集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式.专题测试题及详细答案

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.集合的元素个数是（）．A．59B．31C．30D．29【答案】C【解析】由2n－1＜60，得n＜，又∵n∈N*，∴满足不等式n＜的正整数一共有30个．即集合M中一共有30个元素，可列为1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1，a30=59，n=30的等差数列．集合M中一共有30个元素。

【考点】集合问题2.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算3.（本题满分12分）计算：（1）集合集合求和（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由集合的运算性质可得；（2）利用对数与指数的运算性质，以及公式化简可得试题解析：（1）（2）【考点】1．集合的运算性质；2．对数与指数的运算性质4.（本题满分12分）已知全集，，，（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】（1）首先求解集合A中函数的定义域得到集合A，A,B两集合的交集是由两集合的相同元素构成的集合，A,B并集是由两集合的所有元素构成的集合；（2）由已知得两集合的子集关系，从而得到两集合边界值的大小关系，解不等式求解的取值范围．试题解析：（1）（2）∵∴∴得∴实数的取值范围为【考点】1．集合的交并集运算；2．集合的子集关系5.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，．【答案】-1【解析】由两集合相等可得【考点】集合相等与集合元素特征6.满足的集合A的个数是_______个．【答案】7【解析】符合条件的集合A可以为，，，，，，，共7个．【考点】集合间的关系．7.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．8.（本小题满分14分）已知集合，．（1）求：，；（2）已知，若，求实数的取值集合【答案】（1）;（2）．【解析】（1）画数轴先求,再求．（2）画数轴分析可得关于关于的不等式,从而可求得的范围．试题解析：解：（1）（2）【考点】集合的运算．9.在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】，所以①错；，所以②错；③④正确．【考点】1．元素与集合的关系；2．集合与集合的关系．10.已知集合，，则A．或B．C．D．【答案】B【解析】由交集的定义可知，，故选B．【考点】集合的运算及表示．【易错点睛】本题主要考查集合的运算与集合的表示方法，属容易题．集合A中的代表元素用的字母为，集合B中的代表元素用的字母为，学生会误认为是两个不同类型的集合，选D，即对两个集合均为数集的含义不清楚导致错误．11.设全集是实数集.，.（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，求出集合，然后将代入就交集和并集即可；（2）若分和求出的取值范围，周求并集即可试题解析：（1）根据题意，由于，当时，，而，所以，，（2），若，则，若，则，，综上，【考点】集合的运算，子集12.（10分）已知，。

