高考数学复习演练第八章立体几何(含2014_2017年真题)

确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。

第6节 空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算1.（2015四川理14）如图所示，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为AB ，BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 .1.解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，()()0,,101M y y 剟，则11,,02AF⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,,12EM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由于异面直线所成的角的范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以cos θ==21y -()2222214181cos 1545545y y y y y θ-+⎛⎫+=⋅=- ⎪++⎝⎭， 令81y t +=，19t剟，则281161,14552y y t t+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦+-， 所以24cos0,25θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ的最大值为25，此时0y =.2.（2015浙江理13） 如图，三棱锥A BCD -中 3,2AB AC BD CD AD BC ======，MQPFE DCBA点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．2.解析 解法一: 连接ND ，取ND 中点E ，连接,ME CE ，如图（1）所示，则CME ∠即是,AN CM 所成的角.ME =，CM =，CE =所以7cos 8CME ∠==.评注 本题也可用向量法来求. 如图（2）所示，把A BCD -放入一个长方体中，然后建立空间直角坐标系，利用cos ,AN CM AN CM AN CM⋅=⋅来计算.ENMDCB Ay图（1） 图（2）题型98 空间角的计算1.（2013山东理4）已知三棱柱111ABC A BC -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为的NMDCB ABFCDAP1B 正三角形，若P 为底面111A BC 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）.A.5π12 B.π3 C. π4 D.π62.（2013辽宁理18）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若211AB AC PA ===，，，求证：二面角--C PB A 的余弦值.ACB3．(2013湖南理19）如图5，在直棱柱1111//ABCD ABC D AD BC -中，，90,BAD ∠=,AC BD ⊥1,BC =1 3.AD AA ==（1）证明：1ACB D ⊥；（2）求直线111BC ACD 与平面所成角的正弦值.4. (2013重庆理19）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，2BC CD ==，4AC =，π3ACB ACD ∠=∠=，F 为PC 的中点，AF PB ⊥. （1）求PA 的长；（2）求二面角--B AF D 的正弦值.OABCDC1A1B1D1ED 1C 1B 1A 1DCBA5.(2013天津理17）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中．侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点． (1) 证明：11B C CE ⊥；(2) 求二面角11B CE C －－的正弦值；(3) 设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．6.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于点G ，PC与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：GH AB ∥；（2）求二面角D GH E --的余弦值. 7. (2013陕西理18）如图，四棱柱1111-ABCD ABC D 的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD，1AB AA ==（1）证明：1AC ⊥平面11BB D D ；（2）求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.8. (2013福建理19）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，1//,1,3,AB DC AA AB k ==4,5,6,(0)AD k BC k DC k k ===>（1）求证：⊥CD 平面11A ADD（2）若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为76，求k 的值 （3）现将与四棱柱1111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为)(k f ，写出)(k f 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.9. (2013安徽理19）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为225.，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60. （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠.BP1A BB 1C 1D 1A 1P A DC10．（2013四川理19）如图，在三棱柱11ABC A BC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC BC 的中点，P 是线段AD 的中点．（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1ABC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（2）设（1）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A AM N --的余弦值．11.（2013广东理18）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,DE 分别是,AC AB 上的点，CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥ABCDE '-，其中A O '=(1) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(2) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.12. (2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱111-ABC ABC 中，DE ，分别是1AB BB ，的中点，1AA AC CB AB ===. .CO BDEA CDOBE'A图1图2（1）证明：1BC ∥平面11ACD ； （2）求二面角1--D AC E 的正弦值.13.（2013江西理19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，DAB DCB △≌△，1EA EB AB ===，32PA =，连接CE 并延长交AD 于F ．(1) 求证：AD ⊥平面CFG ；(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．14.（2014 新课标2理11）直三棱柱111ABC ABC -中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11AB ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）.A.110 B.25C.10D. 215.（2014 四川理 8）如图，在正方体1111ABCD ABC D -中，点O 为线段BD 的中点。

