集合,简易逻辑,函数导数1

集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且∩B}，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则P为________．3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若，求实数p的取值范围．【例2】设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y ＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果，b∈S，有ab∈S，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且，b，c∈T，有abc∈T，，y，z∈V，有xyz∈V.则下列结论恒成立的是________．A. T，V中至少有一个关于乘法封闭B. T，V中至多有一个关于乘法封闭C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭D. T，V中每一个关于乘法封闭【例4】已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b>0时，若∈R，都有f(x)≤1，证明：0<a≤2b；(2) 当b>1时，证明：∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2 b.1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是________个．(2011·全国)(本小题满分14分)设a ∈R ，二次函数f(x)＝ax 2－2x －2a.若f(x)>0的解集为A ，B ＝{x|1<x<3}，A ∩B ≠，求实数a 的取值范围．解：由f(x)为二次函数知a ≠0，令f(x)＝0解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a＋2＋1a2， 由此可知x 1<0，x 2>0，(3分)① 当a>0时，A ＝{x|x<x 1}∪{x|x>x 2}，(5分) A ∩B ≠的充要条件是x 2＜3，即1a ＋2＋1a 2<3，解得a>67，(9分)② 当a<0时， A ＝{x|x 1<x<x 2}，(10分)A ∩B ≠的充要条件是x 2>1，即1a＋2＋1a2>1，解得a<－2，(13分)综上，使A ∩B ≠成立的实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞.(14分)第1讲 集合与简单逻辑用语1. (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足且S ∩B ≠的集合S 的个数为________．A. 57B. 56C. 49D. 8【答案】 B 解析：集合A 的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合S 共有56个．故选B.2. (2011·江苏)设集合A ＝{(x ，y)|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }, B ＝{(x ，y)|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤12，2＋2 解析：由A ∩B ≠得，A ≠，所以m 2≥m 2，m ≥12或m ≤0.当m ≤0时，|2－2m|2＝2－2m ＞－m ，且|2－2m －1|2＝22－2m ＞－m ，又2＋0＝2＞2m＋1，所以集合A 表示的区域和集合B 表示的区域无公共部分；当m ≥12时，只要|2－2m|2≤m或|2－2m －1|2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2或1－22≤m ≤1＋22，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2＋2.点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m 的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝(－∞，＋∞)，A ∩B ＝[3，＋∞)．∈N,2n ≤1 0003. 充分不必要 解析：M ＝＝(－2,2)．4. a ≥3或a ≤－1 解析：Δ＝(a －1)2－4≥0，a ≥3或a ≤－1. 例题选讲例1 解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5. ∴ A ＝[－2,5]． ① 当B ≠时，即p ＋1≤2p －≥2.由得－2≤p ＋1且2p －1≤5.得－3≤p ≤3.∴ 2≤p ≤3.② 当B ＝时，即p ＋1>2p －＜成立．综上得p ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝，A ∪B ＝A ，A ∪B ＝B 或等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果，求实数a 的取值范围．解： 有n 种情况：其一是M ＝，此时Δ＜0；其二是M ≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a 的取值范围．设f(x)＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a ＋8)＝4(a 2－a －2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M ＝成立； ② 当Δ＝0时，a ＝－1或2，当a ＝－1时，M ＝{－，当a ＝2时，M ＝； ③ 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f(x)＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，≤x 1＜x 2≤⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0且f (4)≥0，1≤a ≤4且Δ＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，18－7a ≥0，1≤a ≤4，a ＜－1或a ＞2，解得：2＜a ≤187，综上实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 例2 解： ∵ (A ∪B)∩C ＝，∵A ∩C ＝且B ∩C ＝，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b 得k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0， ∵ A ∩C ＝，∴ k ≠0，Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1，①∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ， ∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0，∵ B ∩C ＝，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ②由①②及b ∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1＜0，k 2－2k －3＜0， ∴ k ＝1，故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A ∪B)∩C ＝．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.变式训练 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪1－y x ＋1＝3，B ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋3}，若A ∩B ＝，求实数k 的取值范围．解： 集合A 表示直线y ＝－3x －2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B 表示直线y ＝kx ＋3上所有点的集合，A ∩B ＝，所以两直线平行或直线y ＝kx ＋3过点(－1,1)，所以k ＝2或k ＝－3.例3 【答案】 A 解析：由于T ∪V ＝Z ，故整数1一定在T ，V 两个集合中的一个中，不妨设1∈T ，则，b ∈T ，由于a ，b,1∈T ，则a·b·1∈T ，即ab ∈T ，从而T 对乘法封闭；另一方面，当T ＝{非负整数}，V ＝{负整数}时，T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故D 不对；当T ＝{奇数}，V ＝{偶数}时，T ，V 显然关于乘法都是封闭的，故B ，C 不对． 从而本题就选A.例4 证明：(1) ax －bx 2≤1对x ∈R 恒成立，又b ＞0, ∴ a 2－4b ≤0，∴ 0＜a ≤2 b. (2) 必要性，∵ ∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx 2－ax ≤1且bx 2－ax ≥－1， 显然x ＝0时成立，对x ∈(0,1]时a ≥bx －1x 且a ≤bx ＋1x ，函数f(x)＝bx －1x 在x ∈(0,1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b －1.函数g(x)＝bx ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，1b 上单调减，在⎣⎡⎦⎤1b ，1上单调增，函数g(x)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1b ＝2b ，∴ b －1≤a ≤2b ，故必要性成立；充分性：f(x)＝ax －bx 2＝－b(x －a 2b )2＋a 24b ，a 2b ＝a 2b ×1b ≤1×1b≤1，f(x)max ＝a 24b≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a －b ，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a －b 中取最小的，又a －b ≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立； 综上命题得证．变式训练 命题甲：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m 的取值范围．解： 使命题甲成立的条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0m ＞2.∴ 集合A ＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m －2)2－16<0，∴ 1＜m ＜3. ∴ 集合B ＝{m|1<m<3}．若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：① m∈A∩B，② m∈A∩B.若为①，则有：A∩B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；若为②，则有：B∩A＝{m|1<m<3}∩{m|m≤2}＝{m|1<m≤2}；综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1<m≤2或m≥3}．点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定．高考回顾1. {－1,2}2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数3. 4解析：A＝(0,4]，∴ a＞4, ∴ c＝4.4. 8解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.5. 3或4解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±4－n，n∈N*，只有n＝3,4适合．6. 3解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