高中数学集合与常用逻辑用语100题(含答案解析)一、单选题1．已知集合{}2,0xA y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(),-∞+∞2．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x +≤的否定为（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +≤ B ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +≥ C ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>D ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +>4．若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,2C ．{}0,1D ．{}1,25．已知向量(),2m k =-，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y ==，则A B ⋃=（ ） A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞7．已知集合{}2()1A xx a =-<∣，{1,0,1,2,3}B =-，若{0,1}A B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[1,)+∞D ．(,0)-∞8．方程22x x =的所有实数根组成的集合为（ ） A ．()0,2B ．(){}0,2C ．{}0,2D ．{}22x x =9．设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则UA 为（ ）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,3-10．已知0a >，则“3a a a >”是“3a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件12．设π:3p α=；:tan q α=p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．设{M x x =≥，b = ） A ．b M ⊆B ．b M ∉C ．{}b M ∉D ．{}b M ⊆14．已知集合{A x y ==，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（ ）. A ．{}2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}2,3,415．已知非零向量a ，b ，c ，则“||1a b -≤，||2b c -≤”是“||3a c -≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设集合{}|33A x x =-<<，集合{}|25B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．{}|35x x -<≤B ．{}|32x x -<≤-C ．{}|23x x -≤<D ．{}|35x x <≤17．已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =R （ ）A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅18．命题“0x ∀>，2x x >”的否定是（ ）A ．00x ∃>，200x x ≤B ．00x ∃≤，200x x ≤C ．0x ∀>，2x x ≤D ．0x ∀≤，2x x >19．若01a <<，则“log log a a x y >”是“x y a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．若数列{}n a 满足11a =-，则“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．设集合{}1,0,1,2A =-，{B y y ==，则A B =（ ） A ．{}0B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}0,2 22．已知集合(){}ln 3A x N y x =∈=-，{}12B x x =-≤<，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,223．已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．424．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件25．设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1,3A =-，{}2,0,2B =-，则U ()A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2B ．2,0,2C ．{}0,2D ．{}1,1,3-26．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题 ①若“2lg 0x =，则1x =-”的逆命题 ①“若x y ≠或x y ≠-，则x y ≠”的逆否命题.其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．327．已知全集2,1,0,1,2U ，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,128．已知集合{}2230A x x x =∈--<Z ，{}1,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1,2-B ．{}1,1,2,3-C ．{}1,2D ．{}1,329．“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．已知集合{1,0,1,2,3,4,5}A =-，集合{|34}=-<<B x x ，则 A B =（ ） A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1,2,3,4}-31．设集合{}12022A x x =-<<，{}22530B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．{}32022x x -<≤B ．132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x ≥-32．已知集合(){}2log 12A x x =-≤，{}2230B x x x =--≤，则()RA B =（ ）A ．[]1,3B ．()(),13,-∞-⋃+∞C ．(]1,3D ．(](),13,-∞⋃+∞33．已知集合{}2,3,4,5A =，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3D ．{}2,3,434．“b <是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件35．设命题3:,3n p n N n ∀∈>，则命题p 的否定为（ ） A ．3,3n n N n ∃∉> B ．3,3n n N n ∃∉≤ C ．3,3n n N n ∃∈≤D ．3,3n n N n ∀∈>36．已知α，R β∈，则“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件37．将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（ ）A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 38．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件39．设集合{}{}|14|3A x x B x x =-<<=≤，，则()B A =R （ ）A ．{}|34x x ≤<B ．{}|34x x <<C ．{}|13x x -<≤D ．{}1x x >-40．若01a <<，则“log log a a b c <”是“b c >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件41．已知集合{}03A x x =<<，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[)2,0-C ．[)0,3D ．(]0,242．已知集合{}02A x x =<<，{}2230B x x x =+-≥，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）A ．(][),32,-∞-⋃+∞B ．()[),32,-∞-⋃+∞C ．()(),02,-∞+∞D ．(][),02,-∞⋃+∞43．若向量(),3a m =-，()3,1b =，则“1m <”是“向量a ，b 夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件44．设集合{}A y y x ==，{B x y ==，全集为R ，则RA B =（ ）A ．[)0,∞+B ．(),0∞-C ．{}0,1D ．()(){}0,0,1,145．已知集合1|0,N 4x A x x x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{0,1,2,3,4}B =，则（ ） A ．A B = B ．B A C ．A B B = D ．A B46．若集合12xA x x ⎧⎫-=∈>⎨⎬⎩⎭R ，(){}2log 11B x x =+<，则A B =( ) A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭47．若集合{}20A x x x =-=，B x y ⎧=⎨⎩，则A B =（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,148．已知集合{}24A x Z x =∈<，{}1,B a =，B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{1,0}-D ．{}1-49．若集合61A x ZN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，(){}lg 3B x y x ==-，则A B =（ ） A ．{}2,3,4,7 B ．{}3,4,7 C ．{}1,4,7 D ．{}4,750．已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,5-B ．(]1,1-C ．()1,3D ．[)1,351．已知,l m 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，命题p ：若m α⊂，m β∥，则αβ∥；命题q ：若m α⊥，l β⊥，αβ∥，则m l ∥；则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．p q ⌝∧⌝52．“2x =”是“2320x x -+=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件53．已知命题p ：0x ∃∈R ，0sin 1x <；命题q ：0x ∃∈R ，00sin cos x x +，则下列命题中的真命题是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨54．已知集合{}2,x A y y x R ==∈，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A ．[]22-,B ．[)2,0-C ．[]0,2D ．(]0,255．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3B ．4C ．8D ．1656．已知全集{}N 27U x x =∈-≤<，(){}1,5,6UA B ⋃=，{}2,4B =，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}2,1,0,3--B ．{}0,3C ．{}0,2,3,4D ．{}357．已知集合{}34A x x =-<<，{}250B x x x =+>.则A B （ ）A ．()5,4-B ．()0,4C ．()3,0-D ．()5,0-58．已知集合(){},22,0M x y y x xy ==-≤，(){}2,5N x y y x ==-，则M N ⋂中的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．l 或259．设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}22x x -<< B ．{}22x x -≤≤ C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥60．设非零复数1z ，2z 在复平面内分别对应向量OA ，OB ，O 为原点，则OA OB ⊥的充要条件是（ ）A ．211z z =-B ．21i zz =C ．21z z 为实数D ．21z z 为纯虚数61．命题“若24x <，则22x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若22x -<<，则24x < B ．若24x ≥，则2x ≥或2x -≤ C ．若22x -<<，则24x ≥ D ．若2x ≥或2x -≤，则24x ≥62．已知集合(){}22,4A x y xy =+=，(){},2B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．063．已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞D ．(),1-∞64．已知集合{}23180A x x x =--≤，{}2log 1B x x =>，则A B =（ ）A ．[)(]3,22,6-B ．[)(]3,22,6--⋃C ．[)3,2--D ．(]2,665．已知命题p ：“23m <<是方程22123x y m m+=--表示椭圆”的充要条件；命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∨⌝D ．p q ⌝∧⌝66．已知命题p ：()010,x ∃∈+∞，0lg 1x >，则命题p 的否定为（ ） A ．()10,x ∀∈+∞，1lg x ≤ B ．()10,x ∀∈+∞，lg 1x C ．()10,x ∀∉+∞，lg 1xD ．()10,x ∀∉+∞，1lg x ≤67．集合{}0,1,2,3A =的真子集的个数是（ ） A ．16B ．15C ．8D ．768．已知集合{}1A x x =>，{}13B x x =-≤<，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}13x x <<B ．{}11x x -≤<C ．{}13x x ≤<D ．{}11x x -≤≤69．若p ：24x ≤≤，q ：13x ≤≤，则p 为q 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件70．若命题p 为“0x ∃≥，()10x x -<”，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀<，()10x x -≥ B ．0x ∀≥，()10x x -≥ C ．0x ∃≥，()10x x -≥D ．0x ∃<，()10x x -<71．已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．272．命题“0x ∀>，210x ->”的否定为( ) A ．0x ∀>，210x -≤ B ．0x ∀≤，210x -≤ C ．00x ∃>，0210x -≤D ．00x ∃>，0210x ->73．已知{}2430M x x x =-+<，{|N x y ==，则M N ⋃=（ ）A ．(]1,2B ．(](),21,3-∞-⋃C ．(](),23,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-⋃+∞74．命题“0x ∃∈R ，使得320000x ax bx c +++=”的否定是（ ） A ．x ∃∉R ，320x ax bx c +++≠ B ．x ∀∈R ，320x ax bx c +++≠ C ．x ∀∉R ，320x ax bx c +++≠D ．x ∀∈R ，320x ax bx c +++=75．已知集合{}220A xx x =+-≤∣， 集合(){}2log 1B x y x ==+∣， 则A B ⋂=（ ） A ．[-21]，B ．(-11]，C ．(]12-，D ．[)1，∞+ 76．若集合{12}A x x =-<<∣，{|1B x x =<或}3x >，则()R A B ⋂=（ ） A ．{13}xx -<<∣ B ．{11}xx -<<∣ C ．{23}x x <≤∣ D ．{12}xx ≤<∣ 77．已知命题20:,0p x x ∃∈R ，则p ⌝是（ ）A ．2,0x x ∀∉RB ．2,0x x ∀∈<RC ．200,0x x ∃∈RD ．200,0x x ∃∈<R78．若方程22121x y m m +=+--表示的曲线为C ，则（ ）A ．21m -<<-是C 为椭圆的充要条件B ．21m -<<-是C 为椭圆的充分条件C ．312m -<<-是C 为焦点在x 轴上椭圆的充要条件D ．302m -<<是C 为焦点在x 轴上椭圆的充分条件79．已知集合{}{|ln 1|A x x B x =<=，，则()R A B =（ ） A ．[2，e ）B ．（0，2）C ．（2，e ]D ．（0，e ）80．“0mn >”是“方程221x y m n-=为双曲线方程”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题81．已知函数()()2221e xf x ax x =-+，则（ ）A ．()f x 有零点的充要条件是1a <B ．当且仅当(]0,1a ∈，()f x 有最小值C ．存在实数a ，使得()f x 在R 上单调递增D ．2a ≠是()f x 有极值点的充要条件 82．下列选项中，能够成为“关于x 的方程2||10x x a -+-=有四个不等实数根”的必要不充分条件是（ ） A ．51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．51,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．()1,2a ∈D ．91,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭三、解答题83．若实数数列()12:,,,2n n A a a a n ≥满足()111,2,,1k k a a k n +-==-，则称数列nA 为E 数列.(1)请写出一个5项的E 数列5A ，满足150a a ==，且各项和大于零； (2)如果一个E 数列n A 满足：存在正整数()1234512345,,,,i i i i i i i i i i n <<<<≤使得12345,,,,i i i i i a a a a a 组成首项为1，公比为2-的等比数列，求n 的最小值；(3)已知()122,,,2m a a a m ≥为E 数列，求证：3211,,,222m a a a -为E 数列且224,,,222m a a a 为E 数列”的充要条件是“122,,,m a a a 是单调数列”.84．已知命题p ：实数x 满足()42220x x a a ⋅+-⋅-≤；命题q ：实数x 满足2320x x -+<．若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．85．设p ：()224300x ax a a -+<>，q ：211180x x -+≤.(1)若命题“()1,2x ∀∈，p 是真命题”，求a 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.86．著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为120,,,133⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭. (1)求第二次操作后的“康托尔三分集”；(2)定义[],s t 的区间长度为t s -，记第n 次操作后剩余的各区间长度和为()*n a n N ∈，求4a ；(3)记n 次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为n T ，若使n T 不大于原来的110，求n 的最小值.（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）87．已知命题p ：“0x R ∃∈，20048x a x +≤”为假命题，命题q ：“实数a 满足415a>-”．若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求a 的取值范围． 88．求证：角θ为第二象限角的充要条件是sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩． 89．已知P ＝{x |x 2－x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ①P 是x ①S 的必要条件，求m 的取值范围.90．已知p ：()222100x x a a -+-≥>，q ：()()150x x +-<.(1)当3x =-时，p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p ⌝是q 的充分不必要条件：求实数a 的取值范围.91．已知集合{}2,12x A y y x ==-≤≤，集合{}1ln 2B x x =<≤，集合{}22320,0C x x ax a a =-+≤>. (1)求A B ；(2)若C A ⊆，求实数a 的取值范围.92．判断命题的真假：如果12,n n 分别是直线12,l l 的一个方向向量，则1l 与2l 垂直的充要条件是1n 与2n 垂直．四、填空题93．设集合{}{}240,,20A xx x A x x a =-≤∈=+≤R ∣∣，且[]2,1A B =-，则=a ___________.94．以下有关命题的说法错误的命题的序号是_______．①若命题p ：某班所有男生都爱踢足球，则¬p ：某班至少有一个男生爱踢足球； ①已知a ，b 是实数，那么“a b >”是"ln ln "a b >的必要不充分条件；①若αβ>则sin sin αβ>；①幂函数253(1)m y m m x --=--在,()0x ∈+∞时为减函数，则2m =.95．已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ________.96．曲线0:p x ∃∈R ，320010x x -+≥，则p ⌝为___________.97．命题“0x ∃①R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．98．命题“x R ∃∈，20x +≤”的否定是______．五、概念填空99．存在量词与存在量词命题100．判断正误．（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )（2）命题“三角形的内角和是180 ”是全称量词命题．( )（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )参考答案：1．C【解析】【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】 由已知{}2,0[1,)x A y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，①[1,2)A B ⋂=．故选：C ．2．A【解析】【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解．【详解】由ln ln a b >，得0a b >>．由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-．记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->-，则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件．故选：A ．3．C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，故原命题的否定是()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>．故选：C4．C【解析】【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =， 所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =． 故选：C5．B【解析】【分析】先求出m 与n 的夹角为钝角时k 的范围，即可判断.【详解】当m 与n 的夹角为钝角时，0m n ⋅<，且m 与n 不共线，即6032k k -<⎧⎨≠-⎩所以k 6<且23k ≠-.故“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.6．D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥， 又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥，所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞.故选：D .7．B【解析】【分析】按照交集的定义，在数轴上画图即可.【详解】由题可得集合{}{}2()111A xx a x a x a =-<=-<<+∣，所以要使{0,1}A B =，则需110112a a -≤-<⎧⎨<+≤⎩，解得01a <<， 故选：B.8．C【解析】【分析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；【详解】解：由22x x =，解得2x =或0x =，所以方程22x x =的所有实数根组成的集合为{}{}2|20,2x R xx ∈==； 故选：C9．A 【解析】【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴.故选：A.10．B【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式3a a a >，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若01a <<，由3a a a >可得3a <，此时01a <<；若1a =，则3a a a =，不合乎题意；若1a >，由3a a a >可得3a >，此时3a >.因此，满足3a a a >的a 的取值范围是{01a a <<或}3a >， 因为{01a a <<或}3a > {}3a a >，因此，“3a a a >”是“3a >”的必要不充分条件.故选：B.11．