安徽省安庆一中2014届高三高考热身考试数学(理)试题 Word版含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式:如果事件A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位,z表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则zi+i·z=().A.-2B.-2iC.2D.2i2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().A.34B.55C.78D.894.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是{x=t+1,y=t-3(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为().A.√14B.2√14C.√2D.2√25. x , y满足约束条件{x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0.若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a的值为().A.12或-1 B.2或12C.2或1D.2或-16.设函数f (x)(x∈R)满足f(x+π)=f (x)+sin x.当0≤x<π时,f (x)=0,则f (23π6)=().12A .12B .√32C .0D . - 127.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( ).A .21+√3B .18+√3C .21D .188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( ).A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数f (x )=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( ).A.5或8B.-1或5C.-1或 - 4D.- 4或810.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a ,b ,|a |=|b |=1,a ·b =0,点Q 满足OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2(a +b ).曲线C={P|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a cos θ+b sin θ,0≤θ<2π},区域Ω={P|0<r ≤|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤R ,r<R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线,则( ).A .1<r<R<3B .1< r <3≤ RC .r ≤ 1<R<3D .1<r<3<R第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若将函数f (x )=sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于y 轴对称,则 φ 的最小正值是 .12.数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= .13.设a ≠0,n 是大于1的自然数,(1+x a )n的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n .若点A i (i ,a i ) (i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .14.设F1,F2分别是椭圆E:x2+y 2b=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.15.已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值；②若a⊥b则S min与|a|无关；③若a∥b,则S min与|b|无关；④若|b|>4|a|,则S min>0；⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为π4.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a值;(2)求sin(A+π4)的值.17.(本小题满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).18.(本小题满分12分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.3。

安庆一中2014年高考热身考试安庆一中2014年高考热身考试阜阳城郊李卫全安庆一中2014年高考热身考试语文试题本试卷分第卷（阅读题）和第卷（表达题）两部分。

全卷满分150分，考试时间150分钟。

第卷（阅读题共66分）一、（9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

同所有的人类梦想一样，中国梦固然包含着中国人期望实现且尚未实现的愿望和目标。

但这些愿望和目标又不能简化为简单、具体的物化和量化指标。

无论从社会发展、人的发展还是从文化发展的纬度看，我们所憧憬、追求的中国梦，事实上是我们所期望的一种生存状态、一种生存方式、一种生存境界，是我们为世界、为未来所提供的新的生存方式选项。

中国梦的真正魅力，在于中国发展模式的成功，在于这种发展模式所展现的独特生存方式，在于这种发展模式、生存方式所蕴含的中国人的精神追求，即中国精神。

这应当成为中国梦的精髓。

中国精神无疑应当包括民族精神和时代精神两大元素，但不是二者的简单相加，应当是民族精神与时代精神的有机融合和集中体现，是民族精神的时代化和时代精神的民族化，是当代中国人精神世界的灵魂。

中国精神来自中国奇迹和中国经验。

随着中国经济社会的快速发展和显著进步，人们对中国奇迹、中国模式、中国道路的关注也越来越深入。

毫无疑问，中国经济连续30多年高速增长，经济总量快速跃升为世界第二，中国制造遍布全球，中国奇迹已是客观事实。

但人们更关注的是创造这一奇迹的奥秘何在？贯穿在中国经验中的精髓是什么？对中国奇迹的奥秘、中国经验精髓的探究，最终必然导致对中国精神的探讨。

因此，中国精神是对中国奇迹奥秘的深刻揭示，是对中国经验精髓的高度概括。

中国奇迹和中国经验正是中国精神的最外在表现。

中国精神的核心是中国理念与中国价值。

中国精神可以包括很多、很丰富的内容，也可以有多样化的表现形式。

但其基本内核则是中国理念和中国价值。

这样的中国理念和中国价值，是中国奇迹和中国经验在世界观、价值观层面的集中体现，是中华文化精神、中华民族核心价值在当代的集中体现，是当代13亿中国人共同理想和共同价值的集中体现。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i·z = （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r <R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

2014届安徽省示范高中高三第一次联考 理科数学一、选择题（50分）（1）已知函数21,1()2,1xx x f x ax x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若f （f （1））＝4a ，则实数a 等于A 、12B 、43 C 、2 D 、4（2）在平面直角坐标系中，A1），N 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是A 、4B 、3C 、2D 、1 （3）集合则集合S 的个数为A 、0B 、2C 、4D 、8（4）我们把形如“1324”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为A 、12B 、512C 、13D 、14（5）函数f(x)=|tanx|,则函数y ＝f （x ）＋log4x －1与x 轴的交点个数是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （6）若，且，则（7）已知数列{n a }的前n 项和Sn ＝n2－n ，正项等比数列{n b }中，则A 、n －1B 、2n －1C 、n －2D 、n（8）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x2＋y2＝－2y ＋3，直线l 经过点（1,0）且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为 A 、1 BC 、2D 、（9）给出下列五个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容易为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本另一位同学的编号为23； ②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；③一组数据a 、0、1、2、3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量 的统计数据所得的回归直线方程为y=ax+b 中，b=2,,则a ＝1；⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克，并且小于104克的产品的个数是90。