成人高考数学题型解析一、代数部分1、集合与简易逻辑：这部分试题一般不难，主要是考查考生对简易逻辑的基础知识的掌握程度。

在复习时，应注重对简易逻辑的基础知识的理解和应用，尤其是对“四种命题”及“充要条件”的理解和应用。

2、函数与导数：这部分试题难度一般，主要考查考生对函数的理解和掌握，特别是函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

在复习时，应注重对函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对导数的基础知识和应用的理解和掌握。

3、数列：这部分试题难度一般，主要考查考生对数列的基础知识的理解和应用，特别是等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式等。

在复习时，应注重对数列的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对数列的通项公式和前n项和公式的理解和应用。

4、不等式与不等式组：这部分试题难度一般，主要考查考生对不等式的基础知识的理解和应用，特别是不等式的解法、均值不等式等。

在复习时，应注重对不等式的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对不等式的解法和均值不等式的理解和应用。

5、复数：这部分试题难度一般，主要考查考生对复数的基础知识的理解和应用，特别是复数的代数形式、几何意义及复数的运算等。

在复习时，应注重对复数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对复数的几何意义和复数的运算的理解和应用。

二、三角函数部分这部分知识包括正弦函数、余弦函数、正切函数的概念、图像及性质以及简单的三角函数运算。

成人高考对于三角函数的考查主要是以基础知识的考查为主，对于一些复杂的三角函数问题，会以实际应用问题的形式出现。

在复习时，应注重对三角函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对三角函数的图像和性质的熟悉和掌握。

