高中数学选择性必修三 7 4二项分布与超几何分布

1.伯努利实验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验2.n 重伯努利实验我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利实验，显然，n 重伯努利实验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n 次 ②各次试验的结果相互独立3. 二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0＜P ＜1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为，()()1n kk kn P X k C p p -==-0,1,2,,k n =如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作(),X B n p注意：二项分布的均值与方差(1)二项分布的均值:在n 次独立重复试验中,若X~B(n,p)，则E(X )=np.(2)二项分布的方差:若离散型随机变量X 从二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).1.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为()k n kM N MnNC CP X kC --==，k=m,m+1,m+2,…，r其中n，N，M*N∈,M N≤,n N≤,{}max0,m n N M=-+,{}min,r n M=,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2.超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN, 则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率,则E(Xn)=p,即E(X)=np.例题1.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否注意：超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量但需要知道“成功率”;超几何分布中的概率计算实质是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质是相互独立事件的概率问题.互不影响，那么甲3个轮次通过的次数 X 期望是（ ）A. 3B. 83C. 2D. 53【答案】 B【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为 P =13×23+23=89 ，通不过的概率为 p̅=19 ， 由题意可知，甲3个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0,1,2,3 ， 则 P(X =0)=(19)3=1729 ；P(X =1)=C 31×89×(19)2=24729 ； P(X =2)=C 32×(89)2×19=193729； P(X =3)=(23)3=827(89)3=512729，数学期望 E(X)=0×1729+1×24729+2×192729+3×512729=83，或由二项分布的期望公式可得 E(X)=3×89=83， 故答案为：B ．例题2.已知随机变量与满足分布列 ξ~B(3,p) ，当 p ∈(12,23) 且不断增大时，（ ） A. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 减小 B. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 增大 C. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 增大 D. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 减小【答案】 A【解析】依题意得 P(ξ=2)=C 32p 2(1−p) =−3p 3+3p 2 ， 令 f(p)=−3p 3+3p 2 ，则 f ′(p)=−9p 2+6p =−9(p −13)2+1 ，当 p ∈(12,23) 时， f ′(p) 为递减函数，所以 f ′(p)>f ′(23)=−9(23−13)2+1=0 ，所以 f(p) 在 (12,23) 上为单调递增函数，即当 p ∈(12,23) 且不断增大时， P(ξ=2) 的值增大.D(ξ)=3p(1−p)=−3(p −12)2+34 在 (12,23) 上为单调递减函数，即当 p ∈(12,23) 且不断增大时， D(ξ) 减小.故答案为：A.例题3.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设 ξ 为取得红球的次数，则 P(ξ=2)= （ ） A. 425 B.36125C. 925D.54125【答案】 B【解析】由题意知， ξ~B(3,15) ，由二项分布的概率计算公式得 P(ξ=2)=C 32⋅(25)2⋅35=36125 ，故答案为：B 。