2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）代入+i•∴∴==取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被的参数方程是=＜=2，5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 或﹣16．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）（（）+sin）+sin+sin）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==8+=21+．=66解：，﹣﹣﹣∴﹣≥，+1＞﹣，+1或﹣时，﹣10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）不妨令=），=||中．已知向量、，||=||=1•=0不妨令=），=则（+，=cos+|||二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．﹣轴对称可得，）的图象向右平移﹣，﹣﹣，故答案为：．的等比数列列式求出公差，则由得：整理得：q=13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，）的展开式的通项为）的展开式的通项为，，14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．（﹣，﹣bc，﹣代入椭圆方程可得==++15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．++++•+++=+•++•+=﹣•≥+2|||≥个个S=2+3S=+2•+2S=4•++++，=•+•+，=+•++•++2•+﹣2||≥⊥，则=||∥，则=4•，与||||4||=4|||4||||+＞﹣=0||=2||=8|=与的夹角为．区域．16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．A+）的值．a=6a=2cosB=sinB=sinA=sin2B=，A+）则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；，，（+（+×（=，，=，，×+3×+4×+5×=．18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x﹣x，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；＜＜）和（在（19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y=2p1x（p1＞0）和E2：y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的联立，解得联立，解得联立，解得联立，解得因此11111且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；，则，== ahd====，ahdahd所分成上、下两部分的体积之比=1，．21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．=a+a a，写成相加，上式左边当且仅当，即a a，即＞a a c成立，即从数列。

