线性代数第六章常见题型
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第六章习题课(常见题型) 一、二次型的矩阵及秩
1.二次型x x x x x x x x x x x x f 3132212
32221321282102),,(+++++=的秩( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2. 写出二次型的矩阵
(1)()32312
22
132144,,x x x x x x x x x f -+-=
(2)()∑∑≤≤≤=+=n
j i j
i
n
i i
n x
x x
x x x f 11
2212
2
,,,
3.设矩阵()
n
n ij a A ⨯=则二次型()()∑=+++=n
i n n i i i n x a x a x a
x x x f 1
2
221
121,,, 的矩
阵为( ) (A)A
(B)2
A
(C)A A T
(D)T
AA
4.设向量T
c b a ),,(=α,则二次型 ()
()2
321321,,cx bx ax x x x f ++=的矩阵为( )
(A)T
αα (B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡22222c bc ac bc b ab ac ab a (C)⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡22222c bc ac bc b ab ac ab a (D)ααT
5.二次型()()()()2
132
322
21321,,x x x x x x x x x f ++-++=的秩为______。
6.设),,(321x x x x =，则二次型 ()x x x x x f T ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=000040041,,321的秩为______。
7.已知二次型 ()
()()()212
32
22
132112211,,x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2，则
_____
=a 。
二、正交变换化二次型为标准型问题
8.设二次型()()0222,313
32
22
1321>+-+==b x bx x x ax Ax x x x x f T
中二次型的矩阵A
的特征值之和为1，特征值之积为12-;
(1)求b a ,的值; (2)利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
9.已知 ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=10
01110
10
1
a a A ，二次型()()x A A x x x x f T T =3
21,,的秩为2。
(1)求实数a 的值;(2)求正交变换Qy x =，将f 化为标准形。
10.设 ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=442442221A
(1)将A 正交对角化；
(2)求一个正交变换 Py x =，将二次型
()32232231212132184444,,x x x x x x x x x x x x f -+++-=化为标准形
11.已知二次型()()02332,,322
32
22
1321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化成标准形 2
32
22
152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵。
12.已知实二次型()()
3231212
32
22
1321444,,x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换
Py x =可化成标准形216y f =，则______=a 。
13.已知二次型()yz xz bxy z ay x z y x f 222,,2
2
2
+++++=可以经过正交变换
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡ζηξP z y x 化为标准形 2
2
4ζη+=f ，求b a ,的值和正交矩阵P
三、二次型规范型与惯性定理
14.二次型()()()()2
4312
4322
3214321222,,,x x x x x x x x x x x x x f ++++++++-=，
则f 的正惯性指数_____=p ，负惯性指数______=q ，f 的秩是______， 符号差是______。
15.二次型()()()()2
132
322
21321,,x x x x x x x x x f ++-++=的正惯性指数_____=p ，
负惯性指数______=q ，秩等于______。
16.设二次型()3132212
32
22
1321222,,x ax x x x x x ax x x x x f --+++=的正惯性指数和负惯
性指数全为1，则______=a 。
17.设二次型()2
42
3322
2212
14321342,,,kx x x x x x x x x x x x f +++-+=的秩为4，符号差为
2，则______=k ，正惯性指数_____=p ，负惯性指数______=q 。
四、合同、相似与等价
18.若实对称矩阵A 与矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010100002B 合同，则二次型()Ax x x x x f T
=321,,的规范形
是______.
19.设
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=12
3
443
2
1
,a a a a B a a a a A ，则B A ,合同，令 _______=C ，即有B AC C T =。
20.与矩阵
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=2200
21000032
00
11A 合同的矩阵是( ) (A)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--1111 (B)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1111(C)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1111 (D)⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0111 21.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ，那么与A 既相似又合同的矩阵是() (A)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡221 (B)
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡012 (C)⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡011
(D)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡022 五、二次型正定性的判定
22.设二次型()31212
322
213212224x x x tx x x x x x x f ++++=,,是正定型，则t 的取值范围是 。
23.已知⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-=c b a A 0105121
是正定矩阵，则( ) (A)1,2,1===c b a
(B)1,1,1-===c b a
(C)2,1,3=-==c b a
(D)8,3,1==-=c b a
24.设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102020201A ，要使kE A +是正定矩阵，则k 应满足( ) (A)2->k
(B)3->k
(C)1>k
(D)1->k
25.二次型()()()()2
3212
322
3213212,,ax x x x x x x ax x x x f +-+++-+=是正定二次型的充分必要条件是( )
(A)0=a (B)0>a
(C)0<a (D)a 取任意值
26.已知二次型()Ax x x x x f T
=321,,在正交变换Qy x =下得标准形为2
22
1y y +，且Q 的第
三列为T
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22,0,22 (1)求矩阵A ；(2)证明 E A +为正定矩阵 ，其中E 为三阶单位矩阵。
