二元函数求极值的方法总结

求二元函数极值的一般步骤
嘿，咱今儿个就来唠唠求二元函数极值的一般步骤。

你说这求极值，就像是在一片数字的海洋里找宝藏一样刺激呢！
先呢，咱得找到这个二元函数，就好比要认清咱要探索的那片海域。

然后仔细观察它的模样，看看它都有啥特点。

接下来，可重要啦！得求出它的偏导数。

这偏导数就像是在这片海
域里找方向的指南针。

咱得知道往哪儿走才能找到极值这个宝贝呀。

求出偏导数后，就得让它们都等于零。

这就好比在茫茫大海中找到
了几个关键的坐标点。

嘿，这些点可就有可能藏着极值呢！
但是，别高兴得太早哟！这还不一定就是极值呢。

还得进一步判断。

这就好像找到宝藏的线索后，还得仔细甄别是不是真的宝藏。

咱可以用二阶偏导数来判断。

如果满足一定的条件，那恭喜啦，这
很可能就是极值啦！
你想想看，这像不像一场刺激的探险？在数字的世界里穿梭，寻找
那隐藏的极值宝藏。

有时候可能会走些弯路，但别灰心，只要坚持找
下去，总会有收获的。

你说要是没找到极值，那是不是就白忙活啦？那可不一定哟！这过
程本身不也是一种乐趣嘛。

就像你去爬山，不一定非要爬到山顶才开
心呀，沿途的风景也很美的嘛。

而且，通过求二元函数极值，咱还能锻炼自己的思维能力呢。

让咱的大脑像个灵活的小猴子，在数字的树林里跳来跳去。

所以呀，别小瞧了求二元函数极值这事儿。

它可不只是一堆数学公式和计算，它里面藏着好多乐趣和惊喜呢！你准备好了吗？跟着我一起去探索这神奇的二元函数极值世界吧！。

二元函数极值问题23450x >时，1,z x ∂=∂ 0x <时，1zx∂=-∂. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为fx∂∂及f y ∂∂同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.3.2极值的充分条件设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又0),(00'=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为Ay x fxx=),(00',By x fxy=),(00',Cy x fyy=),(00',AC B -=∆2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下:(1) 当0<∆且0<A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极大值; (2) 当0<∆且0>A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>∆时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值;(4) 当0=∆时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值.4. 求二元函数的极值的步骤要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ∆，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有222000000200001(,)(,)((,)22(,)(,))x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ∆=+∆+∆-=+∆+∆∆++∆+∆∆∆++∆+∆∆.由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有6200(,),0(0,0)x f x x y y A x y θθαα+∆+∆=+→∆→∆→00(,),0(0,0)xy f x x y y B x y θθββ+∆+∆=+→∆→∆→200(,),0(0,0)y f x x y y C x y θθγγ+∆+∆=+→∆→∆→于是222211[2][2]22f A x B x y C y x x y y αβγ∆=∆+∆∆+∆+∆+∆∆+∆.当二次形式222kf A x B x y C y =∆+∆∆+∆不为零时，注意到0,0x y ∆→∆→时，,,αβγ都是无穷小量，所以存在点000(,)M x y 的一个领域，使得在这个领域内，f ∆的符号与kf 的符号相同，而当0kf =时，f ∆的符号取决于222x x y y αβγ∆+∆∆+∆的符号了. 对于二次型 222kf A x B x y C y =∆+∆∆+∆ 它的判别式为 2A B H AC B BC==-.那就有以下结论：H>0H<0H=0A<0A>0函数有极大值函数有极小值函数无极值 需进一步判定这是因为当0H >而0A <时，二次型kf 为负定的，故0kf <，从而0f ∆<；当0H >而0A >时，二次型kf 为正定的，故0kf >，从而0f ∆>；当0H <时，二次型为不定的.所以f ∆亦可正可负的，于是函数无极值；当0H =时，二次型kf 在某些,x y ∆∆值上将等于零，于是f ∆的符号就必须进一步判断7了.5. 求极值的相关例题例1 证明具有已知周长的三角形中，等边三角形有最大面积.证明:设三角形的边长为,,x y z ，周长2x y z p ++=，于是2z p x y =--.三角形的面积S 有如下公式：2(,)()()()()()()f x y S p p x p y p z p p x p y x y p==---=--+-. 由 ()(22)0,()(22)0,fp p y p x y xfp p x p x y y ∂=---=∂∂=---=∂解得(,)f x y 的稳定点：(0,)p ， (,)p p ， (,0)p ， 22(,)33p p .