2014年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 解析：i z -=1，i i i i i z z --=--=-+-+=-1121)1(2)1(222，选A.2. 解析：}1{<∈=x R x B ,则A B =I }1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D.3. 解析：由86543=+-+a a a a 得853=+a a ，所以871=+a a ，282)(7717=+⨯=a a S ，选C.4. 解析：设图中甲、乙丢失的数据分别为b a ,，则16805a x +=+，26805y =+，∵0 9a ≤≤，∴1625808055a x y +=++<≤,选B. 5. 解析：多面体ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其 体积38344=-=V ，选D. 6. 解析：直线的方程为2=x ，圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=，圆心到直线的距离为1，故圆C 上有2个点到l 距离为1，选B.7. 解析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，1PF m =，2PF n =，且不妨设m n >，由 12m n a +=，22m n a -=得12m a a =+，12n a a =-.又123F PF π∠=，∴222221243c m n mn a a =+-=+，∴22122234a a c c+=234(2e =，解得e = C. 8. 解析：设i i i a a b -=+1，1,2,3,4i =，则i b 等于1或-1，由554433221()()()()a a a a a a a a a =-+-+-+-1234b b b b +++=，知i b )4,3,2,1(=i 共有3个1，1个-1.这种组合共有414=C 个，选B.9. 解析：由已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≤+-≥+-00013012b a b a b a ，作出可行域，令()221b a d +-=，则d 的最小值为点)0,1(到直线013=+-b a 的距离，此时510min=d ， 所以()221b a +-的最小值为52，选B. 10. 解析：令()ln (12)f x x x x =-<<，则11()10x f x x x-'=-=>， 所以函数()(12)y f x x =<<为增函数，∴()(1)10f x f >=>，∴ln 0x x >>⇒ln 01xx<<，∴2ln ln x x x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.又2222ln ln 2ln ln (2)ln 0x x x x x x x x x x x ---==>， ∴222ln ln ln x x xx x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，选A . 二、填空题 (本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上) 11. 解析：∵ 52))(1(a x x x -++的展开式所有项的系数和为0)1)(111(52=-++a ， ∴ 1a =，∴52))(1(a x x x -++4434352)1()1()1)(1()1)(1(---=--=-++=x x x x x x x x ，其展开式中含4x 项的系数为3344C (1)C (1)5---=-.12. 解析：由C A B sin cos 8sin =及正、余弦定理知：bc a c b c b 28222-+⨯=，整理得22243c b a +=，由b c a 322=-联立解得：4=b .13. 解析：当输出的6=n 时，512263S =+++=L ，设输入的T值为0T ,003(125)45T T T =-+++=-L , 且T S ≥,解得0108T ≤.T 最大值为108.14. 解析：函数()f x 有三个零点等价于方程12m x x =+有且仅有三个实根. ∵11(2)2m x x x x m=⇔=++，作函数(2)y xx =+的图像，如图所示，由图第9题图像可知m 应满足：101m<<，故1m >. 15. αcos 2221mn n m e m ++=+=，∵2πα≠，所以②错误；由//得()b a R λλ=∈r r,所以,s m t n λλ==，所以0=-ns mt ，故③正确；∵1212()()()cos a b me ne se te ms nt mt ns ms nt α⋅=+⋅+=+++≠+r r u r u r u r u r，所以④错误；根据夹角公式><=⋅,，又a b ==r r ，1245a b e e ⋅=+⋅r ru r u r得121245(54)cos 3e e e e π+⋅=+⋅u r u r u r u r ，故1212e e ⋅=-u r u r ，即1cos 2α=- 23πα∴=，⑤正确所以正确的是①、③、⑤.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）解析：（Ⅰ）x f ⋅=)()4cos()4cos(3)4(sin 2πππ-+-+=x x x21)32sin(2cos 23)2sin 1(21+-=-+=πx x x …………4分 由于0)32sin(=-πx 得：Z k k x ∈=-,32ππ，所以Z k k x ∈+=,621ππ. 所以)(x f 的图像的对称中心坐标为Z k k ∈+),21,621(ππ …………6分 （Ⅱ）)(x g =)32sin(π+x ，列表：描点、连线得函数()y g x =在5[,]66ππ-上的图象如图所示：17．（本题满分12分）解答：设“教师甲在A 点投中”的事件为A ，“教师甲在B 点投中”的事件为B . （Ⅰ）根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,761)311()211()()0(2=-⨯-=⋅⋅==A B A P X P ，31)211()311(21)()2(12=-⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅== C A B A A B A P X P 121)211(31)211()()3(=-⨯⨯-=⋅⋅==A B A P X P6121)311(21)()4(=⨯-⨯=⋅⋅==A B A P X P6131)211(21)()5(12=⨯-⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅==C A B A A B A P X P121213121)()7(=⨯⨯=⋅⋅==A B A P X P …………6分所以X 的分布列是：312176156141213312610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………8分（Ⅱ）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形. 这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P 为：1111111111111111()()()(1)361263663126631261212P =⨯+⨯++⨯+++⨯++++⨯-…………12分571914448== …………12分 18.（本题满分12分）解析：（Ⅰ） 22211)(x ax x x x a x f -+=+-='，),0(+∞∈x由a 41+=∆知， ①当41-≤a 时，0)(≥'x f ，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值； ②当041≤<-a 时，02=-+a x x 的两根均非正，因此，)(x f 在),0(+∞上递增，无最值； ③当0>a 时，02=-+a x x 有一正根2411a x ++-=，)(x f 在)2411,0(a++-上递减，在),2411(+∞++-a上递增；此时，)(x f 有最小值；所以，实数a 的范围为0>a . …………7分 （Ⅱ）证明：依题意：1)11(111121222121=+⇒+-=+-x x a x x a x x a ， 由于0,021>>x x ，且21x x ≠，则有22121212121)2()(22x x x x x x x x x x a +<⋅≤+⇒≥+⋅=22121)2()(2x x x x +<+∴821>+⇒x x . …………12分19.