步步高 学案导学设计 高中数学人教B版必修4第一章 121三角函数的定义课件

1．21 任意三角函数的定义（一）
一。

、教学目标
1．知识目标：（1）让学生理解任意角的三角函数的定义；
（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域;
(3) .理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2．能力目标：（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；
（2）学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值；
（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；
（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；
（3）通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一
般函数的抽象美。

二、教学重点
（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；
（2）三角函数的定义域；
（3）根据任意角的三角函数定义求三角函数值。

（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.
三、教学难点
任意角的正弦、余弦、正切的定义；。

1．2.1三角函数的定义(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？[新知初探]1．三角函数的定义(1)前提准备：①以角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．②设角α的终边上任一点P (x ，y )，OP ＝r (r ≠0)． (2)定义：①余弦函数：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr . ②正弦函数：y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr . ③正切函数：y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝yx .④正割函数：角α的正割sec α＝1cos α＝r x .⑤余割函数：角α的余割csc α＝1sin α＝r y .⑥余切函数：角α的余切cot α＝1tan α＝x y .[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域3．三角函数值的符号 如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．若角α的终边经过点P (2,3)，则有( ) A ．sin α＝21313 B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝23答案：C4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22[典例] 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． [解] r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |.若a ＞0，则r ＝5a ，故sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a ＜0，则r ＝－5a .同理可得sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．设θ是第三象限角，P (－4，y )为其终边上的一点，且sin θ＝16y ，则tan θ等于( )A ．－52B ．－255C.255D.52 解析：选D 因为sin θ＝y(－4)2＋y 2＝16y ， 所以16＋y 2＝6，解得y ＝±25，又θ是第三象限角，所以y ＝－25， 所以tan θ＝－25－4＝52，故选D.2．已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值．解：直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，则直线通过第二和第四象限． ①在第二象限内取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，则csc α＝23＝233； cos α＝－12，则sec α＝－2；tan α＝－3，则cot α＝－33. ②在第四象限内取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，则csc α＝－233； cos α＝12，则sec α＝2；tan α＝－3，则cot α＝－33.[典例] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4, k ∈Z ，∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限． [答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2解析：选C ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cosα|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.求三角函数的定义域[典例] 求函数f (x )＝sin x ＋lg cos xtan x的定义域．[解] 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，x ≠k π＋π2，x ≠k π，k ∈Z.解得：2k π＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z.所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z .求三角函数定义域的方法(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．[活学活用]求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos xtan x；(2)y ＝cos x ＋－tan x .解：(1)要使函数式有意义，需tan x ≠0，解得x ≠k π(k ∈Z)． 要使tan x 有意义，需x ≠k π＋π2(k ∈Z)，解得x ≠k π2(k ∈Z)．所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z . (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，－tan x ≥0.x ≠π2＋k π，k ∈Z ，由cos x ≥0得x 的终边在y 轴上，或第一象限，或第四象限，或在x 轴非负半轴上． 由－tan x ≥0，得tan x ≤0，则角x 的终边在第二象限，或第四象限，或在x 轴上． 综上，角x 的终边在第四象限或x 轴非负半轴上．所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＋2k π＜x ≤2k π，k ∈Z .层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B.34C ．－32D.14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，csc π6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P (3a ，a )，∴r ＝2a .∴tan π6＝33，csc π6＝2.答案：332 7．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与射线y ＝3x (x ≥0)重合，则cos θ＝________.解析：根据题意，在射线上取一点P (1,3)，则x ＝1，y ＝3，r ＝12＋32＝10，所以cosθ＝x r ＝1010.答案：10109．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值．解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝yr＝m3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2. 当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝yx ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25B ．－25 C.15 D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15. ∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4. 答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝ 2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧ 2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z. ∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