7.4二项分布与超几何分布考法一二项分布【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,0.2，且甲､乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望.【一隅三反】1．（2024·内蒙古赤峰）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有A，B，C三位毕业生应聘该单位，假设A，B，C三位毕业生笔试合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.(1)求A，B两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；(2)记随机变量X为A，B，C三位毕业生中通过招聘的人数，求X的分布列与数学期望.2．（2024上·内蒙古鄂尔多斯）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；(1)求a的值以及这批产品的优质率；(2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望.考法二超几何分布【例2】（2023上·内蒙古呼伦贝尔）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有m个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为2 15 .(1)求m的值；(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望.2．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X 个红球，则分得X 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按[)[)[)[)[)[)[)[]60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在[)70,75和[)85,90内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在[)70,75内的学员人数为X ，求X 的分布列与数学期望．考法三二项分布与超几何分布的辨析【例3-1】（2023湖南）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X【例3-2】（2023上海）下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（）①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ；②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数ξ；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数A．0B．1C．2D．3【例3-3】（2024·天津）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.【一隅三反】1．（2024北京）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（）A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X2．（2023安徽）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（）A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标3（2023上·陕西西安）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞分．赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得5(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为X，求X 的期望和方差；(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．4（2023云南）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．考法四二项分布与超几何分布随机变量概率最值【例4-1】（2024上·北京丰台）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．(1)当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；(2)从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【例4-2】（2024上·河南漯河）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯+∞月用电范围（度）[0,210](210,400](400,)某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户=时对应的概率为k P，求k P取得最大值时k的值.数为Y，当Y k【一隅三反】1．（2024·全国·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．(1)当25α=时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为()f β，出现3次信号1的概率为()g β，求()()f g ββ-的最大值．2．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）某种植户对一块地的()*,2n n N n ∈>个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.(1)从n 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？(3)当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？3．（2024上·北京昌平）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所90,100,100,110,110,120,120,130,130,140，并整理得到如下购汽车性能的评分，将数据分成5组：[)[)[)[)[]频率分布直方图：(1)求m的值；(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为E X；X元，求X的分布列和数学期望()(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y，问()=的值最大？（结论不要求证明)P Y kk k=⋯为何值时，()0,1,2,,10考法五二项分布与超几何分布与其他知识的综合【例5】（2024上·山东日照·高二统考期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了0.1，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．【一隅三反】1．（2023下·江西赣州·高二校联考阶段练习）（多选）在等差数列{}n a 中，238,4a a =-=-．现从数列{}n a 的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为X ．则下列结论正确的是（）A ．X 服从二项分布B ．X 服从超几何分布C ．()123P X ==D ．()95E X =2．（2024·江苏）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为15，第二天选择餐厅乙就餐的概率为45；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为25，第二天选择餐厅甲就餐的概率为35．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是12，选择餐厅乙就餐的概率是12，记某同学第n 天选择餐厅甲就餐的概率为n P ．(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望()E X ；(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出{}n P 的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．3．（2024·山西吕梁）吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了16，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？4．（2024·黑龙江哈尔滨）这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；n+个的概率为n a，求{}n a的前n项和n S；(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为n b，当n b取最大值时，求n的值．一．单选题1．（2024下·山东东营）随机变量X 服从二项分布：()10,0.5X B ，则它的期望()E X =（）A ．0.5B ．2.5C ．5D ．102．（2023上·广东深圳·高二校考期末）若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，下列说法正确的是（）A ．其中的次品数X 服从超几何分布B ．其中的正品数Y 服从二项分布C ．其中的次品数X 的期望是1D ．其中的正品数Y 的期望是53．（2024上·广西桂林·高二统考期末）已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则()1P X ==（）A ．12310C C B ．1228310C C C C ．2138310C C CD ．1123310C C C 4．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X 的数学期望为（）．A ．2B ．4C ．32D ．925．（2024上·广东深圳）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（）A ．715B ．815C ．15D ．126．（2021上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码；②X 表示取出的最小号码；③X 表示取出的白球个数；④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分减去4的差.这四种变量中服从超几何分布的是（）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④7．（2023下·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X ，则以下选项正确的是（）A ．X 的可能取值为1，2，3，4，5B ．322532(2)C 55P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3X =的概率最大D ．X 服从超几何分布8．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为1X ，期望和方差分别为()()11,E X D X ；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为2X ，期望和方差分别为()()22,E X D X .则下列判断正确的是（）A ．()()12E X E X <B ．()()12E X E X >C ．()()12D X D X >D ．()()12D X D X <二．多选题9．（2024上·江西上饶·高二统考期末）若随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A ．()2426122C 33P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．期望()43E X =C ．期望()213E X -=D ．方差()214D X -=10．（2023上·高二课时练习）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（）A ．3(2)7P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．8()5E X =11．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知()()()73,(01),4328X B p p P X P X ~<<=+==，且21Y X =+，则（）A ．14p =B ．()32E X =C ．()34D X =D ．()()12E Y D Y -=11．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为X ，则（）A ．X 服从二项分布B ．X 的值最小为1C ．()325P X ==D ．()2E X =127．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n 次，每次发射信号“1”的概率均为p ．记发射信号“1”的次数为X ，记X 为奇数的概率为1f ，X 为偶数的概率为2f ，则下列说法中正确的有（）A ．当3n =，12p ≥时，()122P X ≥≤B ．12p =时，有12f f =C ．当10n =，45p =时，当且仅当8X =时概率最大D ．102p <<时，1f 随着n 的增大而增大三．填空题13．（2024上·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X ．若9()4E X =，则(2)P X ==．14．（2023·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）若随机变量()π25,sin 06X B θθ⎛⎫~<< ⎪⎝⎭，且()6D X =，则()E X =.15．（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X ，则(3)P X ≥=.16．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为13，向右下落的概率为23，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，则小球落入号格子的概率最大.(图片仅供参考)四．解答题17．（2024下·北京海淀·高三101中学校考开学考试）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19]，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．13,17的概率；(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[)(2)从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[)15,17的人数，求ξ的分布Eξ；列和数学期望()(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为a､平均数的估计值为b（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出,a b的大小关系．18．（2024·全国·模拟预测）为增强体质，锤炼意志，让学生享受运动乐趣，享受校园生活，某学校举办全员运动会．该校高三某班的同学报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛这三类比赛（每人必须报名参加比赛且只能报一类），其中报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛的人数占本班人数的比例依次为11,,22a a -（其中102a <<）．现从该班学生中任选3人，以频率估计概率．(1)若被选取的3人参加比赛的类别互不相同的概率为16，求a 的值；(2)记X 为选取的3人中报名参加田径比赛和报名参加球类比赛的总人数，求X 的分布列和数学期望．19．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立102周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了200名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．成绩区间[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100频数10314380279假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的20%，试估计获奖分数线；(2)该市决定从全市成绩不低于80分的学生中随机抽取4人参加省级党史知识竞赛，成绩在[]90,100的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．20．（2024上·江西赣州·高二统考期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X 的分布列和期望；(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？21（2024上·广东广州）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A ､B ､C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B ､C 的自然成活率均为()0.70.9p p ≤≤.(1)任取树苗A ､B ､C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及()E X ；(2)将（1）中的()E X 取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？。