（本题满分13分）解答：（Ⅰ）∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊆平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，∴EA ⊥平面EBC ,∴EA EC ⊥. ……6分(Ⅱ) 如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=，∴3BOE π∠=，∴1,,0)2E a ，由题设可知(0,,)C a a ，(0,,)D a a -，∴3,,)2DE a a =-uuu r，1,,)2CE a a =--uur .设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =u r ，由0DE p ⋅=uuu r u r ，0CE p ⋅=uur u r得002z x =，00y =，取02x =，得0z =∴p =u r .又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =r，∴cos ,7p q <>=u r r .平面DCE 与平面AEB所成的锐二面角的余弦值7. …………13分 （其他解法可参考给分）20.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）根据已知条件有0tan >α，且ααtan 1tan 2>+，故椭圆E 的长轴在y 轴上.2e ==≥=，当且仅当4πα=时取等号. 由于椭圆E 的离心率e 最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ）设交点P ),(00y x ，过交点P 的直线l 与椭圆2212y x +=相切. (1)当斜率不存在或等于零时，易得P 点的坐标为P (1,±. …………6分 (2)当斜率存在且非零时，则01x ≠±设斜率为k ，则直线l ：00)(y x x k y +-=， 与椭圆方程联立消y ，得：2220000(2)2()()20k x k y kx x y kx ++-+--=. 由相切，2220000[2()]4(2)[()2]0k y kx k kx y ∆=--+--=， 化简整理得2220000(1)220x k x y k y -++-=. ①因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故121-=k k ，而21,k k 为方程①的第19题图两根， 故2020211y x -=--，整理得：22003x y +=.又(1,±也满足上式，故P 点的轨迹方程为223x y +=，即P 点在定圆223x y +=上. ………13分21.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）若2-=λ，则nn n a a a 221-=+， 由21122000n n n n n n n na a a a a a a a ++->⇔->⇔->⇔>， 得2>n a 或02<<-n a ，所以只需21>a 或021<<-a .所以实数a的取值范围为(∪)+∞. …………6分 (Ⅱ) 2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件为4-≥λ.必要性：由22≥a ，解出4-≥λ； （另解：假设221≥+=+n n n a a a λ，得n n a a 222+-≥λ，令21)21(2)(2+--=n a n f ， 2≥n a ，可得：4)(m ax -=n f ，即有4-≥λ.） …………8分充分性：数学归纳法证明：4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立. 证明：（1）显然1=n 时，结论成立；（2）假设)1(≥=k k n 时结论成立，即2≥k a ，当1+=k n 时，k k k a a a λ+=+21. 考察函数x x x f λ+=2)(，),2[+∞∈x ，① 若 04≤≤-λ，由02)('2>-=x x f λ，知)(x f 在区间),2[+∞上单调递增.由假设得k k k a a a λ+=+2124λ+≥2≥.② 若0>λ，对),2[+∞∈x 总有242)(>>+=x x x f λ， 则由假设得221>+=+k k k a a a λ.所以，1+=k n 时，结论成立， 综上可知：当4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立. 故2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件是4-≥λ. …………13分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1i z =+，则i izz +=（ ）（A ）2- （B ）2i - （C ）2 （D ）2i 【答案】C【解析】1ii i (1i)(i 1)(i 1)2i iz z ++⋅=+⋅-=--++=，故选C ．（2）【2014年安徽，理2，5分】“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要而不充分条件，故选B ．（3）【2014年安徽，理3，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）34（B ）55 （C ）78 （D ）89【答案】B 【解析】x 1 1 2 3 5 8 13 21 y 1 2 3 5 8 13 21 34z2 3 5 8 13 21 34 55 （4）【2014年安徽，理4，5分】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） （A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22 【答案】D【解析】将直线l 方程化为一般式为：40x y --=，圆C 的标准方程为：22(2)4x y -+=，圆C 到直线l 的距离为：22d ==，∴弦长22222L R d =-=，故选D ．（5）【2014年安徽，理5，5分】,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）（A ）12或1- （B ）2或12（C ）2或1 （D ）2或1-【答案】D 【解析】画出约束条件表示的平面区域如右图，z y ax =-取得最大值表示直线z y ax =-向上平移移动最大，a 表示直线斜率，有两种情况：1a =-或2a =，故选D ．（6）【2014年安徽，理6，5分】设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+．当0x π≤<时，()0f x =，则236f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）（A ）12 （B ）3 （C ）0 （D ）12- 【答案】A【解析】2317171111175511171111()()sin ()sin sin ()sin sin sin 066666666662222f f f f ππππππππππ=+=++=+++=+-+=，故选A ．（7）【2014年安徽，理7，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）（A ）213+ （B ）183+ （C ）21 （D ）18 【答案】A【解析】如右图，将边长为2的正方体截去两个角，∴213226112(2)2132S =⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=+表，故选A ． （8）【2014年安徽，理8，5分】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有（ ）（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对 【答案】C【解析】与正方体一条对角线成060的对角线有4条，∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有41248⨯=（对），故选C ．（9）【2014年安徽，理9，5分】若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ） （A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 【答案】D【解析】（1）当2a <时，12a-<-，此时31,11,1()2312x a x a x a x f x ax a x ---<-⎧⎪⎪--+-≤≤-=⎨⎪⎪++>-⎩；（2）当2a >时，12a->-，此时31,2()1,12311a x a x f x a x a x x a x ⎧---<-⎪⎪=⎨+--≤≤-⎪⎪++>-⎩，在两种情况下，min ()()|1|322a af x f =-=-+=，解得4a =-或8a =，（此题也可以由绝对值的几何意义得min ()|1|32af x =-+=，从而得4a =-或8a =），故选D ．