1.2 任意角的三角函数 1.
2.1 三角函数的定义
课前导引
情景导入
中央电视塔多高?为了测量中央电视塔的高度,假设在距离电视塔233.9米的地方测得中央电视塔的避雷针顶端的仰角为60°,你能推测出电视塔的高度吗?
所以根据定义可知中央电视塔的高度为233.9×tan60°≈405米. 知识预览
1.设α是一个任意角，α的终边上一点P （除端点外）的坐标是（x,y ），它与原点的距离是
r(r=2
2y x +>0)，那么
r y 叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=r
y ； r x 叫做角 α的余弦，记作cosα，即cosα=r x ； x y 叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=x
y ； y x 叫做角α的余切，记作cotα，即cotα=y x ； x r 叫做角α的正割，记作secα，即secα=x
r ； y r 叫做角α的余割，记作cscα，即cscα=y
r . 这些函数都是以角α为自变量，以比值为函数值，我们将它们统称为三角函数.
3.三角函数在各象限的符号:
4.终边相同的角的三角函数值的关系. 公式一：
sin(2kπ+α)=sinα,
cos(2kπ+α)=cosα,
tan(2kπ+α)=tanα，其中k∈Z.。

1.2.1 三角函数的定义课堂导学三点剖析一、任意角的三角函数的定义注意:(1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围(自变量取值)是全体实数.(2)一个任意角α的三角函数值只依赖于α的大小(即只与这个角的终边位置有关),而与P 点在终边上的位置无关.(3)正弦,余弦,正切,余切,正割,余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(4)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.每个词的第一个字母“s”或“c”或“t”都不能大写.【例1】 已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα,secα,cscα,cotα的值.思路分析:在由三角函数的定义求三角函数时,应先确定α终边位置.由于含有参数a,而a 的条件为a≠0,所以必须对a 进行讨论,这一点不可忽视.解：∵x=3a,y=-4a, ∴r=22)4()3(a a -+=5|a|(a≠0).(1)当a>0时,r=5a,α是第四象限角.sin α=ry =5454-=-a a ,cos α=r x =5353=a a , tan α=x y =3434-=-a a ,cot α=43-, sec α=x r =3535=a a ,csc α=y r =4545-=-a a . (2)当a<0时,r=-5a,α是第二象限角.于是sin α=54,cos α=53-,tan α=34-,cot α=43-,sec α=35-,csc α=45. 温馨提示(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.(2)求任意角的三角函数,有时需要确定角所在的象限,相应地以此来确定三角函数的符号,这是容易出现错误的地方.各个击破类题演练 1已知角α的终边经过P （-2，-3），求角α的正弦,余弦,正切值.解：∵x=-2,y=-3,r=13， ∴sinα=r y =133-=13133-,cosα=r x =132-=13132-, tanα=x y =23--=23. 变式提升 1已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sinα+3secα=________.思路分析:由角α的终边落在直线y=-3x 上,所以可设其终边上一点为P(k,-3k)(k≠0),再分k>0与k<0求解.解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=10)3(22=-+k k |k|.(1)当k>0时,r=10k,α是第四象限角, sinα=r y =10103103-=-kk ,secα=x r =1010=k k , ∴10sinα+3secα=10×(10103-)+103=103-+103=0. (2)当k<0时,r=10-k,α为第二象限角, sinα=r y =10103103=--k k ,secα=x r =1010-=-k k , ∴10sinα+3secα=10×10103+3×(10-)=103103-=0. 综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.答案:0温馨提示要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限,这与角α的终边在y=-3x 上是一致的.二、三角函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域:(1)y=sinx+cosx; (2)y=x sin +tanx.