C【解析】【分析】解不等式化简命题q ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式得：13x ，即:13q x -<<，显然{|13}x x -<< {|3}x x <，所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：C12．A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值以及充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】当π3α=时，tan α=p 则q 成立；当tan α=,3k k Z παπ=+∈，即若q 则p 不成立；综上得p 是q 充分不必要条件，故选：A.13．D【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可得解.【详解】解：因为{M x x =≥，b =所以b M ∈，{}b M ⊆.故选：D.14．C【解析】【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{{}4A x y x x ==≤，{}1,2,3,4,5B =，所以A B = {}1,2,3,4，故选：C15．A【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，结合向量减法的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案.【详解】由||1a b -≤，||2b c -≤，如下图示，||||||3a c a b b c -≤-+-≤，当且仅当a ，b ，c 共线时前一个等号成立，充分性成立；当||3a c -≤，不一定有||1a b -≤，||2b c -≤，必要性不成立. 综上，“||1a b -≤，||2b c -≤”是“||3a c -≤”的充分而不必要条件. 故选：A16．C【解析】【分析】利用集合的交运算求A B 即可.【详解】由题设，A B ={}|33x x -<<⋂{}|25{|23}x x x x -≤≤=-≤<. 故选：C17．A【解析】【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤， 所以1922A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12R A x x ⎧=≤⎨⎩或x >92}， 由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤，所以()A B =R 122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A18．A【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，命题“0x ∀>，2x x >”的否定是：00x ∃>，200x x ≤．故选：A.19．A【解析】【分析】根据一直关系判断,x y 的大小关系进行等价转化即可得解.【详解】由01a <<，log log 0a a x y y x >⇔>>，x y a a y x ≥⇔>，故为充分不必要条件. 故选：A20．A【解析】【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．【详解】解：“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”，取1m =，则11n n a a +=-， {}n a ∴为等比数列．反之不成立，{}n a 为等比数列，设公比为q ()0q ≠，则1m n m n a q +-+=-，()()112n n m m m n a a q q q --+-=-⨯-=，只有1q =-时才能成立满足m n m n a a a +=． ∴数列{}n a 满足11a =-，则“m ∀，*n N ∈，m n m n a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的充分不必要故选：A ．21．B【解析】【分析】求得集合B 中对应函数的值域，再求A B 即可.【详解】因为{B y y ==∣{|0}y y =≥，又{}1,0,1,2A =-， 故A B ={}0,1,2.故选：B22．C【解析】【分析】由对数函数定义域可求得集合A ，由交集定义可得结果.【详解】由30x ->得：3x <，(){}{}ln 30,1,2A x N y x ∴=∈=-=，{}0,1A B ∴⋂=.故选：C.23．C【解析】【分析】由Venn 图得到()A M A B =⋂求解. 【详解】如图所示()A M A B =⋂，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=-又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}A A B ∴⋂=，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3 故选：C24．B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件．故选：B ．25．D【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由已知{1,1,3}U B =-，所以U (){1,1,3}A B =-．故选：D ．26．B【解析】【分析】写出相应命题，根据相关知识直接判断可得.【详解】“全等三角形的面积相等”的否命题为：不全等的三角形的面积不相等.易知为假命题；若“2lg 0x =，则1x =-”的逆命题为：若1x =-，则2lg 0x =.显然为真命题；“若x y ≠或x y ≠-，则x y ≠”的逆否命题为：若x y =，则x y =且x y =-.易知为假命题. 故选：B27．C【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．{2,1,2}U A =-，(){1}U B A =．故选：C ．28．C【解析】【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得结果.【详解】{}{}{}2230130,1,2A x x x x x =∈--<=∈-<<=Z Z ，因此，{}1,2A B =. 故选：C.29．B【解析】【分析】先由已知得点()1,1在圆2220x y y a ++-=外，求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断【详解】由已知得点()1,1在圆2220x y y a ++-=外，所以22211210240a a ⎧++⨯->⎨+>⎩，解得14a -<<， 所以“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的必要不充分条件， 故选：B30．A【解析】【分析】根据交集的定义计算．【详解】由已知{1,0,1,2,3}A B =-．故选：A ．【解析】【分析】化简集合B ，结合交集运算即可．【详解】 因为集合{}21253032B x x x x x ⎧⎫=+-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以112A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭， 故选：C ．32．D【解析】【分析】先解出集合A 、B ，再求A B ，从而求解补集．【详解】由()2log 12x -≤，即014x <-≤，解得15x <≤，所以(]1,5A =.由2230x x --≤得()3x -⋅()10x +≤，即13x -≤≤，所以[]1,3B =-，由此(]1,3A B =，于是()(]()R ,13,A B ⋂=-∞⋃+∞，故选：D.33．C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求出函数y B ，然后根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}2,3,4,5A =，集合{{}{}23003B x y x x x x x ===-≥=≤≤，所以{}2,3A B ⋂=.故选：C.34．A【分析】根据直线和圆的位置关系求出b ，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】①圆22:9C x y +=的半径3r =，若圆C 上恰有4个不同的点到直线l 的距离等于1，则必须满足圆心(0,0)到直线:l y x b =-的距离2d =<，解得b -<<又((⊆-，①“b <是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的充分不必要条件.故选：A.35．C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题3:,3n p n N n ∀∈>的否定命题为3,3n n N n ∃∈≤，故选：C36．D【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-时， 则()cos ,2,cos cos (1)cos ,21,k k n n Z k k n n Z βαπββ=∈⎧=+-=⎨-=+∈⎩；即不能推出cos cos αβ=.(2)当cos cos αβ=时，2k αβπ=+或2k απβ=-，k Z ∈,所以对第二种情况，不存在k Z ∈时，使得()1kk απβ=+-成立，故“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1k k απβ=+-”的既不充分不必要条件.故选：D37．A【解析】【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，设M 的最大元素为m ，N 的最小元素为n ，若有m ＜n ，不能满足M①N=Q ，A 错误；若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素， N 也没有最小元素，满足其它条件，故B 可能成立；若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈，则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故C 可能成立；若{|0}M x Q x =∈，{}0N x Q x =∈；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 可能成立；故选：A ．38．D【解析】 【分析】 首先解出绝对值不等式与分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为322x -≤，所以33222x -≤-≤，解得1722x ≤≤；由2102x x +≤-，即()()212020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得122x -≤<；所以1722x ≤≤与122x -≤<互相不能推出，故“322x -≤”是“2102x x +≤-”的既不充分也不必要条件； 故选：D39．B【解析】【分析】根据补集运算得{}R |3x B x =>，再根据交集运算求解即可.【详解】解：因为{}{}|14|3A x x B x x =-<<=≤，，所以{}R |3x B x =>，所以{}()|34R B A x x ⋂=<<故选：B40．A【解析】【分析】利用函数log a y x =在(0,)+∞单调递减，可得log log 0a a b c b c <⇔>>，分析即得解【详解】由01a <<，故函数log a y x =在(0,)+∞单调递减故log log 0a a b c b c <⇔>>即log log a a b c b c <⇒>，充分性成立； b c >推不出log log a a b c <，必要性不成立；故“log log a a b c <”是“b c >”的充分不必要条件．故选：A41．D【解析】解一元二次不等式求集合B ，再利用集合交运算求A B .【详解】 由题设，{}24{|22}B x x x x =≤=-≤≤，又{}03A x x =<<， 所以{}(]{|22}030,2A x x B x x -≤≤⋂<<==．故选：D42．A【解析】【分析】根据阴影部分表示的集合为R A B ⋂求解.【详解】 因为集合{}02A x x =<<，所以R {|0A x x =≤或2}x ≥， 又因为{}2230{|3B x x x x x =+-≥=≤-或1}x ≥， 所以阴影部分表示的集合为R {|3A B x x ⋂=≤-或2}x ≥，故选：A43．B【解析】【分析】 由向量a ，b 夹角为钝角可得0a b ⋅<且a ，b 不共线，然后解出m 的范围，然后可得答案.【详解】若向量a ，b 夹角为钝角，则0a b ⋅<且a ，b 不共线所以330133m m -<⎧⎨⋅≠-⋅⎩，解得1m <且9m所以“1m <”是“向量a ，b 夹角为钝角”的必要不充分条件故选：B44．B【分析】化简集合A ，B ，根据补集及交集运算即可.【详解】{}A y y x R ===,{[0,)B x y ∞===+(,0)R R A B B ∴==-∞,故选：B45．D【解析】【分析】解分式不等式求集合A ，再判断集合之间的包含关系，即可判断各选项的正误.【详解】由题设，{|14,N}{0,1,2,3}A x x x =-≤<∈=，又{0,1,2,3,4}B =，所以A B ，即A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D46．C【解析】【分析】根据分式不等式解法解出集合A ，根据对数的运算法则计算出集合B ，再根据集合交集运算得结果. 【详解】(){}113003A x x x x x ⎧⎫=-⋅>=<<⎨⎬⎩⎭， (){}{}{}2log 1101211B x x x x x x =+<=<+<=-<<，①10,3A B ⎛⎫ ⎪⎝=⎭. 故选：C.47．B【解析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】 因为{}{}200,1A x x x =-==，B x y ⎧=⎨⎩={}|1x x <， 所以A B ={}0，故选：B48．C【解析】【分析】先解出集合A ，再根据B A ⊆确定集合B 的元素，可得答案.【详解】由题意得，{}{|22}1,0,1A x Z x =∈-<<=-，①{}1,B a =，B A ⊆， ①实数a 的取值集合为{}1,0-,故选:C.49．D【解析】【分析】首先用列举法表示集合A ，再根据对数函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】 解：集合{}62,3,4,71A x Z N x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭，集合(){}{}lg 33B x y x x x ==-=>，则{}4,7A B ⋂=，故选：D ．50．D【解析】【分析】先根据一元二次不等式解得集合A ，然后利用交集运算法则求出答案.【详解】解：由题意得：{}{}2230|13A x x x x x =--<=-<<，{}15B x x =≤≤ {}[)|131,3A B x x ∴=≤<=故选：D51．B【解析】【分析】先根据空间线面位置关系判断命题,p q 的真假，再根据且、或、非命题判断真假即可.【详解】解：命题p ：若m α⊂，m β∥，则αβ∥，还可能相交，故是假命题，；命题q ：若m α⊥，l β⊥，αβ∥，则m l ∥，是真命题.所以p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，所以p q ∧，p q ∨⌝，p q ⌝∧⌝均为假命题，p q ⌝∧为真命题，故选：B52．A【解析】【分析】解方程2320x x -+=，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解方程2320x x -+=可得1x =或2x =，{}2 {}1,2，因此，“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.故选：A.53．A【解析】【分析】判断命题p ，q 的真假，再借助真值表逐一判断作答.【详解】因当00x =时，0sin 01x =<，即命题p 是真命题，因当04x π=时，00sin cos x x +，即命题q 是真命题， 因此，p q ∧，p q ∨都是真命题，()p q ⌝∨是假命题，而p ⌝是假命题，则()p q ⌝∧是假命题，同理()p q ∧⌝是假命题，所以，B ，C ，D 都不正确，A 正确.故选：A54．D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据指数函数的性质求出集合A ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由24x ≤，即()()220x x -+≤，解得22x -≤≤，所以{}{}24|22B x x x x =≤=-≤≤，又{}()2,0,x A y y x R ∞==∈=+，所以(]0,2A B ⋂=. 故选：D55．C【解析】【分析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.56．B【解析】【分析】确定全集中的元素，根据(){}1,5,6U A B ⋃=可确定A B ⋃={}0,2,3,4，再结合图中阴影部分的含义即可得答案.全集{}{}N 270,1,2,3,4,5,6U x x =∈-≤<=,又因为(){}1,5,6U A B ⋃=，所以A B ⋃={}0,2,3,4,而{}2,4B =所以阴影部分表示的集合是()U A B ∩即为{}0,3，故选：B.57．B【解析】【分析】解不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】()()()2550,50,x x x x B +=+>⇒=-∞-⋃+∞， 又{34}A x x =-<<，所以()0,4A B =.故选：B58．A【解析】【分析】首先联立方程，然后判断交点个数，即可判断选项.【详解】首先联立方程22250y x y x xy =-⎧⎪=-⎨⎪≤⎩，得2230x x --=，解得：1x =-或3x =，当1x =-时，4y =-，此时0xy >，舍去；当3x =时，4y =，此时0xy >，舍去，所以M N ⋂为空集.故选：A59．B【分析】根据不等式的解法，分别求得集合,A B ，结合集合补集和交集的运算，即可求解.【详解】 由不等式402x x ->+，解得2x <-或4x >，所以{|2A x x =<-或4}x >， 又由不等式27100x x -+≥，解得2x ≤或5x ≥，所以{|2B x x =≤或5}x ， 可得R {|24}A x x =-≤≤，所以()R A B ⋂={}22x x -≤≤.故选：B.60．D【解析】【分析】设()11111i ,z x y x y R =+∈，()22222i ,z x y x y R =+∈，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，计算出21z z ，然后结合OA OB ⊥可得答案. 【详解】设()11111i ,z x y x y R =+∈，()22222i ,z x y x y R =+∈，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =， 且21212122122111()i z x x y y x y x y z x y ++-=+， 由OA OB ⊥知12120x x y y +=且12x y -210x y ≠，故OA OB ⊥的充要条件是21z z 为纯虚数， 故选：D ．61．D【解析】【分析】根据命题和逆否命题的关系可得答案.【详解】 原命题的条件是“若24x <”，结论为“22x -<<”，则其逆否命题是：若2x ≥或2x -≤，则24x ≥，故选：D ．【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系判断.【详解】因为圆心（0,0）到直线y =2的距离d =2=r ，所以直线2y =与圆224x y +=相切，所以A B 的元素的个数是1，故选：C ．63．C【解析】【分析】根据集合的包含关系，列出参数a 的不等关系式，即可求得参数的取值范围.【详解】①集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，①1a ≤.故选：C ．64．B【解析】【详解】先求解集合A 和集合B 中的不等式，利用交集的定义即得解【分析】由2318(6)(3)0x x x x --=-+≤，解得36x -≤≤，则[]3,6A =-， 不等式2log 1x >，即2x ，可得2x <-或2x >，则(,2)(2,)B =-∞-⋃+∞所以[)(]3,22,6A B ⋂=--⋃故选：B ．65．C【解析】【分析】先判断命题p,q 的真假，从而判断,p q ⌝⌝的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【详解】 当52m =时，22123x y m m+=--表示圆， 故命题p ：“23m <<是方程22123x y m m+=-- 表示椭圆”的充要条件是假命题， 命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，故p q ∧是假命题，p q ∨⌝是假命题，p q ⌝∨⌝是真命题，p q ⌝∧⌝是假命题， 故选：C66．A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为命题p ：()010,x ∃∈+∞，0lg 1x >，故命题p 的否定为：()10,x ∀∈+∞，1lg x ≤. 故选：A.67．B【解析】【分析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.【详解】集合A 的元素个数为4，故集合A 的真子集个数为42115-=.故选：B.68．D【解析】【分析】先求出集合A 的补集，进而求交集即可.【详解】①{}1A x x =>，①(]R ,1A ∞=-，又{}13B x x =-≤<，①()[]R 1,1A B ⋂=-.故选：D69．D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为p ：24x ≤≤，q ：13x ≤≤， 所以,p q q p ⇒⇒，所以p 为q 的既不充分又不必要条件.故选：D.70．B【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“0x ∃≥，()10x x -<”的否命题为“0x ∀≥，()10x x -≥”，故选：B71．C【解析】【分析】 由一元二次方程根的分布可得010a∆>⎧⎪⎨<⎪⎩求命题q 的参数a 范围，再由命题间的关系求m 的最值即可.【详解】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-.故选：C72．C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法进行求解.【详解】全称命题的否定是特称命题，则命题“0x ∀>，210x ->”的否定为“00x ∃>，0210x -≤”. 故选：C.73．D【解析】【分析】利用集合M 、N 的含义，将其化简，然后求其并集即可.【详解】解：由2430x x -+<可得13x <<，所以(1,3)M =,由240x -≥可得2x -≤或2x ≥，所以(][),22,N =-∞-+∞, 所以(](),21,M N =-∞-+∞.故选：D.74．B【解析】【分析】根据特称命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意否定结论，所以，命题“0x ∃∈R ，使得320000x ax bx c +++=”的否定是x ∀∈R ，320x ax bx c +++≠.故选：B75．B【解析】【分析】先求出集合A ,B ，进而根据交集的定义求得答案.【详解】由题意，()(){}[]()|1202,1,1,A x x x B =-+≤=-=-+∞，所以(1,1]A B ⋂=-故选：B.76．D【解析】【分析】先求得R B ，然后求得正确答案.【详解】{}R |13B x x =≤≤，()R A B ⋂={12}x x ≤<∣故选：D77．B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以B 选项符合. 故选：B78．C【解析】【分析】根据椭圆的性质及焦点的性质可写出其充要条件，然后逐项分析即可.【详解】解：对于A 、B 选项： 曲线22:121x y C m m -=++表示椭圆的充要条件是2010,2121m m m m m +>⎧⎪-->⇔-<<-⎨⎪+≠--⎩且32m ≠-，所以A ，B 不正确；对于C 、D 选项： 方程22121x y m m +=+--表示焦点在x 轴上椭圆321012m m m ⇔+>-->⇔-<<-，所以C 对，D 错.故选：C79．A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为集合{}(){|ln 10,|[1,2)A x x e B x =<==-=，， 所以{|1R B x x =<-或2}x ≥，()[. 2,)R A B e ⋂=故选：A80．C【解析】【分析】 先求出方程221x y m n -=表示双曲线时,m n 满足的条件， 然后根据“小推大”的原则进行判断即可.【详解】 因为方程221x y m n-=为双曲线方程，所以0mn >， 所以“0mn >”是“方程221x y m n-=为双曲线方程”的充要条件. 故选：C.81．BCD【解析】【分析】对于A ，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正误；对于B ，分类讨论a 的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C ，可举一具体实数，说明()f x 在R 上单调递增，即可判断其正误；对于D ，根据导数与函数极值的关系判断即可. 【详解】对于A ，函数()()2221e xf x ax x =-+有零点⇔方程2210ax x -+=有解，当0a =时，方程有一解12x =； 当0a ≠时，方程2210ax x -+=有解01,0440a a a a ≠⎧⇔⇒≤≠⎨∆=-≥⎩， 综上知()f x 有零点的充要条件是1a ≤，故A 错误；对于B ，由()()2221e xf x ax x =-+得()()222e x f x x ax a '=+-，当0a =时，()24e xf x x '=-，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，此时()f x 有最大值()0f ，无最小值；当01a <<时，方程2210ax x -+=有两个不同实根1x ，()212x x x <，当[]12,x x x ∈时，()f x 有最小值()00f x <，当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x >；当1a =时，()()221e x f x x =-有最小值0；当1a >时，()0f x >且当x →-∞时，()0f x →，()f x 无最小值； 当0a <时，x →+∞时，()f x →-∞，()f x 无最小值, 综上，当且仅当(]0,1a ∈时，()f x 有最小值，故B 正确；对于C ，因为当2a =时，()()22221e xf x x x =-+，()224e 0x f x x '=≥在R 上恒成立，此时()f x 在R 上单调递增，故C 正确；对于D ，由()()222e xf x x ax a '=+-知，当0a =时，0x =是()f x 的极值点，当0a ≠，2a ≠时，0x =和2ax a-=都是()f x 的极值点，。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。

