薄板弯曲挠度计算公式

第五章 薄板的弯曲薄板的概念：厚度t<<Min(B,L)()L B Min t 81~51<中厚板 ()L B Min t 81~51> 厚板()()L B Min t L B Min 81~511001~801<< 薄板()L B Min t 1001~801< 薄膜作用在其上的载荷分解为平行于板面和垂直于板面，当仅有平行于板面的力时，就是我们前面讲到的平面应力问题。

现在我们要解决的就是当有垂直于板面的载荷时（板受弯曲作用时），应该如何计算。

两者都有时，又应该如何考虑。

§5.1 薄板弯曲的基本方程一，基本概念1，中面：变形前平分板厚的平面。

2，挠度：中面上各点在垂直于中面上的位移w 。

3小挠度：通常w/t<1/5。

二，基本假定1，变形前垂直于中面上的直线，变形后仍为直线，且仍垂直于弯曲的中面。

该假定类似与材料力学中梁的平面假定。

它确保与中面平行的的各面之间不存在剪应变。

0==zy zx γγ 2，变形前后，板的厚度不变，即0=z ε。

板内各点的挠度值仅为x 、y 的函数，而与z 轴无关。

()y x w w ,=。

3，薄板中面内的各点没有平行于板面的位移()00==z u 、()00==z v ，只有z 方向的位移。

4，平行于中面的各层之间互不挤压。

0=z σ三，基本方程利用空间的三大方程和以上4个假定，我们可以推求出适用薄板的基本方程。

1，几何方程由假定○1，0=∂∂+∂∂=x w z u zx γ，0=∂∂+∂∂=ywz v zy γ，就有： x w z u ∂∂-=∂∂，ywz v ∂∂-=∂∂，积分可得： ()y x f xwzu ,1+∂∂-= ()y x f ywzv ,2+∂∂-=再由假定○3，()00==z u 、()00==z v ，就是中面上各点没有板面的位移，代入上式，可得()()0,,21==y x f y x f 所以x w zu ∂∂-=，ywz v ∂∂-=。

第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。

荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。

横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。

中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。

薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。

放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。

只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。

（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。

弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。

薄板弯曲挠度计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：薄板弯曲挠度计算公式是工程力学课程中的重要内容，也是工程设计和结构分析中不可或缺的一部分。

薄板在受力作用下会发生弯曲变形，挠度是描述薄板弯曲程度的重要参数。

通过合理的挠度计算公式，我们可以准确地评估薄板的变形情况，为工程设计提供可靠的依据。

薄板弯曲挠度计算公式的推导过程比较复杂，需要借助数学和力学知识。

一般而言，薄板的挠度计算公式可分为静力法、弹性力学法和有限元法等多种方法。

静力法是最为常用的一种计算薄板挠度的方法，下面我们将对其进行详细介绍。

我们需要了解一些基本概念。

在工程力学中，对于一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，在受到外力作用后呈弯曲状态，其挠度δ可以通过以下公式计算：\[ \delta = \frac{PL^3}{3EI} \]P为受力大小，E为杨氏模量，I为横截面惯性矩。

这是薄板挠度计算公式的一般形式，具体的计算过程需要根据实际情况进行适当的调整和修正。

静力法是一种比较简单但实用的计算挠度的方法。

该方法主要基于等效荷载原理，即将复杂的荷载系统转化为简化的等效荷载，将薄板弯曲问题转化为梁的弯曲问题。

下面我们以一种常见的简支边界条件情况为例，介绍具体的计算步骤。

假设我们有一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，受到长度方向均布载荷q的作用，两端为简支边界。

我们需要计算该薄板的等效弯矩M，其计算公式如下：根据薄板挠度计算公式，我们可以得到该薄板的挠度表达式为：通过这个计算公式，我们可以快速准确地计算出简支边界条件下薄板的挠度。

如果有其他不同的受力情况或边界条件，需要进行相应调整。

除了静力法，弹性力学法和有限元法也是常用的计算薄板挠度的方法。

弹性力学法是以弹性理论为基础，考虑了薄板材料的应力应变关系，可以更精确地描述薄板的弯曲情况。

有限元法则是一种数字计算方法，通过将薄板离散成有限个单元，利用计算机进行大规模计算，可以处理更加复杂的挠度计算问题。

第12章薄板的⼩挠度弯曲问题第⼗⼆章薄板的⼩挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移和应变分量薄板⼴义⼒薄板⼩挠度弯曲问题基本⽅程薄板⾃由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简⽀薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应⼒⼴义位移和薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板⾃由边界⾓点边界条件挠度函数的分解⼀、内容介绍薄板是⼯程结构中的⼀种常⽤构件，它是由两个平⾏⾯和垂直于它们的柱⾯所围成的物体，⼏何特征是其⾼度远⼩于底⾯尺⼨，简称板。

薄板的弯曲变形属于弹性⼒学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要⾸先建⽴应⼒和变形分布的基本假设。

