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二次函数教案(优秀5篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
二轮复习专题二：函数§2.4 二次函数【学习目标】1.理解并掌握二次函数的定义、图像及性质.2.会求二次函数在闭区间上的最值.3.能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题.【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：二次函数、一元二次方程之间的联系去解决有关问题.【高考方向】理解二次函数的性质，给定区间的最值问题。
【课前预习】：一、知识网络构建1.二次函数的图像及性质如何？2.二次函数的解析式？3．二次函数在给定区间的性质？二、高考真题再现[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．三、基本概念检测1、设x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为A. ),0(+∞B. ),2()0,1(+∞-YC. ),2(+∞D.)0,1(-2、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U3、已知y=ax 2+bx+c 的图像与y=25有公共点，且ax 2+bx+c>0的解集为(-错误!未找到引用源。
),求a,b,c 的范围.【课中研讨】：例1已知二次函数：y=ax 2+bx+c 和一次函数g(x)=-bx ，其中a,b,c 错误!未找到引用源。
R,且满足a>b>c,f(1)=0. 若函数F(x)=f(x)-g(x)在错误!未找到引用源。
二次函数教案(一)教学目标：1. 理解二次函数的定义和基本性质。
2. 学会如何列写二次函数的一般形式。
3. 掌握二次函数的图像特点。
教学重点：1. 二次函数的定义和一般形式。
2. 二次函数的图像特点。
教学难点：1. 理解二次函数的图像特点。
2. 掌握如何求解二次函数的零点。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入二次函数的概念，让学生回顾一次函数的知识。
2. 提问：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像会是什么样子呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数的定义：一般形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 解释二次函数的各个参数的含义：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3. 举例说明如何列写二次函数的一般形式。
4. 讲解二次函数的图像特点：开口方向、顶点、对称轴等。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。
四、课堂小结（5分钟）2. 强调二次函数的图像特点。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了二次函数的定义和一般形式，以及图像特点。
在教学中，可以通过举例和互动提问的方式，激发学生的兴趣和思考。
在课堂练习环节，要注意关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
二次函数教案(二)教学目标：1. 学会如何求解二次方程。
2. 理解二次函数的零点与二次方程的关系。
3. 掌握二次函数的图像与x轴的交点。
教学重点：1. 求解二次方程的方法。
2. 二次函数的零点与图像的关系。
教学难点：1. 理解二次方程的解法。
2. 掌握二次函数的图像与x轴的交点。
1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、复习导入（5分钟）1. 复习二次函数的定义和一般形式。
2. 提问：二次函数的图像与x轴的交点有什么关系？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解如何求解二次方程：公式法、因式分解法等。
2. 解释二次函数的零点与二次方程的关系：零点是二次方程的解。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
《二次函数》教案（优秀7篇）《二次函数》教案篇一教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y ＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。
教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b 与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程：一、提出问题导入新课1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、学习新知1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？同学试一试，教师点评。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？小组相互说说（一人记录，其余组员补充）2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。
3、做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？ 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质？四、作业：在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像五：板书《二次函数》教案篇二1、会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象。
二次函数复习课教案（一）教学三维目标 1.知识目标①会确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ②会运用待定系数法求二次函数的解析式； 2.能力目标通过例题的思考——分析——讲解——总结，让学生知道该怎么思考，该向什么方向思考，题中条件可能涉及哪种知识点，这些知识点该怎么运用。
3.情感目标通过解题的过程，鼓励学生自主找寻方法解决问题，增强学生的自信心，培养学生主动探索和独立解决问题的性格。
（二）教材分析： 1、教学重点:会确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； 2、教学难点:⑴利用函数图像求解不等式⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. c bx ax y ++=2 a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（三）学生分析学生已经在第一轮复习了二次函数及其图像，但是由于时间比较长，大部分学生只记得部分知识，而且知识还比较模糊。
学生学习水平参差不齐，给复习课带来了一定的难度。