集合与常用逻辑用语、不等式试题一、选择1．设集合{}{}2|lg(3),|540A x y x B x x x ==-=-+<，则AB =（ B ）A ．∅B ．()3,4C ．()2,1-D ．()4.+∞2．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( D ) A.0 B.1 C.2 D.43．已知集合{}6,5,4=P ，{}3,2,1=Q ，定义{}Q q P p q p x x Q P ∈∈-==⊕,,|，则集合Q P ⊕的所有真子集的个数为（ B ）A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对4．已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若a x f <-|4)(|的充分条件是b x <-|1|，)0,(>b a ，则b a ,之间的关系是 （ B ） A ．3ba ≤B ． 3a b ≤C ．3a b >D ．3b a >5．下列说法错误的是 （ C ） A ．命题“若x 2 — 3x +2＝0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2—3x +2≠0” B ．“x ＞1”，是“|x |>1”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．若命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”,则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0” 6．集合{1,0,1}A =-,A 的子集中,含有元素0的子集共有 ( B ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个7．设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a }.若A ⊆B 则a 的范围是( B )A. a <1B. a ≤1C. a <2D. a ≤2 8．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为(D)A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-9．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是( D ) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 10．设,x y ∈R ，那么“0x y <<”是“1xy>”的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为（ A ）A ．12B ．2C ．3D ．31 12．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f )1(x>f (1)的实数x 的取值范围是 （ D ）A ．(－∞,1)B ．(1,+∞)C ．(－∞,0)∪(0,1)D ．(－∞,0)∪(1,+ ∞) 13．下列结论正确的是（ B ） A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时B．02x >≥当时C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当102,x x x<≤-时无最大值 14．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则yx z +=22的最大值为（ B ）A ．8B ．16C ．32D ．64 15． 下列三个不等式中，恒成立的个数有( B ) ①12(0)x x x+≥≠; ②(0)c c a b c a b <>>>;③(,,0,)a m a a b m a b b m b+>><+。

