高中数学三角函数模型的简单应用学案苏教版必修

图11.3.4 三角函数的应用【学习目标】1．会根据函数图象写出解析式2．会用三角函数的图象与性质解决一些实际问题 3．体会三角函数是描述周期现象的重要模型．【重点与难点】1.待定系数法求三角函数解析式2.建立三角函数的模型，并用待定系数法求三角函数解析式【预学单】 知识回顾1. 函数1sin 2y x =图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位，求所得函数图像的解析式.2．函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.【研学单】主题一、如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？例1．如图1，某地一天从6到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b ．（0,0>>ωA ） （1）求这一天该时段的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．练习：已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x A x f 的部分图像如图所示．则函数f （x ）的解析式为 ．主题二、已知y=A sin(ωx＋ )＋b模型，用待定系数法确定其中参数例2．在图2中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时．（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；（2）求该物体在t＝5s时的位置．图2主题三、利用数学知识确定模型－圆周运动例3．如图：一个半径为4m的水轮，水轮圆心O恰在水面上，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，当水轮上点P在A点时开始计时。

试将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;【变式】将圆心O上移2米，当点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，其余不变，试求解：（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数;(2) 点P第一次达到最高点大约需要多长时间？例4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。

三角函数模型的简单应用教案设计设计理念：《普通高中数学课程标准》明确提出了提高学生的知识和技能、重视学生的学习过程和方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。

为此，结合本节课的教学内容和本校学生的实际情况，教学过程中注重过程、方法，引导学生不断提出问题、研究问题，并解决问题。

重视互动交流，在教学活动中渗透情感态度与价值观。

一、教材分析内容简介：三角函数模型的简单应用的第一课时。

1、教材的地位和作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。

2、学情分析学生已经学习了三角函数的图像和性质，具有用数学知识解决这类实际问题的能力；根据我校学生的数学基础，我在讲解时放慢步骤，对重点环节重点指导，带领学生积极参与并让学生多思考，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。

3、教学重点与难点基于上述分析，并结合实际情况，我确定本节课的重点、难点：教学重点——用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题．教学难点——从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．二、目标分析本课教学我以学生的认知水平和生活实际，以学生内化新知为落脚点，在此基础上，我确立了本科的三维教学目标：知识目标——学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律，把发现的规律抽象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题．能力目标——让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。

情感目标——让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用.三、教法及学法分析新课程理念下的教师要善于做学生学习的组织者、合作者、引导者，学生闪光点的发现者以及向学生学习的学习着。

教学方法——启发式、讲练相结合式学习方法——小组自主探究、合作交流式教学手段——为使教法和学法更完美地融为一体，我借助多媒体辅助教学，提高课堂效率。

图 3 图 2 图1§1.3.4 三角函数的应用(一) 王建宏 课标重难点1.会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题．2.进一步掌握函数模型的应用，培养独立思考的能力，增强应用数学的意识，学会将实际问题抽象为数学问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3.体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．课前练习1. 若钟摆的高度h (mm )与时间t (s )之间的函数关系如图1所示．试写出该函数的解析式 .2.如图2，某地一天从6时至14时的温度变化曲线,试写出该函数的解析式 . 题型探究 例1如图2，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.(Ⅲ) 求一天中温度超过250C 的时间有多长?练习1. 若钟摆的高度h (mm )与时间t (s )之间的函数关系如图1所示．求t ＝l0(s )时钟摆的高度．例2 在图3中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的 方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm ,周期为3s ,且物体向右 运动到距平衡位置最远处时开始计时.(Ⅰ)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系; (Ⅱ)求该物体在5t s =时的位置.练习2.在图3中, 点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为5cm ,周期为4s ,且物体向右运动到平衡位置时开始计时.(Ⅰ) 求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(Ⅱ)求该物体在7.5t s =时的位置.O图5例3 一半径为4m 的水轮如图4所示,水轮圆心O 距水面2m,已水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(Ⅰ)将点P 距离水面的高度z (m )表示为时间t (s )的函数;(Ⅱ)点P 第一次到达最高点大约要多少时间?练习3. 如图5，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： （Ⅰ）求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式；（Ⅱ）当你第4次距离地面60.5米时，用了多少时间？（Ⅲ）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.课堂演练1. y =x ·cos x 的部分图象是如右图所示的 ( )2.下列四个结论中正确的个数是 ( )①y =sin|x |的图象关于原点对称 ②y =sin （|x |+2）的图象是把y =sin|x |的图象向左平移2个单位得到的 ③y =sin （x +2）的图象是把y =sin x 的图象向左平移2个单位而得到的④y =sin （|x |+2）的图象是由y =sin （x +2）（x ≥0）的图象及y =－sin （x －2）（x <0）的图象组成的A.1B.2C.3D.43.关于函数f (x )＝4sin(2x ＋3π)(x ∈R)，有下列命题: ①由f (1x )＝f (2x )＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可以改写成y ＝4cos(2x －6π)； ③y ＝f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－6π对称. 其中正确的命题序号是____ _____.(注:把你认为正确的命题序号都填上) 4.估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：D （t ）=2k sin π180（t －60）+12,其中t 表示某天的序号，t =0表示1月1日，依此类推，常数k 与某地所处的纬度有关.（Ⅰ）如在波士顿，k =6，试画出函数当0≤t ≤360时的图象；（Ⅱ）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？（Ⅲ）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？。