第五节 直线、平面垂直的判定与性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·浙江，6)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A.若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B.若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C.若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D.若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α2.(2016·新课标全国Ⅰ，18)如图，已知正三棱锥PABC 的侧面是直角三角形，PA ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . (1)证明：G 是AB 的中点；(2)作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积. 3.(2016·新课标全国Ⅱ，19)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′ABCFE 的体积.4.(2016·北京，18)如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面PAC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由. 5.(2016·浙江，18)如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.6.(2016·四川，17)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由. (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .7.(2015·新课标全国Ⅰ，18)如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥EACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．8.(2015·安徽，19)如图，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ­ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值． 9.(2015·湖北，20)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称 之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P-ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．10.(2015·浙江，18)如图，在三棱柱ABC-A1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值．11.(2015·天津，17)如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1； (3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．12.(2014·重庆，20)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥PABMO 的体积．13.(2014·新课标全国Ⅰ，19)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABCA 1B 1C 1的高．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南八市重点高中4月质量检测)已知直线l 与平面α相交但不垂直，m 为空间内一条直线，则下列结论可能成立的是( ) A.m ∥l ，m ⊥α B.m ∥l ，m ∥α C.m ⊥l ，m ⊥αD.m ⊥l ，m ∥α2.(2015·泉州模拟)如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是( ) A.MN ∥ABB.MN 与BC 所成的角为45°C.OC ⊥平面VACD.平面VAC ⊥平面VBC3.(2015·山东泰安普通高中联考)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B.若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n C.若α⊥β，m ⊥β，则m ∥βD.若α∥β，m ⊄β，且m ∥α，则m ∥β4.(2015·河南六市联考)已知m ，n 分别是两条不重合的直线，a ，b 分别垂直于两个不重合的平面α，β，有以下四个命题：①若m ⊥a ，n ∥b ，且α⊥β，则m ∥n ；②若m ∥a ，n ∥b ，且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ∥a ，n ⊥b ，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥a ，n ⊥b ，且α⊥β，则m ∥n . 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④D.②③5.(2015·潍坊4月模拟)已知m ，n 为异面直线，α，β为两个不同的平面，m ⊥α，n ⊥β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A.α∥β，且l ∥α B.α⊥β，且l ⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l6.(2015·北京西城区检测)如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 互相垂直， 且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点E ，F ，G ，H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEAB＝x ，则( )A.函数y ＝f (x )的值域为(0，4]B.函数y ＝f (x )的最大值为8C.函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减D.函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (1－x )7.(2016·河南郑州一中第二次模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1. (1)求证：AD ⊥平面BFED ； (2)已知点P 在线段EF 上，EPPF＝2，求三棱锥EAPD 的体积. 8.(2015·山西康杰中学期中)如图，长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E是AB 的中点.(1)证明：BD 1∥平面A 1DE ； (2)证明：D 1E ⊥A 1D ； (3)求二面角D 1ECD 的正切值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 选项A 、B 、D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C. 答案C2.(1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD . 因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 所以AB ⊥平面PED ，所以AB ⊥PG .又由已知可得PA ＝PB ，从而G 是AB 的中点.(2)解 在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ， 所以EF ⊥PA ，EF ⊥PC ，所以EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影. 连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以D 是正三角形ABC 的中心.由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，所以CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ， 所以DE ∥PC ，所以PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2. 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.3.(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ， 由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′， 所以AC ⊥HD ′.(2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4， 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 所以OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ， 所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92，五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694，所以五棱锥D ′ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.4.(1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PC ⊥DC .又AC ⊥DC ，PC ∩AC ＝C ，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥平面PAC .(2)证明 ∵AB ∥CD ，CD ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ， 又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAC .(3)解 棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF . 证明如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF ， 又因为E 为AB 的中点， ∴EF 为△PAB 的中位线， ∴EF ∥PA .又PA ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，∴PA ∥平面CEF .5.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCK ， 所以BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK . 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角. 在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217.所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 6.(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD . 7.解 (1)因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 所以AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥EACD 的体积V EACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2，从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为5， 故三棱锥EACD 的侧面积为3＋2 5.8.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高，又PA ＝1，所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ， 在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM . 由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥PA 得PM MC ＝AN NC ＝13.9.解 (1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ， 而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD . 而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC . 而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB . (2)由已知，PD 是阳马PABCD 的高，所以V 1＝13S ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ；由(1)知，DE 是鳖臑DBCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ， 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE＝4.10.(1)证明 设E 为BC 的中点，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE ， 因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面A 1BC . 由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ， 从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以AA 1DE 为平行四边形，于是A 1D ∥AE . 又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC . (2)解 作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF . 因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E . 因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C ，所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角． 由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72. 所以sin ∠A 1BF ＝78.11.(1)证明 如图，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1. 又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明 因为AB ＝AC ，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE . 又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1， 又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)解 取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE . 因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ， 所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1， 从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角． 在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2. 因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB ， 又由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，所以∠A 1B 1N ＝30°， 所以直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.12.(1)证明 如图，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连接OB ，则AO ⊥OB . 因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin∠OAB ＝2sin π6＝1，又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos∠OBM ＝12＋(12)2－2×1×12×cos π3＝34.所以OB 2＝OM 2＋BM 2，所以OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ，PO 都垂直， 所以BC ⊥平面POM .(2)解 由(1)可得，OA ＝AB ·cos∠OAB ＝2×cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD 知，△POA 为直角三角形，故PA 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3. 由△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos∠ABM ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形， 则PA 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，得a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝32. 此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝538.所以四棱锥PABMO 的体积V PABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×538×32＝516.13.(1)证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 又因为BC 1∩AO ＝O ，所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)解 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 因为BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，AO ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形， 又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABCA 1B 1C 1的高为217. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由l 与α相交但不垂直知：若m ∥l ，则m 与α相交但不垂直，故A ，B 错误； 若m ⊥l ，则m ⊂α或m ∥α，若m 与α相交但不垂直，故C 错误，D 正确.答案 D2.解析 ∵VM ＝MA ，VN ＝NC ，∴MN ∥AC ，又∵AC ∩AB ＝A ，∴MN 和AB 不可能平行，排除A ；∵VA ⊥面ABC ，∴VA ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥面VAC ，∴面VBC ⊥面VAC ，故D 正确，∵BC ⊥MN ，排除B ；∵∠OCA ≠90°，∴OC 和面VAC 不垂直，排除C ，故选D.答案 D3.解析 对于A ，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，对于B ，若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ，n 可以平行，对于C ，若α⊥β，m ⊥α，则m 可以在平面β内，选项D 正确.答案 D4.解析 ①中m ，n 不一定平行，还可能垂直.④中m ，n 不一定平行，还可能异面. 答案 D5.解析 由于m ，n 为异面直线，m ⊥α，n ⊥β，则α与β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则交线平行于l ，故选D.答案 D6.解析 ∵BE BA ＝EF AC ＝x ，∴EH ＝6(1－x )， ∵AE AB ＝EH BD＝1－x ，∴EF ＝4x ，故y ＝EH ·EF ＝－24x 2＋24x ，x ∈(0，1)，所以y ∈(0，6]，其对称轴为x ＝12，故在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， f (1－x )＝－24[(1－x )2－(1－x )]＝f (x ).答案 D7.解 (1)在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°， ∴AB ＝2，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3.∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，DE ⊂平面BEFD ，DE ⊥DB ， ∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ，∴AD ⊥平面BFED .(2)由(1)知BD ⊥平面ADE ，∵BD ∥EF ，∴PE ⊥平面ADE ，且PE ＝233，∴V EAPD ＝V PADE ＝13S △ADE |PE |＝13×12×233＝39.8.(1)证明 连接AD 1交A 1D 于O ，连接EO ，则O 为AD 1的中点，又因为E 是AB 的中点，所以OE ∥BD 1，又∵OE ⊂平面A 1DE ，BD 1⊄平面A 1DE ，∴BD 1∥平面A 1DE .(2)证明 由题意可知：四边形ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1，又∵AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，∴AB ⊥A 1D .又∵AB ⊂平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，AB ∩AD 1＝A ，∴A 1D ⊥平面AD 1E .又∵D 1E ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E .(3)解 在△CED 中，CD ＝2，DE ＝AD 2＋AE 2＝2，CE ＝CB 2＋BE 2＝2， ∴CD 2＝CE 2＋DE 2，∴CE ⊥DE ，又∵D 1D ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，∴CE ⊥D 1D ，又∵D 1D ⊂平面D 1DE ，DE ⊂平面D 1DE ，D 1D ∩DE ＝D ，∴CE ⊥平面D 1DE .又∵D 1E ⊂平面D 1DE ，∴CE ⊥D 1E ，∴∠D 1ED 是二面角D 1ECD 的一个平面角，在△D 1ED 中，∠D 1DE ＝90°，D 1D ＝1，DE ＝2，∴tan ∠D 1ED ＝D 1D DE ＝12＝22，∴二面角D 1ECD 的正切值是22.。