2019-2020年高三数学 专题1 集合与常用逻辑用语,函数与导数,不等式复习题1.（xx ·河南郑州市第一次质检）若集合，，则满足条件的实数的个数有 A ．个 B 个 C ．个 D 个 【答案】B【解析】由知，所以或或，解得验证不满足元素的互异性.【规律解读】集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．关于集合的概念求字母参数问题，通常的解法步骤：①对集合中元素的合理搭配；②列出方程组求出字母参数的值；③检验所求的参数值是不是满足集合元素的互异性以及符合题意．2. （xx ·哈三中期末）已知集合，，，则中元素个数是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查。

依据C 集合的定义对对数底数、真数的取值一一考虑，所有的对数是233334131,2,log 6,3,log 2,log 4,log 6,log 8,,log 6,22，其中满足的有3个元素，因此选择B.【规律解读】元素与集合的关系：元素与集合的关系是属于与不属于的关系，一个元素要么属于一个集合，要么不属于一个集合，两者必居其一。

要判断一个元素是否属于一个集合，关键是判断该元素是否具有该集合的元素的公共属性。

3.（xx ·杭州市第一次质检）已知集合，集合，若 ，则 实数可以取的一个值是( ) A.B.C.D.【答案】A【解析】、不难分析，A 、B 分别表示两个圆，要满足 ，即两圆内切或内含。

故圆心距，即：221122221010112102r r r rr r r rr r r≤⇔-⋅+≥⎛⎫⇔-≥⇔-≥⇔+≥⎪⎪⎝⎭+⇔--≥⇔≥.显然，，故只有(A)项满足。

4.（xx·广东东莞调研）已知函数的定义域为Ｍ，的定义域为Ｎ，则＝．【答案】【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查由题意的定义域满足：，=。

集合与常用逻辑用语测试题和答案work Information Technology Company.2020YEAR集合与常用逻辑用语测试题和答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选中,只有一项是符合题目要求的)1.（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A={x|x2-2x>0}，B={x|-5<x<5}，则( )A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B2.(2014·昆明模拟)已知集合S={1,2},集合T={a},∅表示空集,如果S∪T=S,那么a的值构成的集合是( )A.∅B.{1}C.{2}D.{1,2}3.已知命题p:∃x0∈R, x20-3x0+3≤0,则下列说法正确的是( )A.p:∃x0∈R, x20-3x0+3>0,且p为真命题 ;B.p:∃x0∈R, x20-3x0+3>0,且p为假命题；C.p:∀ x∈R, x2-3x+3>0,且p为真命题；D.p:∀ x∈R, x2-3x+3>0,且p为假命题4.（2013·辽宁高考）已知集合A={0,1,2,3,4}，B={x||x|<2}，则A∩B=( )A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}5.已知ab>0,若a>b,则1/a<1/b的否命题是( )A.已知ab≤0,若a≤b,则1/a≥1/bB.已知ab≤0,若a>b,则1/a≥1/bC.已知ab>0,若a≤b,则1/a≥1/bD.已知ab>0,若a>b,则1/a≥1/b6.(2014·西城模拟)已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A具有性质P:当a∈A时,必有6-a∈A.则具有性质P的集合A的个数是( )A.8B.7C.6D.57.设a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1/a”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(2014·哈尔滨模拟)给定下列两个命题: ①“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件; ②“∃x0∈R,使sinx0>0”的否定是“∀x∈R,使sinx≤0”.其中说法正确的是( ) A.①真②假 B.①假②真 C.①和②都为假 D.①和②都为真9.(2013·山东高考)给定两个命题p,q,若p是q的必要而不充分条件,则p是q 的( )A.充分而不必要条件；B.必要而不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件10.(2014·金华模拟)给出下列命题: (1)等比数列{a n}的公比为q,则“q>1”是“a n+1>a n(n∈N*)”的既不充分也不必要条件;(2)“x≠1”是“x2≠1”的必要充分条件;(3)函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R,则实数-2<a<2;(4)“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充要条件. 其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.411.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知下列四个命题: ①命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题为假命题; ②命题p:∀x∈R,sinx≤1,则p:∃x0∈R,使sinx0>1; ③“φ=+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件; ④命题p:“∃x0∈R,使sinx0+cosx0=”;命题q:“若sinα>sinβ,则α>β”,那么(p)∧q为真命题. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横上)13.(2014·银川模拟)若命题“∃x0∈R,+(a-3)x0+4<0”为假命题,则实数a的取值范围是14.(2014·青岛模拟)已知A={x|1/8<2-x<1/2<1},B={x|log2(x-2)<1},则A∪B=15.(2014·玉溪模拟)已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是16.已知下列四个结论: ①命题“若p,则q”与命题“若q,则p”互为逆否命题; ②命题p:∃x0∈[0,1],≥1, 命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则p∨q为真; ③若p∨q为假命题,则p,q均为假命题; ④“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若a=1,求A∩B. (2)若A∪B=R，求实数a的取值范围.18.(12分)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题、p∧q为假命题,求实数m的取值范围.19.(12分)(2014·黄山模拟)已知全集U=R,集合A={x|(x-2)(x-3)<0}, B={x|(x-a)(x-a2-2)<0}. (1)当a=1/2时,求(∁U B)∩A.(2)命题p:x∈A,命题q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)(2014·枣庄模拟)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足x2-x-6≤，x2+2x-8>0(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.21.(12分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.22.(12分)(能力挑战题)已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数x0,使f(x0)>0,求p的取值范围.答案解析1.【解析】选B.由A={x|x2-2x>0}得，A={x|x<0或x>2}，又B={x|-5<x<5}，所以A∪B=R.2.【解析】选D.因为S={1,2},T={a},S∪T=S,所以T⊆S,a∈S,所以a=1或a=2,故选D.3.【解析】选C.依题意,命题p:∃x0∈R,-3x0+3≤0的否命题为不存在x∈R,使得x2-3x+3≤0,即对任意的x∈R,x2-3x+3>0.又x2-3x+3=+>0,所以命题p为假命题,所以p 为真命题.4.【解析】选B. B={x||x|<2}={x|－2<x<2}，则A∩B={0,1,2,3,4}∩{x|－2<x<2}={0,1}.5.【解析】选C.条件ab>0是大前提,所以其否命题是:已知ab>0,若a≤b,则≥.6.【解析】选B.由题意,知3∈A可以,若1∈A,则5∈A,若2∈A,则4∈A,所以具有性质P的集合A有{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5}, {1,2,3,4,5},共7个.7.【解析】选D.若0<ab<1,则当a>0时,有b<,当a<0时,有b>.当b<时,不妨设b=-1,a=1,满足b<,但ab=-1,不满足0<ab<1.所以0<ab<1是b<成立的既不充分也不必要条件,选D.8.【解析】选D.①中,“p∨q”为真,说明,p,q至少有一为真,但不一定p为真,即“p”不一定为假;反之,“p”为假,么p 一定为真,即“p∨q”为真,命题①为真;特称命题的否定是全称命题,所以,②为真,综上知,①和②都为真.9.【解析】选A.因为p是q的必要而不充分条件,所以q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件..10.【解析】选B.若首项为负,则公比q>1时,数列为递减数列,an+1<an(n∈N*),当an+1>an(n∈N*)时,包含首项为正,公比q>1和首项为负,公比0<q<1两种情况,故(1)正确;“x≠1”时,“x2≠1”在x=-1时不成立,“x2≠1”时,“x≠1”一定成立,故(2)正确;函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R,x2+ax+1=0的Δ=a2-4≥0,解得a≥2或a≤-2,故(3)错误;“a=1”时,“函数y=cos2x-sin2x=cos2x 的最小正周期为π”,但“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”时,“a=〒1”,故“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件,故(4)错误.故选B.11.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0,成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件,故选A.12.【解析】选B.①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据全称命题的否定是特称命题知,②为真.③当函数偶函数时,有φ=+k π(k∈Z),所以为充要条件,所以③正确.④因为sinx+cosx=sin的最大值为<,所以命题p为假命题,p为真,三角函数在定义域上不单调,所以q为假命题,所以(p)∧q为假命题,所以④错误.所以正确的个数为2,故选B。