第七章随机变量及其分布列 7.4 二项分布与超几何分布一、选择题（共40小题；共200分）1. 抛掷两颗骰子，至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功，则在次试验中，成功次数的期望是A. B. C. D.2. 从含有名女生的名大学毕业生中任选人进行某项调研活动，记女生入选的人数为，则的分布列为A. B. C. D.3. 一名学生体育达标的概率是，他连续测试次，其中恰有一次达标的概率是A. B. C. D.4. 在张奖券中，有张能中奖，从中任取张，则张都能中奖的概率是A. B. C. D.5. 已知随机变量，则等于A. B. C. D.6. 从一副不含大、小王的张扑克牌中任意抽出张，则至少有张是A的概率为A. B. C. D.7. 投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A. B. C. D.8. 从标有，，，，，，，，的张纸片中任取张，数字之积是偶数的概率为A. B. C. D.9. 某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是A. B. C. D.10. 从名男生和名女生中，任选名同学参加文艺节目排练，其中男女都有的概率是A. B. C. D.11. 在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是A. B. C. D.12. 已知随机变量服从二项分布，，则A. B. C. D.13. 电灯泡使用时间在以上的概率为，则个灯泡在使用后坏了一个的概率为A. B. C. D.14. 当掷枚硬币时，已知至少出现个正面，则正好出现个正面的概率为A. B. C. D.15. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，第次摸取红球，如果为数列的前项和，那么的概率为第次摸取白球A. B.C. D.16. 一个盒子里装有相同大小的个黑球，个红球，个白球，从中任取个，其中白球的个数记为，则下列概率等于的是A. B.C. D.17. 设随机变量，，若，则的值为A. B. C. D.18. 一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，下列概率等于的是A. B. C. D.19. 某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的个机械元件情况如下：使用时间天个数若以频率为概率，先从该批次机械元件中随机抽取个，则至少有个元件的使用寿命在天以上的概率为A. B. C. D.20. 从装有个白球，个红球的箱子中，随机取出个球，则恰好是个白球，个红球的概率是A. B. C. D.21. 抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列定义：第次投掷出现正面，若，则事件的概率为第次投掷出现反面A. B. C. D.22. 工具箱中有只螺丝钉，其中有只是次品，现从中随机抽取只，下列各种情形中，概率为的是A. 恰有只是次品螺丝钉的概率B. 恰有只是正品螺丝钉的概率C. 只全是正品螺丝钉的概率D. 至多只是次品螺丝钉的概率23. 位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是A. B.C. D.24. 从台电脑和台电视中任取台，则取到台电脑台电视的概率为A. B. C. D.25. 一袋中有个白球，个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现次时停止，设停止时共取了次球，则等于A. B. C. D.26. 已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球（，），从乙盒中随机抽取（）个球放入甲盒中．（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为（）；（b）放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为（）．则A. ，B. ，C. ，D. ，27. 已知随机变量服从二项分布，则A. B. C. D.28. 每次试验的成功率为，重复进行次试验，其中前次都未成功后，其余次都成功的概率为A. B. C. D.29. 在人寿保险事业中，如果个投保人能活到岁的概率为，则人投保有人活到岁的概率为A. B. C. D.30. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为，设比赛时均能正常发挥出技术水平，则在局胜制中，甲打完局才胜的概率为A. B. C. D.31. 位于直角坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点移动五次后位于点的概率是A. B. C. D.32. 现有语文、数学课本共本（其中语文课本不少于本），从中任取本，至多有本语文课本的概率是，则语文课本的本数为A. 本B. 本C. 本D. 本33. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则A. B. C. D.34. 在次独立重复试验中，随机事件恰好发生次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是A. B. C. D.35. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；则该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为A. B. C. D.36. 在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么以为概率的事件是A. 都不是一等品B. 恰有一件一等品C. 至少有一件一等品D. 至多有一件一等品37. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则的最小值为A. B. C. D.38. 设随机变量，，若，则的值为A. B. C. D.39. 已知离散型随机变量服从二项分布且，，则与的值分别为A. B. C. D.40. 位于坐标原点的一个质点按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右．并且向上，向右移动的概率都是，质点移动六次后位于点的概率是A. B. C. D.二、填空题（共30小题；共150分）41. 某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）42. 从次品率为的一批产品中任取件，恰有两件次品的概率为．43. 如果随机变量，则取最大值的为 .44. 设某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第次首次测到正品，则的值是．45. 在一次口试中，学生要从道题中随机抽出道题回答，答对其中两道题就及格，某学生会答道题中的道题，这位学生口试及格的概率为．46. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列第次摸取红球，如果为数列的前项和，那么的概率为．第次摸取白球47. 口袋中有大小相同的个白球和个红球，从中任取球，则球颜色不同的概率为．48. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则乙以的比分获胜的概率为．49. 将一枚均匀的硬币投掷次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．50. 在三次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件恰好发生一次的概率为．51. 某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为，则在第次才击中目标的概率为．