三角函数教学设计【教学分析】1、周期现象是自然界中一类根本的现象，而三角函数是用来刻画周期现象变化的最重要，最根本的数学模型。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其本身都是最根本的周期，很多周期现象变化规律都可以由他们直接描述。

2、初中讲授的三角函数是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系，通过边的比值反响角的大小，而不是从函数的角度来认识；而高中阶段三角函数的学习是特殊函数的研究，初中，高中两个阶段三角函数的学习角度不同。

3、随着对三角函数讨论的深入，使得三角函数成为分析学的重要组成局部，三角函数成了独立的数学分支。

4、角度制和弧度制都是测量角的根本方法，他们是对同一个量——“角〞的不同度量方法。

【内容分析】“三角函数〞这一章的教育价值主要表达在以下几个方面：1 用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。

2 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会数形结合的思想方法。

3 通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题的能力。

4 结合有关内容〔如角度与弧度的换算，角求它的三角函数值，三角函数值求角〕进行算法的根本训练，鼓励学生运用计算器，计算机求函数值，作函数图象，探索和解决问题。

5 通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；理解并认识角度制与弧度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的。

6 通过对同角三角函数的根本关系的学习，揭示事物之间普遍联系的规律，培养辨证唯物主义思想。

7 通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而到达从感性认识到理性认识的飞跃。

【根本要求】〔1〕任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

〔2〕三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义。

浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

——恩格斯。

21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。

一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。

另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。

割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。

因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。

数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。

数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。

通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。

知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。

能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。

1.3.4 三角函数的应用[学习目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．[知识链接]1．数学模型是什么？什么是数学模型的方法？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法． 2．上述的数学模型建立的一般程序是什么？ 答 解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系； (2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； (3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； (4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答． [预习导引]1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k . (2)A ＝y max －y min2，k ＝y max ＋y min2.(3)ω可由ω＝2πT确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.要点一 三角函数图象的应用例1 作出函数y ＝|cos x |，x ∈R 的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间． 解 y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .作出函数y ＝cos x 的图象后，将x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，如图：由图可知，y ＝|cos x |是偶函数，T ＝π，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π(k ∈Z )．规律方法 翻折法作函数图象(1)要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，即“下翻上”．(2)要得到y ＝f (|x |)的图象，只需将y ＝f (x )的图象在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分．跟踪演练1 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.要点二 应用函数模型解题例2 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式．此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪演练2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)由下面的函数关系式表示：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 解 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎪⎫0，322.(2)由题意知，当h ＝3时，t ＝π8，即最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3；当h ＝－3时，t ＝5π8，即最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3.(3)T ＝2π2＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次．(4)f ＝1T≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次．要点三 构建函数模型解题例 3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)(2)观察图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )， 注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．规律方法 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．在求解具体问题时需弄清A ，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化． 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： 1．根据原始数据给出散点图．2．通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． 3．根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 跟踪演练3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，得水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1，∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.1．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内有________个根． 答案 22．如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是________．