同角三角函数基本关系式及诱导公式
- 格式：docx
- 大小：88.40 KB
- 文档页数：12
2
6 3'
同角三角函数基本关系式及诱导公式
必修四：（新课标）同角三角函数基本关系式及诱导公式（典型例题+习题+答案）
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： 2 2 才 sin a
sin a+cos a= 1.(2)商数关系：cos a=tan a 2.诱导公式
答案
…cos
n a =— cos — 6解析 sin 2n
V =sin 7t 7t 1. (2011 -大纲全国）已知 3n a € n, ~, tan a = 2，贝y cos
解析 T tan a = 2,. sin a
COST=2，. sin a = 2C0S a .
2.
3. 又sin 2 2
a + cos a = 1 , 2 2
.(2cos a ) + cos 2
a = 1，…cos a 1
5.
又••• a
若tan
答案
解析
已知
答案
解析 3n
n, 2 ，…cos a
2sin a — cos a
=2,则 sin a+2cos a 的值为
2tan a — 1 3
原式=tan a+ 2 = 4.
a是第二象限的角，tan 1 小
2，贝U cos a
又sin 2..5
5
a是第二象限的角，. cos a <0.
2 “ ，
+ cos a =1, tan a sin a
cos a 1
2,
4. 4 sin 3n 3 -cos 5
6n -tan 的值是
答案 3,3
4
解析原式= sin -cos n n
冗―7 •tan —n — §
5. —sin
已知 7t n —cos - 7t —tan -
2 x ( — 3)=— 3 ,3
4 .
7t
cos 2
2,则 sin
n =—sin —+ 7t 2 题型分析深度剖析
题型一同角三角函数基本关系式的应用
1 例 1 已知在△ ABC中, sin A+ cos A=-. 5
⑴求sin Acos A的值；
⑵ 判断△ ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值.
1 2 2
思维启迪：由 sin A+ cos A= 及 sin A+ cos A= 1，可求 sin
5
1
解(1) I sin A+ cos A=①
5
12 ••• sin Acos A— 方.
12
⑵由 sin Acos A=— <0,且 0
25
可知cos A为钝角，•••△ ABC是钝角三角形.
2 (3) v (sin A— cos A) = 1— 2sin Acos A
24 49
=1 + =—
25 25，
又 sin A>0, cos A<0,「・ sin A— cos A>0,
4 3
由①，②可得 sin A= , cos A=—-,
5 5
题型二三角函数的诱导公式的应用
例2
n \[3 5 n ，亠
(1)已知 cos — + a = -3，求 cos ~6 — a 的值; 2
• cos a = 3，即 cos
8 代cos A的值.
两边平方得 1+ 2sin Acos 1
A= 25,
• sin 7
A— cos A= 5.
• tan sin A
cos A 4
3.
探究提高 (1)对于 sin a + cos a , sin a cos a , sin a 知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为 (sin
a cos a ; (2)关于sin a , COS a的齐次式，往往化为关于 cos a这三个式子，已
a ± cos a ) = 1 ± 2sin
tan a的式子.
_ 2
(1)已知 tan a = 2，求 sin a + sin a cos 2
a — 2cos ⑵ 已知 sin a = 2sin 3 , tan a = 3tan
2 2
解 (1)sin a + sin a cos a — 2cos a 3，求 cos a .
2 2
sin a + sin a cos a — 2cos a sin a +cos2 a x,
题型三三角函数式的化简与求值
1
例3 (1)已知tan a = 3，求的值.
思维启迪： (1)将n + a看作一个整体，观察 n + a与5n a的关系. 6 6 6
a =n,
5 n n a = n— -g + a .
5 n
•I COS — a = COS n — 6 n
6 +a
n
一 cos y + a
5 n 即 COS — 6 =」
3
(2) T COS( a — 7 n ) = COS(7 n— a ) = COS( n— a ) =— COS 3
5,
…COS 3
••• sin(3 n+ a ) • tan a 5
=Sin( 7 a ) • — tan n — =Sin a • tan
=Sin n
sin — — a
=sin n COS — — a COS
sin a
a —=COS
3
5.
探究提咼
键•另外, 熟练运用诱导公式和基本关系式,
切化弦是常用的规律技巧. 并确定相应三角函数值的符号是解题的关
(1)化简: 3n
2
COS( — a — 3 n )sin( — 3 n — a ) tan( n+ a )COS( 2 n+ a )sin
八 sin( n — x)COS( 2 n — x)tan( — x+n ) 亠
⑵已知f(x)= ，求 n
COS — — + x f —晋的值.
n
tan a COS a sin — 2 n+ a + ~ tan
解(1)原式=■ =
COS( 3
n+ a )[ — sin( 3 n+ a )]
tan a COS a cos a tan a cos a sin a
=(—COS
a )sin a = Sin a = COS a
sin x • cos x • ( — tan x)
⑵. n a COS a Sin ~ + a
(—COS a )sin a
COS a
T =— 1.
sin a
sin x =—COS x • tan x=— sin
31 n • f —~^ = — sin n =sin 10 n + — = sin 31 n 丁 =
sin 卫=逅
3 = 2 . 31 n
3
- —的值;
2sin a COS a + COS a ' (2)已知 n< a <2 n, COS( a — 7
n =— 求 sin(3 n+ a ) • tan
⑵先化简已知，求出 COS a的值，然后化简结论并代入求值.
片 n
解⑴T石+a + 分类讨论思想在三角函数化简中的应用
典例：(12分)
审题视角 (1)角中含有变量n,因而需对n的奇偶分类讨论. 3 n tan( n— a)COS( 2 n— a )sin — a +
⑵化简： COS( — a — n )sin(
思维启迪：三角函数式的化简与求值， 式子的规律，使用恰当的公式.
1
解⑴因为tan a =2，所以 L
3 2sin a COS a + COS a
Sin a + COS a tan a +1 2
2sin a COS a + COS a 2tan a + 1 3' —n— a )
都是按照从繁到简的形式进行转化, 要认真观察
n
—tan a • COS ( — a ) • si n — a
⑵原式= COS( n— a ) • sin ( n— a )
n sin a
tan a • COS a • si n a + • COS a
2 COS a —COS a • Sin a —sin a =-1.
探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角,
弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简.
5， 函数式子的特点和联系，可以切化
已矢口 sin a + —= a € (0 ,n ),
2 n a 2 n a
COS 7 + 7 — COS 4—"2 求 一 一^的值.
Sin( n— a ) + COS( 3 n+ a )
. n Q5
解 ■/ sin a + —=—牙，.•. COS a a € (0 ,n ),
/• sin 2 n a 2 n a
_^5 COS A + — -COS N-兀
a = 5 . Sin( n— a ) + COS( 3 n+ a )
2 COS
sin a — COS a —sin a
sin a — COs a Sin a — COs a 2
3.
化简: 4n— 1
sin " n— a 4 4n+ 1 + COS ■ n— a 4 (n€ Z).