事实上，(,)f x y 的定义域是D （如下图阴影部分）：yx80x p <<, 0y p <<, x y p +>. (,)f x y 在D 上一定有最大值，在D 内有唯一稳定点22(,)33p p ，4221111(,)***3333327f p p p p p p p ==, (,)f x y 在D ∂上取值为零，因此(,)f x y 一定在22(,)33p p 取到D 内的最大值，即23x p =, 23y p =, 23z p =. 时，三角型有最大值.例2 设通过观测或实验得到一列点(,)i i x y ，1,2,....i n = 它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系，现要确定一直线与这n 个点的偏差平方和最小. 解: 设所求直线方程为y ax b =+，所测得的n 个点为(,)i i x y (1,2...)i n =，现要确定,,a b 使得21(,)()ni i i f a b ax b y ==+-∑为最小，为此112()0,2()0na i i i i nb i ii f x ax b y f ax b y ==⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩∑∑ 把这组关于,a b 的线性方程加以整理，得92111.11,n n ni i i i i i i n ni i i i a x b x x y a x bn y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 求此方程组的解，即得(,)f a b 的稳定点11122111()()n n ni i i ini i i i n ni i i i i n x y x y a y n x x ======-=-∑∑∑∑∑∑ ,211112211()()()()()nnnni i i i i i i i i n ni i i i x y x y x b n x x ======-=-∑∑∑∑∑∑.为了进一步确定该点是极小值点，我们计算得2120naa i i A f x ===>∑,120nab i i B f x ===>∑,2bb C f n ==, 2221144()0n ni i i i D AC B n x x ===-=->∑∑由极值的充要条件知，(,)f a b 在点(,)D a b 取得极小值，由实际问题知这极小值为最小值.结束语多元函数的极值问题在多元函数微分学上有重要应用,在这里利用偏导讨论二元函数极值问题可以帮助我们更好的学习极值问题的求解.参考文献：[1] 廖可人, 李正元. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 1986.[2] 陈传璋, 金福临, 朱学炎, 欧阳光中. 数学分析[M].北京：高等教育出版社, 1983. [3] 高尚华. 数学分析[M].北京：高等教育出版社,2001.10。

二元一次函数极值点
二元一次方程求最大值公式：x=-b/2a，y=（4ac-b2）/4a，如果有二元一次方程
y=a2+bx+c，当a为正数时，它的抛物线开口向上，所以有最小值，其最小值通过把x=-
b/2a，y=（4ac-b2）/4a代入方程式可计算出来。

消元思想
“消元”就是求解二元一次方程组的基本思路。

所谓“消元”就是增加未知数的个数，并使多元方程最终转变为一元多次方程再求出未知数。

这种将方程组中的未知数个数由多
化少，逐一化解的数学分析，叫作消元数学分析。

消元方法一般分为：代入消元法，简称：代入法；加减消元法，简称：加减法；顺
序消元法；整体代入法。

代入窭元法
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一
个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程
组的方法叫做代入消元法。

用代入窭元法求解二元一次方程组的通常步骤：
（1）等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知
数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式；
（2）代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，解出y，获得一个关于x的一元一次
方程；
（3）解这个一元一次方程，求出x的值；
（4）回代：把求出的x的值代入y=ax+b中求出来y的值，从而得出结论方程组的求
解。

二元函数的极值1.二元函数极值定义：某一个邻域内有定义，在设)0,0(),(y x y x z [])0,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若,)(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。

或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：)0,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若=两个一阶偏导数存在，则：0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='='的驻点。

称为),(y x f z =的必要条件，定理的结论是极值存在2而非充分条件。

例：122+-=xyz ⎩⎨⎧===+='=-='0000202y x y yz x x z 解出驻点1)0,0(=z 112),0(0,0>+=≠=yy z y x 时，当112)0,(0,0<+-==≠xx z y x 时，当∴驻点不一定是极值点。