三、平面解析几何部分这部分知识包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的概念、图像及性质以及一些简单的平面解析几何问题。

在复习时，应注重对平面解析几何的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对平面解析几何的图像和性质的熟悉和掌握。

专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数第一讲 集合与常用逻辑用语一、集合的含义与表示 1．集合的含义． (1)集合中元素的性质．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征． (2)元素与集合的关系．元素与集合的关系有属于、不属于两种． 2．集合的表示法⎩⎪⎨⎪⎧列举法，描述法，韦恩图.二、集合间的关系 1．包含关系．若任意元素x ∈A ，则x ∈B ，那么集合A 与B 的关系是A ⊆B ． (1)相等关系：若A ⊆B 且A ⊇B ，则A ＝B .三、集合的运算 1．集合的三种运算．(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；(3)补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }其中U 为全集，A ⊆U ． 2．运算性质及重要结论．(1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A ； (3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ； (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .1．四种命题．(1)四种命题之间的相互关系．(2)四种命题的真假关系．①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件．(1)定义：对于“若p，则q”形式的命题，如果已知p⇒q，那么p是q的充分条件；如果q⇒p，那么p是q的必要条件；如果既有p⇒q，又有q⇒p，则记作p⇔q，就是说p 是q的充要条件．(2)若p⇒q但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若q⇒p但p⇒/ q，则p是q的必要不充分条件．2.全称量词与全称命题．(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．3．特称量词(存在量词)与特称命题(存在性命题)．(1)特称量词(存在量词)：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做特称量词(存在量词)，用符号“∃”表示．(2)特称命题(存在性命题)：含有特称量词(存在量词)的命题叫做特称命题(存在性命题)．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(×)(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)(4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√) (5)“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件．(×)(6)(2014·上海卷改编)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的充分条件．(×)1．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是(B )2．(2014·湛江一模)“α＝π3”是“sin α＝32”的(B ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．(2015·湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的(C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：∵ A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴ “A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．4．(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝(B)A ．{1，2，5，6}B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4}解析：∵ U ＝{1，2，3，4，5，6}，B ＝{2，3，4}，∴ ∁U B ＝{1，5，6}，∴ A ∩(∁U B )＝{1}．一、选择题1．(2015·北京卷)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝(A)A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2}C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－5＜x＜3}解析：如图所示，易知A∩B＝{x|－3<x<2}．2．(2015·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(D)A．5 B．4C．3 D．2解析：A∩B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}∩{6，8，12，14}＝{8，14}，答案选D.3．(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(A)A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]解析：M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，M∪N＝[0，1]，故选A.4．(2015·湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵ A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴ “A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件． 5．(2014·安徽卷)命题“∀x ∈R，|x |＋x 2≥0”的否定是(C ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2＜0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 二、填空题6．下列命题中，②④(填序号)为真命题． ①“A ∩B ＝A ”成立的必要条件是“”；②“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题． 解析：①A ∩B ＝A ⇒A ⊆B 但不能得出，∴①不正确；②否命题为：“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，所以逆否命题也为真命题．7．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1． 解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.三、解答题8．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， ①若B ＝∅，则m ＋1＞2m －1， 即m ＜2，∴m ＜2时，A ∪B ＝A . ②若B ≠∅，如图所示，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5，解得－3≤m ≤3. 又∵m ≥2，∴2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A . 因此，实数m 的取值范围是(－∞，3]．9．设p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解析：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，∴m ＞2，即p ：m ＞2.x 1x 2＝1＞0. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＜0， 即1＜m ＜3，∴q ：1＜m ＜3.∵p ∨q 为真，则p ，q 至少一个为真，又p ∧q 为假，则p ，q 至少一个为假， ∴p ，q 一真一假，即p 真q 假或p 假q 真． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3.∴m ≥3或1＜m ≤2.故实数m 的取值范围为(1，2]∪[3，＋∞)．10．设a ，b ∈R，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 016的值． 思路点拨：因为a 为分母，所以a ≠0，从而ba＝0，故b ＝0，进而知a 2＝1，可求a ，b . 解析：由已知，得a ≠0，∴b a＝0，即b ＝0. 则在集合{a 2，a ＋b ，0}中，a 2＝1.∴a ＝±1. 又a ＝1时，不合题意，∴a ＝－1.∴a2016＋b2016＝(－1)2016＝1.。