解：(1)∵使sinx,cosx 有意义的x∈R ,∴y=sinx+cosx 的定义域为R .(2)当sinx≥0且tanx 有意义时,函数有意义, ∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠+≤≤2,)12(2ππππk x k x k (k∈Z )∴函数y=x sin +tanx 的定义域为［2kπ,2kπ+2π)∪(2kπ+2π,(2k+1)π］(k∈Z ).类题演练 2求函数y=tan(x-4π)的定义域.思路分析:∵y=tanx 的定义域为{x|x≠kπ+2π,k∈Z },∴本题中将x-4π看作一个角即可解得x 的取值范围.解:设θ=x -4π,在y=tanx 中,θ≠kπ+2π,k∈Z ,∴x -4π≠kπ+2π,k∈Z . ∴x≠kπ+43π,k∈Z . ∴定义域为{x|x≠kπ+43π,k∈Z }.变式提升 2x 取什么值时,x xx tan cos sin +有意义?解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠).(2,0tan Z k k x x ππ解得⎪⎩⎪⎨⎧∈≠∈+≠∈≠).(2),(2),(Z k k x Z k k x Z k k x ππππ即 所以当{x|x≠2πk ,k∈Z }时,x xx tan cos sin +有意义.三、三角函数值的符号【例3】 确定下列式子的符号:(1)tan125°·sin273°; (2)︒︒305cos 108tan ; (3)sin 45π·cos 54π·tan 611π; (4)32sin 611tan 6cos πππ•5;(5)tan191°-cos191°;(6)sin3·cos4·tan5·cot6.解：(1)∵125°是第二象限角,∴tan125°<0;∵273°是第四象限角,∴sin273°<0.从而tan125°sin273°>0.∴式子符号为正.(2)∵108°是第二象限角,∴tan108°<0.∵305°是第四象限角,∴cos305°>0. 从而︒︒305cos 108tan <0,∴式子符号为负. (3)∵45π是第三象限角,54π是第二象限角;611π是第四象限角. ∴sin 45π<0,cos 54π<0,tan 611π<0,从而sin 45π·cos 54π·tan 611π<0.∴式子符号为负. (4)∵65π是第二象限角,611π是第四象限角,32π是第二象限角. ∴cos 65π<0,tan 611π<0,sin 32π>0. 从而32sin 611tan 6cos πππ•5>0.∴式子符号为正.(5)∵191°是第三象限角,∴tan191°>0,cos191°<0.∴tan191°-cos191°>0.∴式子符号为正. (6)∵2π<3<π,π<4<23π,23π<5<6<2π,∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,cot6<0.∴sin3·cos4·tan5·cot6<0.∴式子符号为负.类题演练 3判定下列各式的符号:(1)sin105°·cos230°; (2)sin 87π·tan 87π;(3)cos6·tan6; (4)sin4·tan(423π-).解:(1)∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin105°>0,cos230°<0.∴sin105°·cos230°<0. (2)∵2π<87π<π,∴87π是第二象限角.∴sin87π>0,tan 87π<0. ∴sin 87π·tan 87π<0. (3)∵23π<6<2π,∴6弧度的角是第四象限角. ∴cos6>0,tan6<0.∴cos6·tan6<0. (4)∵π<4<23π,∴sin4<0. 又423π-=-6π+4π, ∴423π-与4π终边相同. ∴tan(423π-)>0. ∴sin4·tan(423π-)<0. 变式提升 3若α同时满足tanα<0,cosα>0,(1)求α的集合；（2）判断sin 2α,cos 2α,tan 2α的符号. 解：（1）由cosα>0知α的终边在第一或第四象限，或在x 轴的非负半轴上.由tanα<0,得α终边又在第二、四象限.因此，α的终边在第四象限.∴角α的集合为{α|2kπ-2π<α<2kπ,k∈Z }. (2)∵2kπ-2π<α<2kπ,k∈Z ， ∴kπ-4π<2α<kπ,k∈Z . 当k=2n(n∈Z )时，2nπ-4π<2α<2nπ. ∴sin 2α<0,cos 2α>0,tan 2α<0； 当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+43π<2α<2nπ+π. ∴sin 2α>0,cos 2α<0,tan 2α<0. 温馨提示(1)要熟记三角函数值在各象限的符号.(2)α为象限角，求2α是哪个象限角的方法：根据α所在象限写出α的不等式，进而得2α的不等式.再对k 为奇数、偶数两种情况讨论.。

