例题_用二分法求方程的近似解

例1：利用估计器，供圆程0122=--x x 的一个近似解（透彻到0.1）．之阳早格格创做【解】设2()21f x x x =--， 先绘出函数图象的简图.(如左图所示) 果为(2)10,(3)20f f =-<=>， 所以正在区间(2,3)内，圆程2210x x --=有一解，记为1x .与2与3的仄衡数2.5，果为(2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再与2与2.5的仄衡数2.25，果为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<. 如许继承下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，果为2.375与2.4375透彻到0.1的近似值皆为2.4，所以此圆程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用共样的要领，还不妨供出圆程的另一个近似解. 面评:①第一步决定整面地圆的大概区间),(b a ，可利用函数本量，也可借帮估计机或者估计器，但是尽管与端面为整数的区间，尽管收缩区间少度，常常可决定一个少度为1的区间； 整面地圆区间 区间中面函数值 区间少度]3,2[ 0)5.2(>f1 ]5.2,2[0)25.2(<f ]5.2,25.2[0)375.2(<f ]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f如许列表的劣势：估计步数透彻，区间少度小于粗度时，即为估计的末尾一步．例2：利用估计器，供圆程x x -=3lg 的近似解（透彻到0.1）．分解：分别绘函数lg y x =战3y x =-的图象，正在二个函数图象的接面处，函数值相等．果此，那个面的横坐标便是圆程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与3y x =-的图象不妨创造，圆程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，而且那个解正在区间(2,3)内.【解】设()lg 3f x x x =+-，利用估计器估计得果为2.5625与2.625透彻到0.1的近似值皆为2.6，所以此圆程的近似解为1 2.6x ≈.思索:创造估计的截止约宁静正在2.58717.那本量上是供圆程近似解的另一种要领——迭代法．除了二分法、迭代法，供圆程近似解的要领另有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用估计器，供圆程24x x +=的近似解（透彻到0.1）．【解】圆程24x x +=不妨化为24x x =-．分别绘函数2x y =与4y x =-的图象，由图象不妨了解，圆程24x x +=的解正在区间(1,2)内，那么对付于区间(1,2)，利用二分法便不妨供得它的近似解为 1.4x ≈.逃踪锻炼一1. 设0x 是圆程ln 4x x =-+的解，则0x 地圆的区间为（ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)25710x x --=的正根地圆的区间是 （ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．估计器供得圆程25710x x --=的背根地圆的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用估计器,供下列圆程的近似解(透彻到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34x x =+问案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中真数p 、q 、r 谦脚021p q r m m m++=++，其中0m >，供证： （1）()01m pf m <+)； （2）圆程()0f x =正在(0,1)内恒有解．分解：原题的巧妙之处正在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1)内的数，且()01m pf m <+，那便开收咱们把区间(0,1)区分为(0，1m m +)战（1m m +，1）去处理． 【解】（1）22(1)(2)p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =,(1)f p q r =++．①当0p >时，由（1）知()01m f m <+若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 正在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++ ()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =正在（1m m +,1）内有解． ②当0p <时共理可证．面评：（1）题目面明是“二次函数”，那便表示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”二个字去掉，所证论断相映变动．（2）对付字母p 、r 分类时先对付哪个分类是有一定道究的，原题的道明中，先对付p 分类，而后对付r 分类隐然是比较佳． 逃踪锻炼二1．若圆程2210ax x --=正在(0,1)内恰有一则真数a 的与值范畴是(B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞D ．1[,1)8- 22210x x k -+-=的二个根分别正在区间(0,1)战(1,2)内，则k 的与值范畴是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，正在[2,1]-上存留0x ，使0()0f x =，则真数m 的与值范畴是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试供函数()y f x =的整面；⑵是可存留自然数n ，使()1000f n =？若存留，供出n ，若没有存留，请道明缘由．问案：（1）函数()y f x =的整面为0x =；（2）估计得(9)738f =，(10)1010f =， 由函数的单调性，可知没有存留自然数n ，使()1000f n =创造．。

4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。

《二分法求方程的近似解》精选习题（含解析）一、选择题1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )A.x1B.x2C.x3D.x42.下列函数不能用二分法求零点的是( )A.f(x)=3x-2B.f(x)=log2x+2x-9C.f(x)=(2x-3)2D.f(x)=3x-33用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.9B.0.7C.0.5D.0.44在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )A.[1,4]B.[-2,1]C.[-2,2.5]D.[-0.5,1]5已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,3),在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要( )A.5次B.6次C.7次D.8次二、填空题6用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.600)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.57 50)≈0.067f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为.7.已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n= .8.已知f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用“二分法”求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足(a,b)⊇(a1,b1)⊇(a2,b2)⊇…⊇(a k,b k),若f(a)<0,f(b)>0,则f(a k)的符号为.