【创新方案】 2017 届高考数学一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平行的判断与性质课后作业理[ 通盘稳固 ]一、选择题1．已知直线l 和平面α，若 l ∥ α， P∈ α，则过点 P 且平行于 l 的直线()A．只有一条，不在平面α 内B．只有一条，且在平面α 内C．有无数条，必定在平面α 内D．有无数条，不必定在平面α 内2．已知直线 a 和平面α，那么 a∥α的一个充足条件是()A．存在一条直线b， a∥b 且 b?αB．存在一条直线b， a⊥b 且 b⊥ αC．存在一个平面β ，a?β 且α∥ βD．存在一个平面β ，a∥β 且α∥ β3．已知m，n 是两条不一样的直线，α，β ，γ 是三个不一样的平面，则以下命题中正确的是()A．若m∥ α，n∥ α，则m∥nB．若m∥n，n? α，则m∥ αC．若m∥ α，m∥ β，则α ∥ βD．若α ∥ β，α∥ γ，则β ∥ γ4．(2016 ·海淀模拟) 设l，m，n表示不一样的直线，α ，β ，γ 表示不一样的平面，给出以下四个命题：①若 m∥ l ，且 m⊥ α，则 l ⊥ α；②若 m∥ l ，且 m∥ α，则 l ∥ α；③若α ∩ β＝ l ，β ∩ γ＝ m，γ ∩α＝ n，则 l ∥ m∥n；④若α ∩ β＝ m，β ∩ γ＝ l ，γ ∩α＝ n，且 n∥ β，则 l ∥ m，此中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45．(2016 ·惠州模拟 ) 设直线l，m，平面α，β ，则以下条件能推出α∥ β的是 ()A．l ? α，m? α，且l∥β，m∥βB．? α， ? β，且l ∥ml mC．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m二、填空题6．如图，已知三个平面 α ， β ，γ 相互平行， ， b 是a异面直线， a 与 α ， β ，γ 分别交于 A ， B ，C 三点， b 与 α ，β ， γ 分别交于 D ，E ，F 三点，连结 AF 交平面 β 于G ，连结 CD 交平面 β 于H ，则四边形 BGEH 必为 ________．7. 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是向来角梯形， AB ∥ CD ， BA ⊥ AD ， CD ＝2AB ， PA ⊥底面ABCD ， E 为 PC 的中点，则 BE 与平面 PAD 的地点关系为 ________．8．在正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD 1 的中点，设 Q 是CC 1 上的点，则点 Q 知足条件 ________时，有平面 D 1BQ ∥平面 PAO .三、解答题9．如图， ABCD 与 ADEF 均为平行四边形， M ， N ， G 分别是 AB ，AD ， EF 的中点．(1) 求证： BE ∥平面 DMF ；(2) 求证：平面 BDE ∥平面 MNG .10. 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17 . 点 G ，E ，F ，H 分别是棱 PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面 GEFH ⊥ 平面 ABCD ，BC ∥ 平面 GEFH .(1) 证明： GH ∥ EF ；(2) 若 EB ＝ 2，求四边形 GEFH 的面积 .[ 冲击名校 ]1．设α，β，γ 为三个不一样的平面，m， n 是两条不一样的直线，在命题“α ∩ β ＝m，n?γ，且________，则 m∥ n”中的横线处填入以下三组条件中的一组，使该命题为真命题．① α ∥γ， n?β；② m∥γ， n∥ β；③ n∥ β， m?γ.能够填入的条件有()A．①②B．②③C．①③D．①②③2．空间四边形ABCD的两条对棱 AC、 BD的长分别为5 和 4，则平行于两条对棱的截面四边形 EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．3.如图，矩形 ABCD中， E 为边 AB的中点，将△ ADE沿直线 DE翻转成△ A1DE.若 M为线段 A1C的中点，则在△ ADE翻转过程中，正确的命题是________．① | BM|是定值；②点 M在圆上运动；③必定存在某个地点，使DE⊥ A1C；④必定存在某个地点，使MB∥平面 A1DE.4．(2016 ·石家庄模拟) 如图，在四棱锥P- ABCD中， PA⊥平面 ABCD，∠ ABC＝∠ ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°.(1)求证： CE∥平面 PAB；(2)若 PA＝2AB＝2，求四周体 P- ACE的体积．5．如图，几何体E- ABCD是四棱锥，△ ABD为正三角形， CB＝ CD， EC⊥ BD.(1)求证： BE＝ DE；(2)若∠ BCD＝120°， M为线段 AE的中点．求证： DM∥平面 BEC.答案[ 通盘稳固 ]一、选择题1．分析：选B过直线外一点作该直线的平行直线有且只有一条，因为点P 在平面α内，所以这条直线也应当在平面α 内．2．分析：选C在A，B，D中，均有可能a?α，错误；在C中，两平面平行，则此中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．3．分析：选D借助正方体模型逐个判断．如下图，正方体的棱A1B1，B1C1都与底面 ABCD平行，但这两条棱订交，故A不正确；在正方体中AB∥ A1B1， A1B1?平面 A1B1BA，而 AB在平面 A1B1BA内，故B不正确；正方体的棱B1C1既平行于平面 ADD1A1，又平行于平面 ABCD，但这两个平面订交，故C不正确；由平面与平面平行的传达性可知 D 正确．4．分析：选 B①正确；②中也可能直线l ?α，故错误；③中三条直线也可能订交于一点，故错误；④正确，所以正确的命题有 2 个．5．分析：选C借助正方体模型进行判断．易清除选项二、填空题6．分析：由题意知，直线a 与直线 AF 确立平面 ，由面面平行的性质定理，可得BGACF∥CF ，同理有 HE ∥ CF ，所以 BG ∥ HE . 同理 BH ∥ GE ，所以四边形BGEH 为平行四边形．答案：平行四边形7. 分析：取 PD 的中点 F ，连结 EF ， AF ，1在△ PCD 中， EF 綊 2CD .∵ AB ∥CD 且 CD ＝ 2AB ，∴ EF 綊 AB ，∴四边形 ABEF 是平行四边形，∴ EB ∥ AF .又∵ EB ?平面 PAD ， AF ? 平面 PAD ，∴ BE ∥平面 PAD .答案：平行8．分析： 如图，假定 Q 为 CC 1的中点，因为 P 为 DD 1 的中点，所以 QB ∥PA . 连结 DB ，因为 P ， O 分别是 DD 1， DB 的中点，所以 D 1B ∥ PO ，又 D 1B ?平面 PAO ， QB ?平面 PAO ，所以D 1B ∥平面 PAO ，QB ∥平面 PAO ，又 D 1B ∩ QB ＝ B ，所以平面 D 1 BQ ∥平面 PAO .故 Q 知足条件 Q 为 CC 1 的中点时，有平面 D 1BQ ∥平面 PAO .答案： Q 为 CC 1 的中点三、解答题9．证明： (1) 连结 AE ，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O ，连结 MO ，则 MO 为△ ABE 的中位线，所以 B E ∥ MO ，又 BE ?平面 DMF ， MO ? 平面 DMF ，所以 BE ∥平面 DMF .(2)因为 N， G分别为平行四边形 ADEF的边 AD， EF的中点，所以 DE∥ GN，又 DE?平面 MNG， GN?平面 MNG，所以 DE∥平面 MNG.又 M为 AB的中点，所以 MN为△ ABD的中位线，所以BD∥ MN，又 MN?平面 MNG， BD?平面 MNG，所以 BD∥平面 MNG，又 DE， BD?平面 BDE， DE∩ BD＝ D，所以平面 BDE∥平面 MNG.10.解： (1) 证明：因为BC∥平面GEFH，BC? 平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以 GH∥ BC.同理可证 EF∥ BC，所以 GH∥ EF.