第六讲 假设检验

多大的P 值合适?
显著性检验的目的是要描述样本所提供不利于原假 设的证据有多强。P值就在做这件事。但是，要证明 原假设不正确，P值要多小，才能令人信服呢？这要 根据两种情况来确定 • • 原假设的可信度有多高？如果H0 所代表的假设 是人们多年来一直相信的，就需要很强的证据 (小的P值)才能说服他们 拒绝的结论是什么？如果拒绝H0而肯定H1 ，就 需要有很强的证据显示要支持H1 。比如，H1 代 表要花很多钱把产品包装改换成另一种包装，你 就要有很强的证据显示新包装一定会增加销售量 (因为拒绝H0要花很高的成本)
6. 用Excel进行检验
6.1
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
假设检验的基本问题
假设的陈述 两类错误与显著性水平 统计量与拒绝域 利用P值进行决策
假设的陈述
什么是假设? (hypothesis)
• 对总体参数的具体
数值所作的陈述 – 总体参数包括总体 均值、比例、方差 等 – 分析之前必须陈述
H0 ： 30%
H1 ： 30%
提出假设 (结论与建议)
1. 原假设和备择假设是一个完备事件组，而 且相互对立
– 在一项假设检验中，原假设和备择假设必 有一个成立，而且只有一个成立
2. 先确定备择假设，再确定原假设
3. 等号“=‖总是放在原假设上
4. 因研究目的不同，对同一问题可能提出不 同的假设(也可能得出不同的结论)
– 原假设为正确时拒绝原假设 – 第Ⅰ类错误的概率记为
• 被称为显著性水平
• 2. 第Ⅱ类错误(取伪错误)
– 原假设为错误时未拒绝原假设 – 第Ⅱ类错误的概率记为(Beta)


假设检验中的两类错误 (决策结果)

常用的α 值为0.01, 0.05, 0.1
由研究者事先确定。
拒绝域 1/2 1 － 接受域
拒绝域 1/2
临界值
H0
临界值
假设检验的步骤

根据问题要求提出 原假设（H0 ）和备择假设（H1）； 确定适当的检验统计量及相应的抽样分布；

计算检验统计量的值；

选取显著性水平，确定原假设的接受域和拒绝域； 作出统计决策。

举例2

某品牌洗发水在产品说明书中称：平均净含 量不少于500ml。相关机构要通过抽检其中 一批产品来验证是否属实。试陈述用于检验
的原假设和备择假设。

设该品牌洗发水的平均净含量真值是μ。 如果μ＜500，表明说明书的内容不属实。

H0 ：μ ≥ 500 （净含量符合说明书）
H1 ：μ ＜ 500 （净含量不符合说明书）
举例3

一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车 的比率超过30%。为验证这一估计是否正确， 该机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈
述用于检验的原假设和备择假设。

设该城市家庭拥有汽车的比率真值是 p。 研究者想收集证据予以证明：比率不超过30% H0 ：p ≤ 30% （比率不超过30%）

H1 ：p ＞ 30% （比率超过30%）
例题

一种罐装饮料每罐的容量是255ml，标准差是
5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员
在某天的产品中随机抽取40罐进行检验，测得平 均容量为255.8ml。取显著性水平 =0.05，检 验该天生产的饮料容量是否符合标准要求。

设饮料的平均容量为μ。 H0 ：μ = 255 （容量符合要求） H1 ：μ≠255 （容量不符合要求）

19
假设检验的基本思想
1.假设检验采用的逻辑推理方法是反证法；
为了检验某假设是否成立，先假定它正确，然 后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否 合理，从而判断是否接受原假设；
2.判断结果合理与否，是基于“小概率事件不 易发生”这一原理的；
即在一次抽样中，小概率事件不可能发生。如 果在原假设下发生了小概率事件，则认为原假设是 不合理的；反之，小概率事件没有发生，则认为原 假设是合理的。
能性很小，如果在一次抽样中发生了，
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则有理由怀疑假设μ=μ0不成立。即
所来自的X 总体不是μ0总体。
6
二、假设检验的基本步骤
1.建立检验假设，确定检验水准 假设有两种： （1）μ=μ0 ：常称无效假设，又称原假设或零假
设。用H0表示。 （2）μ＞μ0 ：称备择假设，或对立假设。用H1表
S n 5.08 36
n 1 36 1 35
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3.确定P值
P值的含义是：指从H0规定的总体中，随机抽得 等于及大于（或等于及小于）现有样本获得检 验统计量值（t或Z）的概率。 自由度为35 ,查附表2,得到:
单侧 t0.05(35) 1.690。 得P >0.05。
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检验假设为： H0 :μd= 0， H1 :μd≠0
检验统计量 ：
t dd d0
Sd
Sd / n
n1
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例6-2 某儿科采用静脉注射人血丙种球蛋白 治疗小儿急性毛细支气管炎。用药前后患儿 血清中免疫球蛋白IgG（mg/dl）含量如表 6-1所示。试问用药前后IgG有无变化？