高考数学考点大全总结概括高考数学必考知识点一一、集合、简易逻辑(14课时，8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。

二、函数(30课时，12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。

三、数列(12课时，5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。

四、三角函数(46课时，17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。

五、平面向量(12课时，8个)1.向量;2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移。

六、不等式(22课时，5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。

七、直线和圆的方程(22课时，12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件． 3． (2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}答案 C解析 ∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}， ∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是 ( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C ， ∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N－M＝{x|x∈N且x∉M}．∵2∈N且2∈M，∴2∉N－M；3∈N且3∈M，∴3∉N－M；6∈N且6∉M，∴6∈N－M.∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；③若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定． 答案 A解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；②注意到△ABC 中条件，正确；③a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为1. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题：命题的否定只否定结论而否命题需否定条件和结论． 变式训练2 给出下列命题：①对任意x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题．其中真命题只有 ( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真．题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．(2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确． ②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确． ③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数， ∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． 已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题是真命题 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． 设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8答案 B解析 由S ⊆A 知S 是A 的子集，又∵A ＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ⊆A 的S 共有26＝64(种)可能．又∵S ∩B ≠∅，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ⊆A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56.5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．6． 设有两个命题，p ：不等式e x 4＋1ex >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．1≤a <2B ．2<a ≤73C ．2≤a <73 D ．1<a ≤2答案 A解析 记A ＝{a |不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R }；B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}．又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数， 故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]， 而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)， (∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A.7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．[1,3] C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11．已知命题p ：“对任意x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。

数学高考基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性互异性：例如：，，若A=B求；（A={-1，1，0}）（2）集合与元素的关系用符号表示。

（、）（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。

（4）集合的表示法：、、。

（列举法，描述法，韦恩图示法）注意：区分集合中元素的形式：例如：；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合。

（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

如：，如果，求的取值。

（）二、集合间的关系及其运算（1）符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中则体现；（；点与直线（面）的关系）符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中则体现。

（；直线与面的关系）（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；（=；=；）②；；；；（）③；；（）（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；三、集合中元素的个数的计算：若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是。

（）四、若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；（真假值）注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的条件。

（充分非必要）六、反证法：当证“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

（不等于；小于或等于；大于或等于；不是；不都是；至少有两个；一个也没有；存在一个）二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。

1．集合与简易逻辑。

分值在5～10分左右（一道或两道选择题），考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。

简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。

2．函数与导数，函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。

在高考中，至少三个小题一个大题，分值在３０分左右。

以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。

函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次（或四次）函数为命题载体，理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。

3．不等式;一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右。

不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。

选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。

解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。

4．数列：数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，有时还有一个与其它知识的综合题。

分值在20分左右，文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。

数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的工具，三者综合的求解题与求证题是对基础知识和基础能力的双重检验，是高考命题的新热点。

人教版新课标必修一数学
人教版新课标必修一数学是高中数学学习的基础部分，它涵盖了高中数学的基本概念、原理和方法，为学生后续的数学学习打下坚实的基础。

本册教材主要包含以下几个方面的内容：
1. 集合与简易逻辑：这部分内容介绍了集合的概念、表示方法、集合之间的关系以及运算，同时涉及简易逻辑的基本知识，如命题、逻辑连接词和逻辑推理。

2. 函数：函数是高中数学的核心概念之一，本册教材将介绍函数的定义、性质、图像以及基本初等函数。

包括函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，以及指数函数、对数函数、幂函数等。

3. 导数与微分：导数是微积分的基础，教材将介绍导数的概念、几何意义、运算法则以及导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。