根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。

薄板的⼩挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。

根据基尔霍夫假设，采⽤位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。

因此，⾸先将薄板的应⼒、应变和内⼒⽤挠度函数表达。

然后根据薄板单元体的平衡，建⽴挠度函数表达到平衡⽅程。

对于薄板问题，边界条件的处理和弹性⼒学平⾯等问题有所不同，典型形式有⼏何边界、混合边界和⾯⼒边界条件。

⼆、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应⼒、⼴义⼒和⼴义位移；3、薄板⼩挠度弯曲问题的基本⽅程；4、薄板的典型边界条件及其简化。

§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。

薄板主要⼏何特征是板的中⾯和厚度。

⾸先，根据⼏何尺⼨，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度⼩于厚度的五分之⼀，属于⼩挠度问题。

对于⼩挠度薄板，在横向载荷作⽤下，将主要产⽣弯曲变形。

根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。

薄板的⼩挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫⾸先提出的，因此⼜称为基尔霍夫假设。

薄板结构的屈曲承载能力分析薄板结构是指在一个平面内，一侧的长度远大于另一侧的结构。

它具有较高的刚度和承载能力，广泛应用于建筑、航空航天、交通运输等领域。

然而，在长时间使用或者遭受外力作用时，薄板结构可能发生屈曲，使其失去原来的刚度和承载能力。

因此，对薄板结构的屈曲承载能力进行分析和评估是非常重要的。

1. 薄板结构的屈曲现象屈曲是指杆件在受到外力作用时，由于其自身的不稳定性而发生的形状变化。

对于薄板结构而言，由于其一侧长度远大于另一侧，产生的扭矩和弯曲力会使其在某一方向上发生屈曲。

当结构失去了原来的刚度和承载能力时，就会发生屈曲现象。

2. 薄板结构的屈曲挠度计算在进行薄板结构的屈曲承载能力分析时，首先需要计算其屈曲挠度。

常用的屈曲挠度计算公式如下：\[ \delta = \frac{{5 \times p \times L^4}}{{384 \times E \times I}} \]其中，\[ \delta \]表示屈曲挠度，\[ p \]表示作用在结构上的外力，\[ L \]表示结构的长度，\[ E \]表示结构的弹性模量，\[ I \]表示结构的截面惯性矩。

3. 薄板结构的屈曲承载能力薄板结构的屈曲承载能力是指结构在屈曲前可以承受的最大外力。

根据欧拉公式，可以计算薄板结构的屈曲临界载荷。

欧拉公式如下：\[ P_{cr} = \frac{{\pi^2 \times E \times I}}{{L^2}} \]其中，\[ P_{cr} \]表示屈曲临界载荷。

4. 影响薄板结构屈曲承载能力的因素薄板结构的屈曲承载能力受到多种因素的影响。

主要的因素包括结构的几何形状、材料的弹性模量、荷载的大小和方向等。

当结构的几何形状不规则、材料弹性模量较小、荷载过大或方向不合理时，薄板结构的屈曲承载能力会大大降低。

5. 提高薄板结构屈曲承载能力的方法为了提高薄板结构的屈曲承载能力，可以采取一些措施。

首先是合理选择材料，使用强度高、刚度大的材料制作结构。

求挠度的公式在我们学习力学的奇妙世界里，求挠度的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解结构变形的大门。

先来说说啥是挠度吧。

打个比方，你想象一下一根长长的钢梁，它在承受重物或者外力的时候，会发生弯曲，这个弯曲的程度就叫做挠度。

比如说，一座大桥在众多车辆通过时，桥身会有一定的下弯，这个下弯的量就是挠度啦。

那求挠度的公式到底是啥呢？常见的有梁的挠度公式，比如简支梁在均布荷载作用下的挠度公式：$y = \frac{5ql^4}{384EI}$ 。

这里的 q是均布荷载，l 是梁的跨度，E 是材料的弹性模量，I 是截面的惯性矩。

这几个参数啊，每一个都有它的重要性。

就拿弹性模量 E 来说吧，不同的材料它的值可不一样。

像钢材和木材，它们的弹性模量差别就挺大。

比如说我们盖房子，用钢材做梁和用木材做梁，在同样的受力情况下，产生的挠度就不同，因为它们的弹性模量不同呀。

再说说截面的惯性矩I 。

这就好比一个人的胖瘦，截面越大越厚实，惯性矩就越大，就越不容易弯曲，挠度也就越小。

我之前在一个建筑工地上就看到过这样的情况。

有两根柱子，一根粗一根细，承受着差不多的压力，结果那根细的柱子明显弯曲得更厉害，挠度大了好多，就是因为它的截面惯性矩小嘛。

还有那个均布荷载 q ，分布得越密集、量越大，对结构产生的影响就越大，挠度也就越大。

我记得有一次去参观一个工厂的仓库，里面堆放的货物不均匀，导致仓库的某一部分地板的挠度明显增大，走在上面都感觉有点不踏实。

而梁的跨度 l 就更好理解啦，如果梁很长，那稍微给点力可能就弯得厉害；要是短一些呢，相对就更结实，不容易变形。

总之，求挠度的公式虽然看起来有点复杂，但只要我们理解了每个参数的含义和作用，就能很好地运用它来解决实际问题。

无论是设计桥梁、房屋，还是分析各种结构的稳定性，这个公式都能发挥大作用。

所以啊，同学们，可别小瞧了这个求挠度的公式，它可是我们探索力学世界的重要工具呢！。