E S S 6 0 2 7 0 8 . 6 / 1 1 1 F 3 9 9 . 0 9 9 9 9 R S S 4 0 1 5 8 . 0 7 1 / 1 0 ( n 2 )
i1
n
或直接取自输出结果2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） F（列）”(399.09999)。(见表2.4.4)
有时S（回归系数的标准差，有时也记为 S e ）也可不写；t统计 量右上角*的表示显著性水平的大小，**一般表示在显著性水平 1％下显著，*一般表示在显著性水平5％下显著，无*表示5％下 不显著。
b1
L xx L yy
n
( x x ) ( y y ) 其 中 x y
i 1
L
n
L xx
L
yy

n
i 1
( xi x )2
i 1
( yi y )2
为x与y的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示x和y的线 性相 关关系的密切程度。其取值范围为|r| 1，即-1 r 1。 当r=-1时，表示x与y之间完全负相关； 当r=1时，表示x与y之间完全正相关； 当r=0时，表示x与y之间无线性相关关系，即说明x与y可 能无相关关系或x与y之间存在非线性相关关系。 5、四种检验的关系 前面介绍了t检验、拟合优度（ ）检验、 F检验和相关 R 2 系数（r）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证 明，这四种检验：
第二步：计算F统计量 因为ESS＝1602708.6 (计算过程见表2.4.3) 或直接取自输出结果 2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） SS（列）”(1602708.6)。
ˆ＝ RSS ( yi y )2 40158.071 (计算过程见计算表2.3.3) 或直接取

假设检验与方差分析上节小结：假设检验
1、单样本双边假设检验步骤如下
第一步：建立假设
H 0 : 0 H1 : 0
n≥30时，其服从正态分布
第二步：设统计量为
X 0
在H 0成 立 的 条 件 下
X 0 在H 0成立的条件下 t ~ t (n 1) t N (0,1) 或 t s n n
假设检验与方差分析
（2）设定允许的抽样误差水平
a 0.10时，临界值Z 1.28 (0.10显著水平的单边检验 )
（3）计算两比例间差异的估计标准差
S p m f 1 1 P1 P nm n f P n m Pm n f P f nm n f
设统计量为
H1 : 0
H 0成立的条件下 在 Z ~ N (0,1)
Z
x 0
n 由给定的显著水平a=0.05确定临界值，Z0.05=－1.645
( x)

确定拒绝域和接受域
z Za 1.645 接 受 H1 拒 绝 H0 z Za 1.645 ， 没 有 理 由 拒 绝 H0
( x)
确定拒绝域和接受域
z＞Za 1.645 ， 拒 绝 H0， 接 受 H1 z＜Za 1.645 ， 没 有 理 由 拒 绝 H0
1 a 0.95
a 0.05
Za 1.645
x
接受域
拒绝域
假设检验与方差分析
3、单个样本左单边假设检验
若提出原假设和备选假设：
H0 : 0
所以本例 S p m f
45 0.58 71 0.41 P 0.48 45 71 1 1 0.48 1 0.48 0.10 45 71