答案 ③解析 d ＝f (l )＝2sin l2.3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为__________________．答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7解析 由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，∴B ＝7，A ＝2.又T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4， 令3×π4＋φ＝π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．一、基础达标1．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________． 答案 [0,1]和[7,12]解析 ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π6t ＋φ)．又∵t ＝0时，y ＝32，∴可取φ＝π3，∴y ＝sin(π6t ＋π3)， ∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )时，函数递增．∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．2．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示：t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0答案 y ＝－4.0cos 52πt解析 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，则A ＝4.0，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，又t ＝0时，y ＝－4.0，∴－4.0＝4.0sin φ，∴可取φ＝－π2，∴y ＝4.0sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52πt －π2，即y ＝－4.0cos 52πt .3．下图显示相对于平均海平面的某海弯的水面高度h (米)在某天24小时的变化情况，则水面高度h 关于从夜间零时开始的小时数t 的函数关系式为________．答案 h ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π⎝⎛⎭⎪⎫或h ＝－6sin π6t4．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________． ①y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]；②y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]； ③y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]；④y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]．答案 ①解析 在给定的四个选项①②③④中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在[0，πn ]上的面积的2n(n ∈N *)，则(1)函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为________；(2)函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为________．答案 (1)43 (2)π＋23解析 (1)取n ＝3，由已知，函数y ＝sin 3x 在[0，π3]上的面积为23.∵函数y ＝sin 3x 的周期为2π3，∴函数y ＝sin 3x 在(π3，2π3)上的面积也是23，∴函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为43.(2)y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间[π3，4π3]上的图象如图所示：由(1)知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为π＋23.7．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b . (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．二、能力提升8．已知A 1，A 2，…A n 为凸多边形的内角，且lgsin A 1＋lgsin A 2＋……＋lgsin A n ＝0，则这个多边形是________． 答案 矩形解析 由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1， ∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1， ∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°.根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°，解得n ＝4.9．已知某种交流电电流I (A)随时间t (秒)的变化规律可以用函数I ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π2表示，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次． 答案 25解析 周期T ＝2π100π＝150(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次．10．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图象如图所示，则t ＝7120秒时的电流强度为______．答案 0解析 根据图象得A ＝10，由⎩⎪⎨⎪⎧1300ω＋φ＝π2，4300ω＋φ＝32π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝100π，φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝7120秒时，I ＝10sin 6π＝0.11．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]． 答案 10sin πt60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.12．如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间． (1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 三、探究与创新13．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放 ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。

第32课三角函数综合问题一、考纲要求1能灵活运用三角公式进行化简、求值、求范围；2能综合应用代数中的函数、方程、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题。

二、知识梳理1．在中，，，且，，，那么 = ，= ．【教学建议】此题是课本习题的改编，考查三角函数与向量简单的综合应用。

教学时先让学生回忆向量的数量积公式，强调向量夹角必须共起点，求出后，利用余弦定理求出长。

2．函数，假设是函数图像的一条对称轴，那么的值为．【教学建议】此题主要考查三角函数的图像与性质，及三角恒等变形。

教学时，先让学生求出的对称轴，带入表达式，转化为三角求值题，此题要注意分类讨论，不能漏解。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

上课前抽查批阅局部同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

2、结合课件点评。

必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。

题1：函数的最大值为___________【点评】解析式有何特点？平方展开后出现一个定值，另一个表达式怎么处理？，有没有定义域的范围限制？题2：假设，那么．答案为：【点评】此题主要考察根本关系式、切化弦的根本思路。

注意学生盲目去解，或者计算中不及时发现可用公式。

如，左边，右边都直接用公式。

题3：角构成公差为的等差数列，假设，那么答案为：问题：探求的根本思路是什么？题4：在锐角三角形中，假设，那么实数的取值范围是答案为：【点评】指导学生认真读题。

引导学生探究锐角三角形角的正切值的范围。

问题1：是否需要向“弦〞上转化？问题2：都大于零，能够保证三角形是锐角三角形吗？如果不能，要研究什么？3、诊断题归纳1．研究三角函数的性质，通常将函数解析式化成的形式，如题3和题4 2．会应用代数中的函数、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题，同时要注意角的范围对问题的限制。