(2)连结 AC， BD交于点 O， BD交 EF于点 K，连结 OP， GK.因为 PA＝ PC， O是 AC的中点，所以PO⊥ AC，同理可得PO⊥ BD.又 BD∩ AC＝ O，且 AC， BD都在底面 ABCD内，所以 PO⊥底面 ABCD.又因为平面GEFH⊥平面 ABCD，且 PO?平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH.因为平面 PBD∩平面 GEFH＝ GK，所以 PO∥ GK，且 GK⊥底面 ABCD，进而 GK⊥ EF.所以 GK是梯形 GEFH的高．由 AB＝8， EB＝2，得 EB∶ AB＝ KB∶ DB＝1∶4，1 1进而 KB＝4DB＝2OB，即 K为 OB的中点．1再由 PO∥ GK得 GK＝2PO，1即 G是 PB的中点，且GH＝2BC＝4.由已知可得OB＝42，2 2PO＝PB－ OB＝68－ 32＝ 6，所以 GK ＝ 3.故四边形 GEFH 的面积＝GH ＋ EF＝ 4＋ 8· ×3＝ 18.S2 GK2[ 冲击名校 ]1．分析：选 C 由面面平行的性质定理可知，①正确；当 ∥ β， ? γ 时， n 和 在n m m同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．DH GH2．分析：设＝＝ k ，DA ACAH EH∴＝＝ 1－ k ，DA BD∴ GH ＝5k ， EH ＝4(1 － k ) ，∴周长＝ 8＋ 2k .又∵ 0<k <1，∴周长的范围为 (8,10) ．答案： (8,10)3. 分析：取 DC 中点 N ，连结 MN ， NB ，则 MN ∥ A 1D ， NB ∥ DE ，∴平面 MNB ∥平面 A 1DE ，∵ MB ? 平面 MNB ，∴ MB ∥平面 A 1DE ，④正确；111 2 2 2∠ A DE ＝∠ MNB ， MN ＝ 2A D ＝定值， NB ＝ DE ＝定值，依据余弦定理得， MB ＝ MN ＋ NB － 2 · ·cos ∠ ，所以 是定值．①正确；MN NB MNB MBB 是定点，所以 M 是在以 B 为圆心， MB 为半径的圆上，②正确；当矩形 ABCD 知足 AC ⊥ DE 时存在，其余状况不存在，③不正确．所以①②④正确．答案：①②④4．解： (1) 证明：∵∠ ACD ＝90°，∠ CAD ＝60°，∴∠ FDC ＝30°.又∠ FCD ＝30°，∴∠ ACF ＝60°，∴ AF ＝CF ＝ DF ，即 F 为 AD 的中点．又 E 为 PD 的中点，∴ EF ∥ PA .∵AP?平面 PAB， EF?平面PAB，∴ EF∥平面 PAB.又∠ BAC＝∠ ACF＝60°，∴CF∥AB，可得 CF∥平面 PAB.又 EF∩ CF＝ F，∴平面 CEF∥平面 PAB，而 CE?平面 CEF，∴CE∥平面 PAB.(2)∵ EF∥ AP， AP?平面 APC， EF?平面APC，∴ EF∥平面 APC.又∠ ABC＝∠ ACD＝90°，∠ BAC＝60°， PA＝2AB＝2，AC∴AC＝2AB＝2，CD＝tan 30°＝2 3.1 1 1 1 123 ∴V P- ACE＝ V E- PAC＝V F- PAC＝ V P- ACF＝3×2× S△ACD·PA＝3×2×2×2×23×2＝3. 5．证明： (1) 如下图，取BD的中点 O.连结 CO， EO.因为 CB＝ CD，所以 CO⊥ BD.又 EC⊥ BD， EC∩ CO＝ C，CO， EC?平面 EOC，所以 BD⊥平面 EOC，所以 BD⊥ EO.又 O为 BD的中点，所以BE＝ DE.(2)法一：如下图，取 AB的中点 N，连结 DM， DN，MN.因为 M是 AE的中点，所以 MN∥ BE.又 MN?平面 BEC，BE?平面 BEC，所以 MN∥平面 BEC.又因为△ ABD为正三角形，所以∠ BDN＝30°.又 CB＝ CD，∠ BCD＝120°，所以∠ CBD＝30°.所以 DN∥ BC.又 DN?平面 BEC， BC?平面 BEC，所以 DN∥平面 BEC.又 MN∩ DN＝ N，所以平面 DMN∥平面 BEC.又 DM?平面 DMN，所以 DM∥平面 BEC.法二：如下图，延伸AD， BC交于点 F，连结 EF.因为 CB＝ CD，∠ BCD＝120°，所以∠ CBD＝30°.因为△ ABD为正三角形，所以∠ BAD＝∠ ABD＝60°，∠ ABC＝90°，所以∠ AFB＝30°，1所以 AB＝2AF.又 AB＝ AD，所以 D为线段 AF的中点，连结 DM，由点 M是线段 AE的中点，得DM∥ EF.又 DM?平面 BEC， EF?平面 BEC，所以 DM∥平面 BEC.。

课时作业40 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α且m⊥γ，那么必有( )．A．α⊥γ且l⊥m B．α∥β且α⊥γC．α⊥γ且m∥β D．m∥β且l∥m2．(2012杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )．A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )．A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④4．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )．A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC5．下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等．”其中正确命题的序号是( )．A．① B．② C．②③ D．③6．(2012上海模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不．正确的是( )．A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α∩β＝m，且n与α，β所成的角相等，则m⊥n7．(2012山东临沂模拟)如图，在棱长为4的正四面体A－BCD中，M是BC的中点，点P在线段AM上运动(P不与A，M重合)，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：①BC⊥平面AMD；②Q点一定在直线DM上；③V C－AMD＝4 2.其中正确命题的序号是( )．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题8．(2012辽宁丹东四校联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列5个命题：①若m⊥α，l⊥m，则l∥α；②若m⊥α，l⊂β，l∥m，则α⊥β；③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；④若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥m；⑤若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥β.其中正确的命题是__________．9．如图，AB为圆O的直径，C为圆周上异于A，B的任一点，PA⊥面ABC，则图中共有__________个直角三角形．10．(2012山东青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)三、解答题11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：直线AE⊥直线DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.12．(2012浙江高考)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．参考答案一、选择题1．A 解析：m ⊂α且m ⊥γ，则α⊥γ；m ⊥γ且l ⊂γ，则l ⊥m .2．C 解析：对于选项C ，在平面α内存在c ∥b ，因为a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 选项中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 选项中一定推出a ∥b .3．C 解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．