(填“正”,“负”,“正、负、零均可能”)9若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:f(1)=-2 f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为.10下面是连续函数f(x)在上一些点的函数值:x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165 0.625 1.982 2.645 4.356由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(精确度0.1)三、解答题12在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路,电线杆的间距为100m.如何迅速查出故障所在呢?13 已知函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).参考答案与解析1【解析】选C.观察图象可知:点x3的附近两旁的函数值都为负值,所以点x3不能用二分法求,故选C.2【解析】选C.因为f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.3【解析】选B.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72),|0.72-0.68|=0.04<0.1,零点在区间[0.68,0.72]内,故只有B选项符合要求.4【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4],第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中.5【解析】选C.区间长度为1,每次长度缩小一半,注意到>0.01,>0.01,<0.01,因此判断各区间中点的函数值符号最少7次.6【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,且=0.0063<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.5625或1.5562.答案:1.5625(或1.5562)7【解析】因为函数f(x)=log a x+x-b(2<a<3)在(0,+∞)上是增函数,f(2)=log a2+2-b<log a a+2-b=3-b<0,f(3)=log a3+3-b>log a a+3-b=4-b>0,所以x0∈(2,3)即n=2.答案:29【解析】因为=0.0625<0.1,所以在区间内的任何一个值都可以作为x3+x2-2x-2=0的一个近似解,故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解可取为1.4375或1.375.答案:1.4375(或1.375)10【解析】由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065,1.438)上,由精确度可知近似解可取为1.438或1.4065.答案:1.438(或1.4065)12【解析】如图所示,首先从AB线路的中点C开始检查,当用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,判定故障在BC;再到BC段中点D检查,这次发现BD段正常,可见故障出在CD段;再到CD段中点E来检查……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到100m之内,查7次就可以了.13【解析】由于函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算。

4.5.2用二分法求方程的近似解一、单选题1．用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.42．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（ ） A ．1B ．－1C ．0.25D ．0.753．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（ ） A ．()1,1.5 B ．()1.5,2 C ．()2,2.5D ．()2.5,34．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.55．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时二、多选题6．用二分法求函数()232xf x x =+-在区间[]0,2上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A ．下一个存在零点的区间为()0,1B ．下一个存在零点的区间为()1,2C ．要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭D ．要达到精确度1的要求，应该接着计算32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.4375C ．1.40625D ．1.42199．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）A ．y =2x+1B ．y =1010x x x x -+≥⎧⎨+<⎩，，，C ．y =12x 2+4x +8D ．y =|x |10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题11．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如下表所示：12．已知函数()322f x x x =--，()()120f f ⋅<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则()0f x =________.四、解答题13．用二分法求24x x +=在[1]2，内的近似解(精确度为0.2).参考数据：14．判断函数()321f x x =-的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m （m 为正整数）．将这2m 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m -个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n 次检测后，才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）写出n 的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．参考答案1．B 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.70.68,()0.72∈，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 2．C 【分析】根据二分法的原理，直接求解即可. 【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在()0,0.5之间， 所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝00.52+＝0.25. 故选：C 3．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈， 取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 4．C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 5．A 【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解． 【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ． 6．AC 【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】因为()0020210f =+-=-<，()222620f =+->，()112320f =+->，所以()()010f f <，所以下一个存在零点的区间为()0,1，故A 正确，B 错误； 要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 7．