四、范例导析例1、例1在中，假设〔1〕求角；〔2〕假设的最大边长为，求最小边的长【教学处理】第〔1〕问，学生自主完成。

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明教案示例：一、教学目标1.理解三角函数模型的基本概念和性质；2.能够应用三角函数模型解决实际问题；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。

二、教学内容1.三角函数模型的概念和性质；2.三角函数模型的简单应用。

三、教学重点1.理解三角函数模型的概念和基本性质；2.能够运用三角函数模型解决实际问题。

四、教学方法1.讲授法：通过教师讲授和示范，引导学生理解三角函数模型的概念和特点；2.案例法：通过具体实例，让学生运用三角函数模型解决实际问题，提高问题解决能力；3.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。

五、教学步骤和内容详细说明步骤一：引入1.导入话题：通过提问和讨论，引导学生思考在现实生活中有哪些问题可以用三角函数模型来解决。

2.引入概念：介绍三角函数模型的概念和基本性质，引导学生理解三角函数模型的意义和应用范围。

步骤二：探究与讲解1.设计实例：给学生一个具体实例，引导他们通过观察和探究，了解三角函数模型的具体应用。

2.讲解三角函数模型的基本概念、公式和性质，帮助学生建立起三角函数模型的基本框架。

步骤三：梳理与总结1.梳理知识：回顾三角函数模型的基本概念和公式，让学生用自己的话总结出三角函数模型的特点和应用方法。

2.综合训练：设计一些综合性的应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高解题能力。

步骤四：拓展与延伸1.拓展应用：给学生一些更复杂的实际问题，让他们运用所学知识进行分析和解答，培养他们的建模能力和创新思维。

2.延伸探究：引导学生思考三角函数模型的局限性和应用范围，鼓励他们用不同的方法去解决同一个问题。

六、教学资源和工具1.教材：高中数学必修4教材；2.工具：白板、多媒体投影仪等。

七、教学评价1.提问评价：通过提问方式，检查学生对三角函数模型的理解程度；2.综合评价：通过学生的实际表现和作业完成情况，评价他们运用三角函数模型解决实际问题的能力。

