高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞
→⇔=∞
→lim
lim
lim
)()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+
-
lim lim lim 0
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i ）“
00”“∞
∞
”时候直接用 (ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)
()(1
)(1
)(1
)()(x g x f x f x g x g x f -=-
(iii)“00”“∞1”“0
∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e
x f x g x g x f )
(ln )()()(=，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞•0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x
e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
12)!
1(!!21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θΛ ； 3211253)!
32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m
x m x m x x x x x θΛ
cos=221242)!
22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θΛ ln （1+x ）=x-1
1132)1)(1()
1()1(32++-++-+-+-+n n n
n
n x n x n x x x θΛ (1+x)u =1112
)1(!
2)1(1+--+++++-+
+n n u n u n n u x x C x C x u u ux θΛ 以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设均不为零m n b a ,，
P （x ）=0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ,0111)(b x b x b x b x Q m m m m ++++=--Λ (i)⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==∞
→)(,)(,0)(,)()(lim m n m n n m b a x Q x P x n n
（ii ）若0)(0≠x Q ，则)()
()()(00lim
x Q x P x Q x P x x =→ 5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设0>>>c b a ，
n n n n n c b a x ++=，求n n x lim ∞
→
解：由于a a
a a a x a n
n n n n ==<<∞
→∞
→)3(,,3lim lim 以及
，由夹逼定理可知a x n n =∞
→lim
（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222
)2(1)1(11lim n n n
n Λ
解：由n n
n n n n n
1
111)2(1)1(1102222
22
=+++<++++<ΛΛ，以及01
0lim lim ==∞→∞→n
n n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++++∞
→n n n n n 2
221
211
1lim Λ 解：由
n
n n n
n n
n n
n n
n n n n
n n +=
++++
+<
+++++
+<=++2
2
2
2
2
2
1111
211
111
11Λ
ΛΛ,以及
11111lim
lim
lim 2
=+
=+=∞
→∞
→∞
→n
n
n n n n n 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如：
