西南交通大学期末真题及答案12-13高等数学II试题B卷

内蒙古大学2012-2013学年第二学期高等数学B2 期末考试试卷（A 卷）（闭卷120分钟）姓名 学号 专业 年级 ____重修标记 □ 考场题号 一 二 三 四 五 合计 得分一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）1．()f x 在(0,0)点的某邻域内有定义，且22(,)(0,0)(,)lim1x y f x y ax byx y→+-=-+，,a b 为常数，则(0,0)(0,0)x y f f ''+= _________________.2.设(,)yf x y x =, 则2fx y∂∂∂=___________.3. 函数222l n ()u x y z =++在点(1,2,2)M -沿方向(1,0,1)l =-的方向导数为___________.4. ()f x 连续，1()()d ttyF t dy f x t =⎰⎰，则(2)F '=__________.5. 区域{(,)|11,01}D x y x y =-≤≤≤≤， 则二重积分2||d d Dy x x y -⎰⎰=_________________6. 级数12(1)n nn x n ∞=+-∑的收敛域为_________________.得分7. arctan x 的幂级数展开式为_________________.8. 23x z e xy -+=在点(1,2,0)出的切平面方程为_________________. 9. ||2,||2,||2,a b a b ==⨯=向量a 与b 的夹角为锐角，则a b =___________.10. 直线1231:101x y z L ---==-和212:211x y zL +-==，求过L 1且平行于L 2的平面方程_________________.二、选择题（本题满分 20分，每小题4 分）（1）二元函数(,)f x y 满足0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，则在点00(,)x y 处(,)f x y 有______(A) 必连续 (B) 全微分00(,)d (,)|0x y f x y = (C) 必取得极值 (D )可能取得极值（2）(,)z f x y =的全微分为d d d z x x y y =+，则点(0,0) ______ (A) 不是(,)f x y 的连续点 (B) 不是(,)f x y 的极值点 (C) 是(,)f x y 的极大值点 (D ) 是(,)f x y 的极小值点 （3）(,)f x y 连续，则222411d (,)d d (,)d y xyx f x y y y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰_______(A) 2411d (,)d xx f x y y -⎰⎰ (B) 241d (,)d xxx f x y y -⎰⎰(C)2411d (,)d yy f x y x -⎰⎰(D)221d (,)d yy f x y x ⎰⎰（4）10,(1,2,3,)n a n n≤<=，则下列级数中必收敛的是 ______ (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nnn a∞=-∑ (C)1n n a ∞=∑(D )21(1)nnn a∞=-∑（5）1n n a ∞=∑收敛，则正确的是_______得分(A)21n n a∞=∑收敛 (B) ,nn n a b →∞，则1n n b ∞=∑收敛(C) n →∞，必有1()n a o n = (D ) 若1n n b ∞=∑绝对收敛，则1n n n a b ∞=∑也绝对收敛三、计算题（本题满分 24 分，每小题12分）1.计算二重积分22|1|d d ,{(,)|01,01}Dx y x y D x y x y +-=≤≤≤≤⎰⎰得分2. ()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，22()z f x y =+满足22220z zx y∂∂+=∂∂，（1）求()()f u f u u'''+（2）若(1)0,(1)1f f '==，求()f u 的表达式求幂级数1(2)nn n n x∞=+∑的收敛域与和函数()S x求2(,)(4)f x y x y x y =--在区域D 上的最值，其中D 由直线6x y +=，x 轴和y 轴围成。

高等数学（ B2）期末模拟试卷（一）题号一二三五六七总 分23四14得分一、选择题（ 本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1.z1y 2 ln( x 2 y 2 1) ，其定义域为 ----------------------------------（A ）.4x 2A ( x, y)1 x 2y 2 4B ( x, y) 1 x 2 y 2 4C ( x, y)1 x 2 y 2 4D ( x, y)1 x 2y 24 .2. 设 z x y ，则 dz --------------------------------------------------------------------------（D ）.A x y ln xdx yx y 1dyB yx y 1dx x y dyCyx y 1 ln xdx x y ln xdyDyx y 1 dx x y ln xdy .3. x 2 y21绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（C ）.由椭圆1625A 252dxB 45 y2dx24442dy .y 0Cx 2dyDx4. 设 a(1, 2, 3) ， b (2, 3, 4) ， c(1, 1, 2) ，则 (a b ) c. 为 --------------------（A ）.A 5B1C1D 5 .5. 