2019-2020年高中数学 1.3.4《三角函数的应用》教案苏教版必修4一、教学目标：1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；3.能用计算机处理有关的近似计算问题.二、重点难点：重点是待定系数法求三角函数解析式;难点是选择合理数学模型解决实际问题.三、教学过程：【创设情境】三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.【自主学习探索研究】1．学生自学完成P42例1点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.（1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系；（2）求该物体在t=5s时的位置.（教师进行适当的评析.并回答下列问题：据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？）2．讲解p43例2(题目加已改变)2．讲析P44例3海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？问题：（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？（2）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？（3）函数的周期为多少？（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？3．学生完成课本P45的练习1，3并评析.【提炼总结】从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.四、布置作业：P46 习题1.3第14、15题2019-2020年高中数学 1.3.4三角函数的应用练习（含解析）苏教版必修4情景：如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m，风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．思考：你能求出函数h＝f(t)的关系式吗？你能画出它的图象吗？1．已知函数类型求解析式的方法是________．答案：待定系数法2．在y＝A sin(ωx＋φ)的解析式确定中最关键是确定________，可通过________来确定．答案：ω周期3．三角函数平移变换改变图象的________，伸缩变换改变图象的________．答案：位置形状4．函数y ＝f (x )与y ＝f (|x |)图象关系是___________________________________________________________ __________________________________________________________.答案：y ＝f (x )在y 轴右侧的图象关于y 轴对称的图象，连同y ＝f (x )在y 轴右侧的图象在一起，即是y ＝f (|x |)的图象(也包括与y 轴的交点)5．函数y ＝f (x )与y ＝|f (x )|图象关系是___________________________________________________________ __________________________________________________________.答案：y ＝f (x )在x 轴下方的图象关于x 轴对称的图象，连同y ＝f (x )在x 轴上方的图象在一起，即是y ＝|f (x )|的图象(包括图象与x 轴交点)6．三角函数可以作为描述现实世界中________现象的一种数学模型． 答案：周期7．y ＝|sin x |是以________为周期的波浪型曲线． 答案：π8．在三角函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，(A ＞0，ω＞0)中，f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则A ＝________，b ＝________，周期T ＝________，φ的值要利用________求得．答案：M －m 2M ＋m 2 2πω代点法9．用数学知识研究生活中的数学问题，应首先采集________，然后根据数据作出________，通过计算归纳函数关系式，再去研究它的性质，解决实际问题时最容易忽视的是__________________________________________________________．答案：数据 分析 实际问题中自变量的取值范围10．解三角函数的应用问题的基本步骤是________________________________________________________、 ______________、______________．答案：阅读理解，审清题意 收集整理数据，建立数学模型依据模型解答，求出结果 将所得结果转化成实际问题三角函数模型的应用三角函数的应用主要是其性质的应用，特别是三角函数周期性的应用，一些物理现象如单摆、匀速圆周运动等均用到三角函数的知识．建模的一般步骤数学应用题一般文字叙述较长，反映的事件背景新颖，知识涉及面广，这就要求有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力．解决此类函数应用题的基本步骤是：第一步，阅读理解，审清题意，读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步，根据所给模型，列出函数关系式．根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步，再将所得结论转译成原有问题的解答．基础巩固1．如果音叉发出的声波可用f(x)＝0.002sin 520πt描述，那么音叉声波的频率是________．答案：2602．已知函数y ＝2sin ωx (ω＞0)的图象与直线y ＋2＝0的相邻两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为________． 答案：33．y ＝|sin 2x |的最小正周期是________． 答案：π24．下图是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象，则ω＝________，φ＝________．答案：2 π65．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π66．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的初相为π4，且f (x )的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，A ，则函数f (x )的最小正周期的最大值为________．答案：8π37．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．能力升级8．关于x 的方程sin ωx ＝cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ，b ＋πω上解的个数判断正确的是( )A ．只有一个解B ．至少有一个解C ．至少有两个解D ．不一定有解解析：本题考查y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象．由于y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的周期是2πω，而区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ，b ＋πω是半个周期的长度．y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx在半个周期内至少有一个交点，最多有两个交点．∴sin ωx ＝cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ，πω＋b 内至少有一个解．答案：B9．方程sin x ＝k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上有两个不同解，则实数k 的取值范围是________．解析：作出y ＝sin x 和y ＝k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上的图象，若两图象有两个交点，数形结合知12≤k ＜1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，110．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].在同一平面直角坐标系内画y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图．由图可知，当y ＝f (x )与y ＝k 的图象有且仅有两个不同交点时，k 的取值范围为1＜k ＜3.答案：(1，3)11．试结合图象判断方程sin x ＝lg x 的实根的个数．解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝sin x 与函数y ＝lg x 的图象，如图所示，要求方程sin x ＝lg x 的实根个数，只需求函数y ＝sin x 与函数y ＝lg x 的图象的交点个数．由于函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，且x >10时有y >1，所以交点只可能在区间(0，10)内．从图象可以看出，这时它们有3个交点，即方程sin x ＝lg x 有3个实根．12．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，∴A 可排除；∵当x ＝2时，y ＝2sin 2>2，∴D 可排除；又∵当x ＝π6时，y ＝π6sinπ6＝π3>1，∴B 可排除．故选C.答案：C13．如下图所示，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点的运动周期和频率．答案：y ＝r sin(ωt ＋φ)(t ≥0)，T ＝2πω，f ＝ω2π14．下图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ度角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间的函数解析式．解析：(1)如图，过点O 作地面的平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于点M .当θ＞π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2.当0≤θ≤π2时，上述关系式也适合． ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30rad/s. ∴t 秒转过的弧度数为π30t . ∴h ＝4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)．15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价为8千元，7月份达到最低价为4千元，该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )，售价函数g (x )的解析式；(2)问哪几个月能盈利？解析：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意，可得A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6，1≤x ≤12且x ∈N *， g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －34π＋8，1≤x ≤12且x ∈N *. (2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <22. 2k π＋34π<π4x <2k π＋94π，k ∈Z ， ∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z.∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴当k ＝0时，3<x <9.∴x ＝4，5，6，7，8.当k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12.∴x ＝4，5，6，7，8，12，故4，5，6，7，8，12月份能盈利．16．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．假设某商店每月购进这种商品m 件且当月能售完，请估计哪个月盈利最大，并说明理由．解析：设x 为月份，则由条件可得出厂价格函数为y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6，x ∈[1，12]且x ∈N *， 销售价格函数为y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －3π4＋8， 则利润函数 y ＝m (y 2－y 1)＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －3π4＋8－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4－6 ＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2－22sin π4x ， 所以，当x ＝6时，y ＝(2＋22)m ，即6月份盈利最大．。