集合、常用逻辑(luó jí)用语、不等式、函数与导数本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试(kǎoshì)时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目(tímù)要求的)1．(2021·高考(ɡāo kǎo))函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，那么f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 A2．(2021·高考)“φ＝π〞是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点〞的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，此时曲线y ＝sin(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ“φ＝π〞是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点〞的充分而不必要条件．【答案】 A3．(2021·模拟)设a ＝log2，b ＝log3，c ＝2，d 2，那么这四个数的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c ＜d B ．b ＜a ＜d ＜c C ．b ＜a ＜c ＜dD ．d ＜c ＜a ＜b【解析(jiě xī)】 由函数(hánshù)y ＝log x 是减函数(hánshù)知， log3＜log2＜0.又22＜1，所以(suǒyǐ)b ＜a ＜d ＜c . 【答案】 B4．以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R【解析】 A 中，y ＝cos 2x 在(0，π2)上递减，A 不满足题意．C 中函数为奇函数，D 中函数非奇非偶．对于B ：y ＝log 2|x |(x ≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数． 【答案】 B5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，那么目的函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影局部所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处获得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 【答案(dá àn)】 B6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，那么(nà me)不等式f (x )＜2的解集为( ) A ．(10，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，10) C ．(1,2]∪(10，＋∞)D ．(1，10)【解析(jiě xī)】 原不等式等价(děngjià)于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，log 3(x 2－1)＜2，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，2e x －1＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，0＜x 2－1＜9，或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x －1＜0，解得2≤x ＜10或者x ＜1. 【答案】 B7．(2021·模拟)符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，那么函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C．3 D．4【解析】当x>1时，ln x>0，sgn(ln x)＝1，∴f(x)＝1－ln2x，令f(x)＝0，得x＝e.当x＝1时，ln x＝0，sgn(ln x)＝0，∴f(x)＝－ln2x，令f(x)＝0，得x＝1满足．当0<x<1时，ln x<0，sgn(ln x)＝－1，∴f(x)＝－1－ln2x<0，f(x)＝0无解．∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝e.【答案】 B8．(2021·高考)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为()【解析(jiě xī)】函数(hánshù)y＝x cos x＋sin x为奇函数，那么(nàme)排除B；当x 时，y＝1＞0，排除(páichú)C；当x＝π时，y＝－π＜0，排除A，应选D.＝π2【答案】 D9．(2021·模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(xx1＜x2，且x1＋x2＞2，那么f(x1)与f(x2)的大小关系是()A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．不确定【解析】 由(x －1)f ′(x )＜0可知，当x ＞1时，f ′(x )＜0函数递减，当x ＜1时，f ′(x )＞0函数递增，因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )，f (x )＝f (2－x )，即函数的对称轴为x ＝1.所以假设1＜x 1＜x 2，那么f (x 1)＞f (x 2)．假设x 1＜1，那么必有x 2＞1，那么x 2＞2－x 1＞1，此时由f (x 2)＜f (2－x 1)，即f (x 2)＜f (2－x 1)＝f (x 1)，综上f (x 1)＞f (x 2)，选C.【答案】 C10．(2021·高考)假设S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，那么S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【解析(jiě xī)】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以(suǒyǐ)ln 2<73<e(e－1)，即S 2<S 1<S 3.【答案(dá àn)】 B11．小王从甲地到乙地往返的时速(shí sù)分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，那么( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的间隔 为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .【答案】 A12．(2021·高考)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图1－1所示，那么以下结论中一定成立的是( )图1－1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数(hánshù)f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数(hánshù)f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析(jiě xī)】 当x ＜－2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＜0； 当1＜x ＜2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＜0； 当x ＞2时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＞0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数(hánshù)，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)． 【答案】 D第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上)13．(2021·模拟)第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，那么代数式2a ＋3b 的最小值为________．【解析】 由题意知2a ＋3b ＝1，a ＞0，b ＞0，那么2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时取等号，即2a ＋3b的最小值为25. 【答案】 2514．y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (－1)＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 【答案】 －115．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，那么(nà me)f (2 013)＝________.【解析(jiě xī)】 当x ＞0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，∴f(x＋6)＝f(x)，即当x＞0时，函数(hánshù)f(x)的周期(zhōuqī)是6.又∵f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)，由得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，∴f(2 013)＝0.【答案】016．函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，假设f(x)在x＝a处获得极大值，那么a 的取值范围是________．【解析】假设a＝0，那么f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；假设a＝－1，那么f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；假设a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处获得极小值；假设－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处获得极大值；假设a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处获得极小值，所以a∈(－1,0)．【答案】(－1,0)三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分(mǎn fēn)是10分)集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)假设(jiǎshè)A ∩B ＝∅，求a 的取值范围(fànwéi)；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立(chénglì)的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 【解】 A ＝{y |y ＜a 或者y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或者a ≤－ 3.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0， ∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或者y ＞5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}． ∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．18．(本小题满分是12分)函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)假设函数f (x )为奇函数，务实数k 的值；(2)假设对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )＞2－x 成立，务实数k 的取值范围． 【解】 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x ＝0对一切x ∈R 恒成立， ∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )＞2－x ， 即2x ＋k ·2－x ＞2－x 成立(chénglì)， ∴1－k ＜22x 对x ≥0恒成立(chénglì)， ∴1－k ＜(22x )min ，∵y ＝22x 在[0，＋∞)上单调(dāndiào)递增， ∴(22x )min ＝1， ∴k ＞0.∴实数(shìshù)k 的取值范围是(0，＋∞)．19．(本小题满分是12分)(2021·高考)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 【解】 (1)设f (x )＝ln xx ，那么f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，那么除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．20．(本小题满分是12分)(2021·模拟)函数f (x )＝13ax 3＋(a －2)x ＋c 的图象如图1－2所示．图1－2(1)求函数y ＝f (x )的解析(jiě xī)式；(2)假设(jiǎshè)g (x )＝kf ′(x )x－2ln x 在其定义域内为增函数，务实(wù shí)数k 的取值范围(fànwéi)．【解】 (1)∵f ′(x )＝ax 2＋a －2，由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3，2a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝1.∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)∵g (x )＝kf ′(x )x －2ln x ＝kx －k x －2ln x ，∴g ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2＋k －2x x 2. ∵函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴假设函数y ＝g (x )在其定义域内为单调增函数，那么函数g ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx 2＋k －2x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k ≥2x x 2＋1在区间(0，＋∞)上恒成立． 令h (x )＝2x x 2＋1，x ∈(0，＋∞)， 那么h (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1(当且仅当x ＝1时取等号)． ∴k ≥1.∴实数k 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分是12分)(2021·模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y 元．(1)试写出y 关于(guānyú)x 的函数(hánshù)关系式，并写出定义域；(2)当k ＝50米时，试确定座位的个数，使得(shǐ de)总造价最低？【解】 (1)设转盘(zhuànpán)上总一共有n 个座位，那么x ＝k n 即n ＝k x，y ＝3k 2x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(128x ＋20)x 25k 2x ， 定义域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ≤k 2，k x ∈Z . (2)y ＝f (x )＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋(128x ＋20)25， y ′＝－125＋64x 3225x 2k 2，令y ′＝0得x ＝2516. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516上单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2516，25时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈⎝⎛⎭⎫2516，25上单调递增， y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为502516＝32个． 22．(本小题满分是12分)(2021·模拟)函数f (x )＝13x 3－ax ＋1. (1)求x ＝1时，f (x )获得极值，求a 的值；(2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)假设对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．【解】 (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )获得极值(jí zhí)，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1.又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以(suǒyǐ)f (x )在x ＝1处获得(huòdé)极小值，即a ＝1符合(fúhé)题意．(2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a，当0＜a＜1时，a＜1，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处获得最小值f(a)＝1－2a a3.当a≥1时，a≥1，x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处获得最小值f(1)＝4－a.3综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处获得最小值f(a)＝1－2a a；3－a.当a≥1时，f(x)在x＝1处获得最小值f(1)＝43(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，所以－a＞－1，即a＜1.所以(suǒyǐ)a的取值范围(fànwéi)是(－∞，－1)．内容总结。

