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同角三角函数的基本关系式、诱导公式

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全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

同角三角函数的基本关系式

考纲要求：

① 理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明有关问题.②能利用单位圆的三角函数线推到有关的诱导公式，能利用诱导公式化简任意角的三角函数值.

重点：理解同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能进行求值、化简与证明．

难点：公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取．

教材复习：

1.同角三角函数的基本关系式：

（1）倒数关系：tancot1sincsc1cossec1；

（2）商数关系：sincostan,cotcossin；

（3）平方关系：222222sincos1sec1tancsc1cot ．

2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限．

基本知识方法：

1.利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；

2.诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为0,2内角的三角函数值，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，运用时应充分注意符号；

3.利用商数关系、倒数关系能够完成切割化弦；

4.涉及sin,cos的二次齐次式（如22sinsincoscosabc）的问题常采用“1”代换法求解；

5.涉及sincos,sincos,sincos的问题常采用平方法求解；

6.涉及sin,cos的齐次分式（如sincossincosabcd）的问题常采用分式的基本性质进行变形．

典例分析： 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

考点一 利用诱导公式化简三角函数式

问题1．1（全国Ⅱ文）cos330 .A12 .B12 .C32 .D32

2（黄岗模拟）已知cos31m，则sin239tan149

.A21mm .B21m .C21mm .D21m

3（聊城模拟）已知()sincos4fxaxbx（,,,ab为非零实数），(2011)5f，则(2012)f .A1 .B3 .C5 .D不能确定

4（嘉兴模拟）12sin2cos2

.Asin2cos2 .Bsin2cos .Csin2cos2 .Dcos2sin2

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5已知3cos63，求5cos6的值.

考点二 同角三角函数基本关系式的应用

问题2．1（重庆）若3cos5，且3,2，则tan

2化简: sin()cos()44

3求值：已知32,cos(9)5，求11tan()2的值；

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考点三 关于sincos，sincos相互转化的问题

问题3．1（辽宁）已知sincos2，0,，则tan

.A1 .B22 .C22 .D1

2（东北三校模拟）已知4sincos3（04），则sincos

.A23 .B23 .C13 .D13

3若tan2，求值①cossincossin；②222sinsincoscos．

4已知：1sincos5，且0,，求33sincos的值．

5求值66441sincos1sincosxxxx．

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问题4．已知sin,cos是方程244210xmxm的两个根，322，求角．

课后作业：

1.若,(0,)2，且sincos0，则

.A .B  .C2 .D2

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2.（盐城模拟）已知51cos123，且2，则cos12

3.已知1sin3，sin1，求sin2的值.

4.已知1tan3，求212sincoscos的值.

5.化简：3tancos2sin2cossin.

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4.是否存在、，,22，0,使等式sin32cos2，

3cos2cos同时成立?若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.

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走向高考：

1.（湖北文）已知2sin23A，0,A，则sincosAA

.A153 .B153 .C53 .D53

2.（海南）若cos22π2sin4，则cossin的值为

.A72 .B12 .C12 .D72

3.（湖北文）tan690

.A33 .B33 .C3 .D3

4.（全国Ⅰ）是第四象限角，5tan12，则sin

.A15 .B15 .C513 .D513

5.（湖南文）已知),,0(,1cos)cos()22sin(sin3求θ的值.

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同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式

同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式

1 同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式

一、知识概述

1、同角三角函数的基本关系式

同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cosα，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：

（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）

（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）

（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）

由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式．

平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α.

商数关系：

倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1.

注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便.

2、三角函数的诱导公式

公式一：sin(α＋k·)=sinα

cos(α＋k·)=cosα

tan(α＋k·)=tanα

其中k∈Z．

公式二：sin(＋α)=－sinα

cos(＋α)=－cosα

tan(＋α)=tanα

公式三：sin(－α)=－sinα

cos(－α)=cosα

tan(－α)=－tanα

公式四：sin(－α)=sinα

cos(－α)=－cosα

tan(－α)=－tanα

总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

公式五：sin(－α)=cosα 2 cos(－α)=sinα

公式六：sin(＋α)=cosα

cos(＋α)=－sinα

总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sin αcos α＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.