人教A（必修4）1.6三角函数模型的简单应用（第一课时教学设计案例）王亚清一、教材的地位与作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力二、教学目标分析1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

三、教学重点和难点教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质教学难点：a分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b由图象求解析式时 的确定。

四、教法分析1、数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，所以要充分呈现获取知识和方法的思维过程。

本节课的特点是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后老师启发、总结、提炼、升华为分析解决问题的能力。

2、多媒体辅助教学：通过几何画板、动画等技术制作多媒体课件，直观反映生活中的三角函数例子，并用多媒体反映图形的变化过程。

五、学法分析我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。

【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。

【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。

【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。

例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。

正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。

2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。

（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。

（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。

三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。

（1）分析题意，选用何种三角函数模型。

设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。

2019-2020年高中数学《三角函数的应用》教案1苏教版必修4【三维目标】：一、知识与技能1. 会由函数的图像讨论其性质；能解决一些综合性的问题。

2.会根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出中的待定系数．3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力二、过程与方法1. 通过具体例题和学生练习，使学生能根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出中的待定系数．2.并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

三、情感、态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

【教学重点与难点】：重点：待定系数法求三角函数解析式;难点：根据函数图象写解析式；根据已知条件写出中的待定系数．【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题复习：1.由函数的图象到的图象的变换方法：方法一：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；方法二：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。

2.如何用五点法作的图象？3.对函数图象的影响作用二、研探新知函数[(,),0),sin(+∞∈+=x x A y ϕω其中的物理意义：函数表示一个振动量时：：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”：往复振动一次所需的时间，称为“周期”：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”：称为相位：x = 0时的相位，称为“初相”三、质疑答辩，排难解惑，发展思维1．根据函数图象求解析式例1 已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。

解：由图知：函数最大值为，最小值为，又∵，∴，由图知,∴，∴，又∵， ∴图象上最高点为，∴，即，可取，所以，函数的一个解析式为．2．由已知条件求解析式例2 已知函数（，，）的最小值是， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。