52. 件产品中有件不合格，现从中有放回地连续抽取次，每次取件，则所取产品中恰有件不合格的概率为．53. 某制药厂研究开发一种新药，经临床试验知其治愈率达，今有人服用，其中有人被治愈的概率为．54. 一袋中装有个白球，个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现次后停止，设停止时，取球次数为随机变量，则．55. 一个袋子中装有个红球和个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出个球，其中白球的个数为，则的数学期望是．56. 小波玩一种闯关游戏，有次挑战机会，若连续二次挑战胜利停止挑战，闯关成功；否则，闯关失败．若小波每次挑战胜利的概率均为，且各次挑战相互独立，那么小波恰好挑战次闯关成功的概率为．57. 一个袋中装有个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是．从袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望．58. 袋中有只红球只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则．59. 某兴趣小组有文学爱好者名，数学爱好者名，现要选名同学参加培训，则当选的名同学中至少有名数学爱好者的概率为．60. 设事件在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件至少发生一次的概率为，则事件恰好发生一次的概率为．61. 从装有大小相同的个红球和个白球的袋子中，不放回地每摸出个球为一次实验，直到摸出的球中有红球时实验结束，则第一次实验恰摸到一个红球和一个白球的概率是，若记实验次数为，则的数学期望．62. 设在次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为，则在一次试验中事件发生的概率为．63. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为，现有次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完次投篮机会的概率是，则的值是．64. 随机地从，，，，，，，，，中取出个不同的数，在所取的数字中，第二小的数字是的概率为．65. 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的位申请人中恰有人申请A片区房源的概率为．66. 袋中有只红球只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则．67. 如果随机变量，且，，则等于．68. 李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的道题中，李明能答对其中的道，规定考试从备选题中随机地抽出题进行测试，至少答对题才能入选．则李明入选的概率为．69. 有同—型号的电视机台，其中一级品台，二级品台，从中任取台，则二级品不多于台的概率为（用式子表示）．70. 袋中有个编号不同的黑球和个编号不同的白球，这个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是．设摸取的这三个球中所含的黑球数为，则取最大值时，的值为．三、解答题（共30小题；共390分）71. 甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别是，，．（1）现人各投篮一次，求人都没有投进的概率；（2）用表示乙投篮次的进球数，求随机变量的概率分布．72. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选一名下岗人员，求此人参加过培训的概率；（2）任选名下岗人员，记为人中参加过培训的人数，求的分布列．73. 某人对一目标进行射击，每次命中率都是，若使至少命中一次的概率不少于，至少应射击几次?（，）74. 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队人，每人回答—个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．（1）求随机变量的分布列；（2）设表示事件“甲得分，乙得分”，求．75. 流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播．科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市个月的空气月平均相对湿度．（1）从上表个月中，随机取出个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（2）从上表第一季度和第二季度的个月中随机取出个月，记这个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；（3）若，设乙地上表个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值．（只需写出结论）76. 为了摸清整个江门大道的交通状况，工作人员随机选取处路段，在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：（1）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；通行数量区间频数（2）现用分层抽样的方法从通行数量区间为，及的路段中取出处加以优化，再从这处中随机选处安装智能交通信号灯，设所取出的处中，通行数量区间为路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量（单位：盏），试求随机变量的分布列与数学期望．77. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的棵大树中．（1）至少有棵成活的概率；（2）两种大树各成活棵的概率．78. 某班从名班干部中（其中男生人，女生人），选人参加学校的义务劳动．（1）设所选人中女生人数为，求的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率．79. 年月日第届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以金银铜的成绩结束本次冬奥会的征程，某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了人，具体的调查结果如下表：某班满意不满意男生女生（1）若该班女生人数比男生人数多人，求该班男生人数和女生人数．（2）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率．（3）若从该班女生调查对象中随机选取人进行追踪调查，记选中的人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为，求随机变量时对应事件的概率．80. 某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了位校友（且），其中女校友位，组委会对这位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出位校友代表，若选出的位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．（1）若随机选出的名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求的最大值；（2）当时，设选出的位校友代表中女校友人数为，求的分布列．81. 一个口袋中装有大小相同的个白球和个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有次摸到红球即停止．（1）求恰好摸次停止的概率；（2）记次之内（含次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列．