3.极值的充分条件：的某个领域内在设：函数)0,0(),(y x y x f y =为驻点，有二阶偏导数，且)0,0(y x [])0,0()0,0(2)0,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''⋅''-''=若：⎩⎨⎧⇒>''⇒<''<为极小值。

时，为极大值。

时，且当：)0,0(0)0,0()0,0(0)0,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。

当：)0,0(,0y x f p ⇒>不能确定。

二元函数求极值步骤英文回答：To find the extreme values of a bivariate function, we can follow a few steps. Let's say we have a function f(x, y) and we want to find its extreme values.Step 1: Find the critical points.First, we need to find the critical points of the function. These are the points where the partialderivatives of the function with respect to x and y are equal to zero. Mathematically, we can express this as:∂f/∂x = 0。

∂f/∂y = 0。

For example, let's consider the function f(x, y) = x^2+ y^2. The partial derivatives would be:∂f/∂x = 2x.∂f/∂y = 2y.Setting these equal to zero, we get:2x = 0。

2y = 0。

Solving these equations, we find that the critical point is (0, 0).Step 2: Classify the critical points.Once we have the critical points, we need to classify them as either maximum, minimum, or saddle points. To do this, we can use the second partial derivative test. The second partial derivatives are:∂^2f/∂x^2 = 2。

2014考研数学备考重点解析——如何求二元函数的极值和最值极值和最值问题共分三类题型，即无约束极值、条件极值和有界闭区域上连续函数的最值. 做题时第一步是要确认类型，然后对应相应的解决方法进行求解.（一）无约束极值求二元函数),(y x f z =无约束极值的步骤是：⑴解驻点方程(,)0,(,)0,x yf x y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得驻点00(,)x y ； ⑵求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===；⑶判别：若20AC B ->，则00(,)f x y 是极值，且0A >时00(,)f x y 是极小值，0A <时00(,)f x y 是极大值；若20AC B -<，则00(,)f x y 不是极值.【例1】设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的医学考研论坛函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【解析】分析：极值结合隐函数求导方程两边对x 求导，得26220z z x y y z x x∂∂---=∂∂，⑴ 方程两边对y 求导，得6202220z z x y z y z y y∂∂-+---=∂∂，⑵ 令0z x ∂=∂，0z y ∂=∂，得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3,,x y z y =⎧⎨=⎩代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x ，解得9,3,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或者9,3,3,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩⑴式两边对x 求导，得22222222()20z z z y z x x x∂∂∂---=∂∂∂， ⑴式两边对y 求导，得22622220z z z z z y z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂，⑵式两边对y 求导，得22222202222()20z z z z z y z y y y y y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂， 将9,3,3,x y z ===0z x ∂=∂，0z y ∂=∂代入，得22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,,623z z z A B C x x y y ∂∂∂====-==∂∂∂∂ 2110,0366AC B A -=>=>，故点(9,3)是),(y x z z =的极小医学考研论坛值点，极小值为(9,3)3z = 类似可得点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.（二）条件极值求条件极值的步骤是：⑴先构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为某一常数；⑵解驻点方程(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩得00(,)x y ；⑶求出相应的函数值00(,)f x y .注：这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ϕ=，(,,)0x y z ψ=下的极值.先构造拉格医学考研论坛朗日函数12(,,,,)(,,)F x y z f x y z λλ=+12(,,)(,,)x y z x y z λϕλψ+，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.【例2】求椭球面 1222222=++cz b y a x 的内接长方体的最大体积. 【解析】设内接长方体位于第一卦限的顶点为(,,)x y z ，则它的长、宽、高分别为2x ，2y ，2z ，问题归结为求体积8V xyz =(0,0,0)x y z >>>在条件1222222=++cz b y a x 下的最大值. 构造拉格朗日函数:222222(,,,)8(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=+++-解驻点方程组:222222222280,280,280,10, xyzxL yzayL xzbzL yxcx y zLa b cλλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩得唯一驻点：x y z===由实际意义知道，内接长方体的最大体积存在，其最大体积为maxV==（三）有界闭区域D上连续函数的最值因为有界闭区域D上连续函数的最值一定存在，所以只要分别求出函数在D的内部和D的边界上可能取得最值的点.其中内部的可能最值点按无约束极值的求法，求出若干驻点，但只取落入D内的驻点（注意：这里不需要用二阶条件来验证极值）.D的边界上的最值点按条件极值的求法求出.医学考研论坛最后，比较所有这些可能点处函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.【例3】求二元函数)4(),(2yxyxyxfz--==在直线6=+yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.【解析】⑴先求函数在D内的驻点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---=')4(),()4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内驻点)1,2(,且4)1,2(=f,⑵再求D的边界上的可能的最值点在边界0=x和0=y上,0),(=yxf；在边界6=+yx(06)x<<上，xy-=6，于是232()(,6)(6)(2)212(06)g x f x x x x x x x=-=--=-<<,由2()6240g x x x'=-=,得4x=，且(4)(4,2)64g f==-，⑶故4)1,2(=f 为最大值,64)2,4(-=f 为最小值.。