设: 2x 3 y 4z 50 ， L :x1y z 1 ，则 与直 L 的关系为 ---（ A ）.2 3 4A L 与垂直B L 与 斜交C L 与 平行D L 落于 内.6. 若 D (x, y)x 2, y 4 ， D 1 ( x, y) 0 x 2,0y4 , f ( x 2 y 2 ) 为 D 上的连续函数，则f ( x 2y 2 ) d 可化为 ----------------------------------------------------（ C ）.DAf ( x 2y 2 )dB 2f ( x 2y 2 )dD 1D 1C 4f ( x 2y 2 )dD 8f ( x 2y 2 )d .D 1D 17. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.Ay cx e xBy c 1 e c 2 x xC y c 1 e xc 2 xD y c 1 c 2 (x e x ) .8. 下列哪个级数收敛 ---------------------------------------------------------------------------（D ）.A( 1) nB1 n 1C1 n nD100 .n 1n100n100n 1 n 1009. 若d4，其中 D:0xa, 0yax ，则正数 a ---------------------（ B ）.D243A 2 3B 2C 2 3D 22.10. 若幂级数a n (x 1)n 在 x3处条件收敛，则其收敛半径为----------------- （ B ） .n 1A 1B2C 3D 4 .二 、 计算题（ 本大题共 4 小题，每题 7 ，共 28 ）:1. 设 zf (u, v) 具有二阶连续偏导数，若zz 2zf (sin x, cos y) ，求 ,.xx y解：z c o sxf 1 ,2z( z ) cos xf 12( sin y)sin y cos xf 12 .xx yy x2. 设 zsin(x 2y 2 ) ，求zdxdy. D :2x 2 y 24 2 .D解：zdxdy = (cos 2cos42 )D3. 设曲线 ye 2 x ， y ln( x 1) 与直线 x 1 及 y 轴所围成的区域为 D ，求D 的面积.解D 的面积=1( e 2 1) 2ln 2 .24. 解微分方程 x dyyx 2 e x .解：dy1 y dxxe xdxxP( x)1, Q (x) xe xxP(x)dxln x ，Q(x)e P( x) dxdxxexeln xdxex故通解为 yx( e x C)y三 、 计算题（ 本题 9 ）设 I2dy2ysin x xdx ，（ 1）改变积分次序；（2）计算 I 的值 .解： I2dyy 2ysin xdxxx2 dx 2 2xsin xdy x2sin x ( x2x 2 )dx 12x四、证明题（ 本题 8 ）求证：曲面xyza 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（ x 0 , y 0 , z 0 ）且设 F ( x, y, z)x yza ，则切平面方程为：1 ( x x 0 )1 ( y y 0 )1(zz 0 )2 x 0 2 y 02 z 0令 y z 0 可得： 切平面在 x 轴上的截距为x 0 x 0 y 0 x 0 z 0 x 0 a同理可得： 切平面在 y, z 轴上的截距分别为 y 0 a, z 0 a ,因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于x 0 ay 0 az 0 aa 。

辽宁石油化工大学 2012 ---2013 学年第 二 学期 《高等数学2》课程标准答案适用专业班级： 化工12级、高材12级、生工12级、应化12级、装备12级 试题类型 ： B 制作人： 李印一、选择题1、B.2、C.3、B.4、C.5、D.6、D.7、A. 二、填空题8、)6,3,9(. 9、⎰⎰101),(xdydx y x f . 10、31211-=-=-z y x . 11、1-.12、22-. 13、1. 14、1-. 三、解答题15、解：y x z x 2sin 2=，y x z y 2cos 22=， （2分）y x z xy 2cos 4=，y z xx 2sin 2=，y x z yy 2sin 42-= （3分）16.解：⎰⎰Dxydxdy ⎰⎰⎰-+-+==212212222|2y y y y dy x y xydxdy （3）845)8())2((21214252=-=-+=⎰-dy y y dy y y y （2）17.解：ds z y x L⎰++)(222⎰++=π2022222)(dt k a t k a (3))43(3222222k a k a ππ++=(2)18、解： 因为∑的方程)321(4y x z --=所以361122=++y xz z ∑在xoy 面内的投影为}20,623|),{(<<≤+=x y x y x D xy (3)则⎰⎰∑=xyzds ⎰⎰∑4xyzds ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy )1(3⎰⎰---=1010)1(3xdy y x y xdx⎰=-+-=104321203)33(63dx x x x x (5) 19、解：)1121(31)1)(2(1212+--=+-=--x x x x x x∑∞=--=---=-0)1()1(1121n n x x x ∑∞=+-=-+=+-=+012)1()211(2121111n n nx x x x （5分） )1121(31212+--=--x x x x ∑∞=+-=012)1((31n n n x ))1(0∑∞=--n n x （3分）20．