（四）教法学法分析本节课通过课前热身引起学生对知识的回忆，再通过例题精析、变式训练引导学生通过运用一定的方法解决问题，最后，通过能力提升提高学生对知识的运用能力。
（五）教学手段粉笔，学案 （六）教学程序一、【课前热身】1． 将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 2.已知二次函数的顶点为（2，3），且经过（3，0），则二次函数解析式是 ． 3.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.1yx4.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3） 5.若二次函数22y x x k =-++与x 轴有一个交点，则k 的值为（ ）A.－2B.2C.－1D.16. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. a b c ><>000，，B. a b c <<>000，，C. a b c <><000，，D. a b c <>>000，，设计意图：让学生通过练习既回忆二次函数的内容，也可了解学生对二次函数内容的掌握程度，求函数解析式和将函数转化为方程作铺垫.二、【典例精析】例1、已知二次函数223y x x =-++ (1) 求它的对称轴和顶点坐标； (2) 求它与坐标轴的交点坐标。
芯衣州星海市涌泉学校第14课时：第二章函数——二次函数一．课题：二次函数 二．教学目的：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．三．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵敏转化．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．2．二次函数的图象及性质；3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．〔二〕主要方法：1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．〔三〕例题分析：例1．函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是〔A 〕 分析：对称轴2b x=-，∵函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数， ∴对称轴2b x =-在区间 [0,)+∞的左边，即02b -≤，得0b ≥．例2．二次函数的对称轴为x =，截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为x=，设所求函数为2()(f x a x b =++，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)+，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩，122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =+-． 例3．函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值． 分析：令sin tx =，问题就转二次函数的区间最值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-， ∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2a t =， 〔1〕当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或者者3a =〔舍去〕． 〔2〕当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 111242y a a =-+-+=，得103a =． 〔3〕当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减， 由max 111242y a a =---+=，得2a =-〔舍去〕． 综上可得：a 的值是2a =-或者者103a =． 例4．函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x那么120x x ≤或者者1212000x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤≤． 解法二：由题知(0)0f ≤或者者(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤≤． 例5．对于函数()f x ，假设存在0x R ∈，使00()f x x =，那么称0x 是()f x 的一个不动点，函数 2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，〔1〕当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；〔2〕对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；〔3〕在〔2〕的条件下，假设()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．解：〔1〕2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，那么2000()3f x x x x =--=，得01x =-或者者03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．〔2〕∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立，∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．〔3〕由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++， 设,A B 中点为E ，那么E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴211212ab a a a=-=-≥++12(01)a a a =<<，即a =时等号成立， ∴b的最小值为．〔四〕稳固练习：1．假设函数2(2)3([,]y x a x x a b =+++∈的图象关于1x =对称那么b =6．2．二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．3．m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．。
二次函数教学教案参考一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的定义和标准形式。
2. 能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 二次函数的概念和定义。
2. 二次函数的标准形式及其性质。
3. 二次函数的图像及其特点。
4. 二次函数的顶点公式及其应用。
5. 二次函数与实际问题的结合。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的性质和特点。