第1讲集合、常用逻辑用语[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2013·烟台一模)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则(∁R A)∩B等于A．{x|x＞－1}B．{x|－1＜x≤1}C．{x|－1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}解析∁R A＝{x|x≤1}，所以(∁R A)∩B＝{x|－1＜x≤1}，选B.答案 B2．(2013·东城模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析因为A∩B＝B，所以B⊆A，因为{1,2}⊆A，所以答案选A.答案 A3．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析∵f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，∴A，B不正确．在C中，当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，C正确，显然f(x)不是奇函数，D不正确．答案 C4．(2013·丰台模拟)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为A ．2或－8B ．－2或－8C ．－2或8D ．2或8解析 因为∁U M ＝{5,7}，所以|a －5|＝3，即a －5＝3或a －5＝－3，即a ＝8或2，选D. 答案 D5．(2013·滨州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(∁U B )∪A 等于 A ．{1,2} B ．{2,3,4} C ．{3,4}D ．{1,2,3}解析 因为A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，所以∁U B ＝{1,3}， 即(∁U B )∪A ＝{1,2,3}，选D. 答案 D6．(2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈p ⇏q ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈q ⇏p ，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.答案 A7．(2013·云南师大附中模拟)已知条件p ：x 2－3x －4≤0；条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－4,4]C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 p ：－1≤x ≤4，记q ：3－m ≤x ≤3＋m (m ＞0)或3＋m ≤x ≤3－m (m ＜0)，依题意，⎩⎨⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4或⎩⎨⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.选C.答案 C8．(2013·烟台一模)已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使02x ＜0.下列选项中为真命题的是A ．綈pB ．(綈p )∨qC ．(綈q )∧pD ．q解析 命题p 为真，q 为假命题，所以(綈q )∧p 为真，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共20分)9．(2013·德州一模)命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是________．解析 全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是∃x ∈R ，x 2－2x ≠0.答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ≠010．(2013·合肥模拟)若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1，则A ∩B等于________．解析 A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}＝{y |－1≤y ≤1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝2－1x ，0＜x ≤1＝{y |y ≤1}， 所以A ∩B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]． 答案 [－1,1]11．设p ：xx －2＜0，q ：0＜x ＜m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 不等式xx －2＜0等价于x (x －2)＜0，解之得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2.又p 是q 成立的充分不必要条件，∴{x |0＜x ＜2}{x |0＜x ＜m }，故m ＞2. 答案 (2，＋∞)12．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2＜bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①中由x ＝π6⇒sin x ＝12，但sin x ＝12⇏x ＝π6，故①为真命题． ②中p ∨q 为真，但p 、q 不一定全为真命题， 则推不出p ∧q 为真，故②为假命题． ③中当m 2＝0时不成立，故③为假命题． ④中A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，故④为真命题． 故答案为①④. 答案 ①④第2讲 函数、基本初等函数的图象性质[限时45分钟，满分60分]一、选择题(每小题5分，共45分) 1．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为 A ．(－∞，1)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析 要使函数有意义，则有⎩⎨⎧ 2x－1＞01－x ＞0，即⎩⎨⎧x ＞0x ＜1，所以0＜x ＜1，即函数定义域为(0,1)，选C. 答案 C2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于 A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 A3．(2013·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－log 2x ，x ＞0，1－x 2，x ≤0，则不等式f (x )＞0的解集为 A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |－1＜x ≤0} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＞－1}解析 若x ＞0，由f (x )＞0得，－log 2x ＞0， 解得0＜x ＜1；若x ≤0，由f (x )＞0，得1－x 2＞0， 解得x 2＜1，即－1＜x ≤0. 综上－1＜x ＜1，选C. 答案 C4．(2013·济南一模)函数y ＝x －13x 的图象大致为解析 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除C ，D. 当x ＝1时，y ＝0，当x ＝8时， y ＝8－38＝8－2＝6＞0，排除B ，选A. 答案 A5．(2013·浦东模拟)已知函数f (x )＝14x ＋2，若函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n 为奇函数，则实数n 为A ．－12B ．－14C.14D ．0解析 据题意，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋n ＝12142x ++＋n ，所以当x ＝0时，102142++＋n ＝0，解得n ＝－14. 答案 B6．(2013·玉溪模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)解析 根据函数的性质作出函数f (x )的图象如图．把函数f (x )向右平移1个单位，得到函数f (x －1)，如图，则不等式f (x －1)＜0的解集为(0,2)，选D.答案 D7．(2013·玉溪一中月考)函数f (x )＝xx 2＋a的图象不可能是解析 当a ＝0时，f (x )＝x x 2＋a＝1x ，C 选项有可能． 当a ≠0时，f (0)＝xx 2＋a＝0，所以D 图象不可能，选D.答案 D8．(2013·海淀模拟)若x ∈R ，n ∈N ＋，定义E n x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如E 4－4＝(－4)·(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f (x )＝x ·E 5x －2的奇偶性为A ．偶函数不是奇函数B ．奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 由题意知f (x )＝x E 5x －2＝x (x －2)(x －1)x (x ＋1)(x ＋2)＝x 2(x 2－4)(x 2－1)，所以函数为偶函数，不是奇函数，选A.答案 A9．(2013·潮州一模)定义域为R 的奇函数f (x )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0恒成立，若a ＝3f (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝－2f (－2)，则A ．a ＞c ＞bB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解析 设g (x )＝xf (x )，依题意得g (x )是偶函数， 当x ∈(－∞，0)时f (x )＋xf ′(x )＜0，即g ′(x )＜0恒成立，故g (x )在x ∈(－∞，0)单调递减， 则g (x )在(0，＋∞)上递增，a ＝3f (3)＝g (3)，b ＝(log π3)·f (log π3)＝g (log π3)，c ＝－2f (－2)＝g (－2)＝g (2)． 又log π3＜1＜2＜3，故a ＞c ＞b . 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)10．(2013·山东实验中学模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 因为y ＝|a x －1|的图象是由y ＝|a x |向下平移一个单位得到，当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图，此时y ＝2a ＞2，如图只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1211．(2013·海淀模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x， x ＞0，ax ＋3a －8， x ≤0，若函数f (x )的图象经过点(3,8)，则a ＝________；若函数f (x )是 (－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是________．解析 若函数f (x )的图象经过点(3,8)， 则a 3＝8，解得a ＝2.若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则有⎩⎨⎧ a ＞1f (0)≤1，即⎩⎨⎧a ＞13a －8≤1，所以⎩⎨⎧a ＞1a ≤3，即1＜a ≤3，所以实数a 的取值范围是(1,3]． 答案 2 (1,3]12．(2013·西城模拟)已知函数f (x )的定义域为R .若∃常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )，则称函数f (x )具有性质P .给定下列三个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝x 3－x . 其中，具有性质P 的函数的序号是________．解析 由题意可知当c ＞0时，x ＋c ＞x －c 恒成立，若对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )． ①若f (x )＝2x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得2x ＋c ＞2x －c ，即x ＋c ＞x －c ，所以c ＞0，恒成立． 所以①具有性质P .②若f (x )＝sin x ，由f (x ＋c )＞f (x －c )得sin(x ＋c )＞sin(x －c )，整理cos x sin c ＞0，所以不存在常数c ＞0，对∀x ∈R ，有f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以②不具有性质P .③若f (x )＝x 3－x ，则由f (x ＋c )＞f (x －c )得由(x ＋c )3－(x ＋c )＞(x －c )3－(x －c )，整理得6x 2＋c 2＞2，所以当只要c ＞2，则f (x ＋c )＞f (x －c )成立，所以③具有性质P ，所以具有性质P 的函数的序号是①③.答案 ①③第3讲 函数与方程及函数的应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则 A ．k ＜0B ．k ＝0C ．k ＞0D ．0≤k ＜1解析 函数f (x )有两个零点，即方程|x |＝k 有两个不等的实数根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |和y ＝k 的图象，如图所示，可知当k ＞0时，二者有两个交点，即f (x )有两个零点．答案 C2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表那么方程x 3＋x 2－2x A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5解析 根据所给表格与函数零点的存在性定理可知f (1.375)f (1.438)＜0，即函数f (x )的零点在区间(1.375，1.438)内，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为1.4.答案 C3．(2013·惠州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间为 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52 解析 因为f (x )为增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝27＋32－9＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝243＋52－9＞0.故选D. 答案 D4．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2， 由f (x )＝f (－x ＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称， 因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 答案 C5．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a (0＜a ＜2)有三个零点x 1、x 2、x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列结论正确的是A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．0＜x 2＜1D ．x 3＞2解析 因为f (－3)＝a －15＜0，f (－1)＝3＋a ＞0，f (0)＝a ＞0，f (1)＝a －3＜0，f (2)＝a ＞0，所以函数的三个零点分别在(－3，－1)，(0,1)，(1,2)之间，又因为x 1＜x 2＜x 3，所以－3＜x 1＜－1,0＜x 2＜1＜x 3＜2，选C.答案 C6．(2013·滨州一模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为A ．1－2aB ．2a －1C ．1－2－aD ．2－a －1解析 当0≤x ＜1时，f (x )≤0.当x ≥1时，函数f (x )＝1－|x －3|，关于x ＝3对称，当x ≤－1时，函数关于x ＝－3对称，由F (x )＝f (x )－a ＝0，得y ＝f (x )，y ＝a .所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1，所以f (－x )＝12log (－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1≤x ＜0.由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a,0＜a ＜1的所有零点之和为x ＝1－2a ，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析 方程12log (a －2x)＝2＋x 等价为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x＝a －2x ，即a ＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝2x ＋14×12x ≥22x ×14×12x ＝1，当且仅当2x ＝14×12x ，即2x ＝12，x ＝－1时取等号，所以a 的最小值为1. 答案 18．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，149．(2013·房山区一模)某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22， 0≤t ＜40，t ∈N ，－t 2＋52， 40≤t ≤100，t ∈N ，日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093，0≤t ≤100，t ∈N .则这种商品的日销售额的最大值为________．解析 由条件可知，当0≤t ＜40，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝10或t ＝11时，y max ＝808.5；当40≤t ≤100，t ∈N 时，这种商品的日销售额为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093，则当t ＝100时，y max ＝736. 答案 808.5三、解答题(每小题12分，共36分)10．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎨⎧t ＋20， 0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100， 25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40,0＜t ≤30，t ∈N ，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解析 由题意得y ＝pQ ＝⎩⎨⎧(－t ＋40)(t ＋20)， 0＜t ＜25，(－t ＋40)(－t ＋100)， 25≤t ≤30，所以当0＜t ＜25时，y max ＝f (10)＝900， 当25≤t ≤30时，y max ＝f (25)＝1 125， 综上所述，y max ＝f (25)＝1 125.所以这种商品的日销售金额的最大值为1 125元，是30天中的第25天．11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)，f (－2)＝f (0)＝0，f (x )的最小值为－1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝12[()]n f x --－1，若函数h (x )在其定义域上不存在零点，求实数n 的取值范围． 解析 (1)由题意设f (x )＝ax (x ＋2)， ∵f (x )的最小值为－1，∴a ＞0，且f (－1)＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)∵函数h (x )＝12[()]n f x --－1在定义域内不存在零点，必须且只须有n －f (x )＞0有解，且n －f (x )＝1无解．∴n ＞f min (x )，且n 不属于f (x )＋1的值域． 又∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )的最小值为－1，f (x )＋1的值域为[0，＋∞)， ∴n ＞－1，且n ＜0， ∴n 的取值范围为(－1,0)．12．祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作实验区和台湾农业创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯收入(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解析 (1)设从第n 年开始获取纯利润，则f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2·4＋72＝－2n 2＋40n －72＞0， 整理得n 2－20n ＋36＜0，解得：2＜n ＜18， ∴从第三年开始获取纯利润．(2)方案1 年平均利润为f (n )n ＝－2n 2＋40n －72n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤40－4 n ·36n ＝16，当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取等号， ∴总利润为y 1＝16×6＋48＝144(万元)．方案2 纯利润总和为f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， ∴n ＝10时，f (n )max ＝128，∴总利润为y 2＝128＋16＝144(万元)． 由于方案1用时较短，故方案1最合算．第4讲 不等式[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．下列不等式可以推出a ＜b 的是 A ．ac 2＜bc 2B.1a ＞1b C ．a 2＜b 2D.a c ＜b c解析 因为ac 2＜bc 2，所以c ≠0，即c 2＞0，故ac 2＜bc 2⇒a ＜b ，选A ；对于B ，当a ＝1，b ＝－1时，满足1a ＞1b ，但a ＞b ；对于C ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a 2＜b 2，但a ＞b ；对于D ，当c ＜0时，有a ＞b .答案 A2．若点(a ，a )和点(a ＋2，a )分别在直线x ＋y －3＝0的两侧，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 据题意知(a ＋a －3)(a ＋2＋a －3)＜0，即(2a －3)(2a －1)＜0，解得12＜a ＜32，故选D. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－1， x ≥0，x 2－1， x ＜0，则满足不等式f (3－x 2)＜f (2x )的x 的取值范围为A ．[－3,0)B ．(－3,0)C ．(－3,1)D ．(－3，－3)解析 由函数图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上是一条平行于x 轴的射线，则原不等式的解为⎩⎨⎧3－x 2＞2x ，2x ＜0，即x ∈(－3,0)，故选B.答案 B4．(2013·深圳模拟)已知a ＞0，c ＞0，设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a 的最小值为A ．3B.92C ．5D ．7解析 因为二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16－4ac ＝0，即ac ＝4，1ac ＝14，又1c ＋9a ＝2 1c ×9a ＝29ac ＝294＝3，当且仅当1c ＝9a ，ac ＝4，即c ＝23，a ＝6时等号成立．答案 A5．(2013·潍坊一模)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x y ≥12xx ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为A.14B.34C.56D.53解析 由z ＝x ＋12y 得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线y ＝－2x ＋2z ，由平移可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12xx ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝13，代入z ＝x ＋12y 得z ＝23＋12×13＝56，选C.答案 C6．(2013·枣庄一模)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0的区域BCO ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝－x ＋6解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝3，所以k ＝3，解得B (－6,3)代入z ＝x ＋y 的最小值为z ＝－6＋3＝－3，选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知不等式x 2＋mx ＋n ＜0的解集是{x |－1＜x ＜6}，则mx ＋n ＞0的解集是________．解析 据题意知x 2＋mx ＋n ＝0的两根为－1和6，由根与系数关系得m ＝－5，n ＝－6，则不等式mx ＋n ＞0为－5x －6＞0，其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－65 8．(2013·杭州一模)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________． 解析 由题意：2x ＋y －3＝0⇒2x 3＋y3＝1，x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23·2＋53＝3. 答案 39．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出不等式组对应的区域，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－x ＋z 与圆在第一象限相切时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．直线与圆的距离d ＝|z |2＝2，即z ＝±4，所以目标函数z ＝x ＋y 的最大值是4.答案 4三、解答题(每小题12分，共36分)10．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c ＞0.解析 (1)由题意知a ＞0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1；又1×b ＝2a ，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c ＞0， 即(x －2c )(x －2)＞0，当2c ＞2，即c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当2c ＝2，即c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}，当2c ＜2，即c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }， 综上：当c ＞1时不等式的解集为{x |x ＜2，或x ＞2c }， 当c ＝1时不等式的解集为{x |x ≠2}．当c ＜1时不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜2c }． 11．已知函数f (x )＝x 2＋12x ＋a ，a ∈R . (1)当a ＝－1516时，解不等式f (x )＜0；(2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n时，若对任意n ∈N ＋，当x ∈(－∞，λ]时不等式f (x )≥0恒成立，求实数λ的取值范围．解析 (1)把a ＝－1516代入f (x )＝x 2＋12x ＋a ＜0得x 2＋12x －1516＜0，即16x 2＋8x －15＜0，分解因式得(4x －3)(4x ＋5)＜0，解之得－54＜x ＜34，所以不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－54＜x ＜34. (2)当a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 时，由f (x )＝x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，即x 2＋12x ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max 恒成立，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，即x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]时恒成立．令y ＝x 2＋12x ，则y ＝x 2＋12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－116，二次函数图象的开口向上，且对称轴为x ＝－14， 令y ＝x 2＋12x ＝12， 解得x ＝－1，或x ＝12，结合二次函数y ＝x 2＋12x 的图象可知，要使当x ∈(－∞，λ]时不等式x 2＋12x ≥12恒成立，则λ≤－1.12．城建部门计划在浑南新区建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．(1)若设休闲区的长A 1B 1＝x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解析 (1)由A 1B 1＝x ，知B 1C 1＝4 000x ，S ＝(x ＋20)⎝ ⎛⎭⎪⎫4 000x ＋8＝4 160＋8x ＋80 000x (x ＞0)．(2)S ＝4 160＋8x ＋80 000x ≥4 160＋28x ·80 000x＝5 760， 当且仅当8x ＝80 000x ，即x ＝100时取等号．∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．第5讲 导数的简单应用[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·邯郸模拟)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x －3解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，若f ′(x )为偶函数，则a ＝0，所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3.所以f ′(0)＝－3.所以在原点处的切线方程为y ＝－3x ，选B.答案 B2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )的极小值是A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析 由导函数f ′(x )的图象知当x ＜0时，f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的极小值为f (0)＝c ，选D.答案 D3．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.29B.19C.13D.23解析 y ′＝f ′(x )＝x 2＋1，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43的切线斜率为k ＝f ′(1)＝2.所以切线方程为y －43＝2(x－1)，即y ＝2x －23，与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以三角形的面积为12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19，选B.答案 B4．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定 解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.答案 C5．若函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，则实数a 的范围是A ．a ＞－3B ．a ＜－3C ．a ＞－13D ．a ＜－13解析 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x ，所以y ′＝(a －1)e (a －1)x ＋4(a ＜1)，所以函数的零点为x 0＝1a －1ln 4－a ＋1. 因为函数y ＝e (a －1)x ＋4x (x ∈R )有大于零的极值点，故1a －1ln 4－a ＋1＞0，得到a ＜－3，选B. 答案 B6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．R 解析 令g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴g (x )在R 上单调递增．又∵g (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴g (x )＞0，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·临沂模拟)若曲线f (x )＝x ，g (x )＝x a 在点P (1,1)处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则a 的值为________．解析f′(x)＝12x，g′(x)＝ax a－1，所以在点P处的斜率分别为k1＝12，k2＝a.因为l1⊥l2，所以k1k2＝a2＝－1，所以a＝－2.答案－28．函数f(x)＝x(e x－1)－12x2的单调增区间为________．解析f′(x)＝e x－1＋x·e x－x＝(e x－1)(x＋1)，令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞0，所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案(－∞，－1)和(0，＋∞)9．若函数f(x)＝x－a x＋ln x(a为常数)在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝x－a x＋ln x在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝1－a2x＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x＋2x.而2x＋2x≥22x×2x＝4，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，∴a≤4.答案(－∞，4]三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·杭州一模)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x，(其中a＞0)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a＝4时，给出直线l1：5x＋2y＋m＝0和l2：3x－y＋n＝0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f(x)的图象的切线？若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．解析(1)当a＝1时，f′(x)＝2x－3＋1x＝(x－1)(2x－1)x，当0＜x＜12时，f′(x)＞0；当12＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取极小值－2.(2)当a ＝4时，f ′(x )＝2x ＋4x －6.∵x ＞0，∴f ′(x )＝2x ＋4x －6≥42－6，故l 1中，不存在函数图象的切线．由2x ＋4x －6＝3得x ＝12与x ＝4，当x ＝12时，求得n ＝－174－4ln 2，当x ＝4时，求得n ＝4ln 4－20.11．(2013·惠州模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切于点(1,0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )(其中g ′(x )是g (x )的导函数)，求函数h (x )的极大值．解析 (1)直线是函数f (x )＝ln x 在点(1,0)处的切线，故其斜率k ＝f ′(1)＝1，∴直线的方程为y ＝x －1.又因为直线与g (x )的图象相切，且切于点(1,0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1,0)的导函数值为1，∴⎩⎨⎧ g (1)＝0g ′(1)＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝16，∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16.(2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x ＞0)，∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－(2x －1)(x ＋1)x， 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍)，当0＜x ＜12时，h ′(x )＞0，h (x )递增；当x ＞12时，h ′(x )＜0，h (x )递减，因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值，∴[h (x )]极大＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋14.12．(2013·大兴区一模)已知函数f (x )＝x －a (x －1)2，x ∈(1，＋∞)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )在区间[2，＋∞)上是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝(x －1)(－x ＋2a －1)(x －1)4，x ∈(1，＋∞)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝1，或x 2＝2a －1.①当2a －1≤1，即a ≤1时，在(1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；②当2a －1＞1，即a ＞1时，在(1,2a －1)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，在(2a －1，＋∞)上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述：a ≤1时，f (x )的减区间为(1，＋∞)；a ＞1时，f (x )的增区间为(1,2a －1)，f (x )的减区间为(2a －1，＋∞)．(2)①当a ≤1时，由(1)f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；②当a ＞1时，若2a －1≤2，即a ≤32时，f (x )在[2，＋∞)上单调递减，不存在最小值；若2a －1＞2，即a ＞32时，f (x )在[2,2a －1)上单调递增，在(2a －1，＋∞)上单调递减，因为f (2a －1)＝a －1(2a －2)2＞0， 且当x ＞2a －1时，x －a ＞a －1＞0，所以x ≥2a －1时，f (x )＞0.又因为f (2)＝2－a ，所以当2－a ≤0，即a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；2－a ＞0，即32＜a ＜2时，f (x )没有最小值．综上所述：当a ≥2时，f (x )有最小值2－a ；当a ＜2时，f (x )没有最小值．第6讲 导数的综合应用和定积分[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2013·山师大附中模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，下列关系式成立的是 A ．a ＞b B ．a ＋b ＜1 C ．a ＜b D ．a ＋b ＝1解析 a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x |10＝sin 1， b ＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x ) |10＝1－cos 1， 所以a ＝sin 1＞sin π6＝12.又cos 1＞cos π3＝12，所以－cos 1＜－12，b ＝1－cos 1＜1－12＝12，所以a ＞b ，选A.答案 A2．(2013·惠州模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2解析 S ＝1×1＋⎠⎛121y d y ＝1＋ln y |21＝1＋ln 2.故选D. 答案 D3．(2013·宿州模拟)方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是A ．3B ．2C ．1D ．0解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1个，选C.答案 C4．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝x n＋x －1(n ∈N ＋，n ≥2)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内 A ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递增B ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …单调递减C ．存在唯一的零点x n ，且数列x 2，x 3，…，x n …非单调数列D ．不存在零点解析 f ′(x )＝nx n －1＋1，因为n ≥2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f ′(x )＞0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． f (1)＝1＋1－1＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12.因为n ≥2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＜0， 所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上只有一个零点，选A. 答案 A5．(2013·诸城市高三月考)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有 A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 解析 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数递减．当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数递增，即当x ＝1，函数取得极小值同时也是最小值f (1)，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，即f (0)＋f (2)＞2f (1)，选A.答案 A6．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为A ．－2＜m ＜2B ．－2≤m ≤2C ．m ＜－2或m ＞2D ．m ≤－2或m ≥2 解析 y ′＝3(1－x )(1＋x )，由y ′＝0得x ＝±1，∴y 极大＝2，y 极小＝－2，∴－2＜m ＜2.答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值为________．解析 S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2x －13x 3 |t 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x |1t ＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)． S ′＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12，S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数， 则S 最小＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝43×18－14＋13＝14. 答案 148．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为________． 解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x ，令1－2sin x ＝0，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，x ＝π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )≥0，f (x )是单调增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 答案 π69．(2013·盘锦模拟)若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析 由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f 极大值(－1)＝2＋a ，f 极小值(1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f 极大值(－1)＝2＋a ＞0，f 极小值(1)＝a －2＜0，即－2＜a ＜2，所以实数a 的取值范围是(－2,2)．答案 (－2,2)三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2013·开封模拟)设函数f (x )＝2ln(x －1)－(x －1)2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2－3x －a ＝0在区间[2,4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．解析 (1)f (x )的定义域为(1，＋∞)．f′(x)＝2x－1－2(x－1)＝2x(2－x)x－1.由f′(x)＞0得1＜x＜2，∴f(x)的单调递增区间为(1,2)．(2)∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1)2，∴f(x)＋x2－3x－a＝0⇔x＋a＋1－2ln(x－1)＝0. 即a＝2ln(x－1)－x－1，令h(x)＝2ln(x－1)－x－1.∵h′(x)＝2x－1－1＝3－xx－1，且x＞1，由h′(x)＞0得1＜x＜3，h′(x)＜0得x＞3.∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．∵h(2)＝－3，h(3)＝2ln 2－4，h(4)＝2ln 3－5.又h(2)＜h(4)，故f(x)＋x2－3x－a＝0在区间[2,4]内恰有两个相异实根⇔h(4)≤a＜h(3)．即2ln 3－5≤a＜2ln 2－4.综上所述，a的取值范围是[2ln 3－5,2ln 2－4)．11．(2013·雅安模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.解析(1)f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝x ln x＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于ln x－x≤a.令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，所以x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1.即ln x－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝x ln x＋(ln x－x＋1)≤0.当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x ＋1≥0. 所以(x －1)f (x )≥0.12．(2013·合肥模拟)已知函数f 1(x )＝12x 2，f 2(x )＝a ln x (其中a ＞0)．(1)求函数f (x )＝f 1(x )·f 2(x )的极值；(2)若函数g (x )＝f 1(x )－f 2(x )＋(a －1)x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点，求正实数a 的取值范围； (3)求证：当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.(说明：e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28...)解析 (1)f (x )＝f 1(x )·f 2(x )＝12ax 2·ln x ，∴f ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝12ax (2ln x ＋1)(x ＞0，a ＞0)，由f ′(x )＞0，得x ＞e －12，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e －12上单调递减，在(e －12，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )的极小值为f (e －12)＝－a 4e ，无极大值．(2)函数g (x )＝12x 2－a ln x ＋(a －1)x ，则g ′(x )＝x －a x ＋(a －1)＝x 2＋(a －1)x －a x ＝(x ＋a )(x －1)x， 令g ′(x )＝0.∵a ＞0，解得x ＝1，或x ＝－a (舍去)， 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在(0,1)上单调递减； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增．函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内有两个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞0，g (1)＜0，g (e )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12e 2＋a －1e ＋a ＞0，12＋a －1＜0，e 22＋(a －1)e －a ＞0，- 31 - ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞2e －12e 2＋2e ，a ＜12，a ＞2e －e 22e －2，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －12e 2＋2e ，12.(3)证明 问题等价于x 2ln x ＞x 2e x －34.由(1)知f (x )＝x 2ln x 的最小值为－12e .设h (x )＝x 2e x －34，由h ′(x )＝－x (x －2)e x 得h (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． ∴h (x )max ＝h (2)＝4e 2－34. ∵－12e －⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2－34＝34－12e －4e 2＝3e 2－2e －164e 2 ＝(3e －8)(e ＋2)4e 2＞0，∴f (x )min ＞h (x )max ，∴x 2ln x ＞x 2e x －34， 故当x ＞0时，ln x ＋34x 2－1e x ＞0.。