设长、宽、高分别为x y z v xyz =且1111x y z a++= 令 ()1111,,L x y z xyz x y z a λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭……3分2230001111xy z L yz x L xz y L xy z x y z a λλλ⎧=-=⎪⎪⎪=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎪⎪++=⎪⎩解得 3x y z a===， ……4分 由该题本身性质可知最大值一定存在且在唯一可能极值点333,,a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所以当3x a =，3y a =，3z a= 时max327v a =时3max v =……1分21.解：⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232⎰⎰⎰⎰-+-+++=1234))2())(((232L L L L dy xy y dx xy x (4)⎰=22dx x ⎰-+22)4(dy y y ⎰-+22)8(dx x x ⎰+22dy y 8= (4)22.解： 由高斯公式⎰⎰∑+-yzdxdy dxdz y xzdydz 24 ⎰⎰⎰Ω+-=dv y y z )24⎰⎰-=xyD dxdy yz z 102|)2( (4) ⎰⎰-=xyD dxdy y )2(dx y ⎰-=1102|21223= (4) 23． 解：(1)因为L 的方程：2x y =则⎰+Ldy xxydx 22⎰=134dx x 1=(2) 因为L 的方程：x y =2则⎰+L dy x xydx 22⎰=145dy y 1= （4） (3) 因为L 的方程：1=x ]2,1[,∈y 2=y ]4,1[,∈x 则⎰+L dy x xydx 22⎰===1101|y dy 14= （4）。

共 3 页 第 1 页09-10-3高数B 期末试卷（A ）参考答案及评分标准10.6.29一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为[1,3)-； 2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为2230x y z --+=；3. 已知两条直线12112x y z m -+-==与3x y z ==相交，m =19； 4.交换积分次序101111d (,)d d (,)d d (,)d y x x f x y y y f x y x y f x y x +--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；5.将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分2222d sin d ()d f r r r ππϕθθ⎰⎰⎰；6. 设L 为由点(2,1,2)A 到原点(0,0,0)O 的直线段，则曲线积分2()d Lx y z s ++⎰之值为25；7. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则2,2a b ==-；8.设{,,},x y z r ===r r div(e )e (3)r r r =+r ；9. 设∑是锥面1)z z =≤≤，取下侧，则3d d 2d d (1)d d 2x y z y z x z x y π∑∧+∧+-∧=⎰⎰.二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分) 10．设 (,)z z x y =是由方程e e e zyxz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂. 解 (1)e e e z y xz z y x∂+=+∂，（2分）e e 1y z x z z y x z --∂+=∂+，（2分）e e 1x z y z z x y z --∂+=∂+（3分）共 3 页 第 2 页11．计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中{}2222(,)2,2D x y x y x y y =+≥+≤. 解2sin 2322442d d 2sin d d (8sin d 32Dy x y ππθπππθθρρθθθ==-=⎰⎰⎰⎰（3+2+2分）12．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.解 {}22(,)4,0D x y x y x y =+≤≤≤，（1分） 原式()2222()424ed d de d 1e 8x y Dx y πρππθρρ-+--===-⎰⎰⎰⎰（1+3+2分）13. 计算三重积分e d d d yx y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面2221,0,2x y z y y -+===所围成. 解 222:1,02y x z y y ∑+≤+≤≤，（1分）2222e d d d e d d d (1)e d 3(e 1)yy y y x y z y x z y y ππΩ∑==+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（3+1分） 三（14）．（本题满分7分）求由抛物面222x y z +=与平面1,2z z ==所围成的密度均匀（密度1μ=）的立体对z 轴的转动惯量. 解 题中的立体记为Ω，则22222222311214()d d ()d 2d d 3z x y zI x y v zx y z σπρπΩ+≤=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2+2+1+2分） 四（15）。