4．D 解析：因BC ∥DF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B 、C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不成立．5．C 解析：①是既不充分也不必要条件．6．D 解析：容易判定选项A 、B 、C 都正确，对于选项D ，当直线m 与n 平行时，直线n 与两平面α、β所成的角也相等，均为0°，故D 不正确． 7．A 解析：∵AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴BC ⊥面AMD ，故①正确；②也正确；③中，V C －AMD ＝12V A －BCD ， A 到底面BCD 的距离AO ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×232＝463， V A －BCD ＝13×12×4×32×4×463＝1623， ∴V C －AMD ＝823. 二、填空题8．②③ 解析：①l 可能在α内，①错；④l 若在β内可能与m 相交，④错；⑤n 垂直于交线，不一定垂直于β，⑤错．9．4 解析：∵PA ⊥面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC .∴△PAB ，△PAC 为直角三角形．又C 为圆周上一点，∴∠ACB ＝90°.∴△ACB 为直角三角形．由BC ⊥AC ，PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC .∴BC ⊥PC .∴△PCB 为直角三角形．10．DM ⊥PC (答案不唯一) 解析：由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC 时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .三、解答题11．解：(1)连接AD 1，BC 1，由正方体的性质可知，DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ，又AB ∩AD 1＝A ，∴DA 1⊥平面ABC 1D 1，又AE ⊂平面ABC 1D 1，∴DA 1⊥AE .(2)所示G 点即为A 1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连接AH ，EH ， 由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ， 可证DF ⊥平面AHE ，∴DF ⊥AE . 又DF ∩A 1D ＝D ，∴AE ⊥平面DFA 1，即AE ⊥平面DFG .12．(1)证明：①因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1 平面ADD 1A 1， 所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA . 又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ， 所以C 1B 1∥EF ，所以A 1D 1∥EF . ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan∠A 1B 1F ＝tan∠AA 1B ＝22， 即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F . 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)解：设BA 1与B 1F 交点为H ，连结C 1H .由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ， 所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角． 在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46. 在直角△BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46， 得sin∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015. 所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015.。

第八章立体几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、（2012福建文）一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 2、【2012吉林市期末质检文】一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中A.CD AB //B. AB 与CD 相交C.CD AB ⊥D. AB 与CD 所成的角为 603 ．（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面（ ）A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥βB ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥βC ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥βD ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β4．（2012广东文）(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ） A ．72π B ．48π C ．30πD ．24π5 ．（2012四川文）下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行6、【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则应增加的条件是A . m ∥nB . n ⊥mC . n ∥αD . n ⊥α7、如右图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 8、（2012北京文）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+9、【2012金华十校高三上学期期末联考文】设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同 的直线，则下列命题中正确的是（ ）10．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A 、233πB 、23πC 、736πD 、733π11、（2012课标文）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 （ ） A ．6π B ．43π C ．46π D ．63π 12、【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】如图甲所示，三棱锥P ABC -的高8,3,30,PO AC BC ACB M N ===∠=︒、分别在BC 和PO 上，且,2((0,3])CM x PN x x ==∈，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC -的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是（ ）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13、【2012山东青岛市期末文】已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .14、【2012浙江宁波市期末文】如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 .15、【2012金华十校高三上学期期末联考文】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是。