两样本所属总体方差相等且两总体均为正态分布
H 0 ： 1 2H 1 :1 2 ( 单 1 2 或 侧 1 2 )
当H0成立时，检验统计量：
t X1X2 ~t, n1n22
Sc2n 11n12
第六章 假设检验基础
Sc2
n1
1S12 n2 1S22
n1 n2 2
X1 X1 2 X2 X2 2 n1 n2 2
第六章 假设检验基础
55、作出推断结论：当P≤时，结论为 按所取检验水准α拒绝H0，接受H1，差异有 统计学显著性意义。如果P＞ ，结论为按 所取检验水准α不拒绝H0，差异无统计学显 著性意义。其间的差异是由抽样误差引起
的。
第六章 假设检验基础
1.建立检验假设
原 假 设 H0：0 14.1 备 择 假H设1 :0(单 侧 ） 检 验 水 准： 0.05
第六章 假设检验基础
检验假设为：
H 0 ： d 0H 1 :d 0 ( 单 d 0 或 侧 d 0 )
当H0成立时，检验统计量：
td0 ~t, n1
Sd n
第六章 假设检验基础
表6第-1二用节药前t后检患儿验血清中免疫球蛋白IgG(mg/dl)含量
二、序号配对设计资用料药前的t 检验 用药后
n1 20, X1 17.15,S1 1.59,n1 34, X2 16.92,S2 1.42
Sc2
n1
1S12 n2 1S22
n1 n2 2
2011.592 3411.422
20342
2.2 0
t X1 X2 17.1516.92 0.550
Sc2
1 n1
1 n2
2.20 1 1 20 34
得治疗前后舒张压(mmHg)的差值(前–后)如下表。问新药和标准药的疗效

2
2
n2 7.5 2 / 120 6.3 2 / 153 0.8533
u
X1 X 2 s X1X 2

139.9 143.7 0.8533
4.4353 u 0.05 2.58
P＜0.01，差别有统计学意义，可认为该市1993年12岁男童平均身高比1973年高。
假设检验应注意的问题
t 检 验
样本均数与总体均数的比较

目的:推断该样本是否来自某已知总体； 样本均数代表的总体均数与0是否相等。

总体均数0一般为理论值、标准值或经大量观察所得并为人们接
受的公认值、习惯值。

解决思路：

区间估计

判断样本信息估计的总体均数之可信区间是否覆盖已知的 总体均数0 ？若不覆盖，则可推断该样本并非来自已知均 数的总体。
样本信息不支持H0，便拒绝之并接受H1,否则不拒绝H0 。
假设检验的基本步骤

建立假设 确定检验水准 计算检验统计量 计算概率P 结论

当P≤ 时，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义。
当P＞ 时，不拒绝H0，差别尚无统计学意义。
不论，拒绝拒绝H0，还是不拒绝H0都可能范错误。
同？
μ0 =132(g/L）
n=25
？ =
μ
X 150 ( g / L) S 16.5( g / L)
已知总体
未知总体

目的：推断病人的平均血红蛋白(未知总体均
数)与正常女性的平均血红蛋白(已知总体均
数0)间有无差别
μ =μ0 ？
X 0 150 132 18

手头样本对应的未知总体均数 μ等于已知总体均数μ0，

，接受 H 1 。表明在
第二节 总体均值的假设检验
（二）总体为非正态分布或分布未知 当总体分布为非正态分布且大样本时，检验的 X 统计量为 Z
0
/
n

在“原假定成立”的条件下，只要样本容量充分 大（一般习惯上要求 n≥30），它近似服从标准正 态分布。 如果标准差σ未知，只需用样本标准差S作为它 的估计量代替式中的 σ即可，这时检验统计量为

检验统计量服从t分布与其服从标准正态分布的检验结论判断方法一致
例6.3 某厂购买了一台新的生产机器，生产零件的长度规定为10厘米。为了 检验机器的性能是否良好，质检员随机抽取了25件产品，测得其平均长度为9.8厘 米，标准差为0.4厘米。假设生产的零件长度服从正态分布，问在显著性水平 =0.05时，该机器的性能是否良好。 2 解：设 X 表示该机器生产零件的长度，则有 X ~ N (, )，样本容量n=25，样本 均值 x =9.8厘米，样本标准差 s 0.4 厘米。根据问题提出的假设为： H0 ： 0 =10厘米； H 1 ： 0 =10厘米 这是一个双侧检验问题，因为总体服从正态分布但总体方差未知，用检验的小 样本数据检验，故当 H 0 成立时，检验统计量为： x 0
t
s n
规定显著性水平为 =0.05，查表得到临界值 t / 2(24) 2.064 ，所以原假设的否 定域为：t 2.064 。 计算检验统计量的值： t x 0 9.8 10 2.5
s 0.4 n 100
因为 |-2.5|=2.5＞2.064，落在否定域，所以否定 H 0 显著性水平 =0.05时，不能说该机器的性能良好。 互动地带 6-11
第Ⅱ类错误，也称取伪错误 本来是非真的，却根据检验统计量的值把它给接受了。 发生这种错误的概率通常用 表示，即 P(接受H 0 / H 0非真） 在样本容量一定时，犯两种错误的风险是彼此消长的。两者要同时得到控制只 有增加样本容量。在样本容量受限时，通常根据研究问题的性质决定重点控制 第一类错误的风险还是控制第二类错误的风险。