2. 利用多媒体辅助教学，展示二次函数的图像和实际应用案例。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队合作能力和表达能力。
4. 进行课堂练习和课后作业，巩固学生的学习成果。
四、教学准备：1. 多媒体教学设备。
2. 二次函数教学课件。
3. 练习题和课后作业。
4. 教学参考书籍和资料。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念。
2. 讲解概念：讲解二次函数的定义和标准形式。
3. 探究性质：引导学生探究二次函数的性质和特点。
4. 展示图像：利用多媒体展示二次函数的图像。
5. 应用案例：讲解二次函数在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：进行课堂练习，巩固学生的学习成果。
7. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得。
8. 课后作业：布置课后作业，让学生进一步巩固知识。
9. 总结课堂：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
10. 布置课后任务：让学生预习下一节课的内容，准备课堂讨论。
六、教学评估：1. 课堂练习和课后作业的完成情况，评估学生对二次函数知识的掌握程度。
2. 小组讨论的参与度和表达能力，评估学生的团队合作和交流能力。
3. 课后任务的完成情况，评估学生的自主学习能力。
七、教学拓展：1. 引导学生在课后深入研究二次函数的图像，探索其在不同参数下的变化规律。
2. 鼓励学生尝试解决更复杂的实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 向学生推荐相关的数学竞赛或研究项目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。
《二次函数》的复习教学设计数学《二次函数》优秀教案篇一一、教材分析本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。
主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。
在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a0和a0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。
二、学情分析本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。
三、教学目标（一）知识与能力目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程；2、能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。
（二）过程与方法目标通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。
（三）情感态度与价值观目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法；2、在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。
四、教学重难点1、重点通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。
2、难点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。
五、教学策略与设计说明本节课主要渗透类比、化归数学思想。
对比一般式和顶点式的区别和联系；体会式子的恒等变形的重要意义。
六、教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）（一)提出问题(约1分钟）教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢？图像又如何？学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。
06届数学(第 二 轮)专 题 训 练第四讲: 二次函数学校 学号 班级 姓名知能目标1. 了解二函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系, 掌握一元二次不等式的解法.2. 掌握二次函数)0a (c bx ax )x (f 2≠++= 的性质与图象特征.综合脉络1. 二次函数)0a (c bx ax )x (f 2≠++= 的图象是抛物线, 以直线a2bx -=为对称轴, 顶点为 )a4b ac 4,a 2b (2-- 它与x 轴交点的横坐标是方程0)x (f =的根, 它在x 轴上截得线段长为: =-|x x |21|a |ac 4b x x 4)x x (221221-=-+. 当0a >且0ac 4b 2<-时, 有0)x (f >恒成立; 当0a <且0ac 4b 2<-时, 0)x (f <恒成立.二次函数常用的另两种表达形式为:顶点式: ,k )h x (a )x (f 2 +-=其中)k ,h ( 为抛物线顶点双根式: ,)x x )(x x (a )x (f 21 --=其中1x 、2x 为方程0c bx ax 2=++ 的两根. 2. 二次函数是与其他知识联系密切、实际应用广泛的一类基本初等函数尽管在初中学过, 但在高中有关函数理论的指导下, 其性质和应用的讨论达到相当的深度, 因而是高中灵活多变, 重点考查的内容之一. 复习中要熟练做到:(1) 能灵活运用图象及其性质解决问题 (比如二次方程实根分布问题);(2) 注意用数形结合的思想来解决一元二次函数, 一元二次方程, 一元二次不等式的相关问题(包括与解析几何联系的问题);(3) 注意化归思想在一员二次函数及相关知识中的运用, 注意应用题中创建二次函数的模型. (一) 典型例题讲解:例1. (1) 不等式0c x ax )x (f 2>--=的解集为}1x 2|x {<<-, 则函数)x (f y -=的图象为 ( )(2) 已知4k -<, 则函数)1x (cos k x 2cos y -+=的最小值是 ( )A. 1B. 1-C. 1k 2+D. 1k 2+-例2. 已知二次函数x ax )x (f 2+=．(1) 若对于任意∈n ,m R, 有)]n (f )m (f [21)2n m (f +≤+成立, 求实数a 的取值范围； (2) 若]1,0[x ∈时，有1|)x (f |≤ , 试求实数a 的取值范围.例3. 设=)x (f ,2ax 2x 2+- 当x ∈),1[∞- 时, a )x (f ≥恒成立, 求实数a 的取值范围.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. 若关于x 的不等式m x 4x 2≥-对任意x ∈]1,0(恒成立, 则 ( ) A.4m -≥ B. 3m -≥ C. 0m 3<≤- D. 3m -≤2. 已知函数y ＝) 3x 1 ( ax 4x 2≤≤-是单调递增函数, 则实数a 的取值范围是 ( )A. ]21 ,(-∞B. ]1,(-∞ C. ]23 ,21[ D. ) ,23 [∞+3. 设函数=)x (f ) 0a ( c bx ax 2≠++, 对任意实数t 都有) t 2 (f ) t 2 (f -=+成立. 