1.3.4 三角函数的应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．三维目标1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．3．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课．思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．推进新课新知探究用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝sin(ωx＋φ)＋b.图1(1)求这一天的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．活动：这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决． 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型．其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第(2)小 题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通过建立方程得解．解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20. ∵12·2πω＝14－6，∴ω＝π8.将x ＝6，y ＝10代入上式，解得φ＝3π4.综上，所求解析式为y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x∈[6,14]． 点评：本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.例2见课本本节例2.例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？图2活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0＝htanθ.由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．解：如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.图3根据太阳高度角的定义，有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝h0tanC＝h0tan26°34′≈2.000h0，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.知能训练课本本节练习1、2.课堂小结1．本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．作业1．图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I ＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象．图5(1)根据图象写出I ＝Asin(ωx＋φ)的解析式．(2)为了使I ＝Asin(ωx＋φ)中的t 在任意一段1100s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？解：(1)由图知A ＝300，第一个零点为(－1300，0)，第二个零点为(1150，0)， ∴ω·(－1300)＋φ＝0，ω·1150＋φ＝π. 解得ω＝100π，φ＝π3. ∴I＝300sin(100πt＋π3)． (2)依题意有T≤1100，即2πω≤1100， ∴ω≥200π，故ωmin ＝629.2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．解：如以下两例：①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．设计感想1．本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．2．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．备课资料一、备选习题1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是( )图6A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(4x －π3) D ．y ＝cos(2x －π6) 2.已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π)的一段图象如图7所示，求函数的解析式．图73．已知函数y ＝Atan(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点(0，－3)，求此函数的解析式． 4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s ＝6sin(2πt＋π6)． (1)单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 5．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y ＝kx 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．参考答案：1．D2．由图7，得A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin(2x ＋φ)．又∵图象经过点(－π8，2)，∴2＝2sin(－π4＋φ)．∴φ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z )．∴φ＝2kπ＋3π4.∴函数解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．3．∵T＝πω＝5π6－π6，∴ω＝32.∵32×π6＋φ＝0，且－3＝Atan(32×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－π4.故y ＝3tan(32x －π4)．4．(1)t ＝0时，s ＝3，即离开平衡位置3厘米；(2)振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；(3)T ＝1，即来回一次需要1秒钟．5.将原函数化简为f(x)＝sinx ＋2|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sinx ，x∈[0，π]，－sinx ，x∈π，2π]，由此可画出图8，图8由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.二、数学与音乐若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的．如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数．除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系．毕达哥拉斯学派(公元前585～前400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的．他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系．他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比．按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶．例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C.不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状．19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点．他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和．每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来．傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来．音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关．如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展．数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的．许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较．电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关．音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(作业导入)学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，②智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等．思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．推进新课新知探究三角函数性质在生活中的应用．本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业．教师指导、适时设问，调动学生的学习气氛．应用示例例1货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图，提醒学生仔细、准确地观察散点图，如图9.图9教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画．其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，ω，φ，h的值．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深．根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．在本例的(3)中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型？求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论，最后得出一致结论：在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图9)．根据图象，可以考虑用函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h ＝5，T ＝12，φ＝0，由T ＝2πω＝12，得ω＝π6. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin(π6x)＋5近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港．令2.5sin(π6x)＋5≥5.5，得sin π6x≥0.2.画出y ＝sin(π6x)的图象，由图象可得 0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港．图10(3)设在时刻x 货船的安全水深为y ，那么y ＝5.5－0.3(x －2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点(如图11)．图11通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.7时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．点评：本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答，教师需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中，一天中有两个时间段可以进港，教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释. 变式训练 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，I A ＝Isinωt，I B ＝Isin(ωt＋120°)，I C ＝Isin(ωt＋240°)，则I A ＋I B ＋I C ＝__________. 答案：0例2已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx ＋f(x)＝23，求sinxcosx 的值． 解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)．∴φ＝π2.∴f(x)＝sin(ωx＋π2)＝cosωx. 相邻两点P(x 0,1)，Q(x 0＋πω，－1)． 由题意，|PQ|＝πω2＋4＝π2＋4，解得ω＝1. ∴f(x)＝cosx.(2)由sinx ＋f(x)＝23，得sinx ＋cosx ＝23. 两边平方，得sinxcosx ＝－518. 例3小明在直角坐标系中，用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解：小明原作的曲线为y ＝sinx ，x∈R ，由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度，与原来1 cm 代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1 cm 只能代表12个单位长度了．由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y ＝12sinx ，x∈R .同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，则横坐标被压缩到原来的12，原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x ，x∈R .例4求方程lgx ＝sinx 实根的个数．解：由方程式模型构建图象模型．在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象，如图12.可知原方程的解的个数为3.图12点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法．知能训练课本习题1.3 14.课堂小结1．让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题．作业课本习题1.3 13.设计感想1．本节是三角函数内容中新增加的一节，目的是加强学生的应用意识，本节教案设计的指导思想，是让学生围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念．2．现实生活中的问题是多变的，学生的思维是发散的，观察的视角又是多样的，因此课题教学中，教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，通过讨论例题这个载体，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创造，走向创新．3．学生面对枯燥的数据，潜意识里是讨厌的，因此教师要在有限的课堂时间里，着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定，不要把时间浪费在一些计算上．备课资料一、备选习题1．图13是周期为2π的三角函数f(x)的图象，那么f(x)可写成( )图13A．sin(1＋x) B．sin(－1－x)C．sin(x－1) D．sin(1－x)。

人教A （必修4）1.6三角函数模型的简单应用（第一课时教学设计案例）王亚清一、教材的地位与作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力二、教学目标分析1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

三、教学重点和难点教学重点：精确模型的应用一一即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质教学难点：a分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.b由图象求解析式时;：的确定。