82. 某大学班级有名学生，男生多于女生，现从中选出人去完成一项任务，设每人当选的机会是均等的，如果选出的人性别相同的概率是，求这个班级男生、女生的人数分别为多少．83. 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得分，答错得分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，，，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．（1）求随机变量分布列；（2）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求．84. 一位摆地摊的人拿了个白球、个黑球放在一个口袋里，规定凡愿意摸奖的人每人交一元手续费，然后一次从口袋里摸出个球，中奖情况如下：摸球情况个白球个白球个黑球个白球个黑球其他奖金元元元无奖求：（1）获得元奖金的概率；（2）获得元奖金的概率；（3）获得元奖金的概率；（4）无奖的概率．85. 种植某种树苗，成活率为，现在种植这种树苗棵，试求：（1）全部成活的概率；（2）全部死亡的概率；（3）恰好成活棵的概率；（4）至少成活棵的概率．86. 为振兴旅游业，其省面向国内发行总量为万张的旅游优惠卡，向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡．某旅游公司组织了一个有名游客的旅游团到该省旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（1）在该团中随机采访名游客，求恰有人持金卡且持银卡者少于人的概率；（2）在该团的省内游客中随机采访名游客，设其中持银卡的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．87. 某人每天早晨乘的某一班次的公共汽车的准时到站率为，此人在天乘车中，该班次公共汽车恰好有天准时到站的概率为多少?88. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男女），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学女同学总计附表及公式（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．89. 现有个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为或的人去参加甲游戏，掷出点数大于的人去参加乙游戏．（1）求这个人中恰有个人去参加甲游戏的概率；（2）求这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．90. 某企业年招聘员工，其中A，B，C，D，E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例总计（1）从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率；（2）从应聘E岗位的人中随机选择人．记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；（3）表中A，B，C，D，E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）91. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖次能获奖的概率；（2）若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的概率．92. 某年级举办团知识竞赛，A，B，C，D 四个班报名人数如下：班别人数该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从个关于团知识的题目中随机抽取个作答，全部答对的同学获得一份奖品．（1）求各班参加竞赛的人数；（2）若 B 班每位参加竞赛的同学对每个题目答对的概率均为，求 B 班恰好有位同学获得奖品的概率；（3）若这个题目，小张同学只有个答不对，记小张答对的题目数为，求的分布列及数学期望．93. （1）进行两次独立的试验，每次试验出现的概率为，求至少发生一次的概率；（2）一射手对同一目标独立地进行次射击，已知至少命中一次的概率为，求此射手命中的概率．94. 某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为，，，，）．（1）若从这件产品中任取两件，设为重量超过克的产品数量，求随机变量的分布列；（2）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取件产品，求恰有两件产品的重量超过克的概率．95. 从高一年级随机选取名学生，对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示．（1）从这名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于分的概率；（2）从语文成绩大于分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于分的人数为，求的分布列和数学期望；（3）试判断这名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差的大小．（只需写出结论）96. 年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过天，重度污染的天数仅有天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间内，将数据按区间列表如下：分组频数频率合计（1）求表中，的值，若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；（2）从用气量在区间和区间的用户中任选户，进行燃气使用的满意度调查，求这户用气量处于不同区间的概率；（3）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了户，用表示用气量在区间内的户数，求的分布列和期望．97. 某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走千步可获积分分（不足千步不积分），每多走千步再积分（不足千步不积分）．记年龄不超过岁的会员为A类会员，年龄大于岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A，B两类会员中各随机抽取名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为，，，，，，，，九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．分组频数频率合计（1）求和的值；（2）从该地区A类会员中随机抽取名，设这名会员中健步走的步数在千步以上（含千步）的人数为，求的分布列和数学期望；（3）设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为和，试比较和的大小（只需写出结论）．98. 某车险的基本保费为（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数保费随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数频数（1）记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求的估计值；（2）某公司有三辆汽车，基本保费均为，根据随机调查表的出险情况，记为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出的分布列；（3）求续保人本年度的平均保费估计值．。

