高中数学三角函数教学设计.doc

《三角函数的概念》教学设计本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课，具有核心地位、统领全局的作用． 在此之前，学生已经学习了锐角三角函数，弧度制，对三角函数（正弦，余弦，正切）有一定的了解，了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．为本节课的学习提供了知识准备． 本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系．借用单位圆直观的表示三角函数的对应值．1．了解任意角三角函数概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；2．掌握任意角三角函数的代数表示，理解任意角三角函数的正弦，余弦，正切概念，体会用单位圆进行数学研究的一般过程．教学重点：本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程．1．教学问题： （1）学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍，由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数，要克服这一点，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系；（2）学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会形成障碍．（3）学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．2．教学支持条件：计算机，几何画板，科大讯飞问答系统．【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图1，在直角三角形OMP 中，M ∠是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O ∠的正弦，余弦，正切分别是什么？ ◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义．【预设师生活动】教师提出问题，学生回答．【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎么定义呢？【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．【预设师生活动】老师引导学生：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（2）将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？（3）如图2：在平面直角坐标系中如何定义任意角α的三角函数？（4）终边是OP 的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当α的终边不在第一象限该怎么办？（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？（渗透数形结合的思想） （6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？【设计意图】为引入单位圆做铺垫．【预设师生活动】教师提出问题后，课组织学生展开讨论，在学生不能回到正确时，可启发他们思考：（1）我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂？（2）对于一个三角函数，比如sin y α=．它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后，能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样取？（加强与几何的联系））【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是求什么？【设计意图】让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．【预设师生活动】在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值例1 已知角α的终边过点P （12，α的正弦、余弦和正切值． 【设计意图】从最简单的问题入手，然后通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．【预设师生活动】在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识．变式1： 求 35π 的正弦、余弦和正切值． 变式2： 已知角α的终边过点P （－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值．【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？【设计意图】研究一个函数，就是要研究其三要素，而三要素中最本质的是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经有定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域，通过利用定义求定义域，即完善了三角函数概念的内涵，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】学生求出定义域，教师进行整理【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？【设计意图】通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．【预设师生活动】学生回答，教师进行整理．例2. 求证：（1）当不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立时，角θ为第三象限角； （2） 当角θ为第三象限角时，不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立．【设计意图】通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练；【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？【设计意图】引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．【预设师生活动】在教师的引导下，由学生讨论完成．例3 先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；)672cos()4();611tan()3(;3cos )2(;49sin )1(0--πππ． 【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题． 练习（1）填表．（2）设α是三角形的一个内角，在αsin ，αcos ，αtan ，2tan中，有可能取负值的是 ．（3）选择“>”，“<”，“=”填空：;0_____)34sin(π-;0_____556tan 0 ;0_____)450cos(0-;0_____)817tan(π- （4）选择0tan )5(;0tan )4(;0cos )3(;0sin )2(;0sin )1(<>><>ααααα中适当的关系式的序号填空：（1）当角α为第一象限角时， ，反之也成立；（2）当角α为第二象限角时， ，反之也成立；（3）当角α为第三象限角时， ，反之也成立；（4）当角α为第四象限角时， ，反之也成立；（5）求67π的正弦，余弦和正切值． （6）已知角θ的终边经过点P （-12，5），求角θ的正弦，余弦和正切值．（7）求下列三角函数值： );431tan();1050sin(;319tan ;1109cos 00ππ-- 例4（备选） 如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了t0 秒呢？【设计意图】通过应用三角函数定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值，三角函数值的符号，公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解．【预设师生活动】根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容做具体调整．5. 小结【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？锐角三角函数与解直角三角形相关，在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了，我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数．借助平面直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容．【预设师生活动】在学生给出定义后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点．【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用，能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用．图1【预设师生活动】在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想．。

最新高中数学三角函数教案设计(六篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三角函数教案优秀3篇角函数教学设计篇一教材分析：本章包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念)，以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。

锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。

研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。

本章内容与已学#39;相似三角形#39;#39;勾股定理#39;等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。

难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。

至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。

第一课时教学目标：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。

2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。

情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

重难点：1.重点：理解认识正弦(sinA)概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实。

2.难点与关键：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

教学计划：《三角函数的概念》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够准确理解三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，并能识别其在直角三角形中的表示。

o学生能够掌握三角函数值与角度之间的对应关系，理解三角函数是周期函数的特点。

o学生能够运用三角函数的基本性质进行简单的计算与推导。

2.过程与方法：o通过观察、比较和归纳，引导学生从实际情境中抽象出三角函数的概念。

o借助图像直观展示三角函数的周期性，培养学生的数形结合能力。

o通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同探索三角函数的性质。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。

o培养学生的探究精神和创新思维，鼓励他们勇于提出问题并尝试解决。

o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。

二、教学重点和难点●重点：三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、图像及基本性质。

●难点：理解三角函数值与角度之间的对应关系，以及三角函数周期性的概念。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过展示如钟摆运动、海浪波动等自然界中的周期性现象，引导学生思考这些现象背后的数学规律，从而引出三角函数的概念。