ABC 【分析】根据利用二分法无法求不变号的零点问题确定选项. 【详解】D 选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点，而A ，B ，C 选项符合利用二分法求函数零点的条件． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点．属于容易题. 8．BCD 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解． 【详解】解：由表格可得，函数32()22f x x x x =+--的两点在(1.375,1.4375)之间， 符合条件的有BCD. 故选：BCD ． 9．CD 【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 【详解】对于选项C ，y =12x 2+4x +8=12(x +4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D ，y =|x |≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A ，B 有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD ． 10．ABD 【分析】根据()f x 的图像在R 上连续不断，()00f <，()10f >，()20f >，结合零点存在定理，判断出在区间()0,1和()1,2上零点存在的情况，得到答案． 【详解】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点． 故选：ABD ． 11．1.4 【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可. 【详解】由题表知()()1.375 1.43750f f ⋅<，且1.4375 1.3750.06250.1-=<， 所以方程的一个近似解可取为1.4， 故答案为：1.4. 12． 1.625-. 【分析】先求出0x 的值，再代入解析式即可求解. 【详解】因为0x 是[]1,2的中点，所以0 1.5x =，所以()()30 1.5 1.52 1.52 1.625f x f ==-⨯-=-，故答案为： 1.625-. 13．1.375 【分析】本题直接用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：令()24xf x x =+-，则()12140f =+-<，()222240f =+->，∵24x x +=在[1]2，内的近似解可取为1.375. 14．0.75 【分析】首先由()()010f f ⋅<结合()f x 的单调性可知()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为()321f x x =-，所以()010f =-<，()12110f =-=>因为()()010f f ⋅<，所以()f x 在区间()0,1内有零点，因为()321f x x =-在R 上为增函数，所以()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，取区间()0,1的中点10.5x =，()30.520.510.750f =⨯-=-<，所以()()0.510f f ⋅<，可得()00.5,1x ∈，取区间()0.5,1的中点20.75x =，()30.7520.7510.156250f =⨯-=-<，所以()()0.7510f f ⋅<，可得()00.75,1x ∈，取区间()0.75,1的中点30.875x =，()30.87520.87510.33980f =⨯-=>，所以()()0.750.8750f f ⋅<，可得()00.75,0.875x ∈，取区间()0.75,0.875的中点40.8125x =，()30.812520.812510.07280f =⨯-=>，所以()()0.750.81250f f ⋅<，可得()00.75,0.8125x ∈， 因为0.81250.750.06250.1-=<，所以()321f x x =-零点的近似值可取为0.75.15．（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39． 【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227∴=+++=；n（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；+⨯=次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；+⨯=次检测；∴此时两组共此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919⨯=次检测；需21938∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21f x x x =--，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为 (2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<.如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 零点所在区间 区间中点函数值 区间长度]3,2[ 0)5.2(>f 1]5.2,2[ 0)25.2(<f 0.5]5.2,25.2[ 0)375.2(<f 0.25]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数lg y x =和3y x =-的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与点的横坐标就是方3y x =-的图象可以发现，方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个解在区间(2,3)内. 【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）．【解】方程24x x +=可以化为24xx =-．分别画函数2x y =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24x x +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.追踪训练一1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈ 一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q r m m m++=++，其中0m >，求证：（1）()01m pf m <+)； （2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解． 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1) 内的数，且()01m pf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1m m +，1）来处理． 【解】（1）2()[()()]111m m m pf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q r pm m m m=++++ 2[](1)2pm p pm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++ 22(1)(2)p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =, (1)f p q r =++． ①当0p >时，由（1）知()01m f m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1m m +,1）内有解．②当0p <时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是 (B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1[,1)8-2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试求函数()y f x =的零点；⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由．答案：（1）函数()y f x =的零点为0x =；（2）计算得(9)738f =，(10)1010f =，由函数的单调性，可知不存在自然数n ，使()1000f n =成立．。