（10）【2014年安徽，理10，5分】在平面直角坐标系xOy 中，向量,a b 满足||||1a b ==，0a b ⋅=．点Q 满足()2OQ a b =+，曲线{}|cos sin ,0C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{}|0||,P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω为两段分离的曲线，则（ ）（A ）13r R <<< （B ）13r R <<≤ （C ）13r R ≤<< （D ）13r R <<< 【答案】A【解析】设(1,0),(0,1)a b ==则(cos ,sin )OP θθ=，(2,2)OQ =，所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如右图），∵||2OQ =，∴13r R <<<，故选A ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是 ．【答案】38π 【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+-，∴2,()42k k Z ππϕπ-=+∈，∴,()82k k Z ππϕ=--∈，当1k =-时min 38πϕ=．（12）【2014年安徽，理12，5分】已知数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = ． 【答案】1q =【解析】∵{}n a 是等差数列且1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，∴2111(1)(45)(23)a a d a d +++=++，即2111(1)[(1)4(1)[(1)2(1)]a a d a d ++++=+++， 令11,1a x d y +=+=，则有2(4)(2)x x y x y +=+，展开的0y =，即10d +=，∴1q =．（13）【2014年安徽，理13，5分】设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012n n a a x a x a x ++++．若点()(),0,1,2i i A i a i =的位置如图所示，则a = ． 【答案】3a =【解析】由图易知0121,3,4a a a ===，∴122113,()4n n C C a a ⋅=⋅=，∴23(1)42na n n a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =． （14）【2014年安徽，理14，5分】设1F ，2F 分别是椭圆()222:101y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若11||3||AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 ．【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b --，将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b --+=，又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆方程为22312x y +=．（15）【2014年安徽，理15，5分】已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，则min S 与a 无关；③若//a b ，则min S 与||b 无关；④若||4||b a >，则min 0S >；⑤若||4||b a =，2min 8||S a =，则a 和b 的夹角为4π． 【答案】②④【解析】S 有下列三种情况：222222222123,,S a a b b b S a a b a b b b S a b a b a b a b b =++++=+⋅+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+∵222212232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥，∴min 3S S =， 若a b ⊥，则2min 3S S b ==，与||a 无关，②正确； 若//a b ，则2min 34S S a b b ==⋅+，与||b 有关，③错误；若||4||b a >，则2222min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=，④正确；若2min ||2||,8||b a S a ==，则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴1cos 2θ=，∴3πθ=，⑤错误．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2014年安徽，理16，12分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：（1）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，∵3,1b c ==，∴212,a a ==（2）由余弦定理得22291121cos 2b c a A bc +-+-===-，由于0A π<<，∴sin A故1sin()sin coscos sin()4443A A A πππ+=+=-=（17）【2014年安徽，理17，12分】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局乙获胜”，则21(),(),1,2,3,4,533k k P A P B k ===．（1）121231234121231234()()()()()()()()()()(()()P A P A A P B A A P A B A A P A P A P B P A P A P A P B A P A =++=++2212221225633333333381=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=． （2）X 的可能取值为2,3,4,5，121212125(2)()()()()()()9P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=，1231231231232(3)()()()()()()()()9P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=，123412341234123410(4)()()()()()()()()()()81P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==， 故X∴5234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）【2014年安徽，理18，12分】设函数()()()23110f x a x x x a =++-->．（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值． 解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =得1212x x x x ==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时，'()0f x <；当12x x x <<时'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增． （2）∵0a >，∴120,0x x <>，（ⅰ）当4a ≥时21x ≥，由（1）知()f x 在[0,1]上单调递增，∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值．（ⅱ）当40a >>时，21x <，由（1）知()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减， ∴()f x 在2143ax x -++==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，∴当10a >>时()f x 在1x =处取得最小值，当1a =时()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值，当41a >>时，()f x 在0x =取得最小值．