问:在函 数值)1(f -、)1(f 、)2(f 、)5(f 中, 最小的一个不可能是 ( ) A. )1(f - B. )1(f C. )2(f D. )5(f4. 不等式02bx ax 2>++的解集是)31,21(-, 则b a -等于 ( ) A. －4 B. 14 C. －10 D. 105. 当3x 1≤≤时，二次函数c x 6x 2)x (f 2+-=的值域为 ( ) A. )]3(f ),1(f [ B. )]23(f ),1(f [ C. )]3(f ),23(f [ D. )]3(f ),0(f [6. 已知=)x (f ) 0a ( c bx ax 2>++的对称轴方程为2x =, 则下列判断正确的是 ( ) A. )(f )2(f π=-π B. )(f )22(f π< C. )(f )22(f π> D. )(f )22(f π≤二. 填空题7. 若二次函数=)x (f bx ax 2+, 有)1x (f )1x (f 21+=-)2x x (21≠-, 则=+)x x (f 21 .8. 已知=)x (f x 2, )x (g 是一次函数且为增函数, 若=)]x (g [f ,25x 20x 42+- 则=)x (g .9. 已知函数=)x (f －)a ax x (log 22--在区间)31 ,(--∞上是增函数, 则实数a 的范围 是 .10. 若α、β是关于x 的方程06k kx 2x 2=++-的两个实根, 则22)1()1(-β+-α的最小值为 .三. 解答题11. 已知二次函数)x (f 满足)x 2(f )x 2(f +=-, 其图象顶点为A, 图象与x 轴交于点 B )0 ,1(-和C 点, 且△ABC 的面积为18, 写出此二次函数的解析式.12. 若x sin 2x cos a 2a 21)x (f 2---=恒大于0, 求实数a 的取值范围.13. 已知311a ≤≤, 若1x 2ax )x (f 2+-=在区间]3,1[ 上的最大值为)a (M , 最小值为 )a (N , 令)a (N )a (M )a (g -=. (1) 求)a (g 的函数表达式；(2) 判断)a (g 的单调性, 并求出)a (g 的最小值.14. 设二次函数c bx ax )x (f 2++=)0a (>, 方程0x )x (f =-的两根21x ,x 满足a1x x 121<<<. （1）当)x ,0(x 1∈时, 证明: ;x )x (f x 1<< （2）设函数)x (f 的图象关于直线0x x =对称, 证明: 2x x 10<.二次函数解答(一) 典型例题例1 (1) C; (2) A.例2 (1) 因函数)x (f 是二次函数得0a ≠ 又因对于任意∈n ,m R, 有)]n (f )m (f [21)2n m (f +≤+成立, 得到函数)x (f 是凹函数, 从而得出0a >(2) 由1|)x (f |≤等价于1)x (f 1≤≤-, 即1x ax 12≤+≤-, 而x ]1,0[∈,① 当0x =时, 0a ≠,1x ax 12≤+≤-式显然成立;② 当x ]1,0(∈时, 1x ax 12≤+≤-式化为x1x 1a x 1x 122-≤≤--在x ]1,0(∈上恒成立. 设),1[x 1t +∞∈=, 则有,t t a t 22-≤≤-所以只须 ,0a 20)t t (a 2)t t (a min 2max 2≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-≤-=--≥ 又0a ≠, 故得到0x 2≤≤-. 综上所述, a 的取值范围是)0,2[-.例3 当x ∈),1[∞- 时, a )x (f ≥恒成立,∴只要)x (f 的最小值大于等于a 即可, =)x (f 22a 2)a x (-+-(1) 当x a =∈),1[∞- 时, 1a 2a a 2)a (f 2min ≤≤-⇒≥-=(2) 当x a =∈)1,(-∞- 时, 1a 3a a 2)a 1()1(f 22min -<≤-⇒≥-+--=- 综上所述: ]1,3[a -∈(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题7. 0 ; 8. ;5x 2- 9. ;]2,32[- 10. 8 . 三. 解答题11. 解：对称轴为2x =, 顶点坐标为)k ,2(设二次函数解析式为: k )2x (a )x (f 2+-=, 设)0,n (C ,)0,5(C 5n 221n ⇒=⇒=-∴.6k 2|k ||51|18±=⇒⨯--=∴)6,2(A ±∴ , 即有6)2x (a y 2±-=,由点坐标代入得: ,32a= 6)2x (32y 2--=∴或6)2x (32y 2+--=∴12. 解：.1a 2x cos a 2x cos 2x sin 2x cos a 2a 21)x (f 22---=---=令x cos t =, 则]1,1[t -∈, 由题意得01a 2at 2t 22>---在]1,1[t -∈时恒成立,01a 2at 2t 22>---可变为1t 2)1t (a 22-<+ (1)当1t -=时上面不等式（1）显然成立, 当1t -≠时, 因为01t >+, 所以不等式（1）可变为)1t (21t 2a 2+-<, 令=)t (g )1t (21t 22+-,则222)1t (21)1t ()1t (212t 2)t (g 2-≥-+++=++-=(当且仅当122t )1t (211t -=⇒+=+时取等号)因此a 的取值范围是)22,(--∞ .13. 解：(1) 函数1x 2ax )x (f 2+-=的对称轴为直线a 1x =, 而3a11,1a 31≤≤∴≤≤ ∴)x (f 在]3,1[上a11)a 1(f )a (N -== ①当2a 11≤≤时，即1a 21≤≤时，5a 9)3(f )a (M -== ②当23a 1≤<时，即21a 31<≤时，1a )1(f )a (M -==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-+≤≤-+=-=∴21a 31,2a 1a 1a 21,6a 1a 9)a (N )a (M )a (g(2)上单调递减，上单调递增，在在)21,31[]1,21[)(a g21)21(g min )a (g ==.14. 解：证明：（1）令x )x (f )x (F -=.21x ,x 是方程0x )x (f =-的两根，∴)x x )(x x (a )x (F 21--=. 当)x ,0(x 1 ∈时，由于,x x 21<所以0)x x )(x x (21>--. 又因0a >，得0)x x )(x x (a )x (F 21>--=. 即,0x )x (f >-从而得到)x (f x <．又因)]x x (a 1)[x x ()]x (F x [x )x (f x 2111-+-=+-=-,因a1x x 021<<<，∴0x x 1>-.因0ax 1ax ax 1)x x (a 1222>->-+=-+,∴11x )x (f ,0)x (f x <>-即. 综上可知1x )x (f x <<. （2）由题意知,a2bx 0-=21x ,x 是方程0x )x (f =-的两根, 即21x ,x 是方程0c x )1b (ax 2=+-+的两根,∴acx x ,a b 1x x 2121=-=+. ∴1)x x (a b 21-+=-．∴a21ax ax a 21)x x (a a 2b x 21210-+=-+=-=. 又因1ax 2<, ∴2xa 2ax x 110=<.。