四、教法分析1、数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，所以要充分呈现获取知识和方法的思维过程。

本节课的特点是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后老师启发、总结、提炼、升华为分析解决问题的能力。

2、多媒体辅助教学：通过几何画板、动画等技术制作多媒体课件，直观反映生活中的三角函数例子，并用多媒体反映图形的变化过程。

五、学法分析我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。

1.3.4 三角函数的应用1．三角函数模型的应用(1)三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)的最大值为A ，最小值是－A ，周期是2π|ω|，频率为|ω|2π. (3)三角函数模型的三种应用模式：一是给定具有周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数解析式(函数模型)，再解决其他问题；三是收集一组实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．预习交流在建模过程中，散点图的作用是什么？ 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．2．应用三角函数模型解实际问题的步骤第一步：阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景；在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步：根据所给模型，列出函数关系式，根据已知条件和数量关系，建立函数关系式；在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步：再将所得结论转译成实际问题的解答．一、三角函数在物理学中的应用表示电流I 与时间t 的关系式I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，如图所示．(1)根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一段1100秒的时间内都能使I 同时取到最大值|A |和最小值－|A |，那么正整数ω的最小值为多少？思路分析：(1)由一个周期内的图象可确定图象的五个关键点，据此可求出解析式．(2)画图分析得：要使任意一段1100秒的时间内I 能同时取到最大值和最小值，需要满足周期T ≤1100. 解：(1)由图可知：A ＝300，周期T ＝160－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＝150.∴ω＝2πT＝100π，此时所求函数的解析式为I ＝300sin(100πt ＋φ)．以点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0为“五点法”作图的第一关键点则有100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，∴φ＝π3. 得函数解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3. (2)由题意知周期T ≤1100，即2πω≤1100⇒ω≥200π⇒ω≥628.3.由于ω为正整数，故ω的最小值为629.如图所示的是弹簧挂着小球做上下运动，时间t (s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动时的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？解：(1)用“五点法”作出图象．如图所示．(2)当t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4＝2sin π4＝2， 即小球开始振动时的位置为(0，2)．(3)当t ＝π8时，h ＝2；当t ＝5π8时，h ＝－2.即最高点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，最低点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－2.最高点与最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.(4)∵T ＝2πω＝2π2＝π≈3.14，即每经过3.14 s 小球往复振动一次．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题中，此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法． 二、三角函数在日常生活中的应用如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面的距离为0.8 m ,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面的距离是h .(1)求h 与θ间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？思路分析：由题意得h 与θ的三角函数关系，再由此函数关系得h 与t 的解析式．最后由三角函数的性质求t 的值．解：(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t .∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30.∴缆车第一次到达最高点时用的最少时间是30 s.如图为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋2，则ω，A 的值分别为__________．答案：2π15，3 解析：易知水轮的角速度ω＝2π×460＝2π15，A ＝3.面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．1．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于__________．答案：g4π2解析：因为周期T ＝1＝2πg l，所以g l ＝2π，则l ＝g 4π2. 2．设钟摆每经过1.8秒便回到原来的位置．如图，当钟摆达到最高位置M 时开始计时，经过1分钟后，请你估计钟摆在铅垂线的__________边(填“左”或“右”)．答案：右解析：∵钟摆的周期为1.8秒，60＝1.8×33＋0.6，∴钟摆在铅垂线的右边．3．下图是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分，则下列判断中正确的有__________(填序号)．①该座舱的运动周期是π； ②该座舱的振幅是2；③该座舱在π10s 时达到最高点；④该座舱在7π20s 时离地面最近．答案：①④解析：T 4＝7π20－π10＝π4，∴T ＝π，①正确；该座舱的振幅是1，②错误；该座舱在π10s时没有到达最高点，③错误；显然④正确．4．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速运动，观察后轮气针的运动规律．若轮胎以ω rad/s 的角速度做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针到原点O 的距离为r cm ，求气针的位置P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式，并求出气针的运动周期，当φ＝π6，r ＝ω＝1时，作出其函数图象．解：易知函数关系式为y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω.当φ＝π6，r ＝ω＝1时，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π6.其图象是将y ＝sin t 的图象向左平移π6得到的．。