（19）【2014年安徽，理19，13分】如图，已知两条抛物线()2111:20E y p x p =>和()2122:20E y p x p =>，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A ，2A 两点，2l 与1E ，2E 分别交于1B ，2B 两点． （1）证明：1122//A B A B ；（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与1E ，2E 分别交于1C ，2C 两点．记111A B C ∆与222A B C ∆的面积分别为1S 与2S ，求12SS 的值．解：（1）设直线12,l l 的方程分别为1212,,(,0)y k x y k x k k ==≠，则由1212y k x y p x =⎧⎨=⎩得11121122(,)p pA k k ；由1222y k x y p x=⎧⎨=⎩得22221122(,)p p A k k ，同理可得11122222(,)p p B k k ，22222222(,)p p B k k ，所以111111122222121212122221111(,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--， 222222222222121212122221111(,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--，故111222p A B A B p =，所以1122A B A B //．（2）由（1）知1122A B A B //，同理可得1122B C B C //，1122AC A C //，所以111222A B C A B C ∆∆∽，因此2111222S ||()||A B S A B =， 又由（1）中的111222p A B A B p =知111222||||A B p p A B =，故211222S p S p =． （20）【2014年安徽，理20，13分】如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，且2AD BC =．过1A ，C ，D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为M ．（1）证明：M 为1BB 的中点；（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（3）若14A A =，2CD =，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角大小． 解：（1）∵1//BQ AA ，//BC AD ，BCBQ B =，1ADAA A =，∴平面//QBC 平面1A AD ，从而平面1A CD 与这两个平面的交线相互平行，即1QC A D //，故QBC ∆与1A AD ∆的对应边相互平行，于是1A QBC AD ∆∆∽，∴11BQ BQ 1BB 2BC AA AD ===，即Q 为1BB 的中点． （2）如图，连接QA ，QD ．设1AA h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC a =，则2AD a =．11112323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=，1211()3224Q ABCD a a V d h ahd -+=⋅⋅⋅=，∴1712Q A AD Q ABCD V V V ahd --=+=下，又111132A B C D ABCD V ahd -=，∴1111371121212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd -=-=-=下上，故117V V =上下．MD 1C 1B 1A 1A（3）解法一：如图，在ADC ∆中，作AE DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，又1DE AA ⊥，且1AEAA A =，∴1DE AEA ⊥平面，∴1DE A E ⊥，∴1AEA ∠为平面α和平面ABCD 所成二面角的平面角．∵ //AD BC ，2AD BC =， ∴2ADC ABC S S ∆∆=，又∵梯形ABCD 的面积为6，2DC =，∴4ADC S ∆=，4AE =，于是11tan 1AA AEA AE ∠==，14AEA π∠=，故平面α和底面ABCD 所成二面角的大小为4π．解法二：如图，以D 为原点，DA ，1DD 分别为x 轴和z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设CDA θ∠=，因为22sin 62ABCD a a V θ+=⋅=，所以2sin a θ=，从而(2cos ,2sin ,0)C θθ，14(,0,4)sin A θ，设平面1A DC 的法向量为(,,1)n x y =，由1440sin 2cos 2sin 0DA n x DC n x y θθθ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 得sin ,cos x y θθ=-=，所以(sin ,cos ,1)n θθ=-，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 所以2cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅α和底面ABCD 所成二面角的大小为4π． （21）【2014年安徽，理21，13分】设实数0c >，整数1p >，*n N ∈．（1）证明：当1x >-且0x ≠时，()11px px +>+； （2）数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+，证明：11p n n a a c +>>． 解：（1）用数学归纳法证明①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立．②假设(2,*)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立，当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++ 所以1p k =+时，原不等式成立．综合①、②可得当1x >-且0x ≠时，对一切整数1p >，不等式()11px px +>+均成立． （2）解法一：先用数学归纳法证明1p n a c >．①当1n =时由假设11pa c >知1pn a c >成立．②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式1pk a c >成立，由111pn n n p c a a a p p-+-=+，易知0,*n a n N >∈， 当1n k =+时，1111(1)p k k p k k a p c c a a p p p a -+-=+=+-，由10p k a c >>得111(1)0p kcp p a -<-<-< 由（1）中的结论得111()[1(1)]1(1)p p k p p p k k k ka c c cp a p a p a a +=+->+⋅-=，因此1p k a c +>，即11p k a c +>，所以当1n k =+时，不等式1pn a c >也成立．综合①、②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立．再由111(1)n p n n a ca p a +=+-得11n na a +<，即1n n a a +<，综上所述，11,*p n n a a c n N +>>∈．解法二：设111(),p p p c f x x x x c p p--=+≥，则p x c ≥，并且11'()(1)(1)0p p p c p cf x p x p p p x ---=+-=->，1p x c >由此可见，()f x 在1[,)p c +∞上单调递增，因而当1p x c >时11()()p pf x f c c ==． ① 当1n =时由110pa c >>，即1p a c >可知121111111[1(1)]p p p c ca a a a a p p p a --=+=+-<， 并且121()pa f a c =>，从而112pa a c >>，故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．② 假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时11()()()pk k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>，所以当1n k =+时原不等式也成立． 综合①、②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在答题卷、草．．．．．．稿纸上答题无效．．．．．．．。