I类（弃真）：P(弃真)=a 即P(拒绝H0| )=a
α/2
拒绝H0
１－α 接受H0
α/2
拒绝H0
II类（取伪）：即P(接受H0|
)，常为ß
6.4单侧检验问题
单侧问题：一批产品，供给方称其平均寿命 不小于1000小时。抽样，验证是否可信 标准值为“效益”类：越大越好 标准值为“成本费用”类：越小越好 难点：如何定
368 gm.
H0: m = 368 H1: m 368
Steps of Hypothesis Test 假设检验的步骤 提出原假设H0与备选假设H1； 选择检验统计量；
给定显著性水平α，确定拒绝域；
由样本值计算统计量的值；
作判断，确定接受还是拒绝H0。
H0: m = 386 H1: m 386
又Za=1.96，－Za=－1.96(临界点) 由1.25>－1.96 故接受H0，即认为可以相信已达标
2： H0: μ μ 0 =1000 H1: μ > μ 0 =1000 有统计量：
Z =
X m

1010 1000 = = 1Байду номын сангаас25 80 n 100
又Za=1.646 故应取H0，即认为未能达标
思考：如何处理为好？如何理解矛盾的结论？
区间估计
对m无先验信息
假设检验
有经验值或标准值
抽样定区间
理论严格
抽样看是否差不多
不严格，不能避免犯错误
3、对
的进一步理解
“＝”表示差异不大、不明显、差不多； “≠”表示有显著差异。 这里的“＝”与“≠”仅有形式上等与不 等的逻辑互补关系，但只能借其形式表达 “差不多”与“差异显著”两种倾向。

六、假设检验一般步骤
1
根据具体问题的要求， 建立总体假设H0，H1 选择统计量 确定H0为真时的抽样分布 给定显著性水平α，当原假 设H0为真时，求出临界值。
2
3
4
计算检验统计量的数 值与临界值比较
• 假设检验的一般步骤： • （一）根据所研究问题的要求，提出原假设 H0和备 择假设H1 。 有三种类型的原假设和备择假设， 以总体均值的假 设检验为例加以说明。
假设检验的功效
• 检验效果的好与坏，与犯两类错误的概率有关。一个 有效的检验，首先是犯第一类错误的概率α 不能太大， 否则的话就经常产生弃真现象； • 另外，在犯第一类错误概率得到控制的条件下，犯取 伪错误的概率也要尽可能小，或者说不取伪的概率1β 应尽可能大。 1-β 越大，意味着当原假设不真实时， 检验判断出原假设不真实的概率越大，检验的判别能 力就越好； 1-β 越小，意味着当原假设不真实时，检 验结论判断出原假设不真实的概率越小，检验的判别 能力就越差。可见1-β 是反映统计检验判别能力大小 的重要标志，我们称之为检验功效或检验力，假设检 验的功效是指1-β ，其表示不犯第二类错误的概率， 即备择假设H1为真时，接受备择假设H1 (或者是拒绝 H0)的概率。因而增大犯第二类错误的概率也意味着降 低检验的功效。 •
例如，生产者在将产品出售给消费者之前要进行质量检验， 通常提出的原假设为 H0：产品是合格品，备择假设为 H1： 产品是不合格品。生产者总是担心把合格品误判为不合格 品，从而使合格品无法出厂，给企业造成损失，这时生产者 犯了第一类错误，第一类错误的概率α 就是生产者的风险； 消费者总是担心把不合格品误判为合格品，把不合格品当作 合格品购买，这时消费者犯了第二类错误，第二类错误的概 率β 就是消费者的风险。