中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
1．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
2．我国计划在2022年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）
A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A． B．C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）
A．42° B．48° C．52° D．58°
5．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是
（）
A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
6．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（）
A．26° B．64° C．52° D．128°
7．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（）
A．﹣1≤b≤1 B．﹣≤b≤1 C．﹣≤b≤D．﹣1≤b≤
8．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣上，则使△ABC 是直角三角形的点C的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共20分）
9．不等式组的解集是．
10．分解因式：x3﹣2x2+x=．
11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本4元，每支圆珠笔3元，妈妈买了m本笔记本，n支圆珠笔．妈妈共花费元．
12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于．
13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=．
14．如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC 的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是．
三、解答题（本大题共7小题，每小题5分，满分60分）
16．计算：|﹣3|+tan30°﹣﹣10．
17．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，选一个你喜欢的数代入求值．18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有名．
（2）把条形统计图补充完整．
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200
人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
20．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD ⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两函数图象的另一个交点坐标；
（3）直接写出不等式；kx+b≤的解集．
21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CF=4，DF=，求⊙O的半径r及sinB．
22．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD ﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；
（2）求点R运动的路程长；
（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
1．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【考点】多项式乘多项式．
【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值．
【解答】解：∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，
∴m=1，n=﹣2．
∴m+n=1﹣2=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
2．我国计划在2022年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）
A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5500万=5.5×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A． B．C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，第三层左边有一个正方形．
故选A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）
A．42° B．48° C．52° D．58°
【考点】旋转的性质．
【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，
∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，
∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．
故选A．
【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质．
5．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜5 B．k≥5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴，
解得：k≤5且k≠1．
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据根的判别式以及二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
6．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（）
A．26° B．64° C．52° D．128°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线及角平分线的性质解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴∠BEF=180°﹣52°=128°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=64°；
∴∠EGF=∠BEG=64°（内错角相等）．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；角平分线分得相等的两角．
7．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线与△ABC有交点时，b的取值范围是（）
A．﹣1≤b≤1 B．﹣≤b≤1 C．﹣≤b≤D．﹣1≤b≤
【考点】一次函数的性质．
【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．
【解答】解：将A（1，1）代入直线中，可得+b=1，解得b=；
将B（3，1）代入直线中，可得+b=1，解得b=﹣；
将C（2，2）代入直线中，可得1+b=2，解得b=1．
故b的取值范围是﹣≤b≤1．
故选B．
【点评】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
8．如图，已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y=﹣上，则使△ABC 是直角三角形的点C的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．
【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
【解答】解：如图，
①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣8，10），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，2.5），
③若∠C为直角
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣的交点上．
过点E作x轴的垂线与直线的交点为F（﹣3，），则EF=
∵直线y=﹣与x轴的交点M为（，0），
∴EM=，FM==
∵E到直线y=﹣的距离d==5
∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线y=﹣恰好有一个交点．
所以直线y=﹣上有一点C满足∠C=90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共20分）
9．不等式组的解集是x＜1 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，
解①得x＜，
解②得x＜1，
则不等式组的解集是x＜1．
故答案是：x＜1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．分解因式：x3﹣2x2+x= x（x﹣1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本4元，每支圆珠笔3元，妈妈买了m本笔记本，n支圆珠笔．妈妈共花费4m+3n 元．
【考点】列代数式．
【分析】先求出买m本笔记本的钱数和买n支圆珠笔的钱数，再把两者相加即可．【解答】解：每本笔记本4元，妈妈买了m本笔记本花费4m元，每支圆珠笔3元，n 支圆珠笔花费3n，共花费（4m+3n）元．
故答案为：4m+3n．
【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于130°．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A=115°
∴∠C=180°﹣∠A=65°
∴∠BOD=2∠C=130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
13．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= 4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF
的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，=（）2，
∵E是边AD的中点，
∴DE=AD=BC，
∴=，
∴△DEF的面积=S△DEC=1，
∴=，
∴S△BCF=4；
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．
14．如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC 的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为 2 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过D作DE⊥OA于E，设D（m，），于是得到OA=2m，OC=，根据矩形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥OA于E，
设D（m，），
∴OE=m．DE=，
∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
∴OA=2m，OC=，
∵矩形OABC的面积为8，
∴OA•OC=2m•=8，
∴k=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是①②③．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；正方形的性质．
【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为①②③．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，每小题5分，满分60分）
16．计算：|﹣3|+tan30°﹣﹣10．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】将tan30°=、10=1代入原式，再根据实数的运算即可求出结论．
【解答】解：|﹣3|+tan30°﹣﹣10，
=3+×﹣2﹣1，
=3+1﹣2﹣1，
=3﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算、绝对值、零指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握实数混合运算的运算顺序是解题的关键．
17．先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，选一个你喜欢的数代入求值．【考点】分式的化简求值．
【分析】首先把括号内的分式约分，然后通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入求解即可．
【解答】解：原式=[﹣（x+1）]•
=[﹣（x+1）]•
=•
=1﹣（x﹣1）
=2﹣x．
当x=0时，原式=2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对所求的分式进行通分、约分是关键．
18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】证明题．
【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的
对角线相等即可得EF=AD．
【解答】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
【点评】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有1000 名．
（2）把条形统计图补充完整．
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
