（21）题的第2小题比较大小时，不会分类或分类混乱．这些问题的主要原因是已知条件分析的不透、解题步骤不规范以及基本的运算技能较差．1．3 能力性错误 基本的运算能力下滑．本张试卷与往年相比运算量较大，如理科6个解答题包含14个小题，其中有13个计算题；文科6个解答题包含13个小题，其中有12个计算题．前面谈到的各种基本数值和代数式的化简运算问题，已经反映出许多考生运算能力太差．再如文理选择题最后一小题（12）题，主要就是一个计算求解问题；再如文理（21）（22）题基本上就是以考查运算能力为主的压轴题，很多考生都会做，但只有基础扎实、运算能力强的考生才有希望得高分．识图和作图以及空间想象能力较差．文理（20）的立体几何题，许多考生想当然的把点E 当成了中点．转化能力不足．如理（19）题许多考生不能正确地将“一元二次不等式在一个区间上恒成立的问题”转化为“区间端点处的函数值符号问题”来解决；理（22）。

2005年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修I ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么P(A²B)=P(A)²P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33 C ．34 D ．235．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 6．当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．43 7．)21(22≤≤-=x x x y 的反函数是（ ）A ．)11(112≤≤--+=x x yB ．)10(112≤≤-+=x x yC ．)11(112≤≤---=x x yD ．)10(112≤≤--=x x y8．设x x f a a x f a x x a 的则使函数0)(),22(log )(,102<--=<<的取值范围是 （ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域面积为 （ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在△ABC 中，已知C BA sin 2tan =+,给出以下四个论断 （ ）①tanA ²cotB=1 ②0<sinA+sinB ≤2 ③sin 2A+cos 2B=1④cosA 2+cos 2B=sin 2CA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的（ ）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点12．设直线l 过点（－2，0），且与圆x 2+y 2=1相切，则l 的斜率是（ ）A ．±1B ．±21 C ．±33 D ．±3第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分.1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V5．=+--+-→)342231(lim 221x x x x n（ ）A ．21-B ．21C ．61-D ．616．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ） A ．a <b<c B ．c<b<a C ．c<a <bD ．b<a <c 7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）7ππ5ππ3ππ球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为（ ）A ．43 B ．53C D 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．2 B C ．2 D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=（ ）A ．6EB ．72C ．5FD ．B0第Ⅱ卷二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．已知复数=+=⋅+=z z z z z z i z 则复数满足复数,3,23000 .14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= . 15．设l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取,22,3,25,0,25,3,22---用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值是 三.解答题：共74分. 17．(本小题满分12分)乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面V AD是正三角形,平面V AD ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面V AD；（Ⅱ）求面V AD与面VDB所成的二面角的大小．19．（本小题满分12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cotA+cotC 的值； （Ⅱ）设c a BC BA +=⋅求,23的值.20．(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是 的等比中项.已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k21．（本小题满分14分）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）参考答案一、1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.D 11.D 12.A 二、13、i 231-，14、23-，15、7416、3三、解答题：17．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件（Ⅰ）由题意得： P （A ·B ）=P(A)·P(B)=0.05P （A ·C ）=P(A)·P(C)=0.1 P （B ·C ）=P(B)·P(C)=0.125所以, 甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 （Ⅱ）记A 的对立事件为,A B 的对立事件为B ，C 的对立事件为C ，则5.0)(,75.0)(,8.0)(===C P B P A P ，于是7.0)()()(1)(1)(=⋅⋅-=⋅⋅-=++C P B P A P C B A P C B A P 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7. 18．证明：方法一：（Ⅰ）证明：VADAB ABCD VAD AD ABCD AB AD AB ABCDVAD 平面平面平面平面平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋂=⊂⊥⊥ （Ⅱ）解：取VD 的中点E ，连结AE ，BE ，∵△V AD 是正三形， ∴AE ⊥VD ，AE=AD 23∵AB ⊥平面VAD ， ∴AB ⊥AE.又由三垂线定理知BE ⊥VD. 因此，∠AEB 是所求二面角的平面角 tan ∠AEB=.332=AE AB 即得所求二面角的大小为.332arctan方法二：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （Ⅰ）证明：不防设作A （1，0，0），则B （1，1，0）， )23,0,21(V ， )23,0,21(),0,1,0(-==VA AB由,0=⋅VA AB 得AB ⊥V A. 又AB ⊥AD ，因而AB 与平面V AD 内两条相交直线V A ，AD 都垂直. ∴AB ⊥平面V AD. （Ⅱ）解：设E 为DV 中点，则)43,0,41(E ，).23,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=DV EB EA由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得 因此，∠AEB 是所求二面角的平面角，,721||||),cos(=⋅=EB EA EB EA EB EA 解得所求二面角的大小为.721arccos19．解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由b 2=a c 及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B =于是BC A C A A C A C C C A A CAC A 2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1cot cot +=+=+=+=+.774sin 1sin sin 2===B B B （Ⅱ）由.2,2,43cos ,23cos 232====⋅=⋅b ca B B ca BC BA 即可得由得 由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5. 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a20．解：依题设得,)1(1d n a a n -+= 4122a a a =∴)3()(1121d a a d a +=+，整理得d 2=a 1d ， ∵0,d ≠ ,1a d =∴得,nd a n = 所以， 由已知得d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d …是等比数列. 由,0≠d 所以数列 1，3，k 1，k 2，…，k n ，… 也是等比数列，首项为1，公比为.9,3131===k q 由此得 等比数列),3,2,1(39,3,9}{111 ==⨯===+-n q k q k k n n n n 所以公比的首项， 即得到数列.3}{1+=n n n k k 的通项∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F.（II ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ； A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m即.321->m 设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则 .16121,81)(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）.22．解：（I ）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.2721==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：所以，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,21(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a 解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a 又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a① ②。

1．(2005，山东理数，T21)已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.解析：（I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211m>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： x2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭21m+ 21,1m ⎛⎫+⎪⎝⎭1()1,+∞()f x ' — 0 + 0 — ()f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减.（III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2006，山东理数，T18)设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间。

web 试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？ 分，共？分）1、已知、是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：①若则；②若则；③若，则④、是两条异面直线，若，则上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）二、计算题（每空？ 分，共？ 分）2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（II ）设A 、B是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为和，当，变化且+为定值（）时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案一、填空题1、③④二、计算题2、解：（I）图略，设M 为动圆圆心，（，0）为记为F，过点M作直线的垂线，垂足为N ，由题意知：|MF|=|MN|即动点M 到定点F与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F （，0）为焦点，为准线，所以轨迹方程为（II ）图略，设A （），B （），由题意得（否则）且所以直线AB 的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知 (*)1* 当时，即时，，∴由（*）式知：因此直线AB的方程可表示为：∴直线AB恒过定点()2* 当时，由，得==将（*）式代入上式整理化简，得：，∴，此时，直线AB的方程可表示为：即∴直线AB恒过定点∴由1*、2*知，当时，直线恒过定点()，当时直线恒过定点。