4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） P （A·B ）= P （A ）·P （B ） 第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。

若,1i z +=则zi z i+⋅=（ ）A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直 线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．225．y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．121-或B ．212或C ．2或1D ．12-或 6．设函数))((R x x f ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ）A ．12B ．23C ．0D ．21-7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A．21 B．18 C ．21 D ．18 8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对9．若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满2()OQ a b =+。

2014年普通高等学校招生全国统一考试【安徽卷】数学【理科】本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷【非选择题】两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间为120分钟.参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷【选择题 共50分】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz+i ·z = 【A 】-2 【B 】-2i 【C 】2 【D 】2i 【2】“x ＜0”是ln 【x+1】＜0的 【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件 【C 】充分必要条件【D 】既不充分也不必要条件【3】如图所示，程序框图【算法流程图】的输出结果是【A 】34 【B 】55 【C 】78 【D 】89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为【A 】14 【B 】214 【C 】2 【D 】22【5】x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为【A 】21 或-1 【B 】2或21 【C 】2或1 【D 】2或-1 【6】设函数f(x)【x ∈R 】满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = 【A 】21 【B 】23 【C 】0 【D 】21-【7】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为【A 】321+ 【B 】318+ 【C 】21 【D 】18【8】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 【A 】24对 【B 】30对 【C 】48对 【D 】60对【9】若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为 【A 】5或8 【B 】-1或5 【C 】-1或 -4 【D 】-4或8【10】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r <R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则【A 】1 < r < R <3 【B 】1 < r < 3 ≤ R 【C 】r ≤ 1 < R <3 【D 】1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试【安徽卷】数 学【理科】 第Ⅱ卷【非选择题 共100分】考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.【11】若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所的图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 .【12】数列{}n a 是等差数列，若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= .【13】设ａ≠０，ｎ是大于１的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为.2210n n x a x a x a a +++若点A i (i ，a i )(i=0,1,2)的位置如图所示，则a= 、【14】若F 1，F 2分别是椭圆E ：1222=+by x 【0<b<1】的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A 、B 两点.若B F AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 .【15】已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成.记S=x 1`y 1+x 2`y 2+x 3`y 3+x 4`y 4+x 5`y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 【写出所有正确命题的编号】. ①S 有5个不同的值 ②若a ⊥b ，则S min 与a 无关 ③若a ∥b ，则S min 与b 无关 ④若a b 4>，则Smin>0⑤若a b 2=，Smin=28a ，则a 与b 的夹角为4π 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 【16】【本小题满分12分】设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. 【Ⅰ】求a 的值；【Ⅱ】求⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πA 的值. （17）【本小题满分 12 分】甲乙恋人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未初相连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果相互独立.【 I 】求甲在 4 局以内【含 4 局】赢得比赛的概率；【I I 】记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值【数学期望】. 【18】【本小题满分 12 分】设函数⎰）（x =1+【1+ a 】X-x 2-x3，其中 a > 0 .【 I 】讨论 ⎰）（x 在其定义域上的单调性；【I I 】当x ∈[0,1] 时，求⎰）（x 取得最大值和最小值时的x 的值.（19）【本小题满分 13 分】如图，已知两条抛物线 E 1：y2= 2p1x【p1>0】和E2：y2= 2p 2x 【p2>0】，过原点 O 的两条直线 l 1和l 2，l 1与E 1， E2分别交于A 1， A 2两点，l 2与E 1， E2分别交于B 1， B 2两点.【 I 】证明：A 1B 1//A 2B 2【I I 】过 O 作直线 l 【异于l 1，l2】与E 1， E2分别交于C 1， C2两点.记∆A 1B 1C 1与∆A 2B 2C2的面积分别为S 1， S 2求21s s 的值.（20）【本小题满分 13 分】如果，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1A⊥地面ABCD .四边形ABCD 为梯形，AD //BC ，且AD = 2BC . 过A 1， C ，D 三点的平面记α，B B 1与α的交点为Q .【 I 】证明：Q 为B B 1的中点；【I I 】求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； 【III 】若A A 1=4 ，CD=2 ，梯形ABCD 的面积为 6 ，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小.（21）【本小题满分 13 分】设实数c > 0 , 整数 p > 1 , n ∈N*.【 I 】证明：当x > -1 且 x ≠ 0 时，x1p+ > 1 =px ;【I I 】数列｛an｝满足a 1> cp1 ， a a a pnn pc p -++-=11n 1p ，证明：p n n c a 11a >>+。