4. 积分：积分是微积分的另一部分，教材将介绍不定积分和定积分的概念、性质和计算方法，以及积分在物理、工程等领域的应用。

5. 空间几何：这部分内容将介绍空间中的点、线、面的位置关系，以及空间几何体的表面积和体积的计算。

6. 解析几何：解析几何通过坐标系将几何问题转化为代数问题，教材将介绍直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线的方程和性质。

7. 概率与统计：概率与统计是数学在现实生活中应用的重要领域，教材将介绍随机事件、概率的计算、统计数据的收集和分析等。

8. 数列：数列是数学中研究序列的分支，教材将介绍数列的概念、通项公式、求和公式以及数列的性质。

通过学习人教版新课标必修一数学，学生不仅能够掌握数学的基础知识和技能，还能够培养逻辑思维能力、抽象思维能力和解决实际问题的能力。

这些能力对于学生未来的学习和生活都具有重要意义。

高三数学学业水平考试范围主要包括以下内容：
1. 集合与简易逻辑：集合的概念与运算、数轴、区间、特称命题和全称命题等。

2. 函数：函数的概念、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等。

3. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，三角函数定理、公式等。

4. 数列：等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质和前n项和公式等。

5. 解析几何：直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程和抛物线方程等。

6. 立体几何：平面几何的性质和定理、空间几何体的表面积和体积，以及空间几何中的线面关系等。

7. 排列组合与概率统计：排列组合的基本计算、随机事件的概率、随机变量的分布和统计学的相关概念等。

8. 复数：复数的概念、复数的运算和复数的三角形式等。

9. 导数及其应用：导数的概念、导数的计算，以及导数在研究函数中的应用等。

具体考试范围可能会根据不同地区和学校的要求有所差异。

建议查阅所在地区或学校的考试大纲，以获取更准确的信息。

1．集合、简易逻辑「集合」把某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，简称集。

集合中每个对象叫做这个集合的元素。

集合通常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示集合，用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示集合的元素。

「集合的特征」集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

「集合的类型」① 有限集：含有有限个元素的集合叫有限集。

② 无限集：含有无限个元素的集合叫无限集。

③ 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

「集合的表示方法」①列举法 把一个集合的元素逐个列举出来，写在大括号内，这一表示法叫做列举法。

②特征性质描述法 用该集合所含元素的共有特征性质来描述，这一表示法叫做特征性质描述法，具体作法是：在大括号内先写上表示该集合元素的一般符号及其取值范围，再画一条竖线（或一个冒号或分号），再写出这一集合中的元素所具有的一个特征性质。

特征性质必须绝对明确，必须是集合中所有元素共有的特征性质。

「元素与集合的从属关系」如果元素a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果元素a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉或A a ∈或a ∈.A 。

「集合与集合的容量关系」对于两个集合,,B A 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。

如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ØB 或B ÙＡ。

当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，记作A B ⊂或 .B A ⊃显然，空集是任何集合A 的子集，即A ∅⊆，空集是任何非空集合B 的真子集，即∅ ØB若,,A B B C ⊆⊆则;A C ⊆若,,A B B A ⊆⊆则.A B =「常用数集的符号」 N 非负整数集；自然数集*N 或+N 正整数集Z 整数集-+Z Z 整数集Z 内排除0的集Q 有理数集。

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 一、利用公式求导:1、常见函数求导：'1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()x xe e = '()ln (0)x x a a a a =⋅>'1(ln )x x='1(log )(01)ln a x a a x a=>≠且 2．求导法则：[]'''()()()()()()f xg x fx g x f x g x ⋅=±， []'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 二、利用导数几何意义(切线的斜率）解题——切点待定法（设出切点坐标，写出切线表达式） 曲线y=f(x)在点P(x 0 ，f （x 0))处的切线方程是: 0()()()y f x f x x x '-=-三、导函数与原函数图象关系（1()0()f x f x '>⇔、是增函数 2、导数越大，函数变化越大3、原函数看增减性，导函数看正负)1。