1.2.3 同角三角函数的基本关系式(二) 一、基础过关224α＝1，则cosα＋cosα等于( ) 1．若sin α＋sinA．0 B．1 C．2 D．3 44 ( ) θ＋cosθ＝1，则sin θ＋cos θ的值为2．若sin A．0 B．1 C．－1 D．±1 1＋sin x1cos x ( ) 3．已知＝－，那么的值是cos x2 sin x－111 A. B．－ C．2 D．－2 222θ＋4sin ( ) 4．已知＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为cos θ＋1A．6 B．4 C．2 D．0 ( ) 5．已知tan α＋sin α＝a (a≠0)，tan α－sin α＝b，则cos α等于 a＋ba－ba＋ba－bA. B. C. D. 22a－ba＋bk＋1k－16．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．k－3k－3222222α＋sinβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＝________. 7．化简sin42241－－sinxcosx＋．化简：＋3sinx. 2sinx 二、能力提升519．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为 ( ) 2tan αA．－4 C．－8 B．4 D．8 παααα10．若0<α<，则1－2sin cos ＋1＋2sin cos 的化简结果是________．222222α1－cossin α＋cos α111．已知sin αcos α＝，且α是第三象限角，求－的值．28α－1 sin α－－．求证：－＝. 1＋sin α1＋cos α1＋sin α＋cos α三、探究与拓展221－aθθsinsin13．已知tan θ＝(0<a<1)，化简：＋. aa＋cos θa－cos θ答案α351．B 2.D 3.A 4.B 5.D 6. 7.1 8．3 9.C 10.2cos 11.－42212．证明方法一＋－＋左边＝＋＋－sinα＋cos α－sin αcos＝＝1＋sin α＋cos α＋－＋sin α＋＋＋sin α＋cos α＋－＋sin α＋＝＋cos α＋－sin＝＝右边．1＋sin α＋cos α∴原式成立． 1－sin αcos α＋1－sin α cos α方法二∵＝＝，cos α1＋sin α1＋sin α＋cos α1－cos αsin α＋1－cos α sin α＝＝，sin α1＋cos α1＋cos α＋－∴－＝. 1＋sin α1＋cos α1＋cos α＋sin α∴原式成立．1－a13．解∵tan θ＝， a21－aθsin12θ，∴＝＝－1，∴a＝cos2θcosaa222θθθsinsin2asin∴＋＝22θa＋cos θa－cos θa－cos22θsinθ2cos＝42θ－cosθcos2222θ·cosθθcosθ2sin2sin＝＝－－sin＝－2.。

1 三角函数的定义 1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余割的定义.(难点) 2.会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，并知道三角函数在各象限内的符号.(重点)

[基础·初探] 教材整理1 任意角的三角函数 阅读教材P14～P15，完成下列问题. 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0).

三角函数 定义 定义域 名称 sin α yr R 正弦

cos α xr R 余弦 tan α yx α α≠kπ＋π2，k∈Z 正切 sec α rx α α≠kπ＋π2，k∈Z 正割 csc α ry {α|α≠kπ，k∈Z} 余割 cot α xy {α|α≠kπ，k∈Z} 余切

若角α的终边上有一点P(3,4)，则sin α＋cos α＝________. 【解析】 由三角函数定义知，sin α＝45，cos α＝35，

∴sin α＋cos α＝75. 2

【答案】 75 教材整理2 三角函数在各象限的符号 阅读教材P16“例2”以下～P17“例3”以上部分，完成下列问题.

图1­2­1 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角. 【解析】 ∵cos θ·tan θ<0，∴sin θ<0. 故由象限角知识可知θ在第三或第四象限. 【答案】 第三或第四 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问5：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 3