二元函数极值的充分条件引言二元函数是一种含有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。

在数学中，我们经常关注函数的极值问题，即寻找函数的最大值或最小值点。

对于二元函数来说，极值点的寻找更加复杂，因为需要同时考虑两个自变量的取值。

本文将详细讨论二元函数极值的充分条件，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

二元函数的定义二元函数是指含有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)。

其中，x和y分别表示自变量，f(x,y)表示输出的函数值。

对于任意给定的x和y的取值，函数f(x,y)的值是确定的。

我们可以将二元函数表示为一个三维坐标系内的曲面，其中自变量x和y作为坐标轴，函数值f(x,y)作为高度。

极值点的定义在一元函数中，极值点是指函数的最大值或最小值点。

同样地，在二元函数中，极值点是指函数f(x,y)的最大值或最小值的点。

极值点的判断方法对于一元函数，我们可以通过求导数，令导数等于0来求得极值点。

但是在二元函数中，求导数变得更加复杂，因为需要求偏导数。

因此，我们需要找到一个更加方便的方法来判断二元函数的极值点。

二元函数极值的充分条件二元函数极值的充分条件有两个重要的定理：费马定理和边界条件。

费马定理费马定理是判断二元函数极值的重要定理之一。

它断言，在极值点处的偏导数等于0。

具体而言，设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处偏导数存在。

那么，该点处的偏导数必然等于0，即∂f/∂x=0和∂f/∂y=0。

边界条件边界条件是判断二元函数极值的另一个重要定理。

它指出，如果一个二元函数在一个区域的边界上取得最大（或最小）值，那么该点是极值点。

具体而言，如果函数f(x,y)在区域D的边界上取得最大值，那么该点是极大值点；如果函数f(x,y)在区域D的边界上取得最小值，那么该点是极小值点。

二元函数极值的求解步骤根据上述的充分条件，我们可以得出求解二元函数极值的一般步骤。

1.找出函数的定义域。

定义域是自变量取值的范围，也即是函数存在的区域。

§6.7二元函数的极值在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数的最大值与最小值问题，它们统称最值问题。

需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为决策变量，相应的问题为优化问题。

教学目的与要求：1、理解二元函数极值的概念，2、弄清二元函数极值与最值相关的概念；3、正确判断所给点是否为驻点、极值点，4、会用充分条件判定二元函数的极值，教学重点：1、熟练掌握二元函数的极值与最值的求法.2、掌握二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，教学难点：求最值实际问题会建立模型。

教学方法：启发式讲授：问题（最值实际问题会建立模型）1、2010年我校“三宣传”工作，通过讲座和简章进行品牌宣传，我初步统计，收入R万元与投入讲座X万元和印刷简章Y万元之间有如下关系（经验公式）求：最优（最大利润）的宣传策划。

22=++--(,)1020.2530.37105Q x y xy x y x y问题（最值实际问题会建立模型）2、某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出7054x y-+瓶本地牌子的果汁，+-瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可x y8067取得最大收益？(,)(1)7054)( 1.2)(8067)=--++-+-f x y x x y y x y教学过程：在实际问题中，往往会遇到二元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似讨论二元函数的最大值，最小值与极大值，极小值的密切的关系，复习1、一元函数的极值：（1）求出函数()f x在区间（a，b）内的所有极值嫌疑点，则可以通过求导数'()f x =0 ，查找驻点和不可导点获得；（2）计算函数()y f x =在各个极值嫌疑点、不可导点和驻点以及区间端点a ,b 处的函数值；（3）.比较这些函数值的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。