2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）(2014•安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=(）A．﹣2 B．﹣2i C．2D．2i考点: 复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析:把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答:解：∵z=1+i，∴，∴+i•==．故选:C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）（2014•安徽)“x＜0"是“ln（x+1）＜0"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题: 计算题;简易逻辑．分析：根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答:解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1)＜0；∵ln（x+1)＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．(5分）(2014•安徽)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（)A．34 B．55 C．78 D．89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件,退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2,x=1,y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3;第三次循环得z=5,x=3，y=5；第四次循环得z=8,x=5，y=8；第五次循环得z=13,x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13,y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55,x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评:本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．（5分）（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A．B．2C．D．2考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题: 坐标系和参数方程．分析：先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解:直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．弦心距d==＜r,∴弦长为2=2=2，故选:D．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．5．（5分）（2014•安徽)x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题: 不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一, 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行,此时a=﹣1,综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．6．（5分）(2014•安徽）设函数f(x）（x∈R）满足f（x+π)=f(x）+sinx．当0≤x＜π时,f（x）=0，则f（）=()A．B．C．0D．﹣考点：抽象函数及其应用;函数的值．专题: 函数的性质及应用．分析:利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．解答：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f(x）+sinx．当0≤x＜π时,f(x）=0，∴f（）=f（)=f（)+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选:A．点评：本题考查抽象函数的应用,函数值的求法，考查计算能力．7．(5分）（2014•安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(）A．21+B．18+C．21 D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．8．（5分）（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（)A．24对B．30对C．48对D．60对考点: 排列、组合及简单计数问题;异面直线及其所成的角．专题: 排列组合．分析:利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结果．解答:解:正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条,同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数,不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．点评：本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键．9．（5分)（2014•安徽）若函数f（x)=｜x+1｜+｜2x+a｜的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8考点: 带绝对值的函数；函数最值的应用．专题：选作题;不等式．分析：分类讨论,利用f（x)=｜x+1|+｜2x+a｜的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．解答:解:＜﹣1时，x＜﹣,f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；﹣≤x≤﹣1，f（x)=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1,f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3,∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去;≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1;x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．点评：本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想,属于中档题．10．(5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，|｜=｜|=1，•=0，点Q满足=(+）,曲线C={P｜=cosθ+sinθ,0≤θ≤2π}，区域Ω=｛P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：不妨令=（1，0）,=（0,1)，则P点的轨迹为单位圆，Ω={P｜(0＜r≤|｜≤R，r＜R｝表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．解答：解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、,||=｜｜=1,•=0,不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，)，=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P｜（0＜r≤｜｜≤R，r＜R}表示的平面区域为:以Q点为圆心,内径为r，外径为R的圆环,若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1,∵｜OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω=｛P|（0＜r≤|｜≤R,r＜R｝表示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析:根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ)，再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答:解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ)+]=sin(2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评:本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．（5分）（2014•安徽)数列｛a n}是等差数列，若a1+1，a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1．考点：等比数列的通项公式．专题: 等差数列与等比数列．分析:设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d,由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列,得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为:1．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．13．(5分)（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，(1+)n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i,a i）（i=0,1，2)的位置如图所示，则a=3．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：求出（1+）n的展开式的通项为,由图知，a0=1，a1=3,a2=4，列出方程组，求出a的值．解答：解：(1+）n的展开式的通项为,由图知,a0=1,a1=3，a2=4，∴，,，，a2﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3．点评：本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．14．(5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B｜，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．考点: 椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．解答:解：由题意,F1（﹣c，0），F2（c,0）,AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c,b2），设B(x，y），则∵|AF1|=3｜F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2,∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．15．(5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量,,两组向量，,,，和，，,,均由2个和3个排列而成,记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④(写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与｜｜无关;③若∥，则S min与|｜无关;④若||＞4||，则S min＞0；⑤若｜|=2||，S min=8|｜2，则与的夹角为．考点：命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析:依题意，可求得S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误;进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2｜｜•｜｜=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．解答:解:∵x i，y i(i=1，2，3，4,5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2|｜•|｜=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，与|｜无关，故②正确；③若∥,则S min=S3=4•+，与|｜有关，故③错误;④若||＞4｜|，则S min=S3=4｜|•｜|cosθ+＞﹣4｜｜•|｜+＞﹣+=0，故④正确；⑤若｜|=2｜｜，S min=S3=8｜｜2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．点评：本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．(12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．考点：正弦定理;两角和与差的正弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA,cosA，即可求sin（A+）的值．解答：解：（Ⅰ)∵A=2B，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6,∴a=2;（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=,∴sinA=sin2B=,cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，∴sin（A+）=（sinA+cosA)=．点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局)赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差．专题: 概率与统计．分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求X的分布列；以及均值．解答:解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件,A k表示第k局甲获胜，B k 表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P(B k）=，k=1，2，3，4,5（Ⅰ）P(A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（)2+×(）2+××（)2=．（Ⅱ）X的可能取值为2,3，4，5．P（X=2）=P(A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P(B1A2A3）+P(A1B2B3）=,P(X=4）=P（A1B2A3A4）+P(B1A2B3B4）=,P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5)+P（B1A2B3A4A5)+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5)=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P(X=4)=，故分布列为：X 2 3 4 5PE（X）=2×+3×+4×+5×=．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•安徽）设函数f(x）=1+（1+a)x﹣x2﹣x3,其中a＞0．（Ⅰ)讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ)当x∈［0，1］时,求f(x）取得最大值和最小值时的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析:（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ)利用(Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．解答：解：(Ⅰ)f（x)的定义域为（﹣∞，+∞)，f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=,x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x)在（﹣∞，）和（，+∞)单调递减，在（,）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0,∴x1＜0,x2＞0，①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在［0，1］上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1,由（Ⅰ）知，f(x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1］上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f(0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时,f（x)在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x(p1＞0)和E2：y2=2p2x(p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1,E2分别交于A1、A2两点,l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析:（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程,然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合(Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．解答：（Ⅰ）证明:由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0,设l1：y=k1x，l2：y=k2x．联立，解得．联立，解得．联立,解得．联立，解得．∴,．，∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，又，∴．故．点评:本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示,训练了三角形的相似比与面积比的关系,考查了学生的计算能力，是压轴题．20．（13分）（2014•安徽）如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q．（Ⅰ)证明：Q为BB1的中点;（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;(Ⅲ）若AA1=4，CD=2,梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．考点: 二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角．专题: 综合题;空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA,可得△QBC∽△A1AD,即可证明Q为BB1的中点;（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，V Q﹣ABCD==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ)△ADC中，作AE⊥DC,垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1,DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4,AE=4，可得tan∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．解答：(Ⅰ）证明:∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面QBC∥平面A1D1DA,∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D∴△QBC∽△A1AD，∴=，∴Q为BB1的中点;（Ⅱ)解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2,设BC=a,则AD=2a,∴==，V Q﹣ABCD==ahd,∴V2=,∵V棱柱=ahd，∴V1=ahd,∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）解：在△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，∵BC∥AD，AD=2BC，∴S△ADC=2S△ABC,∵梯形ABCD的面积为6，DC=2,∴S△ADC=4,AE=4，∴tan∠AEA1==1,∴∠AEA1=，∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．点评:本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．(13分)（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ)证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n｝满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．考点：不等式的证明；数列与不等式的综合；分析法和综合法．专题：函数思想；点列、递归数列与数学归纳法．分析:第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x)=（1+x）p﹣(1+px），求导数后利用函数的单调性求解;对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1=a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．解答：证明：（Ⅰ）令f(x）=（1+x）p﹣(1+px），则f′(x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p［（1+x）p﹣1﹣1］．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0,∴（1+x）p﹣1＜（1+x)0=1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f(0）=（1+0）p﹣（1+p×0)=0，即(1+x）p﹣（1+px)＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得(1+x）p﹣1＞(1+x）0=1，∴f′(x）＞0，∴f（x）在[0，+∞)上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴(1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ)先证a n+1＞．∵a n+1=a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加,上式左边=，当且仅当,即时，上式取“=”号，当n=1时,由题设知，∴上式“=”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞c．由前知a n+1＞成立,即从数列｛a n}的第2项开始成立，又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．点评：本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式,利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．。