●复习旧知：回顾直角三角形的相关知识，如勾股定理、锐角与钝角的定义，为学习三角函数做好铺垫。

●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，即掌握三角函数的基本概念、图像及基本性质。

2. 讲授新知（15分钟）●定义讲解：详细讲解正弦、余弦、正切三种三角函数在直角三角形中的定义，强调它们与边长的比例关系。

●图像展示：利用多媒体设备展示三种三角函数的图像，引导学生观察图像特征，如正弦、余弦函数的周期性，正切函数的间断性等。

●性质归纳：结合图像，引导学生归纳出三角函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。

3. 互动探究（10分钟）●小组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个探究任务，如“探究正弦函数在哪些区间内是增函数？”、“尝试用三角函数表示一个圆上某点的坐标”。

三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒）3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒390︒-330︒是第Ⅰ象限角300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒)0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 4．例一 （P5 略） 五、小结： 1︒ 角的概念的推广用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角”第二教时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。

教学计划：《三角函数的图像与性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握正弦、余弦、正切函数的基本图像及其关键特征（如周期、振幅、相位等）；理解并应用三角函数的奇偶性、单调性、最值等性质。

2.过程与方法：通过绘制函数图像、观察分析、归纳总结等过程，培养学生直观感知、逻辑推理和数学抽象能力；学会运用数形结合的方法解决三角函数问题。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养探索精神和严谨的科学态度；通过团队合作和交流分享，增强学生的集体意识和协作能力。

二、教学重点和难点●教学重点：正弦、余弦、正切函数的基本图像及性质；数形结合思想在三角函数中的应用。

●教学难点：理解并掌握三角函数图像的变换规律（如平移、伸缩、对称等）；运用三角函数的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例：通过展示海浪波动、音乐波形等自然现象或人工制品中的周期性变化，引导学生思考这些现象与三角函数的关系，引出三角函数图像的重要性。

●复习旧知：简要回顾三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和基础性质，为后续学习做好铺垫。

●提出问题：提出探究性问题，如“正弦函数的图像是什么样的？它有哪些基本性质？”激发学生的好奇心和探索欲。

2. 讲授新知（约15分钟）●图像绘制：利用多媒体演示或指导学生动手绘制正弦、余弦、正切函数的图像，强调图像的连续性、周期性等特点。

●性质讲解：结合图像，详细讲解三角函数的振幅、周期、相位等关键特征，以及奇偶性、单调性、最值等性质。

●对比分析：引导学生对比正弦、余弦、正切函数图像的差异，理解它们各自的特点和相互之间的关系。

3. 图像变换（约10分钟）●理论讲解：介绍三角函数图像的平移、伸缩、对称等变换规律，结合具体例子说明变换后的图像特征。

●实践操作：组织学生分组进行实践操作，尝试通过改变参数来绘制变换后的三角函数图像，并观察分析变化规律。

●总结归纳：引导学生总结归纳三角函数图像变换的一般规律和方法，形成系统的知识体系。

高中数学三角函数教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是高中数学中的三角函数教学。

三角函数是高中数学的核心内容之一，它不仅是解决几何问题的有力工具，而且在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

通过本课程的学习，学生将理解并掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义、图像、性质与应用，培养其数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。

2、教学对象教学对象为高中二年级学生。

这一阶段的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，能够理解并运用函数的概念，但对于三角函数的深入学习可能还较为陌生。

因此，本教学设计将充分考虑学生的知识水平和认知能力，通过循序渐进的教学策略，帮助学生构建三角函数的知识体系，并提高其解决实际问题的能力。

同时，注重激发学生的学习兴趣，培养其积极的学习态度和合作精神。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义，能够准确描述这些函数的图像特点及其在单位圆上的表示。

（2）学会运用三角函数解决直角三角形、一般三角形以及多边形中的相关问题，掌握三角恒等式的证明和应用。

（3）掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，并能运用这些性质解决实际问题。

（4）通过数学软件或图形计算器等工具，绘制三角函数图像，观察和分析函数的性质，提高数学建模能力。

2、过程与方法（1）通过观察、实践、探索等教学活动，引导学生自主发现三角函数的定义及其性质，培养学生的观察力和发现问题的能力。

（2）采用问题驱动法，设计具有启发性的问题，激发学生的思考，引导学生运用已学的知识和方法解决问题，培养其逻辑推理和数学思维能力。

（3）采用小组合作学习的方式，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

（4）运用比较、分类、归纳等思维方法，帮助学生总结三角函数的性质和规律，提高学生的数学抽象能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对三角函数学习的兴趣，让学生体会到数学学习的乐趣，形成积极向上的学习态度。

三角函数的应用教学设计
一、教学背景
在高中数学中，学习三角函数是一个重要的知识点，它是高数的基础，也是其他数学学科，特别是初高中几何的重要组成部分。

三角函数与微积
分有着密切的关系，而微积分则是现代数学的核心，是推动科学技术进步
的重要动力。

在学习三角函数的过程中，学生需要掌握三角函数的定义、性质、应
用等相关知识，特别是三角函数的应用方面，是最能考察学生学习成果的
考查点。

二、教学目标
1.根据三角函数定义，熟练掌握三角函数的概念和性质，如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义以及各函数的性质；
2.熟练掌握三角函数的解析式和图像，能准确计算三角函数的值；
3.熟练掌握三角函数在实际应用中的方法，包括求解三角型恒定角、
重置三角型、求解线性系统等。

三、教学内容
1.三角函数的定义：三角函数是指一类由三角形的定义构造而成的函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

2. 三角函数的性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的
性质都有其特定的表达式，如正弦函数满足
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，余弦函数满足cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB。

3.三角函数的解析式和图像：三角函数的解析式可以利用相似三角形的定义构造。

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。