已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==,则=N M （ ）。

),1[+∞-.]2,1[-. ),2[+∞ 。

ϕ选.由题意得}1|{-≥=y y M ，}22|{≤≤-=x x N ，所以=N M ]2,1[-。

2．命题“存在04,2<-+∈a ax xR x 使为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件 ．既不充分也不必要条件选。

依题意,“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”得2160aa ∆=+≤，解得016≤≤-a ,所以命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”是命题“016≤≤-a "的充要条件. 3.设554a log4b log c log ===25，（3），，则（） ．b c a << 。

第一篇 集合与简易逻辑 第1讲 集合及其运算1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 2．集合间的基本关系 表示 关系文字语言符号语言 集合间的 基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同 A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B真子集 A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.第二篇函数与导数第1讲函数的概念及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)，n∈N*f(x)≥01与[f(x)]0f(x)≠0f(x)log a f(x)f(x)＞0 四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3．函数值域的求法方法 示例 示例答案 配方法 y ＝x 2＋x －2 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ 性质法 y ＝e x y ∈(0，＋∞) 单调性法 y ＝x ＋x －2 y ∈[2，＋∞) 换元法 y ＝sin 2 x ＋sin x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 分离常数法y ＝x x ＋1y ∈(－∞，1)∪ (1，＋∞)第2讲 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值第3讲函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．第4讲幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R ，且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇 单调性 增 (－∞，0]减，[0，＋∞)增增 增(－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数 (1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 递减 区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值y min＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念根式的概念符号表示备注 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根 n ＞1且n ∈N * 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数n a零的n 次方根是零 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根(2)两个重要公式①n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数．②(na )n ＝a . 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．②负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)；③正分数指数幂：a nm ＝na m (a ＞0，m ，n ∈ N *，且n ＞1)；④负分数指数幂：anm -＝anm 1＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x a ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数第6讲对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①＝N；②log a a N＝N；③log b N＝log a Nlog a b ；④＝nm log a b；⑤log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a Mn＝n logaM(n∈R)；④log a nM＝1n log a M.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0(5)当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数第7讲函数的图象1．函数的图象及作法2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)．(3)翻折变换①y ＝f (x )―――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换①y ＝f (x )――→纵坐标伸长(a ＞1)或缩短(0＜a ＜1)为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )(a ＞0)②y ＝f (x )――→横坐标伸长(0＜a ＜1)或缩短(a ＞1)为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )(a ＞0) 第8讲 函数与方程1．函数的零点 (1)函数的零点的概念对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )满足：①在闭区间[a ，b ]上连续；②f (a )·f (b )＜0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．第9讲 函数模型及其应用1．函数模型及其性质比较 (1)几种常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 与指数函数相关模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0) 与对数函数相关模f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)型与幂函数相关模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) (2)三种函数模型性质比较函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0) 在(0，＋∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.“f(x)＝x＋ax”型函数模型形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.第10讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)称函数f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(u )·v ′(x )．第11讲 导数在研究函数中的应用1．函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 2．函数的极值与导数 极大值函数y ＝f (x )在点x 0处连续且f ′(x 0)＝0，若在点x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则x 0为函数的极大值点，f (x 0)叫函数的极大值 极小值函数y ＝f (x )在点x 0处连续且f ′(x 0)＝0，若在点x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则x 0为函数的极小值点，f (x 0)叫函数的极小值3.函数的最值与导数(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．第12讲 导数的综合应用1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．第13讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑,当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baS f x dx =⎰，即()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰(2)定积分的几何意义①当f (x )≥0时，定积分()ba f x dx ⎰表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．(图1)②当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，如图2所示，则定积分()ba f x dx ⎰表示介于x 轴．曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分曲边梯形面积的代数和，即()ba f x dx ⎰＝A 1＋A 3－A 2.2．定积分的性质 (1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()((2)1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰(3)()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )．那么()ba f x dx ⎰＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．。