2．三角函数的诱导公式

公式 一 二 三 四 五 六

角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α

正弦 sin α －sin α －sin α sin α

cos α cos α

余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α

正切 tan α tan α －tan α －tan α

口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限

概念方法微思考

1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？

提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．

2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？

提示 所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )

(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )

(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.( × )

题组二 教材改编

2．若sin α＝55，π2

答案 －12

解析 ∵π2

∴cos α＝－1－sin2α＝－255，

∴tan α＝sin αcos α＝－12.

3．已知tan α＝2，则sin α＋cos

αsin α－cos α的值为 ．

答案 3

解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.

4．化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．

同角三角函数基本关系及诱导公式练习

同角三角函数基本关系及诱导公式练习

1 同角三角函数基本关系及诱导公式练习

一、选择题

1．，且是第四象角，则sin=__________.

A.54 B.43 已知53cos C.54 D.43

2．已知sin=21,且为第二象限角，则cos=________.

A.23 B.43 C. 限23 D.43

3．下列各式中正确的是_________.

A.sin)sin( B.cos)2cos(

C.tan)tan( D.sin)sin(

4．若tan=1，则cossincos3sin2的值是____________.

A.21 B.23 C.25 D.27

5．已知5cos5sin2cos3sin，则tan=________.

A.-2 B.1225 C.1128 D.922

6．下列等式中正确的个数有__________.

(1)sin)sin( (2)cos)2cos(

(3)tan)3tan( (4)cos)5cos(

A.1 B.2 C.3 D.4

7，已知sin=54，的终边在第一象限，则)sin(和)2cos(的值是_____.

A.5354和 B.5354和 C.5354和 D.5354和

二、填空题

1．2cos2sin22=______________.

同角三角函数的基本关系及诱导公式

同角三角函数的基本关系及诱导公式

同角三角函数的基本关系及诱导公式

同角三角函数是指在同一个角度上的三角函数的关系。基本的同角三角函数有正弦函数（sin），余弦函数（cos），正切函数（tan），割函数（sec），余割函数（csc）和余角函数（cot）。这些函数之间存在一系列基本关系和诱导公式，用来计算各个函数的值。下面是同角三角函数的基本关系及诱导公式。

1. 正弦函数（sin）：

正弦函数表示任意角的对边与斜边的比值。正弦函数在数学中常用于求解三角形的边长和角度。

基本关系：

sinθ = y / r

即正弦函数的值等于垂直边（对边）与斜边的比值。

诱导公式：

sin(π/2 - θ) = cosθ

sin(π - θ) = sinθ

sin(3π/2- θ) = -cosθ

sin(2π - θ) = -sinθ

sin(θ + 2πn) = sinθ

2. 余弦函数（cos）： 余弦函数表示任意角的邻边与斜边的比值。余弦函数在物理学、工程学和几何学中经常使用。

基本关系：

cosθ = x / r

即余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。

诱导公式：

cos(π/2 - θ) = sinθ

cos(π - θ) = -cosθ

cos(3π/2 - θ) = -sinθ

cos(2π - θ) = cosθ

cos(θ + 2πn) = cosθ

3. 正切函数（tan）：

正切函数表示任意角的对边与邻边的比值。正切函数在三角学和物理学中经常用于计算角度的度量单位。

基本关系：

tanθ = y / x

即正切函数的值等于对边与邻边的比值。

诱导公式：

tan(π/2 - θ) = 1 / tanθ tan(π - θ) = -tanθ

tan(3π/2 - θ) = 1 / tanθ

tan(2π - θ) = tanθ

tan(θ + πn) = tanθ

4. 割函数（sec）：

割函数是余弦函数的倒数，表示任意角的斜边与邻边的比值的倒数。