8.1.2 用二分法求方程的近似解【基础练习】1．设函数()26x f x e x =+-， 在用二分法求方程()0f x =在()12x ∈，内的近似解过程中得(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，，，则方程的解所在的区间是（ ）A ．()01，B ．()11.25，C ．()1.251.5，D ．()1.52，【答案】C 【解析】函数()26x f x e x =+-在R 上为增函数， 又(0)0(1)0(1.25)0(1.5)0(2)0f f f f f <<<>>，，，，， 则方程的解所在的区间为()1.251.5，. 2．用二分法求函数f (x )＝2x ＋2x －2在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)【答案】B【解析】因为f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (4)＝24＋8－2>0，f (2)＝22＋4－2>0，所以下一个存在零点的区间为(0,2)．3．函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，则(1)(1)f f -的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．与0的大小关系无法确定【答案】D【解析】因为函数()y f x =在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，所以当0x ≠时，对应区间(2,2)-内的任意实数，都有()0f x ≠，所以(1)(1)0f f -≠；若()f x x =，满足在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，此时(1)(1)0f f -<；若2()f x x =，也满足在区间(2,2)-上的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0x =，此时(1)(1)0f f ->；所以(1)(1)f f -的值与0的大小关系无法确定.4．设函数2y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象交点为()00,x y ，则0x 所在区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 【答案】B【解析】令()2212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，∴f (x )的零点在区间(1,2)内，即函数2y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象交点的横坐标()01,2x ∈．5．（多选）下列说法中正确的是（ ）A ．函数()1f x x =+，[2,0]x ∈-的零点为()1,0-B ．函数()1f x x =+，[2,0]x ∈-的零点为1-C ．函数()f x 的零点，即函数()f x 的图象与x 轴的交点D ．函数()f x 的零点，即函数()f x 的图象与x 轴的交点的横坐标【答案】BD【解析】根据函数零点的定义，可知()1f x x =+， [2,0]x ∈-的零点为1-，即函数()f x 的图象与x 轴的交点的横坐标,因此，说法B ，D 正确，由零点概念知AC 错误.6．（多选）已知()y f x =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(,)a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<B ．若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(,)a b 内没有零点C ．若()f x 在区间(,)a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(,)a b 内有零点 D ．若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(,)a b 内有零点 E.若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(,)a b 内有且只有一个零点【答案】DE【解析】对于A 中，函数2y x 在()1,1-内有零点，但是(1)(1)0f f -⋅>，故A 不正确；对于B 中，函数2y x ，满足(1)(1)0f f -⋅>，在()1,1-内有零点，故B 不正确；对于C 中，若()f x 在区间(),a b 上的图像是条连续不断的曲线，()1f a =-，()1f b =，且在(),a b 上()0f x >恒成立，此时满足()()0a f f b ⋅<，但是其在(),a b 内没有零点，故C 不正确对于D 中，若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，根据零点的存在定理，可得在(,)a b 内有零点，故D 是正确的；对于E 总， 若()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，根据零点的存在定理，在(,)a b 内有且只有一个零点，故E 是正确的.7．若方程3x ＋m ＝0的根在(－1,0)内，则m 的取值范围是 ．【答案】(0,3)【解析】设f (x )＝3x ＋m ，由题意得f (0)·f (－1)<0，∴m (m －3)<0，得0<m <3.8．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为 ．【答案】0.7【解析】已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7. 因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．9．若方程x 3－x ＋1＝0在区间(a ，b )上有一根(a ，b 是整数，且b －a ＝1)，则a ＋b ＝ ．【答案】－3【解析】设f (x )＝x 3－x ＋1，则f (－2)＝－5<0，f (－1)＝1>0，得a ＝－2，b ＝－1，∴a ＋b ＝－3.10．已知函数()23log x f x x =+，方程()0f x =在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有没有实数解？为什么？【解析】142113log 2044f ⎛⎫=+=< ⎪⎝⎭，()213log 130f =+=>，且函数()23log x f x x =+的图象在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，()f x ∴在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，即方程()0f x =在区间1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有实数解. 【能力提升】11．若函数()24f x x x m =-+存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m 的取值范围是( )A ．()4,+∞B ．(),4-∞ C.{}4 D ．[)4,+∞【答案】C【解析】由已知，方程240x x m -+=有两个相等实根，则1640m -=，4m =.12．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根.【解析】证明：∴f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.∴a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c .∴f (0)>0，∴c >0，则a >0.在区间[0,1]内选取二等分点12， 则1331()02444f a b c a a a ⎛⎫=++=+-=-< ⎪⎝⎭. ∴f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。