7.4.2超几何分布教学设计计算结果如下表.X P0 0.712571 0.256212 0.029893 0.001314 0.00002超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中M件次品。

从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中次品数，则X的分布列为P(X=k)=C m k C N−Mn−kC N nk=m,m+1,...,r其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤M,m=max{0,n-N+M},r={n,M}。

如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布例题讲解：例1：从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。

解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5。

因此甲被选中的概率为P(X=1)=C11C494C505=110例2: 一批零件共有30个，其中有3个不合格。

随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率。

解：设抽取的10个零件中不合格品数位X ，则X 服从超几何分布，且N=30,M=3,n=10，X 的分布列为P(X=k)=C 3k C 2710−k C 3010 ,k=0,1,2,3则至少有1件不合格的概率为P(X ≥1)=P(X =1)+P(X =2)+P(X =3)=c 31c 279c 3010+c 32c 278c 3010+c 33c 277c 3010=0.7192或者P(X ≥1)=1−P(X =0)=1−C 30c 2710c 3010=0.7192思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 分析：设随机变量X 服从超几何分布，则X 可以解释为从包含M 件次品的N 件产品中，不放回地随机抽取n 件产品中的次品数。

令p=M/N ，则p 是N 件产品的次品率，而X/n 是抽取的n 件产品的次品率，猜想E(X/n)=p ，即E(X)=np实际上，由随机变量的均值的定义，令m=max(0,n-N+M)，r=min(n,M)，有E(X)=∑k=m r kc k C N−M n−k C N n =M∑k=m rC M−1k−1C N−Mn−kC Nn因为∑k=m r c M−1k−1C N−M n−k =C N−1n−1所以 E(X)=Mc Nn ∑k=m r c M−1k−1C N−M n−k =N N−1n−1c Nn =nM N=np总结归纳1.超几何分布模型是一种不放回抽样；2.超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N ，M 和n 就可以根据公式：，求出X 取不同k 值时的概率．例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本。