完整版)集合与常用逻辑用语测试题及详解本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.（文）（2011·巢湖市质检）设U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则下列结论中正确的是（）。

A。

A⊆BB。

A∩B={2}C。

A∪B={1,2,3,4,5}D。

A∩(∁U B)={1}答案：C解析：由集合的定义可知，XXX表示A是B的子集，即A中的每个元素都在B中出现。

显然，A不是B的子集，排除A选项。

XXX表示A和B的交集，即A和B中都出现的元素构成的集合。

根据A和B的定义可知，它们的交集为{2,3}，因此排除B选项。

A∪B表示A和B的并集，即A和B中所有元素构成的集合。

根据A和B的定义可知，它们的并集为{1,2,3,4,5}，因此选C。

A∩(∁U B)表示A和B的补集的交集，即除去B中所有元素后，A中剩余的元素构成的集合。

根据A和B的定义可知，它们的补集分别为{4,5}和{1}，因此A∩(∁U B)={1}，排除D选项。

2.（2011·安徽百校联考）已知集合M={-1,0,1}，N={x|x=ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是（）。

A。

M=NB。

MNC。

NMD。

M∩N=∅答案：C解析：根据集合N的定义可知，N中的元素是由M中的元素相乘得到的，其中a≠b。

因此，当a=-1时，b为0或1，x 为-1或0；当a=0时，x为0；当a=1时，b为-1或0，x为-1或0.综上所述，N={-1,0}，因此M和N的关系是NM。

3.（2011·福州期末）已知p：|x|<2；q：x^2-x-2<0，则綈p是綈q的（）。

A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

滚动过关检测六 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·湖南师大附中月考]已知全集U ＝{x ∈N *|1≤x ≤6}，集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{3,4,5}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1,6}B ．{2,6}C ．{1,2}D ．{1,2,6}2．[2022·湖北武汉模拟]若复数z 满足i ＋z z＝i ＋2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．[2022·山东济宁模拟]“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2022·广东中山模拟]数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 4＋a 6＝10，则S 9＝( )A ．40B ．42C ．43D ．455．[2022·河北石家庄模拟]函数f (x )＝cos (π·x )e x －e－x 的图象大致为( )6．[2022·福建福州模拟]将曲线C 1：y ＝2sin x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的曲线C 2，把C 2向左平移π6个单位长度，得到曲线C 3：y ＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为4πB ．x ＝π12是f (x )的一条对称轴C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π6上的最大值为3 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π6上单调递增 7．[2022·山东师范大学附中月考]已知定义在R 上的函数f (x )＝3|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a8．[2022·辽宁抚顺二中月考]已知四棱锥P ­ABCD ，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC ＝23，CD ＝PC ＝PD ＝26，若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的是( )A ．BM ⊥平面PCDB ．P A ∥平面MBDC ．四棱锥P ­ABCD 外接球的表面积为44πD ．四棱锥M ­ABCD 的体积为6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·江苏如皋模拟]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)，下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的初相位为π3B ．若函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2C ．若ω＝1，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则ω的最小值为1 10．[2022·广东蛇口育才中学月考]已知函数f (x )＝11＋2x，则( ) A ．f (log 23)＝14B ．f (x )是R 上的减函数C ．f (x )的值域为(－∞，1)D ．不等式f (1＋2x )＋f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13 11．[2022·重庆八中月考]等比数列{a n }的公比为q ，且满足a 1>1，a 1010a 1011>1，(a 1010－1)(a 1011－1)<0.记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则下列结论正确的是( )A ．0<q <1B ．a 1010a 1012－1>0C ．T n <T 1011D ．使T n <1成立的最小自然数n 等于202112．[2022·河北唐山模拟]如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，F A 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则( )A ．AP ⊥EFB ．点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心C ．二面角A ­EF ­P 的余弦值为13D ．若四面体P ­AEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·广东顺德一中月考]已知向量a ＝(1,3)，向量b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________.14．[2022·清华附中月考]若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45，则sin α＝________. 15．[2022·山东潍坊模拟]圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3，则该圆台的体积为________．16．[2022·福建厦门模拟]已知a ，b 为正实数，直线y ＝2x －a 与曲线y ＝ln(2x ＋b )相切，则a 与b 满足的关系式为________.2a ＋3b的最小值为________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(b －c )2＝a 2－bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，sin C ＝2sin B ，求△ABC 的面积．18．(12分)如图所示，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，B 1C ＝3.(1)证明：BC ⊥A 1C ；(2)若A 1C ＝2，求三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积．19．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足nS n ＋1－(n ＋1)S n －32n 2－32n ＝0.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n ·a n ，求{b n }的前n 项和T n .20．(12分)[2022·辽宁沈阳模拟]如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的上底面内有一点E ，点F 为线段AA 1的中点．(1)经过点E 在上底面画一条直线l 与CE 垂直，并说明画出这条线的理由；(2)若A 1E →＝2EC 1→，求CE 与平面FB 1D 1所成角的正切值．21．(12分)[2022·山东淄博模拟]在图1所示的平面图形ABCD 中，△ABD 是边长为4的等边三角形，BD 是∠ADC 的平分线，且BD ⊥BC ，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将△ABM 折起得到四棱锥A ­BCDM (如图2)．(1)设平面ABC 和ADM 的交线为l ，在四棱锥A ­BCDM 的棱AC 上求一点N ，使直线BN ∥l ；(2)若二面角A ­BM ­D 的大小为60°，求平面ABD 和ACD 所成锐二面角的余弦值．22．(12分)[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点．①12<a≤e22，b>2a；②0<a<12，b≤2a.。